Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. a(x) = U (x) U (x)

Transkriptio

1 Arvo (engl. value) = varmaan attribuutin tulemaan liittyvä arvo. Hyöty (engl. utility) = arvo, jonka koemme riskitilanteessa eli, kun teemme päätöksiä epävarmuuden (todennäköisyyksien) vallitessa. Vrt. Mat Päätöksenteko ja ongelmanratkaisu. Hyötyfunktio liittää kuhunkin varallisuustasoon hyödyn siten, että riskiä sisältävät vaihtoehdot voidaan saattaa paremmuusjärjestykseen hyödyn odotusarvon perusteella. E[U(x)] > E[U(y)] vaihtoehto x mieluisampi kuin vaihtoehto y Hyötyteoriassa lähtökohtana kyltymättömyys eli "aina halutaan lisää". Toisin sanoen hyötyfunktio on kasvava. Päätöksentekijä on riskipakoinen, jos hyötyfunktio on konkaavi. Mitä "konkaavimpi"hyötyfunktio on, sitä enemmän päätöksentekijä haluaa karttaa riskiä. Arrow-Prattin absoluuttinen riskipakoisuuskerroin a(x) = U (x) U (x) Satunnaismuuttujaa x vastaava varmuusekvivalentti CE on se varma tulos, joka on yhtä mieluisa kuin x U(CE) = E[U(x)] Lineaarinen hinnoittelu: monesta kohteesta koostuvan portfolion hinta on siihen sisältyvien kohteiden hintojen summa: 1. Portfoliossa θ = (θ 1,..., θ n ) kohdetta i on θ i kpl 2. Periodin päättyessä kohteesta i saadaan kassavirta d i, joka voi olla satunnainen 3. Kohteen i hinta on P i 4. Portfoliosta saadaan tuotto d = θ i d i ja sen hinta P = i=1 θ i P i i=1 Forward-sopimus (termiinisopimus) on sitoumus, joka velvoittaa ostamaan tai myymään tietyn määrän hyödykettä tiettyyn hintaan sopimuksessa määritettynä ajanhetkenä. Forward-hinta F on se hinta, jolla toimitus tehdään. Hinta sovitaan yleensä siten, että sopimuksen arvo on sen tekohetkellä nolla. Hyödykkeen arvo määrittyy kulloinkin spot-markkinoilla. Sanotaan, että hyödykkeen ostajalla on pitkä positio ja hyödykkeen toimittajalla lyhyt positio.

2 Jos varastointikustannuksia ei ole niin forward-hinta määrittyy forward-koroista: 1. Otetaan lyhyt positio eli sitoudutaan myymään 2. Ostetaan hyödykettä heti markkinoilta hintaan S ja varastoidaan se 3. Toimitetaan se forward-hintaan F sopimuksessa määritettynä ajanhetkenä T Sitoumuksen arvon tulee olla kummankin osapuolen (myyjän ja ostajan) kannalta nolla eli kassavirran (-S,F) nykyarvon on oltava nolla. S + d(0, T )F = 0 F = missä d(0, T ) on diskonttokerroin aikavälillä 0 T. S d(0, T ), Jos varastointiin liittyy kustannuksia niin forward-hinta määräytyy seuraavasti M 1 S + k=0 d(0, k)c(k) + d(0, M)F = 0 F = M 1 S d(0, M) + c(k) d(k, M), missä M on periodien lukumäärä, c(k) varastoinnin yksikkökustannus periodista k periodiin k + 1 ja d(a, b) diskonttokerroin aikavälillä a b. Forward-sopimuksen arvo muuttuu kohde-etuuden arvon muuttuessa. Olkoon aiemmin tehdyn forwardsopimuksen forward-hinta F 0 ja forward-hinta F t hetkellä t > 0. Tällöin aiemman sopimuksen arvo on pitkän position haltijan (so. ostajan) kannalta π(t) = (F t F 0 )d(t, T ) = F t F 0 (1 + f t,t ) T t k=0

3 1. (L9.1) Meklarin hyötyfunktio palkkatason suhteen on u(x) = x 1/4. Hän on saanut työtarjouksen, joka sisältää euron palkan sekä bonuksen. Bonuksen suuruus on yhtä todennäköisesti joko 0, , , , , tai euroa. Mikä on työtarjouksen varmuusekvivalentti? u(ce[x]) = E[u(X)] CE[X] = u 1 (E[u(X)]) u(x) = x 1/4 u 1 (x) = x 4 Bonus Palkka+bonus u(x) p(x) p(x) u(x) / / / / / / / Toisin sanoen E[u(X)] = CE[X] = u 1 (E[u(X)]) = =

4 2. (L9.10) Sijoittaja voi sijoittaa n kohteeseen, joiden tuottoja kuvataan satunnaismuuttujilla r i, i = 1, 2,..., n, sekä yhteen riskittömään kohteeseen, jonka tuotto on r f. Sijoittajan hyötyfunktio on u ja alkupääoma W 0. Olkoon sijoittajan optimaalisen portfolion tuotto x, joka on siis satunnaismuuttuja. Osoita, että E[u (x )(r i r f )] = 0 i = 1, 2,..., n. r i sijoituskohteen i tuottoprosentti d i sijoituskohteen i hinta vuoden päästä P i sijoituskohteen i hinta nyt θ i sijoituskohteen i ostomäärä W 0 sijoittajan alkupääoma Pätee d i = R i P i = (1 + r i )P i. Olkoon riskittömän sijoituskohde numero 0 eli r 0 = r f. On ratkaistava portfolion valintatehtävä eli maksimoidaan sijoittajan hyötyfunktion odotusarvoa siten, että ostettavien sijoituskohteiden hinta ei ylitä alkupääomaa. max θ s.t. E[u( θ i d i )] θ i P i W 0 Koska hyötyfunktio u on kasvava funktio täytyy rajoitusehdon optimaalisessa tapauksessa toteuttaa yhtäsuuruus eli tehtävä voidaan kirjoittaa muotoon max θ s.t. E[u( θ i d i )] θ i P i = W 0 olla optimissa 0. Olkoon x optimiportfolio ja sitä vastaavat ostomäärät θi Tämän Lagrangen funktio on L = E[u( θ i d i )] λ( P i W 0 ), jonka kaikkien osittaisderivaattojen tulee i = 0,..., n. x = θi d i Derivoidaan kaikkien θ i :den suhteen ja saadaan

5 E[u (x )d i = λp i i = 0,..., n. Jakamalla P i :llä ja huomioimalla, että d i = R i P i = (1 + r i )P i saadaan E[u (x )R i ] = E[u (x )(1 + r i )] = E[u (x )] + E[u (x )r i ] = λ. Lasketaan seuraavaksi erotus sijoituskohteen i = 1,..., n ja riskivapaan sijoituskohteen (i = 0) odotusarvojen välille E[u (x )] + E[u (x )r i ] (E[u (x )] + E[u (x )r f ]) = λ λ = 0, mistä saadaan, että E[u (x )(r i r f )] = 0 m.o.t.

6 3. (L10.1) Kullan nykyinen hinta on $412 unssilta. Kullan varastointi maksaa $2 unssilta vuodessa. Varastointikustannus maksetaan neljännesvuosittain etukäteen kunkin neljännesvuoden alussa. Jos vuosikorkoa 9% sovelletaan neljännesvuosittain, niin mikä on kultaunssin teoreettinen 9 kuukauden forward-hinta? Tiedetään, että 3 kuukauden välein erääntyvä vuosikorko on 9%. Oletetaan,e ttä forward-korot jokaiselle vuoden neljälle periodille on samat eli r 3kk = 9%/4 = 2.25%. Kullan nykyinen hinta S = $412 ja varastointi maksaa neljännesvuosittain c(k) = $2. Termiinin hinnaksi saadaan T 1 F = S(1 + s T ) T + c(k)(1 + f k,t ) T k = $ k=0 eli preemiota joudutaan maksamaan $ $412 = $30.01.

7 4. (L10.7) Eräs maturiteetiltaan 10-vuotinen joukkovelkakirja maksaa tällä hetkellä $920. Omistat joukkovelkakirjaan kohdistuvan forward-sopimuksen, jonka toimitusaika on vuosi ja toimitushinta $940. Joukkovelkakirjasta saadaan $80:n suuruinen kuponkimaksu puolivuosittain. Ensimmäinen kuponkimaksu saadaan 6 kuukauden päästä ja toinen vuoden päästä juuri ennen joukkovelkakirjan toimitusta. Puolivuosittain sovellettavat vuosikorot ovat kuudelle kuukaudelle 7% ja vuodelle 8% (ilmoitetaan vuosikorkona, lasketaan puolivuosittain). Mikä on forward-sopimuksen arvo? Olkoon π forward-sopimuksen arvo (huom. kirjassa f), F t uuden sopimuksen forward-hinta ja f ij forward korko. Tällöin omistetun forward-sopimuksen (forward-hinta F 0 ) arvo ajanhetkellä t on π(t) = F t F 0 (1 + f t,t ) T t Nyt joukkovelkakirja maksaa S = $920, forward-sopimuksen toimitushinta F 0 = $940 ja kuponkimaksu c(k) = $80. Spot-korot ovat Näistä saadaan laskettua lyhyet korot (1 + s 6kk ) 2 = 1.07 s 6kk = 3.44%(1 + s 1v ) 2 = 1.08 s 1v = 3.92% r 0kk = 3.44% r 6kk = 4.41% Uuden forward-sopimuksen forward-hinnaksi saadaan F t = $ Ja tästä edelleen omistetun forward-sopimuksen arvo F t F 0 = $ , jonka nykyarvo on $ Toisin sanoen sopimus on selvästi tappiollinen.