(1) (2) Normalisointiehdoksi saadaan nytkin yhtälö (2). Ratkaisemalla (2)+(3) saamme

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "(1) (2) Normalisointiehdoksi saadaan nytkin yhtälö (2). Ratkaisemalla (2)+(3) saamme"

Arto Ranta
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 S-446 Fysiikka IV (Sf) Tentti 3934 Oletetaan, että φ ja φ ovat ajasta riippumattoman Scrödingerin yhtälön samaan ominaisarvoon E liittyviä ominaisfunktioita Nämä funktiot ovat normitettuja, mutta eivät * ortogonaalisia ts φφ dx d, missä d on reaalinen Etsi sellainen funktioiden φ ja φ normitettu lineaarikombinaatio, joka on ortogonaalinen a) funktion φ suhteen b) funktion φ + φ suhteen a) Kaksi funktiota A ja B ovat ortogonaalisia, jos on ortogonaalinen φ :tä vastaan: A * ( x) B( x) dx Vaaditaan, että c φ + c φ φ c φ + c φ dx c+ cd c/ c d () missä käytimme φφ dx φφ dx Vaaditaan lisäksi, että c φ c φ * ( ) Oletamme, että kertoimet c ja c ovat reaalisia: ( φ φ ) ( φ φ ) * c + c c + c dx c + c + dc c () Yhtälöistä () ja () saamme + on normitettu c d, c d d Huomaa, että nämä kertoimet voidaan vielä kertoa mielivaltaisella vakiovaihetekijällä että lineaarikombinaation kvanttifysikaaliset ominaisuudet muuttuvat i e δ ilman, b) Vaaditaan nyt, että c φ + c φ on ortogonaalinen φ + φ :tä vastaan: (oletamme jälleen, että kertoimet c ja c ovat reaalisia) ( φ φ * ) ( φ φ ) ( ) + c + c dx ( c+ c) + d c c (3) Normalisointiehdoksi saadaan nytkin yhtälö () Ratkaisemalla ()+(3) saamme c, c d d Vaihetekijään pätee sama kuin a)kohdassa Oletus kertoimien c ja c reaalisuudesta voidaan helposti jättää pois kokeile! Ammus (pistemäinen hiukkanen, jonka massa on m,) törmää kohtioon, jonka kokonaismassa on M Oletamme kohtion rakenteelliseksi systeemiksi, jolla massakeskipisteen liike-energian lisäksi voi olla myös sisäistä kvantittunutta energiaa Systeemin alimmat energiatasot olkoot E ja E Kohtio on aluksi levossa laboratoriokoordinaatistossa Kuinka suuri on ammuksen

2 energian oltava, jotta törmäys voisi olla epäelastinen ts jotta kohtiona oleva systeemi voisi virittyä törmäyksessä? Ratkaisu: Oletamme että ammus on pistemäinen hiukkanen, jonka massa on m, ja kohtiona on systeemi, jonka kokonaismassa on M Kohtion oletamme rakenteelliseksi systeemiksi, jolla voi massakeskipisteen liike-energian lisäksi olla sisäistä kvantittunutta energiaa Oletamme, että kohtio on aluksi levossa laboratoriokoordinaatistossa Jos ammuksen liikemäärä ennen törmäystä on p ja törmäyksen jälkeen p ja edelleen kohtion liikemäärä törmäyksen jälkeen on P, voimme kirjoittaa liikemäärän säilymislain muodossa p p + P () Vastaavasti jos kohtio on aluksi stationäärisessä tilassa jonka energia on E ja epäelastisen törmäyksen tapahduttua stationäärisessä tilassa E, voimme kirjoittaa energian säilymislain muodossa p + E p + P + E m m M Jos merkitsemme E E E, voimme kirjoittaa p p + P + E () m m M Epäelastisessa törmäyksessä, jossa kohtio virittyy energiatilasta E energiatilaan E pienin mahdollinen ammuksen liike-energian arvo on E E Tällöin sekä ammus, että kohtiona oleva systeemi olisivat törmäyksen jälkeen levossa massakeskipistekoordinaatistossa Kaikki massakeskipistekoordinaatistossa käytettävissä oleva liike-energia olisi tällöin käytetty kohtion virittämiseen tilalta E tilalle E Tarkastelemme nyt lähemmin tätä pienimpään tarvittavaan energiaan liittyvää törmäystä Tällöin sekä ammus että kohtio liikkuvat törmäyksen jälkeen laboratoriokoordinaatistossa samalla nopeudella joka on myös ammuksen ja kohtion muodostaman systeemin massakeskipisteen nopeus eli v cm Voimme siis kirjoittaa p mv cm ja P Mv cm Toisaalta jos tiedämme, että ammuksen nopeus ennen törmäystä on v, voimme kirjoittaa massakeskipisteen nopeuden lausekkeen muodossa v cm mv m+ M ja sijoittamalla tämä liikemäärän arvoihin törmäyksen jälkeen saamme m v mp mmv Mp p, P m+ M m+ M m+ M m+ M Nämä yhtälöt ovat tietenkin sopusoinnussa yhtälön () kanssa Sijoittamalla nämä lausekkeet yhtälöön () saamme pienten laskutoimitusten jälkeen

3 M p m+ M m tai E m Ek p + E (3) m M Yhtälö (3) antaa pienimmän mahdollisen liike-energian arvon jolla ammus voi nostaa kohtien ensimmäiselle viritetylle stationääriselle tilalle Jos ammus on paljon kohtiota kevyempi voimme kirjoittaa likimain Ek E E E Tämä vastaa likimain tilannetta epäelastisissa törmäyksissä, joissa elektroni törmää atomiin tai molekyyliin Olemme hyödyntäneet aiemmin tätä likiarvoa analysoidessamme Frankin-Hertzin koetta Toisaalta jos tarkastelemme epäelastisia törmäyksiä, joissa atomin ydin virittyy protonin törmätessä siihen, meidän on käytettävä kynnysenergian laskemiseen yhtälöä (3) Tämä johtuu siitä, että erityisesti kun protonit törmäävät kevyisiin ytimiin massasuhde mm ei välttämättä ole pieni ykköseen verrattuna ˆ ˆ 3 aske kommutaattorit z, ja ˆ, ˆ x y Miten fysikaalisia suureita vastaavien operaattoreiden kommutitatiivisuus liittyy näiden suureiden yhtäaikaisen mitattavuuden tarkkuuteen? Ratkaisu Johdetaan pari aputulosta (operaattorihatut jätetty pois ): [ ] [ ] x, x ypz zpy, x x, y ypz zpy, y z py, y i z asketaan seuraavaksi ˆ, ˆ x y ˆ, ˆ yp zp, y p, z, p y i p i x p i x y z y y z y y y ( ) ( ) x y z Vastaavasti osoitetaan, että ˆ, ˆ i ˆ, ˆ i y z x z x y opuksi ˆ ˆ z, ˆ ˆ z, z, x z, y + [ ] [ ] z, x x + x z, x + z, y y + y z, y ( i y) x x( i y) ( i x) y y( i x) + + +

4 Tässä käytettiin seuraavia helposti osoitettavia kommutaattorien ominaisuuksia: AA, AB, B[ AB, ] + [ AB, ] B Kulmaliikemäärän z-komponetti voi siis saada samanaikaisesti kulmaliikemäärän itseisarvon kanssa tarkan arvon Sen sijaan hiukkanen ei voi olla tilassa, jossa sen kahdella kulmaliikemäärän vektorikomponentilla olisi tarkka arvo 4 a) aske kuparin Fermienergia, kun tiedetään, että vapaiden elektronien tiheys on kuparissa 8 3 8, 45 m b) aske elektronin keskimääräinen energia lämpötilassa K Käytä 4π elektronitilojen tiheydelle lauseketta ( ) 3/ / ge ( ) m E 3 h Ratkaisu a) Sijoittamalla yhtälöön /3 4/3 /3 π n () 3 EF m 8 3 Sijoittamalla n 8,45 m saadaan Fermienergiaksi E F 7,3 ev b) Elektronin keskimääräinen energia saadaan odotusarvona (huomaa, että miehitystodennäköisyys f( E ) Fermienergiaan saakka ja f( E ) sen ylöpuolella) : E F Eave Eg( E) de N / 3NE missä ge ( ) on tilatiheys kiteessä, jossa on N elektronia (kertaa tilastollisen fysiikan 3/ E F kurssi tai Blatt s 33 ) Sijoittamalla ja laskemalla integraalin saamme 3 Eave EF 5 5 Jos molekyylillä on kaksi yhtä suurta päähitausmomenttia ( I x- ja y-suunnissa), niin sen rotaatioenergiaoperaattori on ˆ ˆ ˆ Hrot + z () I I I aske rotaatiotilojen väli, kun a) I 8I ja b) I I Piirrä energiatasot yksiköissä /I Ratkaisu Katsotaan aluksi miten tehtävän Halmiltoni on johdettu Klassinen pyörimisenergia on pyörähdysellipsoidille

5 x y z z rot + + ( x + y ) + + z I I I I I I I I E Tästä muodostetaan Hamiltoni korvaamalla liikemäärät vastaavilla kvanttimekaanisilla operaattoreilla Vetyatomin energiatasojen yhteydessä olemme osoittaneet, että palloharmoniset funktiot Y lm θ, φ6ovat operaattoreiden ja z yhteisiä ominaisfunktioita: Ylm ll 6 Ylm () Y z lm m Ylm Jälkimmäisestä yhtälöstä seuraa, että palloharmonit ovat myös operaattorin z ominaisfunktioita: Y z lm m Y lm Yhtälöstä () huomataan, että palloharmit ovat myös Hamiltonin () ominaisfunktioita : " # ll Y! I I I $ #! I I I Rataatioenergiat ovat siis 6 6 " $ # (3) " m $ # z lm m Ylm ll Elm! I I I missä l 3,,,, ja m l, l,, l, l Yksiköissä / I energia voidaan esittää muodossa : (Energiat on piirretty oheiseen kuvaan) 6 " /! 6 / $# a) I 8 I Elm l l m I! 4 $# " b) I, I Elm l l m I 6 6 Olkoon elektronin aaltofunktion pallokoordinaatiston kulmasta φ riippuva osa iφ iφ ( ) ψφ ( ) A e 8e φ, a) Mitkä ovat yksittäisessä mittauksessa saatavat z :n mahdolliset arvot tälle elektronille? b) millä todennäköisyydellä ne saadaan? c) Mikä on kulmaliikemäärän z-komponentin odotusarvo? Apuneuvo: Voidaan osoittaa, että pallokoordinaatistossa ˆz i φ + [ ] Ratkaisu Aloitamme yleisillä tarkasteluilla Voidaan osoittaa, että pallokoordinaatistossa z i φ, missä φ on kiertokulma z-akselin ympäri Seuraavissa tarkasteluissa emme kuitenkaan tarvitsepallokoordinaatiston ominaisuuksia i e φ iφ Merkitään χ ( φ ) ja ( ) e χ φ Kokeilemalla huomaamme, että ˆ zχ χ, kyseessä on siis z ominaisfunktio ominaisarvolla toisaalta ˆ zχ χ, kyseessä on siis z ominaisfunktio ominaisarvolla isäksi huomataan, että

6 Iπ I π χ( φ) dφ χ( φ) dφ ja χχ dφ χχ dφ Tällaisia funktioita sanotaan ortonormeeratuiksi a) Normitusvakion laskeminen : I I () ( )( ) ψφ ( ) dφ A χ + 8χ χ + 8χ dφ * * ( ) A χ χ + 8 χ χ + 8χ χ + 8χ χ dφ Yhtälöiden () perusteella saamme suoraan A + 8 A 34π Valitsimme tässä A :n reaaliseksi, sillä aaltofunktion mahdollisella kompleksisella vakiovaihetekijällä ei ole vaikutusta hiukkasen fysikaalisiin ominaisuuksiin (on helppo esimerkiksi havaita, että z :n odotusarvo ei muutu, jos kerromme aaltofunktion millä tahansa vaihetekijällä e iδ missä δ ei riipu kulmasta φ ) b) Yksittäisissä mittauksissa mahdollisia arvoja ovat z :n ominaisarvot Kirjoittamalla ( ) c + c z huomaamme, että z :n ominaisarvo on z :n ominaisarvojen tekijöillä c ja c painotettu keskiarvo Yksittäisessä mittauksessa saamme tulokseksi todennäköisyydellä c ja todennäköisyydellä c c) Merkitään nyt c A ja c 8 A Tällöin alkuperäinen aaltofunktio voidaan kirjoittaa ψ cχ + cχ ja lisäksi c + c z :n odotusarvoksi saamme : (huomaa, että jakajana oleva integraali, koska aaltofunktio on jo normitettu) z * φ z z ( )( ˆ ˆ ) ψ i ψdφ c χ + c χ c χ + c χ dφ missä taas käytimme yhtälöä () ( cχ + cχ)[ c χ+ c( 3 ) χ] dφ c + c ( ) ()

7 Vakioita e p n m 9,9 kg m, 675 kg m, 6748 kg amu, 665 kg c µ B e, 6 C, 9979 m/s, 545 Js 9, 73 JT Ke Km ε 8,8544 C N m / 4πε µ, 566 mkgc µ / 4π A γ 6, 67 Nm kg N 6, 5 mol R 8, 343 JK mol k,385 JK

Samankaltaiset tiedostot

Nyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot

Nyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot S-1146 Fysiikka V (ES) Tentti 165005 1 välikokeen alue 1 a) Rubiinilaserin emittoiman valon aallonpituus on 694, nm Olettaen että fotonin emissioon tällä aallonpituudella liittyy äärettömän potentiaalikuopan