Talousmatematiikan perusteet: Luento 3. Funktiot Lineaarinen funktio Paloittain lineaarinen funktio Lineaarinen interpolointi

Transkriptio

1 Talousmatematiikan perusteet: Luento 3 Funktiot Lineaarinen funktio Paloittain lineaarinen funktio Lineaarinen interpolointi

2 s(n) p e m K(t) Tähän mennessä Olemme jo tarkastelleet erilaisten muuttujien välisiä riippuvuuksia: Henkilö lainaa pankista 5% vuosikorolla. Miten lainasumma K riippuu vuodesta t? K(t) = t t Henkilö lainaa % nimellisellä vuosikorolla siten, että korkoa lisätään pääomaan m kertaa vuodessa. Miten efektiivinen vuosikorko p e riippuu m:stä? p e m = /m 100 m m Tarkastellaan geometrista lukujonoa a n = n1. Miten jonosta muodostetun sarjan termi riippuu termin järjestysluvusta n? s(n) = n 1 (1.2 1) n 2

3 Tällä luennolla Muuttujien välisiä yhteyksiä kuvataan yleisesti funktioilla, esim. Lainasumma K(t)= Efektiivinen korko p e m = /m 100 määrän m funktio Geometrisen sarjan termi s(n) = n 1 (1.21) t on vuoden t funktio m 100 on koronlisäämiskertojen on järjestysluvun n funktio Tällä luennolla tarkastellaan Funktioihin liittyviä käsitteitä Lineaarista ja paloittain lineaarista funktiota Lineaarista interpolointia 3

4 Notaatiota R = (, ) R + = [0, ) Reaalilukujen joukko Einegatiivisten reaalilukujen joukko Kaarisulku ( tai ): reuna-alkio ei kuulu joukkoon Hakasulku [ tai ]: reuna-alkio kuuluu joukkoon R ++ = (0, ) Positiivisten reaalilukujen joukko x = 0 x x = 0 x x = 0 x R = (, ) R + = [0, ) R ++ = (0, ) 4

5 Notaatiota Kuuluu joukkoon Esim. 2 R: (Alkio) 2 kuuluu reaalilukujen joukkoon Osajoukko Esim. R + R: Ei-negatiivisten reaalilukujen joukko on kaikkien reaalilukujen joukon osajoukko A \ {a}: Joukko A siten, että alkio a on poistettu Esim. R ++ = R + \ {0}: Positiivisten reaalilukujen joukko on einegatiivisten reaalilukujen joukko, josta on poistettu alkio

6 Funktiot Esim. Kiinteistöyhtiö ostaa teollisuusprosessissa syntyvää lauhdevettä, jota se välittää edelleen kiinteistölle kaukolämmöksi. Kiinteistölle välitettävästä sopimuksesta yhtiö maksaa tehtaalle Perusmaksun, joka on kuukaudessa ja Kulutuksesta /MWh Käytetään merkintöjä Ostettava lauhdevesimäärä: x A = R + Laskun suuruus: y B = R + Ostettavan määrän ja laskun suuruuden yhteyttä kuvaa funktio f on sääntö, joka kuvaa joukon A alkiot (x) joukon B alkioiksi (y). f: A B, y = f x = 16.10x f(x) määrittää tämän kuvauksen tietylle x A. 6

7 Lähtö-, maali- ja arvojoukot f: A B o Joukko A on funktion f lähtöjoukko Lähtöjoukkoa kutsutaan usein myös määrittelyjoukoksi Joukko B on funktion f maalijoukko Arvojoukko V f on niiden B:n alkioiden joukko, joiksi f kuvaa kaikki A:n alkiot o A o o f o V f o o B 7

8 Presemo-kysymys Ostettavan kaukolämmön määrän x (MWh) ja hinnan y ( ) yhteyttä kuvaa funktio f: R + R +, y = f x = 16.10x Mikä on funktion arvojoukko? 1. [16.10, ) 2. [20.30, ) 3. R

9 Reaalifunktio Lähtö- ja maalijoukon alkiot voivat periaatteessa olla mitä tahansa olioita Pirjo A Pena f Mies Meiju Nainen B Jos A R ja B R, kutsutaan funktiota f: A B reaalifunktioksi 9

10 Funktion ominaisuudet Jotta funktio f: A B olisi hyvin määritelty, tulee sen kuvata jokainen lähtöjoukon alkio yksikäsitteisesti arvojoukkoon, eli f: R R, f x = 1/x ei ole (hyvin määritelty) funktio f: R \{0} R, f x = 1/x on funktio 1. Jokaiselle x A pitää löytyä kuva y = f x V f 2. Jokaisen x A pitää kuvautua täsmälleen yhdelle arvojoukon alkiolle y = f(x) V f Ei funktio 10

11 Polynomifunktio Polynomifunktio on muotoa f: R R, f x = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n Esim. f 1 x = x + 1 f 2 x = x 2 x + 2 f 3 x = 0.2x 3 0.5x 2 + x 1 f 4 x = 0.1x 4 0.5x Polynomin aste = korkein eksponentti. 11

12 Lineaarinen funktio Ensimmäisen asteen polynomifunktiota f x = a 0 + a 1 x sanotaan lineaariseksi funktioksi Lineaarisen funktion kuvaaja on suora: Kerroin a 0 määrittää kohdan, jossa suora leikkaa y-akselin Kerroin a 1 on suoran kulmakerroin, joka mittaa funktion f absoluuttista muutosnopeutta Esim. Kaukolämmön kulutuksen ja laskun suuruuden yhteyttä kuvaa lineaarinen funktio f x = 16.10x Kerroin a 0 = 20.3: nollakulutuksella lasku on perusmaksu Kerroin a 1 = 16.1: yhden MWh:n lisäys kulutuksessa kasvattaa laskua Kulutus x (MWh) Lasku y=f(x) ( )

13 Lineaarinen funktio tilastollisena mallina Edellä kaukolämmön kulutuksen ja laskun suhteeseen ei liittynyt satunnaisvaihtelua, vaan se oli deterministinen Lineaarista funktiota käytetään kuitenkin usein myös tilastollisena mallina Esim. Ekonomisti tutki teollisuuskiinteistön energiakustannusten riippuvuutta ulkoilman keskilämpötilasta x ( C) ja sai tuloksena tilastollisen mallin f: R R: f x = 16.5x Vakiotermi a 0 = 444: Kustannus on keskimäärin 444 /vrk, kun lämpötila on 0 C Kulmakerroin a 1 = 16.5: Kustannus pienenee keskimäärin 16.5, kun lämpötila nousee asteella 13

14 Lineaarinen funktio tilastollisena mallina Tilastollinen malli kuvaa muuttujien välisen yhteyden vain likimääräisesti Yhteyteen vaikuttaa myös satunnaisvaihtelu Lineaarinen malli on tavallisesti vain yksinkertaistava, rajoitetulla alueella pätevä approksimaatio Esim. Antaako lineaarinen malli f x = 16.5x järkeviä tuloksia, kun lämpötila x = 26.9 C? 14

15 Lineaarisen funktion määrittäminen Suoran määrittää yksikäsitteisesti kaksi pistettä Esimerkki: Fahrenheit- ja Celciusasteikkojen välinen yhteys on lineaarinen. Tiedät, että 0 C = 32 F ja 100 C = 212 F. Määritä funktio f: R R, joka kuvaa Celcius-asteet Fahrenheit-asteiksi. f 0 = a 0 + a 1 0 = a 0 = 32 f 100 = a 0 + a = a 1 = 212 a 1 = 1.8 f x = x 15

16 Lineaarisen funktion määrittäminen Suoran määrittää yksikäsitteisesti yksi piste ja kulmakerroin Esimerkki: Markkinointiguru uskoo, että jokainen markkinointiin laitettu lisäeuro tuottaa yritykselle 2 lisäeuroa vuodessa. Yrityksen tämänhetkinen markkinointibudjetti on ja tuotto 1.2 M. Määritä funktio, joka kertoo tuoton (uskotun) riippuvuuden markkinointibudjetista. Kulmakerroin a 1 = 2 1 = 2. f 0.5 = a 0 + a = a = 1.2 a 0 = 0.2. f x = x 16

17 Presemo-kysymys Mikä kuvaajista esittää funktiota f: R R, f x = 2x 3?

18 Presemo-kysymys Opiskelija osallistuu tenttiin, josta saatava pistemäärä x 0,30. Tentti- ja kotitehtäväpisteiden yhteismitallistamiseksi tenttipisteet skaalataan välille 0,100. Mikä lineaarinen funktio f antaa skaalatut pisteet y = f(x) alkuperäisten pisteiden x funktiona? 1. f x = x 2. f x = 10 3 x 3. f x = 3 10 x 18

19 Sovellus tasapainohinnoitteluun Esim. Ekonomisti tutkii luomuturnipsin kysynnän ja tarjonnan (t) riippuvuutta yksikköhinnasta x ( /kg): Kysyntä f: R + R +, f x = 15.9x Tarjonta g: R + R +, g x = 11.7x Markkinat ovat tasapainossa suorien leikkauspisteessä, eli kun kysyntä = tarjonta: f x = g x 15.9x = 11.7x x 29.2, f x 345.4t kg 19

20 Presemo-kysymys Juustomakkaran kysyntä ja tarjonta (t) riippuvat yksikköhinnasta h ( /kg) seuraavasti: Kysyntä k: R + R +, k h = 10h Tarjonta t: R + R +, t h = 12h Määritä tasapainohinta /kg /kg /kg

21 Yhteenveto lineaarisista funktioista Funktiolla f: A B kuvataan muuttujan y B riippuvuutta muuttujasta x A A on lähtö- tai määrittelyjoukko (mihin joukkoon x kuuluu?) B on maalijoukko (mihin joukkoon y kuuluu?) V f B on arvojoukko (mille B:n osajoukolle f kuvaa A:n?) Lineaarinen funktio on muotoa f: R R, f x = a 0 + a 1 x Lineaarisen funktion kuvaaja on suora: Kerroin a 0 määrittää kohdan, jossa suora leikkaa y-akselin Kerroin a 1 on suoran kulmakerroin, joka mittaa funktion f absoluuttista muutosnopeutta 21

22 Paloittain lineaarinen funktio Esim. Kiinteistöhuoltoyhtiön välittämissä kaukolämpösopimuksissa on ehto, jonka mukaan 1. Perusmaksu toimituksesta on /kk, ja 2. Kulutuksesta maksetaan tehtaalle /MWh, mutta MWh:n ylittävästä kulutuksesta maksetaan /MWh. Kulutuksen ja laskun yhteyttä kuvaa nyt paloittain lineaarinen funktio: x, kun x 50 f x = ቊ x, kun x > x MWh:n alittava osa 50 MWh:n ylittävä osa 22

23 Presemo-kysymys Teleoperaattorin tarjouksessa asiakas maksaa datankäytöstä kuukausittain kiinteän hinnan 3 /kk ja käytön mukaan 0.2 senttiä / Mt neljään gigatavuun asti. 4 Gt ylittävästä käytöstä asiakas maksaa 0.25 senttiä / Mt. Mikä funktioista kuvaa datankäytöstä aiheutuvaa kuukausilaskua ( ) toteutuneen käytön x (Gt) suhteen? x, kun x 4 1. f 1 x = ቊ x, kun x > x, kun x 4 2. f 2 x = ቊ x, kun x > x, kun x 4 3. f 3 x = ቊ x, kun x >

24 Paloittain lineaarinen funktio Paloittain lineaarisella funktiolla voidaan periaatteessa approksimoida mitä tahansa funktiota Esim. Funktiota f x = x 3 voidaan approksimoida funktiolla f x = 196x + 960, 63x + 162, 9x, 63x x 960 kun 10 x < 6 kun 6 x < 3 kun 3 x < 3 kun 3 x < 6 kun 6 x < 10 Tämä ei kuitenkaan aina ole järkevää 24

25 Lineaarinen interpolointi Empiirisiä ilmiöitä kuvaavista muuttujista x ja y tunnetaan useimmiten tarkan yhteyden sijaan vain joitakin havaintopisteitä x 1, y 1, x 2, y 2,, (x n, y n ) Havaintopisteiden välillä (lat. inter) muuttujien yhteyttä voidaan arvioida interpoloimalla Päivä Lukema (MWh) (0) (8)?? (18) (26) (32) Esim. Kiinteistö on sitoutunut ilmoittamaan käytetyn kaukolämmön määrän noin viikon välein Energialaitokselle. Huolimattomuussyistä otettu lukema on jäänyt ilmoittamatta. Miten arvioisit puuttuvaa lukemaa? 25

26 Lineaarinen interpolointi Kuvan perusteella kulutuksen voi olettaa kertyvän lineaarisesti: Välillä (18 päivää) kulutuksen kasvu oli =1.56 MWh Välin (8 päivää) osuus tästä kasvusta on MWh. 18 Arvio lukemalle = =97.00 MWh Sama tulos saadaan myös määrittämällä kahden ensimmäisen pisteen välinen suora: f 0 = a 0 + a 1 0 = a 0 = f 18 = a 0 + a 1 18 = a 1 = a f x = x f 8 = MWh Päivä Lukema (MWh) (0) (8)?? (18) (26) (32) MWh 0.69 MWh 26

27 Myynti (1000 ) Presemo-kysymys Taulukossa on dataa pikaruokaravintolaketjun kvartaalikohtaisesta myynnistä eri kokoisissa kaupungeissa. Ketjun johtajat harkitsevat uuden ravintolan avaamista kaupungissa, jossa on asukasta. Mikä on lineaariseen malliin perustuva ennuste kvartaalikohtaiselle myynnille uudessa ravintolassa? As.määrä (tuhatta) Myynti (1000 ) Asukasmäärä (tuhatta as.)

28 Lineaarinen interpolointi Lineaarinen interpolointi vastaa paloittain lineaarisen funktion määrittämistä Aiemmin todettiin, että paloittain lineaarisella funktiolla voidaan approksimoida mitä tahansa funktiota Jos havaintopisteet on valittu (tai ovat valikoituneet) sopivasti, lineaarinen interpolointi toimii hyvin todellisesta funktiomuodosta huolimatta Mutta jos havaintopisteet on valittu (tai ovat valikoituneet) huonosti, myös lineaarinen interpolointi toimii huonosti 28

29 Populaation koko Kiitospäivä Ekstrapolointi Kuvalähde: Taleb, N The black swan: the impact of the highly improbable. Random House, New York. Ekstrapolointi tarkoittaa muuttujien välisen yhteyden arviointia havaintopisteiden ulkopuolella (lat. extra) Tämä on usein vaarallista toimintaa Aika Historiadataan pohjautuvien ennusteidemme perusteella populaatiomme voi odottaa yhä kasvavan; suhtaudumme tulevaan kiitospäiväsesonkiin luottavaisin mielin. 29

30 Yhteenveto paloittain lineaarisesta funktiosta Paloittain lineaarisella funktiolla voidaan approksimoida mitä tahansa funktiota Lineaarista interpolointia käytetään, kun Tarkasteltavista muuttujista on saatavilla vain joitakin havaintopisteitä, Muuttujien välinen yhteys voidaan olettaa lineaariseksi havaintopisteiden välillä, ja Muuttujien välistä yhteyttä halutaan arvioida näillä väleillä Lineaarinen interpolointi vastaa paloittain lineaarisen funktion rakentamista havaintopisteiden määrittämille väleille 30