S-11435, FYSIIKKA III (ES), Syksy 00, LH 4, Loppuvkko 39 LH4-1* Käyttän Maxwll-Boltzmann-jakauman parttofunktota määrtä a) nrgan nlön kskarvo (E ) skä b) nrgan nlöllnn kskpokkama kskarvosta l nrgan varanss, E ( E) } c) Lask myös varanssn arvo daalkaasull a) Parttofunkto on määrtlmän (Luku 36) mukaan β E 1 = g, mssä β = Enrgan nlön kskarvo saadaan panottamalla kunkn nrgatason nrgan nlön arvoa kyssllä tasolla olvn hukkastn MB-jakauman lmottamalla lukumäärällä ( ) E β n Parttofunktota käyttän kskarvo vodaan krjottaa muotoon 1 1 β E 1 β E ( E ) = E n = E g = ge = / g ja jakamalla nän saatu panotttu summa hukkastn kokonasmäärällä Tämä saadaan dlln muotoon 1 ( E ) =, β sllä drvomalla kahdst nähdään, ttä E ge β = β Matmaattsa apunuvoja: Mks suurn x todnnäkösyysjakauman varanssll pät: x ( x) } = ( x ) ( x )? Olttaan, ttä kukn jakauman dskrtt arvo x sntyy todnnäkösyydllä p, jodn summa on yks : p = 1 Tällön x = p x / p = p x Suurn nlöllnn kskarvo taas määrtllään ( ) Suurn nlöllsll x = p x / p = px kskpokkamall saadaan nädn määrtlmn avulla (huomaa, ttä ( x) } = ( x) ts jos vakosta ottaan kskarvo tuloksna on alkupränn vako) x ( x) } x ( x) x ( x) = } = px + ( x) ( x) px ( x ) ( x) = + ( x) ( x) = ( x ) + ( x) ( x) = ( x ) ( x) b) Vodaan osottaa, ttä varanssll pät
( ) } ( ) ( ) } ( ) ( ) E E = E E E + E = E E (1) Samon kun dllä nrgan kskarvo on nrgatasojn nrgodn mhtysluvulla panotttu summa jattuna hukkastn kokonasmäärällä Sjottamalla saamm 1 β E 1 ( ) E = ge = () β Yhtälöstä (1) ja () suraa E ( E) } 1 1 = β β (3) 1 1 1 = = β β β β β β c) Lasktaan lopuks kysyttyjn suurdn arvot daalkaasull Yhtälön (3) vmsssä muodossa β:n suhtn drvotava lausk on yhtälön () prustlla = -(E) E = 3/ (van lämpötlan funkto), jotn (huomaa muuttujan Idaalkaasull ( ) vahto( d / d ) ( d / ) β = ) d d 3 E ( E) } = ( E) = ( E) = ( ) d β Enrgan nlön kskarvoks saadaan yhtälöstä (1) } ( E ) = ( E) + E( E) Kun sjottamm tähän E ( 3/) (4) = ja yhtälön () saamm ( E ) = ( 15/ 4)( ) LH4-* Eräässä Maxwll-Boltzmann (MB) systmssä hukkastn salltut nrgat ovat 0, / 1 1ε,ε,3ε,4ε, Osota, ttä systmn parttofunkto on ( g = 1) = (1 ε ) Lask hukkastn kskmääränn nrga, kun ε << Opastus: Parttofunkto vodaan laska hlpost gomtrsn sarjan summan avulla MB-parttofunkton määrtlmän mukaan nε / n, (1) = = x n= 0 n= 0 ε / mssä x=, x 1 Tämä on suppnva gomtrnn sarja, jonka summa on 1/(1 x) Parttofunkto vodaan ss krjottaa / 1 = (1 ε ) () Kutn optusmonstn luvussa 3 (yht 39) on osotttu kokonasnrga saadaan yhtälöstä d U = kt (ln ) (3) Sjottamalla ε / d ( ε / ) ε 1 ln = = ε/ ε / 1 1, (4) jotn ssänrgaks saadaan
1 U = ε ε / 1 (5) Korkssa lämpötlossa ε / on pn, jotn ksponnttfunkto vodaan khttää Taylorn ε / sarjaks Jos otamm kaks nsmmästä trmä 1 + ε / saamm kskmääräsks E = U / nrgaks ( ) LH4-3 Tarkastllaan :n tosstaan ykslötävssä olvan hukkasn joukkoa Hukkastn käytttävssä on nljä nrgatasoa, jotka kakk ovat dgnrotumattoma Tasojn nrgat ovat ε, ε, ε ja ε a) Määrtä systmn ssänrga U b) Määrtä U:n raja-arvo, kun lämpötla T 0, ja kun T hukkasta, E 1 = ε, E = ε, E 3 = ε, E 4 = ε g = 1, Parttofunkto on E ε ε ε ε ( ε ) ( ε ) = g = + + + = cosh + cosh a) Ssänrga on U = ln Saadaan T ε ε ε ε snh snh U = ε ε cosh + cosh ε ε snh + snh U =ε ε ε cosh + cosh c) Raja-arvojn määrttämsks muuttaan hyprbolst funktot ksponnttmuotoon ja mrktään ε = x: x x x x + U =ε x x x x + + + Kun T 0, x Tällön trmt, jossa on ngatvnn ksponntt, lähnvät nollaa, jotn x + x lm U = lm U = lm ε =ε T 0 x x x + 1 x x Kun T, x 0, 1, jotn saamm mataln lämpötlojn raja-arvoks lm U = lm U = 0 T x 0 Kuva on prrtty suraavlla mlvaltasst valtulla -1 arvolla: ε =,5 J, = A = 6,0 3 Tällön raja-arvo, jota ssänrga lähn, kun T lähn nollaa on ε = 3,01 kj
LH4-4* Hlmonoksdmolkyylssä (CO) hl- ja happatomn välnn täsyys on 0,113 nm a) Lask rotaaton karaktrstnn lämpötla Θ r b) mtkä ovat almpn kolmn rotaatotlan nrgat? c) Lask molkyyln suhtllnn lukumäärä kolmlla almmalla rotaatotasolla l = 0, 1 ja lämpötlossa 300 K ja 00 K Vakota: r 0 = 0,113 nm, m C = 1,01 u, m O = 16,00 u, T = 5 C u = atommassaykskkö a) Rotaaton karaktrstnn l kynnyslämpötla on (optusmonst Luku 55)! mcmo Θ r = ; I = µ ro ; µ = Ik mc + mo -6-46 Lasktaan rdusotu massa ja htausmomntt: µ 1,139 kg; I 1,454 kgm Sjottamalla saamm hlmonoksdmolkyyln rotaaton kynnyslämpötlaks ( 1,0545 34 Js) Θ r,77k 46 3-1 1, 454 kgm 1,3805 JK b) Rotaatotlojn nrgat ovat E = l( l+ 1) = Θ kl( l+ 1)! l r Sjottamalla kynnyslämpötla I saadaan Eo = 0 ( l = 0), E1 0, 48 mv( l = 1), E 1, 4 mv( l = ) c) Kun T = 300 ta 00 K pät Θ r " T Tällön parttofunktoll vodaan käyttää approksmaatota (Yht 544 Luku 5), rot = T Θr El Rotaatotlan mhtysluku on nl = gl, mssä gl = l+ 1 on tlan dgnraato n Suhtllnn mhtysluku on ss l Θ r θr ( 1) ( l 1) l l + = + T T Suhtllst mhtysluvut lämpötlassa T = 300 K: n0 o Θr 0 3 = 9, T n 1,7 n 4,4 Suhtllst mhtysluvut lämpötlassa T = 00 K n Θ,8 T n 1 3 8,3 n 1,4 0o r 0 3
LH4-5 Systmssä on Maxwll-Boltzmann hukkasta jodn mahdollst nrgatlat ovat ε ja ε Molmmat nrgatasot ovat dgnrotumattoma Olttan, ttä systmn kokonasnrga on U osota, ttä lämpötla vodaan sttää ssänrgan avulla muodossa 1 k U = ln T ε + U Tota, ttä lämpötla on postvnn (ngatvnn) jos ssänrga on ngatvnn (postvnn) MB-parttofunkto on määrtlmän mukaan ε/ ε/ = + Drvomalla ε d ε ln = ε + / / jotn ssänrgaks saadaan ε/ ε/ d x 1 U = kt ln = ε =ε ε/ ε/ + x + 1 / ε mssä mrkttn x= Ratkastaan x U x = + U Sjottamalla x ja ottamalla logartm saadaan 1 k U = ln T ε + U Josta havataan, ttä T<0 kun U>0 ja pänvaston gatvst lämpötlat ovat ylsst mahdollsa systmll, jossa nrgatasot ovat ylhäältä rajotttuja (Esm kaasumolkyyln nrgat vät ol - yksttäsllä molkyylllä vo olla kunka korka nrga tahansa) Ahsta nmmän optusmonstn luvussa 58 Tähdllä mrktyt thtävät ovat kotthtävä