Talousmatematiikan perusteet: Luento 17. Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa

Transkriptio

1 Talousmatematiikan perusteet: Luento 17 Integraalin sovelluksia kassavirta-analyysissa Integraalin sovelluksia todennäköisyyslaskennassa

2 Motivointi Kahdella edellisellä luennolla olemme oppineet integrointisääntöjä Tällä luennolla tarkastelemme integroinnin tyypillisiä kauppatieteellisiä sovelluksia keskittyen erityisesti Kassavirta-analyysiin Todennäköisyyslaskentaan 2

3 Sovelluksia kassavirta-analyysiin Luennolla 2 käsittelimme sarjoja Sarjojen teoriaa sovellettiin diskreettiaikaiseen kassavirtaanalyysiin Esim. korkojen ja lainasummien laskemiseen, kun lainaa otetaan tai maksetaan diskreetteinä ajanhetkinä Integrointia voidaan vastaavasti soveltaa jatkuva-aikaiseen kassavirta-analyysiin Esim. korkojen ja lainasummien laskemiseen, kun lainaa otetaan tai maksetaan jatkuvasti 3

4 Sovelluksia kassavirta-analyysiin Esim. Opiskelija lainaa kunkin opiskeluvuoden alussa % vuosikorolla ja maksaa koko summan korkoineen takaisin seitsemän vuoden opintojen päätyttyä. Kuinka paljon maksettavaa kertyy kaiken kaikkiaan? Pylvään pinta-ala t 1 : kertynyt summa t vuotta ennen opintojen päättymistä otetulle 6000 lainasummalle Maksettava summa eli kassavirtojen tuleva arvo FV (future value) on geometrisen sarjan osasumma: s 7 = σ7 t= t = σ7 t= t1 = ( )

5 Sovelluksia kassavirta-analyysiin Esim. Opiskelija lainaa rahaa jatkuvasti 6000 vuosivauhdilla. Nimellinen vuosikorko on 4% ja sitä kerrytetään jatkuvasti. Opiskelija maksaa koko summan korkoineen takaisin seitsemän vuoden opintojen päätyttyä. Kuinka paljon maksettavaa kertyy kaiken kaikkiaan? Äärettömän kapean pylvään pinta-ala 6000 e 0.04t dt : kertynyt summa t vuotta ennen opintojen päättymistä otetulle 6000dt :n lainasummalle Lainattava summa infitesimaalisen pienellä aikavälillä dt: 6000dt Korkokerroin hetkellä t lainattavalle summalle: e 0.04t Maksettava summa FV on määrätty integraali: 5

6 Sovelluksia kassavirta-analyysiin Terttu on ottanut 10 vuoden annuiteettilainan, jota hän maksaa takaisin :n vuosierillä aina vuoden lopussa. Korkokanta on 5%, ja sitä kerrytetään vuosittain. Kuinka suuri on Tertun ottama laina (eli lainan nykyarvo)? Pylvään pinta-ala t 1: t vuoden kuluttua maksettavan :n erän nykyarvo. Kassavirtojen nykyarvo PV (present value) on geometrisen sarjan osasumma: s 10 = σ 10 t= = σ 10 t= t t1 =

7 Sovelluksia kassavirta-analyysiin Terttu päättääkin maksaa 10 vuoden annuiteettilainaansa takaisin jatkuvasti :n vuosivauhtia. Korkokanta on 5%, ja sitä kerrytetään niin ikään jatkuvasti. Kuinka suuren lainan Terttu tällöin saa? Äärettömän kapean pylvään pinta-ala e 0.05t dt : t vuoden kuluttua maksettavan dt :n erän nykyarvo. Maksuerä infitesimaalisen pienellä välillä: 10000dt Diskonttotekijä hetkellä t (vuosissa) = e 0.05t Nykyarvo: 7

8 Sovelluksia todennäköisyyslaskentaan Integrointia käytetään jatkuva-arvoisten satunnaismuuttujien todennäköisyysjakaumien yhteydessä Tapahtumatodennäköisyyksien määrittämiseen Erilaisten jakaumatunnuslukujen laskemiseen (odotusarvo, varianssi, vinous, huipukkuus, ehdolliset odotusarvot jne) Tällä kurssilla tarkastelemme lyhyesti tasajakaumaan ja eksponenttijakaumaan liittyvien todennäköisyyksien ja tunnuslukujen määrittämistä 8

9 Tasajakauman tiheysfunktio Esim. Bussin vuoroväli on 10 min ja pysäkille mennään ilman aikataulua. Kuinka todennäköistä on, että odotusaika on yli 6 min? Kuinka suuri on keskimäärin odotettavissa oleva odotusaika? Odotusaika on jatkuva satunnaismuuttuja X, jonka arvo x on yhtä todennäköisesti mitä tahansa 0 min ja 10 min välillä X noudattaa tasajakaumaa: X~Uni 0,10 Mallina tasajakaumalle Uni 0,10 on tiheysfunktio f X : R R + 0.1, kun x [0,10] fx x = ቊ 0, muualla = Todennäköisyyttä P(a X b), että satunnainen odotusaika X on välillä [a, b] vastaa tiheysfunktion f X x ja x-akselin väliin jäävä pinta-ala eli määrätty integraali P a X b = න a b f X x dx P X > 6 = න 6 f X x dx = 10 න 0.1dx = =

10 Tasajakauman kertymäfunktio Todennäköisyyttä, että satunnaismuuttuja X saa enintään arvon x kutsutaan X:n kertymäfunktioksi: f X x = ቊ 0.1, kun x [0,10] 0, muualla x F X x = P X x = fx t dt, missä f X t on satunnaismuuttujan X tiheysfunktio. P X 6 = 6 න 0 f X (x)dx = 0.6 Kertymäfunktion yleiset ominaisuudet 1. F X x on ei-vähenevä 2. lim F X x = 1 ja lim X x = 0 x x 3. P X > x = 1 F X x 4. P a X b = F X b F X a 0, kun x < 0 F X x = ቐ0.1x, kun x [0,10] 1, kun x > 10 P X 6 = F 6 = 0.6 Edellä laskettu P X > 6 saadaan siis myös P X > 6 = 1 F X 6 = =

11 Tasajakauman odotusarvo Keskimäärin odotettavissa olevaa satunnaismuuttujan X arvoa sanotaan odotusarvoksi E[X] Määritelmä: E X = න xf X x dx Odotusarvo satunnaismuuttujan arvojen todennäköisyyksillään painotettu keskiarvo Huomaa kuitenkin, että f X x ei kuvaa todennäköisyyttä P(X = x) Edellä 11

12 Tasajakauman yleiset ominaisuudet Tasajakaumaa käytetään mallina tilanteissa, joissa jatkuva-arvoisesta satunnaismuuttujasta tiedetään vain sen vaihteluväli [a, b] Tällöin on perusteltua olettaa, että kaikilla välin pisteillä on sama todennäköisyys Tasajakautuneen satunnaismuuttujan X~Uni(a, b ) yleiset ominaisuudet: Tiheysfunktio f X : R R +, f X x = ቐ 1, ba Kertymäfunktio F X : R R +, F X x = Odotusarvo E X = a+b 2 kun x [a, b] 0, muualla xa, ba 0, kun x < a kun x [a, b] 1, kun x > b Kokeile itse johtaa kertymäfunktio ja odotusarvo tiheysfunktiosta! 12

13 Eksponenttijakauman tiheysfunktio Esim. Tutkimusten perusteella mutusäilykkeen säilyvyys (vrk) on eksponenttijakautunut satunnaismuuttuja parametrilla : X~Exp(0.0019) Tällaisen jakauman tiheysfunktio on määritelmän mukaan f X x = ቊ e0.0019x, kun x 0 0, kun x < 0 13

14 Eksponenttijakauman kertymäfunktio Kertymäfunktion saa integroimalla: F X x = x fx t dt x F X x = e t dt = e t + 1, kun x 0 x F X x = 0dt = 0, kun x < 0 F X x = ቊ 1 e0.0019x, kun x 0 0, kun x < 0 14

15 Eksponenttijakauman kertymäfunktio Mikä on todennäköisyys, että mutusäilyke säilyy yli vuoden? Ratkaisu saadaan joko integroimalla tiheysfunktiota: 1 F X 365 Tai suoraan kertymäfunktiosta: P X > 365 = 1 F X F X 365 = 1 1 e = e F X 365 Siispä odotettavissa on, että n. 50% säilykkeistä säilyy yli vuoden 15

16 Eksponenttijakauman odotusarvo Mikä on keskimäärin odotettavissa oleva säilyvyys eli säilyvyyden odotusarvo? E X = න xf X x dx = න 0 x e x dx Valitaan osittaisintegrointiin f x = x ja g (x) = e x f x = 1 ja g x = e x Tällöin 16

17 Eksponenttijakauman käyttö Eksponenttijakaumaa Exp λ käytetään mallintamaan kahden tapahtuman välissä kuluvaa aikaa, kun tapahtuma tapahtuu keskimäärin λ kertaa aikayksikössä Esim. Mutusäilyke pilaantuu keskimäärin kertaa vuorokaudessa. Tällöin (ensimmäiseen) pilaantumiseen kuluva aika X~Exp(0.0019). Esim. Asiakaspalvelija käsittelee keskimäärin 10 asiakasta tunnissa. Tällöin yhden asiakkaan palvelemiseen kulunut aika X~Exp(10). Esim. Teknisen systeemin komponentti vikaantuu keskimäärin 2 kertaa vuodessa. Tällöin vikaantumisten välinen aika X~Exp(2). 17

18 Eksponenttijakauman yleiset ominaisuudet Eksponenttijakautuneen satunnaismuuttujan X~Exp(λ) yleiset ominaisuudet: Tiheysfunktio f X : R R +, f X x = ቊ λeλx, kun x 0 0, kun x < 0 Kertymäfunktio F X : R R +, F X x = ቊ 1 eλx, kun x 0 0, kun x < 0 Odotusarvo E X = 1 λ 18

19 Eksponenttijakauma Esim. Mikä on asiakaspalveluajan X (h) odotusarvo, kun X~Exp 10? Entä todennäköisyys sille, että asiakkaan palveleminen kestää yli 20 min? Entä alle 2 min? 6 min, 3.6%, 28%. Esim. Kuinka pitkään komponentti keskimäärin kestää vikaantumatta, kun vikaantumisten väliaika X~Exp 2 (vuotta)? Mikä on todennäköisyys sille, että komponentti kestää vikaantumatta yli vuoden? Entä alle kuukauden? 0.5 vuotta, 13.5%, 15.4% 19

20 Eksponenttijakauma Excelissä Eksponenttijakauman Exp(λ) tiheys- ja kertymäfunktion arvoja voi laskea Excelissä funktiolla EXPON.DIST(x;lambda;cumulative) Kohta, jossa funktion arvo lasketaan Jakauman parametri λ 0, jos tiheysfunktio; 1, jos kertymäfunktio Esim. Satunnaismuuttujan X~Exp 2 Tiheysfunktion arvo f X 1.5 : =EXPON.DIST(1.5;2;0) Kertymäfunktion arvo F X 0.5 : =EXPON.DIST(0.5;2;1) F X 0.5 = P(X 0.5) f X 1.5 ; arvolla ei ole todennäköisyystulkintaa 20

21 Muita tyypillisiä sovelluksia (ei tarvitse osata tentissä) CVaR α -riskimitta (Conditional Value-at-Risk) riskitasolla α (esim. α = 5%): CVaR α = E X X < VaR α VaR α = xf X x dx VaR α f X x dx CVaR 0.05 = VaR 0.05 = CVaR α on siis satunnaismuuttujan X odotusarvo sillä ehdolla, että X realisoituu jakaumansa huonoimmassa α-hännässä Esim. Tuotto noudattaa normaalijakaumaa odotusarvolla ja keskihajonnalla Tällöin on 5% todennäköisyys, että tuotto on pienempi kuin (eli VaR 0.05 = F X = 0.05). Tuoton odotusarvo sillä ehdolla, että se jää alle :n on (eli CVaR 0.05 = E X X < = 3 136) 21

22 Muita tyypillisiä sovelluksia (ei tarvitse osata tentissä) Optioiden hinnoittelu Black-Scholes-mallilla: Esim. eurooppalaisen osto-option nykyarvo C 0 Kohde-etuuden nykyhinnan S 0 ja volatiliteetin σ, Option lunastushinnan K, Riskittömän korkokannan r ja Option voimassaoloajan T funktiona: C 0 = S 0 2π d 1 e x2 2 dx KerT 2π d 2 e x2 2 dx, missä d 1 = ln S 0 K + r+σ2 2 σ T T, d 2 = ln S 0 K + r+σ2 2 σ T T σ T. Stokastinen optimointi: max E g X, u = u g x, u fx x dx + rajoitukset Kohdefunktio g (esim. tuotteen myynnistä saatava voitto) riippuu valittavissa olevasta ohjausmuuttujasta u (esim. tilausmäärästä) sekä stokastisesta suureesta X (esim. tuotteen kysynnästä) Valitaan ohjaus u siten, että kohdefunktion g X, u odotusarvo maksimoituu 22

23 Yhteenveto Integrointia sovelletaan tilanteissa, joissa tarkastellaan jatkuvamuuttujaisten funktioiden kertyneitä arvoja, esim. Kertynyt tuotto, kun tuottonopeus muuttuu jatkuvasti Lainan tuleva arvo, kun lainaa otetaan (ja korkoa kerrytetään) jatkuvasti Monet tärkeät integroinnin sovellukset liittyvät jatkuviin satunnaismuuttujiin, esim. Tasajakautunut satunnaismuuttuja X~Uni(a, b), tiheysfunktio f X x = ቐ 1, ba kun x [a, b] 0, muualla Eksponenttijakautunut satunnaismuuttuja X~Exp(λ), tiheysfunktio f X x = ቊ λeλx, kun x 0 0, kun x < 0 Tiheysfunktion avulla voidaan määrittää Satunnaismuuttujaan liittyviä todennäköisyyksiä: P a X b = a b fx x dx = F X b F X a, x missä F X (x) = fx t dt on satunnaismuuttujan kertymäfunktio Satunnaismuuttujan odotusarvo: E X = xfx x dx 23