Talousmatematiikan perusteet: Luento 5. Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus

Transkriptio

1 Talousmatematiikan perusteet: Luento 5 Käänteisfunktio Yhdistetty funktio Raja-arvot ja jatkuvuus

2 Tähän mennessä Funktiolla f: A B, y = f x kuvataan muuttujan y B riippuvuutta muuttujasta x A Jotta funktio f: A B olisi hyvin määritelty, tulee sen kuvata jokainen lähtöjoukon A alkio yksikäsitteisesti arvojoukkoon V f B Funktiotyyppejä Polynomifunktio f: R R, f x = a 0 + a 1 x + a 2 x a n x n Potenssifunktio f: R R, f x = x n Eksponenttifunktio f: R R ++, f x = a x, missä a > 0, a 1 Logaritmifunktio f: R ++ R, y = f x = log a x, missä a > 0, a 1 2

3 Tällä luennolla Käänteisfunktio f 1 : Funktio f: A B, y = f x kuvaa y :n riippuvuutta x :stä Mikä on funktio f 1 : B A, x = f 1 y, joka kuvaa x :n riippuvuutta y :stä? Yhdistetty funktio g f : Funktio g: B C, z = g y, Jonka muuttuja y on jokin toinen funktio f: A B, y = f x, Voidaan esittää yhdistettynä funktiona g f: A C, z = g f (x) Raja-arvot ja jatkuvuus 3

4 Käänteisfunktio Esim. Kaukolämpölaskua y kulutuksen x funktiona kuvaa f: R ,, f x = 16.10x = y Jos lasku on 200, mikä oli kulutus? 16.10x = 200 x = = MWh Sama kysymys voidaan esittää mille tahansa laskulle y [20.30, ), jolloin saadaan kulutus x laskun y funktiona g: 20.30, R +, g y = y = x Funktiota g kutsutaan funktion f käänteisfunktioksi, ja siitä käytetään merkintää f 1 4

5 Käänteisfunktion olemassaolo Luennolta 3: Jotta funktio f: A B olisi hyvin määritelty, tulee sen kuvata jokainen määrittelyjoukon alkio yksikäsitteisesti arvojoukkoon, eli 1. Jokaiselle x A pitää löytyä kuva y = f(x) V f 2. Jokaisen x A pitää kuvautua täsmälleen yhdelle arvojoukon alkiolle y = f(x) V f Jotta käänteisfunktio f 1 on olemassa, tulee samojen ehtojen toteutua myös sille 1. Jokaiselle y B pitää löytyä lähtöjoukon alkio x = f 1 y A f :n maalijoukon B on oltava arvojoukko V f 2. Jokaisen y B pitää liittyä täsmälleen yhteen lähtöjoukon alkioon x = f 1 (y) A f :n on kuvattava kaikki lähtöjoukon alkiot x A eri alkioiksi y o A o o f f 1 o V f o o o B o 5

6 Surjektio, injektio ja bijektio f: R R, f x = x 2 Funktio f on surjektio (onto), jos sen kuvat y täyttävät maalijoukon (eli arvojoukko = maalijoukko) Funktio f on injektio (one-to-one), jos se kuvaa kaikki lähtöjoukon alkiot maalijoukon eri alkioille. f: R + R +, f x = x 2 Funktio f on bijektio, jos se on sekä surjektio että injektio Käänteisfunktio on olemassa jos ja vain jos f on bijektio 6

7 Käänteisfunktion olemassaolo f: R R, f x = x 2 Esim. Funktiolla f: R R, y = f x = x 2 ei ole käänteisfunktiota, koska se ei ole Injektio: jotkin lähtöjoukon alkiot kuvautuvat samalle maalijoukon alkiolle, esim. f 1 = f 1 = 1 Surjektio: maalijoukkoon R kuuluu alkioita (kaikki negatiiviset luvut), joille mikään lähtöjoukon alkioista ei kuvaudu. f: R + R +, f x = x 2 Esim. Funktio f: R + R +, y = f x = x 2 on bijektio, eli sillä on käänteisfunktio f 1 : R + R +, x = f 1 y = y 7

8 Tuttuja sovelluksia käänteisfunktiosta Esim. Kimmo lainaa % nimellisellä vuosikorolla siten, että korkoa lisätään kuukausittain. Mikä tällöin efektiivinen vuosikorko p e? Efektiivinen vuosikorko nimellisen vuosikoron funktiona: p e = f p = p/ f 5 = / = Mikä nimellisen vuosikoron olisi oltava, jotta efektiivinen vuosikorko olisi 5%? Funktio f: R + R +, f p = p/ Nimellinen korko efektiivisen koron funktiona saadaan käänteisfunktiolla p = f 1 p e : p = f 1 p e = on bijektio p e f1 5 =

9 Tuttuja sovelluksia käänteisfunktiosta Lääkeen valmistuksessa käytettävän bakteerikannan suuruutta B (kpl) ajan x (h) suhteen kuvaa funktio f: R R ++, B = f x = x. Kuinka paljon bakteereja on kolmen tunnin kuluttua? f 3 = = Kauanko kestää, että bakteereja on kpl? f: R R ++, f x = x on bijektio Kulunut aika bakteerien lukumäärän funktiona on käänteisfunktio f 1 B : R + R: B = f x = x x = f 1 ln B ln B = ln 2 x = f 1 ln ln ln = = 3h 19min ln 2 ln 2 9

10 Käänteisfunktiopareja Lineaarinen & lineaarinen: y = f x = ax + b x = f 1 y = 1 a y b a Potenssifunktio & potenssifunktio (juurifunktio) y = f x = x n x = f 1 y = y 1 n = n y Eksponenttifunktio & logaritmifunktio y = f x = a x x = f 1 y = ln y ln a y = f x = a x Laitoksen nimi 10

11 Presemo-kysymys Määritä funktion y = f x = 2x + 7 käänteisfunktio. 1. f 1 y = 1 y f 1 y = 2y 7 3. f 1 y = 7 2 y

12 Presemo-kysymys Auton arvoa v ostohetkestä kuluneen ajan t suhteen kuvaa funktio f: R + (800, ), v = f t = t. Määritä funktio g = f 1, joka kuvaa ostohetkestä kulunutta aikaa t auton arvon v funktiona. 1. g: (800, ) R +, t = g v = 2. g: (800, ) R +, t = g v = ln vln ln 0.8 ln vln g: (800, ) R +, t = g v = 1 ln ln v 800 ln

13 Yhteenveto käänteisfunktiosta Funktio f: A B, y = f x kuvaa y :n riippuvuutta x :stä käänteisfunktio f 1 : B A, x = f 1 y kuvaa x :n riippuvuutta y :stä Käänteisfunktio f 1 on olemassa, jos f on injektio (one-to-one), eli kuvaa kaikki lähtöjoukon alkiot maalijoukon eri alkioille. f on surjektio (onto), eli f:n maalijoukko B on arvojoukko V f Käänteisfunktiopareja: Lineaarinen & lineaarinen: y = f x = ax + b x = f 1 y = 1 a y b a Potenssifunktio & potenssifunktio: y = f x = x n x = f 1 y = y 1 n = n y Eksponenttifunktio & logaritmifunktio: y = f x = a x x = f 1 y = ln y ln a 13

14 Yhdistetty funktio Esim. Kiinteistöyhtiö ostaa kaukolämpöeriä samaan konserniin kuuluvalta tehtaalta maksamalla kiinteän kuukauksimaksun ja sen lisäksi / MWh. Yhtiö myy kaukolämmön edelleen kuluttajille 50% korotettuun hintaan ja veloittaa käsittelymaksuna kuussa. Kuinka paljon kuluttaja maksaa kuussa x MWh:n kulutuksesta? 1. Kiinteistöyhtiön tehtaalle maksama hinta y ostetun määrän x funktiona: f: R ,, y = f x = 16.10x Kuluttajan maksama hinta z kiinteistöyhtiön maksaman hinnan y = 16.10x funktiona: g: 20.30, 55.45,, z = g y = 1.5y Esimerkiksi 5 MWh:n kulutuksesta 1. Yhtiö maksaa tehtaalle f 5 = = ja 2. Kuluttaja maksaa yhtiölle g = =

15 Yhdistetty funktio Kuluttajan maksama hinta z muodostuu vaiheittain: Ensin sisempi funktio f kuvaa määrän x muuttumisen kiinteistöyhtiön maksamaksi hinnaksi y, ja Sitten ulompi funktio g kuvaa yhtiön maksaman hinnan y kuluttajan maksamaksi hinnaksi z. Jos halutaan oikaista yhtiön maksaman hinnan y ohi, voidaan käyttää yhdistettyä funktiota g f x = g f(x) (Luetaan g pallo f ) Tässä esimerkissä g f x = g f(x) = 1.5f x = x = 24.15x f g Tehdas x R + (MWh) Kiinteistöyhtiö y = f x 20.30, ( ) Kuluttaja z = g y 55.45, ( ) g f 15

16 Yhdistetty funktio Esim. Rape on ottanut viideksi vuodeksi euron muuttuvakorkoisen annuiteettilainan, jonka kuukausikorko on summa marginaalista 0.7% ja 1 kk:n euriborista. Mikä on kuukausierän suuruus euribor-koron ollessa e? 1. Sisäfunktio kuvaa kuukausierän korkokerrointa r euribor-koron e funktiona: f: R R, r = f e = e 2. Ulkofunktio kuvaa kuukausierän b suuruutta korkokertoimen r funktiona: g: R R, b = g r = r (r1) r Yhdistetty funktio kuvaa kuukausierän suuruutta b euribor-koron e funktiona: g f e = g(f e ) = (1.007+e) (0.007+e) (1.007+e)

17 Yhdistetyn funktion käyttö 1. Sovelluksissa monet funktiot muodostuvat vaiheittain 2. Monet funktiot voidaan hahmottaa kahden tai useamman funktion yhdistettynä funktiona, mikä helpottaa esimerkiksi derivointia ja integrointia tähän palataan myöhemmin! 17

18 Raja-arvot Esim. Funktiota f: R\ {0} R, f x = 1+x 2 1 ei ole määritelty x pisteessä x = 0, mutta Nollan välittömässä läheisyydessä näyttäisi pätevän f x = 2 Merkitään lim x 0 f(x) = 2: Funktion f raja-arvo pisteessä x = 0 on 2 18

19 Raja-arvo pisteessä x 0 Yleisesti: jos funktion f arvot f(x) lähestyvät arvoa a, kun x lähestyy arvoa x 0, Merkitään: lim f(x) = a x x0 Sanotaan: Funktion f raja-arvo pisteessä x = x 0 on a Esim. Määritä 2x lim 2 +x x 0 x 42x lim. x 2 2x. Ratkaisu: 2x2 +x = 2x + 1 1, kun x 0. x Ratkaisu: 42x = 2(2x) = 2, kun x 2. 2x 2x 19

20 Toispuoleiset raja-arvot pisteessä x 0 Esim. Funktiota f: R\ {0} R, f x = x ei ole x määritelty pisteessä x = 0, mutta se näyttäisi lähestyvän arvoa -1, kun x lähestyy nollaa vasemmalta puolelta 1, kunx lähestyy nollaa oikealta puolelta Merkitään lim f(x) = 1 f :n vasemmanpuoleinen raja-arvo on -1 x 0 f(x) = 1 f :n oikeanpuoleinen raja-arvo on 1 lim x 0+ Koska oikean- ja vasemmanpuoleiset raja-arvot ovat x erisuuret, raja-arvoa lim ei ole olemassa. x 0 x 20

21 Raja-arvot + ja pisteessä x 0 Esim. Funktio f: R\ {0} R, f x = 1 x 2 ei ole määritelty pisteessä 0, mutta Nollaa lähestyttäessä f x näyttäisi kasvavan rajatta kohti ääretöntä 1 Merkitään lim = x 0 x 2 21

22 Raja-arvot + ja pisteessä x 0 Esim. Funktiota f: R\ {0} R, f x = 1 x määritelty pisteessä 0, mutta ei ole Kun lähestytään nollaa vasemmalta puolelta, f x näyttäisi vähenevän rajatta kohti miinus ääretöntä 1 lim x 0 x = Kun lähestytään nollaa oikealta puolelta, f x näyttäisi kasvavan rajatta kohti ääretöntä 1 lim x 0+ x = + 22

23 Raja-arvo, kun x tai x Esim. funktio f: R\ {0} R, f x = 1 x Kun x, funktio näyttää lähestyvän 1 nollaa: lim = 0 x + x Kun x, funktio näyttää myös 1 lähestyvän nollaa: lim = 0 x x Yleisesti: lim x ± x 1 n = 0, kun n 1 23

24 Raja-arvojen määrittäminen Raja-arvon ja sen ominaisuuksien täsmällinen käsittely ja todistukset sivuutetaan tällä kurssilla Ns. selkeissä tapauksissa raja-arvo (ja sen olemassaolo) voidaan kuitenkin helposti määrittää Esim. Määritä lim 3x2 +1. x 2x 2 +2 lim 3x3. x 2x 2 +2 lim sin x. x Ratkaisu: 3x2 +1 Ratkaisu: = 3+ 2x x x x x 2 3 2, kun x x, kun x Ratkaisu: Raja-arvoa ei ole olemassa. 24

25 Raja-arvojen määrittäminen Hankalammissa tapauksissa kannattaa taulukoida funktion arvoja raja-arvoa koskevan hypoteesin tueksi Esim. Määritä lim x e 2x +8x 3 x +4x 2 e Taulukon ja kuvan perusteella lim 2x +8x = 0 x 3 x +4x 2 Täsmällisemmin: lim x e 2x +8x 3 x +4x 2 = lim x e x 1+ 8x e 2x 3 x (1+ 4x2 3 x ) e 3 x 0. 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,

26 Presemo-kysymys Määritä raja-arvo lim x 3 2x6 3x /

27 Presemo-kysymys Määritä raja-arvo lim x 2x 2 +x 2+3x /

28 Jatkuvuus Funktio on jatkuva, jos sen kuvaaja on katkeamaton, yhtenäinen käyrä. Täsämällisemmin: Oletetaan, että funktio f on määritelty pisteen x 0 ympäristössä. Funktio on jatkuva pisteessä x 0, jos lim f(x) = f(x 0 ) x x 0 2. Raja-arvo x 0 :ssa on olemassa 1. f on määritelty x 0 :ssa 3. Raja-arvo x 0 :ssa on sama kuin funktion arvo x 0 :ssa 28

29 Esimerkkejä pisteessä x 0 = 0 epäjatkuvista funktioista Funktio on jatkuva pisteessä x 0, jos 1. f on määritelty x 0 :ssa 2. Raja-arvo x 0 :ssa on olemassa 3. Raja-arvo x 0 :ssa on sama kuin funktion arvo x 0 :ssa 29

30 Jatkuvuus välillä (a,b) Funktio on jatkuva Avoimella välillä a, b, jos se on jatkuva kaikilla x (a, b) Suljetulla välillä [a, b], jos se on jatkuva avoimella välillä a, b ja lisäksi lim f(x) = f(a) ja lim f(x) = f(b) x a+ x b lim x π tan x = 2 Esim. Funktio f: π 2, π 2 R, f x = tan x on Jatkuva avoimella välillä π, π 2 2 (määrittelyjoukossaan) lim x π tan x = 2 + Epäjatkuva suljetulla välillä [ π, π ], koska 2 2 funktiota ei ole määritelty pisteissä π, π

31 Esimerkkejä määrittelyjoukoissaan jatkuvista funktioista Eksponenttifunktiot Polynomifunktiot Trigonometriset funktiot Potenssifunktiot Logaritmifunktiot 31

32 Yhteenveto raja-arvoista ja jatkuvuudesta Yleisesti: jos funktion f arvot f(x) lähestyvät arvoa a, kun x lähestyy arvoa x 0, Merkitään: lim f(x) = a x x0 Sanotaan: Funktion f raja-arvo pisteessä x = x 0 on a Toispuoleisia raja-arvoja merkitään lim f(x) = a ja lim f(x) = b x x 0 + x x 0 Funktio on jatkuva pisteessä x 0, jos lim x x0 f(x) = f(x 0 ), eli Funktio on määritelty pisteessä x 0 Raja-arvo x 0 :ssa on olemassa Raja-arvo x 0 :ssa on sama kuin funktion arvo x 0 :ssa 32