Talousmatematiikan perusteet: Luento 18. Määrätty integraali Epäoleellinen integraali

Transkriptio

1 Talousmatematiikan perusteet: Luento 18 Määrätty integraali Epäoleellinen integraali

2 Motivointi Viime luennoilla opimme integrointisääntöjä: Tavalliset funktiotyypit (potenssi-, polynomi- ja eksponenttifunktiot) Osittaisintegrointi tulomuotoisille funktioille Yhdistetyn funktion derivaatan käänteinen käyttö eli sijoitusmenettely Tällä luennolla sovellamme sääntöjä nk. määrättyjen ja epäoleellisten integraalien laskemiseen Ensi luennolla tarkastelemme integroinnin soveltamista kassavirtaanalyysissa ja differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisessa 2

3 Määrätty integraali Integraalilaskennan keskeinen sovellus on integroitavan funktion kuvaajan ja x- akselin välisen pinta-alan laskeminen Tämä johtuu siitä, että tutkittavien ilmiöiden kertyneitä määriä voidaan usein samastaa pinta-alojen kanssa Esim. kertynyt matka tietyllä aikavälillä, kun nopeutta kuvaava funktio tunnetaan 3

4 Määrätty integraali Voidaan osoittaa, että ei-negatiivisen jatkuvan funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin jäävä pinta-ala välillä x [a, b] on A = F b F(a), missä F x = f x dx Näin laskettavasta pinta-alasta käytetään merkintää Määrätty integraali, jonka integrointirajat ovat a ja b Luetaan: Sijoitus a:sta b:hen funktioon F 4

5 Määrätty integraali ja alkeisgeometria Esim. Esim = = 12 6 Esim. Esim = 3; x-akselin alapuolella = Laitoksen nimi 5

6 Määrätyn integraalin additiivisuus Edellä 2 1.5x dx = 9 = = 2 1.5x dx x dx Yleisesti pätee: b න a f x dx = න a c f x dx + න c b f x dx 6

7 Määrätty integraali Lineaarisia ja vakiofunktioita monimutkaisempien funktioiden integraaleja ei voi enää laskea alkeisgeometrian avulla Esim. Määritä 1 2 x 2 dx Ratkaisu: 7

8 Määrätty integraali Esim. Kalatehtaan veden kulutusta f(x) (m 3 /h) kellonajan x (h) suhteen kuvaa malli f: 0,24 R +, f x = 2.8x x Kuinka paljon vettä on yhteensä kulutettu aikavälillä 10-14? Ratkaisu: 8

9 Määrätty integraali Esim. Kalastuskunta on investoinut kalavesien tuoton parantamiseen. Oletetaan, että 1. Investointi alkaa tuottaa heti nopeudella /v 2. Tuottonopeus vähenee ajan suhteen jatkuvasti 20 % vuodessa Mikä on 10 vuoden aikana kertynyt tuotto? Entä tuoton nykyarvo 5% korkokannalla? Tuottonopeus ajan x funktiona on x. Kymmenen vuoden aikana kertynyt tuotto Tuoton nykyarvo 5% korkokannalla: x න x dx න x dx = ln

10 Presemo-kysymys Tontin jatkuvasti maksettavasta vuokrasta sovitaan, että se on vuokraushetkellä 2000 /v ja pienenee sen jälkeen jatkuvasti 10 % vuosivauhtia. Kuinka suuri on viiden vuoden aikana kertynyt kokonaisvuokrasumma?

11 Epäoleellinen integraali (Kalvon 9 esimerkki jatkuu.) Kuinka suuri on investoinnin kokonaistuotto, jos tuoton oletetaan jatkuvan ikuisesti? Tuotto ajankohtaan b asti: න b x dx = ln 0.8 (0.8b 1) Aikarajan b lähestyessä ääretöntä: lim b ln 0.8 (0.8b 1) = ln 0.8 Tuoton nykyarvo 5% korkokannalla: 0 b x 1.05 x dx = ln b , kun b ln

12 Epäoleellinen integraali Määrätyn integraalin raja-arvoa, jossa yläraja b ja/tai alaraja a, kutsutaan epäoleelliseksi integraaliksi. Merkintätapa: න f x dx, a න b f x dx, න f x dx 12

13 Presemo-kysymys Tontin jatkuvasti maksettavasta vuokrasta sovitaan, että se on vuokraushetkellä 2000 /v ja pienenee sen jälkeen jatkuvasti 10 % vuosivauhtia. Kuinka suuri on kokonaisvuokrasumma, jos vuokrasopimusta jatketaan ikuisesti?

14 Määrätty osittaisintegrointi & sijoitusmenettelyn soveltaminen Osittaisintegrointi toimii kuten epämääräisessä tapauksessa: Esim. Määritä 0 1 x 3 e x2 dx Ratkaisu: Valitaan f x = x 2 ja g x = xe x2 f x = 2x Funktio g x saadaan soveltamalla sijoitusmenettelyä funktion g x = xe x2 integrointiin: 1. Hahmotetaan sisäfunktioksi s x = x 2 ja korvataan se apumuuttujalla y = x 2 x = y y > 0 2. Sisäfunktion derivaatta s x = dy dy = 2x, josta muokataan dx = = dy dx 2x 2 y 3. Korvataan alkuperäisestä funktiosta kaikki x:ää sisältävä termit vastaavilla y-termeillä න xe x2 dx = න dy y ye 2 y = 1 2 න ey dy = 1 2 ey = 1 2 ex2 14

15 Määrätty osittaisintegrointi & sijoitusmenettelyn soveltaminen Siispä f x = x 2 ja g x = xe x2 f x = 2x ja g x = 1 2 ex2 Tällöin Laskettu edellisellä kalvolla 15

16 Määrätty osittaisintegrointi & sijoitusmenettelyn soveltaminen 0 Esim. Määritä x 2 x 2 dx. Viime luennolta tiedämme, että x2 x2 dx = 2 x2 2 ln 2 Siispä 16

17 Määrätty osittaisintegrointi & sijoitusmenettelyn soveltaminen Esim. Määritä x 2 x 2 dx. Nyt 17

18 Presemo-kysymys 0 Määritä xe x dx

19 Presemo-kysymys 5 Määritä 1 ln x dx

20 Presemo-kysymys Määritä 0 e x dx

21 Yhteenveto Määrätty integraali: a b f(x) dx = F b F(a), missä F x = f(x) dx Epäoleellinen integraali esim: a f(x) dx = lim b F b F(a), missä F x = f(x) dx 21