Talousmatematiikan perusteet: Luento 7. Derivointisääntöjä Yhdistetyn funktion, tulon ja osamäärän derivointi Suhteellinen muutosnopeus ja jousto

Transkriptio

1 Talousmatematiikan perusteet: Luento 7 Derivointisääntöjä Yhdistetyn funktion, tulon ja osamäärän derivointi Suhteellinen muutosnopeus ja jousto

2 Viime luennolla Funktion Derivaatta f (x) kuvaa funktion muutosnopeutta Toinen derivaatta f x = D f x kuvaa muutosnopeuden muutosnopeutta eli kiihtyvyyttä Funktio on Kasvava, kun f x > 0 Vähenevä, kun f x < 0 Derivointisääntöjä Vakiofunktio: D(a) = 0 Yksinkertainen polynomifunktio: D x n = nx n1 2

3 Tällä luennolla Lisää derivointisääntöjä Potenssifunktio Eksponenttifunktio Logaritmifunktio Yhdistetyn funktion derivointi Tulon ja osamäärän derivointi Ja derivaatan kauppatieteellisiä sovelluksia Suhteellinen muutosnopeus Jousto 3

4 Lisää derivointisääntöjä D5: Potenssifunktion derivaatta Olkoon f: R R, f x = x n, n R. Tällöin f x = D x n = nx n1 Sääntö toimii siis aivan kuten yksinkertaisen polynomifunktion tapauksessa Esim. f x = x 3 x = x 4 3 f x = x1 3 = 3 x. f x = x 0.75 f (x) = 0.75x

5 Potenssifunktion derivointi Esim. Kultakalakaviaarin kysynnän ja tarjonnan (kg) riippuvuutta yksikköhinnasta x ( /kg) kuvaavat funktiot: Kysyntä f: R ++ R +, f x = 13262x 1.14 Tarjonta g: R ++ R +, g x = 1.16x 1.52 Kuvaajan perusteella näyttää siltä, että yksikköhinnan kasvaessa Tarjonta kasvaa, jolloin muutosnopeus g x > 0 Kasvu on kiihtyvää, jolloin kiihtyvyys g x > 0 Päätelmä voidaan vahvistaa derivoimalla g x = D 1.16x 1.52 = x = x 0.52 > 0 g x = D x 0.52 = x = x 0.48 > 0 5

6 Potenssifunktion derivointi (Jatkuu) Kultakalakaviaarin kysynnän ja tarjonnan (kg) riippuvuutta yksikköhinnasta x ( /kg) kuvaavat funktiot: Kysyntä f: R ++ R +, f x = 13262x 1.14 Tarjonta g: R ++ R +, g x = 1.16x 1.52 Kuvaajan perusteella näyttää siltä, että yksikköhinnan kasvaessa Kysyntä vähenee, jolloin muutosnopeus f x < 0 Väheneminen hidastuu, eli muutosnopeus kasvaa (tulee vähemmän negatiiviseksi), jolloin kiihtyvyys f x > 0 (!) Päätelmä voidaan vahvistaa derivoimalla f x = D 13262x 1.14 = x = x 2.14 < 0 f x = D x 2.14 = (2.14)x = 32354x 3.14 > 0 6

7 Lisää derivointisääntöjä D6: Eksponenttifunktion derivaatta Olkoon f: R R, f x = a x. Tällöin f x = D a x = a x ln a Erityisesti f x = D e x = e x Todistus kalvolla 35 (jos kiinnostaa) 7

8 Lisää derivointisääntöjä D7: Logaritmifunktion derivaatta Olkoon f: R R, f x = log a x. Tällöin f x = D log a x = 1 x ln a Erityisesti f x = D ln x = 1 x Todistus kalvolla 36 (jos kiinnostaa) 8

9 Derivointisääntöjä Säännöt D1, D2, D5, D6 ja D7 esittivät, kuinka eräistä tärkeistä perusfunktioista f saadaan niiden muutosnopeutta kuvaavat derivaattafunktiot f D1: Vakiofunktion derivointi D5: Potenssifunktion (sis. D2 yksinkertaisen polynomifunktion) derivointi D6: Eksponenttifunktion derivointi D7: Logaritmifunktion derivointi Säännöt D3 ja D4 ovat yleisiä funktioiden yhdistelmien käsittelysääntöjä (vakiolla kerrotun funktion / funktoiden summan derivointi), kuten myös seuraavaksi esiteltävät säännöt D8: Yhdistetyn funktion derivointi D9: Tulon derivointi D10: Osamäärän derivointi 9

10 Yhdistetyn funktion derivointi Esim. Tarkastellaan funktiota t: R R, t x = x 2 + 2x + 3 = (x 2 + 2x + 3) 1 2 Funktio ei ole mitään perustyyppiä eikä sille ole valmista derivointisääntöä. Se voidaan kuitenkin hahmottaa yhdistettynä funktiona t x = g f Sisäfunktiona on polynomifunktio f: R R, f x = x 2 + 2x + 3 x, kun Ulkofunktio on potenssifunktio g: R R, g y = y

11 Yhdistetyn funktion derivointi D8: Yhdistetyn funktion derivointi Olkoon g f x yhdistetty funktio siten, että Sisäfunktio f: A B on derivoituva pisteessä x Ulkofunktio g: V f C on derivoituva pisteessä y = f(x) Tällöin yhdistetyn funktion derivaatta on D g f x = g f x f x = g y f (x) Ulkofunktion muutosnopeus sisäfunktion suhteen Sisäfunktion muutosnopeus x:n suhteen 11

12 Yhdistetyn funktion derivointi Esim. t x = g f x = x 2 + 2x + 3, missä Sisäfunktio f x = x 2 + 2x + 3 Ulkofunktio g y = y 1 2 Tällöin f (x) = 2x + 2 g y = 1 2 y1 2 t (x) = g f x f x = 1 2 (x2 + 2x + 3) 1 2 2x + 2 = 2x+2 2 x 2 +2x+3 12

13 Presemo-kysymys Mikä on funktion f x = ln(1 + x 2 ) derivaatta? x 1 1+x 2 2x 1+x 2 13

14 Tulon derivointi Esim. Härvelitehtaan tuotannon määrän ja yksikköhinnan kehitystä ajan x suhteen kuvaavat funktiot Määrä: f: R + R +, f x = (x + 1) 0.54 (potenssifunktio) Yksikköhinta: g: R + R +, g x = x (eksponenttifunktio) Tuotannon arvoa kuvaa tällöin funktio v: R + R +, v x = f x g x = (x + 1) x Funktio v on funktioiden f ja g tulo. 14

15 Tulon derivointi D9: Tulon derivointi Jos funktiot f ja g ovat derivoituvia pisteessä x, niin f:n muutosnopeus g:n muutosnopeus D f x g(x) = f x g x + g (x)f x Kokonaismuutosnopeus g x -kertaisena f x -kertaisena 15

16 Tulon derivointi Esim. Tuotannon arvoa ajan suhteen kuvaa funktio v x = f x g x = x x Tuotannon arvon muutosnopeutta kuvaa funktio v x = D f x g x = f x g x + g x f x = D (x + 1) x + D x (x + 1) 0.54 = (x + 1) x x ln (x + 1) 0.54 = (x + 1) x x (x + 1) 0.54 = 1.08 x ( x x ) 16

17 Osamäärän derivointi Esim. Kehitysmaassa arvioidaan, että BKT (M ) ja väkiluku (milj. ihmistä) riippuvat ajasta (v) seuraavalla tavalla BKT: f: R + R +, f x = 5860 x Väkiluku: g: R + R +, g x = x BKT:n arvoa asukasta kohden kuvaa näiden osamäärä s: R + R +, s x = f x g x = 5860 x x 17

18 Osamäärän derivointi D10: Osamäärän derivointi Jos funktiot f ja g ovat derivoituvia pisteessä x ja g x 0, niin D f(x) g(x) = f x g x g (x)f x g(x) 2 18

19 Osamäärän derivointi BKT:n arvoa asukasta kohden kuvaa funktio s: R + R +, s x = f x g x = 5860 x x Asukasta kohden lasketun BKT:n muutosnopeutta kuvaa funktio s x = f x g x g x f x g x 2 = x x x ln x x 2 x x = ln x x x x = x x

20 Yhteenveto derivoinntisäännöistä Derivointisäännöt joillekin tavallisille funktiotyypeille Potenssifunktio: D x n = nx n1 Eksponenttifunktio: D a x = a x ln a, D e x = e x Logaritmifunktio: D log a x = 1 x ln a, D ln x = 1 x Yleisiä sääntöjä funktioiden yhdistelmien käsittelyyn Yhdistetyn funktion derivaatta: D g f x = g f x f x Tulon derivaatta: D f x g(x) = f x g x + g (x)f x Osamäärän derivaatta: D f(x) = f x g x g (x)f x g(x) g(x) 2 20

21 Suhteellinen muutosnopeus Esim. Härvelitehtaan tuotannon määrän kehitystä ajan x (v) suhteen kuvaa funktio f: R + R +, f x = (x + 1) 0.54 Esim. Vuonna x=5 tuotannon taso on f kpl. Tuotannon määrän absoluuttista muutosnopeutta ajan suhteen kuvaa derivaattafunktio f : R + R, f x = x = x Esim. Vuodesta 5 vuoteen 6 tuotanto kasvaa likimäärin f 5 = = kpl/v. Kuinka paljon tuotanto kasvaa prosentuaalisesti vuodesta 5 vuoteen 6? Eli mikä on tuotannon suhteellinen muutosnopeus? Suhteellinen muutosnopeus vuonna 5: f (5) f(5) = = 0.09 = 9% 21

22 Suhteellinen muutosnopeus Funktion f x suhteellinen muutosnopeus arvon x kohdalla saadaan siis kaavalla f:n absoluuttinen muutosnopeus Suhteessa f:n tasoon f (x) f(x) Esim. Härvelitehtaan tuotannon määrän suhteellinen muutosnopeus on f (x) f(x) x = = (x + 1) 0.54 x + 1 Laitoksen nimi 22

23 Suhteellinen muutosnopeus Huomaa, että f:n suhteellinen muutosnopeus = f:n logaritmin absoluuttinen muutosnopeus D(ln f x ) = f (x) f(x) Perustelu yhdistetyn funktion g f x = ln f x derivaatan kautta: Sisäfunktio f(x), derivaatta f (x) Ulkofunktio g y = ln y, derivaatta g y = 1 y Yhdistetyn funktion derivaatta D g f x = g f x f x = 1 f x f (x) Miksi kiinnostavaa? Joskus D(ln f x ) on paljon helmpompi laskea kuin f (x) f(x). 23

24 Suhteellinen muutosnopeus Härvelitehtaan tuotteiden yksikköhinnan kehitystä ajan x (v) suhteen kuvaa funktio g: R + R +, g x = x Yksikköhinnan absoluuttista muutosnopeutta kuvaa derivaattafunktio g : R + R +, g x = 3.47 ln x Yksikköhinnan suhteellista muutosnopeutta kuvaa funktio g x g x 3.47 ln x = x = ln % Sama tulos saadaan myös huomaamalla, että ln g x = ln x ln 1.08, jolloin suhteellinen muutosnopeus on Laitoksen nimi D ln g x = ln % 24

25 Tulon suhteellinen muutosnopeus Härvelitehtaan tuotannon arvo v x ajan funktiona saatiin tuotantomäärän f x ja yksikköhinnan g x tulona: f x v: R + R +, v x = f x g x = (x + 1) x Tuotannon arvon suhteellinen muutosnopeus saadaan tällöin g x D ln v x = D ln(f x g x ) = D ln f x + ln g x = D ln f x + D ln g x = = (x+1) x ln 1.08 = ln (x+1) x x+1 f x f x g x + g x Tuotantomäärän muutosnopeus Yksikköhinnan muutosnopeus Tulofunktion (tuotannon arvo) suhteellinen muutosnopeus on sen tekijöiden (tuotantomäärän ja yksikköhinnan) suhteellisten muutosnopeuksien summa! 25

26 Tulon suhteellinen muutosnopeus Tuotannon määrän ja yksikköhinnan vaikutus näkyy paljon selvemmin tuotannon arvon suhteellisessa kuin absoluuttisessa muutosnopeudessa: Alussa D ln v 0 = % + ln 1.08 = 54% + 7.7% = 5 vuoden kuluttua D ln v 5 = ln 1.08 = 9% + 7.7% = 16.7% 10 vuoden kuluttua D ln v 10 = % + 7.7% = 12.6% 6 + ln 1.08 = D ln v x = ln 1.08 x + 1 Alussa tuotannon arvon suhteellista muutosnopeutta ruokkii voimakkaammin tuotannon määrän muutos, myöhemmin taas yksikköhinnan muutospyrkimys 26

27 Osamäärän suhteellinen muutosnopeus BKT:n asukaskohtainen arvo s x ajan funktiona saatiin BKT:n arvon f x ja asukasmäärän g x osamääränä: s: R + R +, s x = f x g x = 5860 x x BKT:n asukaskohtaisen arvon suhteellinen muutosnopeus saadaan tällöin f x D ln s x = D ln g x = D ln f x ln g x = D ln f x D ln g x = f (x) f x g x g x = (x+1) x ln 1.06 = 0.36 ln x x x+1 BKT:n muutosnopeus Asukasmäärän muutosnopeus Osamääräfunktion (BKT:n asukaskohtainen arvo) suhteellinen muutosnopeus on sen tekijöiden (BKT:n ja asukasmäärän) suhteellisten muutosnopeuksien erotus! 27

28 Osamäärän suhteellinen muutosnopeus BKT:n ja asukasmäärän vaikutus näkyy paljon selvemmin asukaskohtaisen BKT:n suhteellisessa kuin absoluuttisessa muutosnopeudessa: Alussa D ln s 0 = % ln 1.06 = 36% 5.8% = 5 vuoden kuluttua D ln s 5 = 0.36 ln 1.06 = 6% 5.8% = 0.2% 10 vuoden kuluttua D ln s 10 = % 5.8% = 2.5% 6 ln 1.06 = D ln s x = 0.36 ln 1.06 x + 1 Alussa BKT:n voimakas kasvu ruokkii asukaskohtaisen BKT:n kasvua, mutta myöhemmin väestön voimakas kasvu voittaa hiipuvan BKT:n kasvun ja asukaskohtainen BKT pienenee. 28

29 Jousto Derivaattafunktio f (x) antaa likimääräisen vastauksen kysymykseen: Kuinka suuri on f:n arvon absoluuttinen muutos, jos x x + 1 (pieni absoluuttinen muutos)? Suhteellinen muutosnopeus D ln f x = f (x) f x taas vastaa kysymykseen: Kuinka suuri on f:n arvon suhteellinen muutos, jos x x + 1 (pieni, absoluuttinen muutos)? Joskus kiinnostaa tietää, kuinka suuri on f:n arvon suhteellinen muutos, kun x kasvaa 1% (pieni, suhteellinen muutos). Tähän kysymykseen vastaa (likimäärin) funktion f jousto 29

30 Jousto Funktion f derivaatta f x pisteessä x on funktion arvon ja x:n arvon absoluuttisten muutosten suhteen raja-arvo: f f x + h f(x) f x + h f(x) x = lim = lim h 0 x + h x h 0 h Funktion f jousto Ef(x) pisteessä x on vastaavien suhteellisten muutosten raja-arvo: Ef(x) = lim h 0 f x + h f(x) f(x) x + h x x = lim h 0 f x + h f(x) h x f(x) = lim h 0 f x + h f(x) h x f x Ef(x) = f x f x x f x 30

31 Jousto Esim. Kultakalakaviaarin kysynnän (kg) riippuvuutta yksikköhinnasta x ( /kg) kuvaa funktio f: R ++ R +, f x = 13262x Kuinka monta prosenttia kysyntä pienenee, kun hinta nousee prosentin? Ratkaisu: Kysynnän hintajousto on Ef x = f x f x x2.14 x = x = 1.14 x 13262x 1.14 x = 1.14 (vakio!) Hinnan lähtötasosta x riippumatta 1% hinnankorotus pienentää kysyntää 1.14% 31

32 Jousto Yleisimmin tarkasteltu jousto on kysynnän hintajousto Kuinka muutos hyödykkeen hinnassa vaikuttaa kysyntään? Muita tavallisia joustoja: Hyödykkeen kysynnän tulojousto: Kuinka muutos tulotasossa vaikuttaa hyödykkeen kysyntään? Kulutuksen tulojousto: Kuinka muutos tulotasossa vaikuttaa kulutukseen? Kahden hyödykkeen kysynnän ristijousto: Kuinka muutos hyödykkeen 1 kysynnässä vaikuttaa hyödykkeen 2 kysyntään? Hyödykkeen tarjonnan hintajousto: Kuinka muutos hyödykkeen hinnassa vaikuttaa tarjontaan? 32

33 Yhteenveto suhteellisesta muutosnopeudesta ja joustosta Derivaatta eli absoluuttinen muutosnopeus f x Mikä on funktion arvon absoluuttinen muutos, kun x x + 1? Esim. Kuinka monta kpl hyödykkeen kysyntä vähenee, kun hinta nousee euron? Suhteellinen muutosnopeus f (x) f(x) = D(ln f(x)) Mikä on funktion arvon suhteellinen muutos, kun x x + 1? Esim. Kuinka monta prosenttia hyödykkeen kysyntä vähenee, kun hinta nousee euron? Jousto Ef x = f (x) f(x) x Mikä on funktion arvon suhteellinen muutos, kun x 1.01x? Esim. Kuinka monta prosenttia hyödykkeen kysyntä vähenee, kun hinta nousee prosentin? 33

34 Presemo-kysymys Lääkeen valmistuksessa käytettävän bakteerikannan suuruutta B (kpl) ajan x (h) suhteen kuvaa funktio f: R R +, B = f x = x. Mikä funktio g x kuvaa bakteerikannan suuruuden suhteellista muutosnopeutta? 1. g x = ln 2 2. g x = x ln 2 3. g x = ln x 34

35 Todistuksia aiheesta kiinnostuneille: D6 Olkoon f: R R, f x = e x. Tällöin f x = D e x = e x. Todistus: D e x = lim h 0 e x+h e x h = lim h 0 e x (1 + h 2 + h2 6 + ) ex e x (e h 1) e x (1 + h + = lim = lim h 0 h h 0 h h3 6 1) h e x h (h + 2 = lim h 0 h 2 + h3 6 ) Olkoon f: R R, f x = a x. Tällöin f x = D a x = a x ln a Todistus: Merkitään f x = h g x = a x = e ln ax = e x ln a, missä sisäfunktio g x = x ln a ja ulkofunktio h y = e y. Tällöin g (x) = ln a ja h y = e y. Yhdistetyn funktion derivointisäännöstä seuraa f x = h f x g x = e x ln a ln a = a x ln a 35

36 Todistuksia aiheesta kiinnostuneille: D7 Olkoon f: R R, f x = ln x. Tällöin f x = D ln x = 1 x. Todistus: D ln x = lim lim k ln x 1 k ln(x+h)ln(x) h 0 h k ln e 1 x 1 x. = lim h 0 ln( x+h x ) h = lim h 0 ln 1 + h x 1 h = Olkoon f: R R, f x = log a x. Tällöin f x = D ln x = 1 x ln a Todistus: log a x = 1 ln x, jolloin D log ln a a x = 1 1 D ln x = ln a x ln a 36