ELEMENTTIMENETELMÄN PERUSTEET SESSIO 19: Gaussin integrointi emojanan alueessa.

Transkriptio

1 / ELEMENIMENEELMÄN PERUSEE SESSIO : Gaussin intgrointi mojanan alussa. JOHDANO Ylisssä lujuusopin lmnttimntlmässä lmntin jäykkyysmatriisi [ k ] ja kvivalnttinn solmukuormitusvktori { r } lasktaan määrätyistä intgraalista [ k] [ B] [ E][ B]dV () v {} [ B] ([ E]{ ε0} { σ0} ) dv [ N] { g} dv [ N] { p} r da () v v A Matriisin ja vktorin intgrointi tarkoittaa sitä, ttä niidn alkiot intgroidaan riksn. Joissakin yksinkrtaisissa tapauksissa intgroinnit voidaan suorittaa analyyttissti, mutta ylnsä on turvauduttava numrisn intgrointiin. arjolla on usita mntlmiä, mutta parhaitn lmnttimntlmään sopivaksi on osoittautunut Gauss-Lgndr intgrointi. Jos intgrandi on vakio, saadaan määrätyn intgraalin arvo krtomalla tätä vakiota intgrointialun mitalla, joka on intgrointialun tilavuus, pinta-ala tai pituus sn mukaan kuinka moniulottissta intgraalista on kysymys. ällöin saadaan tarkka ratkaisu, mikäli intgrointialun mitta tunntaan tarkasti. Jos intgrandi i ol vakio, saadaan numrislla intgroinnilla likimääräinn tulos. Näin syntyvää likimääräisyyttä sanotaan intgrointivirhksi, jonka suuruus riippuu käyttystä mntlmästä. Kaavoihin () ja () prustuva lmnttimntlmä sisältää siis aina jonkin astisn intgrointivirhn. Numristn intgrointimntlmin idana on muuttaa intgraali äärllisksi painottuksi summaksi. ällöin ottaan intgrandin arvoja sopivasti valituissa intgrointipistissä ja näistä lasktaan titty painotttu kskiarvo. YKSIULOEINEN GAUSS-LEGENDRE INEGROINI Yksiulottinn määrätty intgraali on aina muotoa b I g(x)dx () a Sijoitukslla x ( )a ( )b dx (b a ) d

2 / intgraali () mn suraavaan standardimuotoon I f( )d () - 0 Kuva. Emojana. jossa f( ) (b a )g[(x( )]/. Kaavan () mukaan intgrointi voidaan muuntaa suoritttavaksi kuvan mojanalmntin yli, jotn suraavassa rajoitutaan tarkastlmaan vain tätä tapausta. Intgraalill () voidaan laska likiarvo kaavasta I n f( ) f( ) L n f( n ) i f( i ) i () Luvut i ilmaisvat intgrointipistidn sijainnit, luvut f( i ) ovat intgrandin arvot intgrointipistissä ja luvut i ovat painokrtoimt. Koska standardimuotoisssa intgraalissa () intgrointivälin mitta on, on painokrtoimin i summa. Gauss-Lgndr intgroinnissa intgrointipistt i sijoittaan intgrointivälill [, ] niin, ttä kaavasta () saadaan tarkka tulos mahdollisimman korka-astisll polynomill. Voidaan todistaa, ttä jos intgrointipistitä on n kpl, niin pistidn sijainnit i ja painokrtoimt i pystytään valitsmaan sitn, ttä kaava () antaa tarkan tuloksn astlukua n olvill polynomill. ällöin intgrointipistt sijoittuvat intgrointivälill symmtrissti ja symmtristn vastinpistidn painokrtoimt ovat yhtä suurt. Jos intgrointipistidn lukumäärä n on pini, voidaan niidn sijainnit i ja painokrtoimt i määrittää hlposti dllä sitttyjn ominaisuuksin prustlla. Yhdn pistn intgroinnissa n ja intgrointipist on kohdassa 0 ja painokrtoimn arvo on. Yhdn pistn intgroinnilla voidaan intgroida tarkasti nsimmäisn astn polynomit. Kahdn pistn intgroinnissa n ja n, jotn kolmannn astn polynomit intgroituvat tarkasti. Määrittään intgrointipistt ja skä painokrtoimt ja. Prusominaisuuksin mukaan on ja. Ylinn kolmannn astn polynomi on f( ) a b c. Kun tämä intgroidaan mojanan yli, suraa tulos I (a b c )d a c / (6) Kaavasta () saadaan vastaavasti

3 / I f( ) f( ) (a b c ) (a b c d ) (7) Koska ja, suraa I (a c ) (8) Kaavojn (6) ja (8) prustlla voidaan siis kirjoittaa (a c ) a c / / () n - 0 Kuva. Intgrointipistt. josta suraa kahdn pistn intgroinnill tulos / 0,7707 jota on vilä havainnollistttu kuvassa. (0) Kolmn pistn intgroinnissa n ja n, jotn viidnnn astn polynomit intgroituvat tarkasti. Prusominaisuuksista suraa, ttä, 0 ja. Ylisll viidnnn astn polynomill f( ) a b c f on voimassa I (a b c f )d a c / / () Kaavasta () suraa, kun ottaan samalla huomioon prusominaisuudt I f( ) f( ) f( ) (a c ) a () Mrkitsmällä yllä olvat lauskkt () ja () yhtä suuriksi suraa vaatimukst / / () Kahdsta jälkimmäisstä vaatimukssta suraa jakamalla puolittain /, jotn (/ ) ( / ) /. Ensimmäisstä vaatimukssta suraa lopuksi tulos ( / ) 8 /. Kolmn pistn intgroinnill pät siis / / 0,6 0, / 0, () Kaavan () tuloksia on havainnollistttu sittty kuvassa.

4 / Jos intgrointipistidn lukumäärä n on suuri, tul n dllä käyttty mntlmä työlääksi, koska pistidn i ja painokrtoimin i määrityksn saata- 0 va yhtälöryhmä on pälinaarinn. Lasknta hlpottuu, - / 0 8 / / jos johdossa käyttään hyväksi Lgndrn polynomja, mistä johtuu mntlmän nimi. avallisimmin käyttään kuitnkin lyhympää nimä Kuva. Intgrointipistt. Gaussin intgrointi. On slvää, ttä intgrointipistitä ja painokrtoimia löytyy valmiiksi taulukoituna kirjallisuudsta. Ohisna on taulukko, jossa on tidot intgrointiastsn n saakka. Elmnttimntlmässä intgrointiast on tavallisimmin, tai. aulukko. Gauss-Lgndr intgrointi. n i i 0, , ± 0, , , , ± 0, ,6 ± 0, ,6866 ± 0,8660 0,7887 0, , ± 0, , ± 0, , ESIMERKKI FESE arkastllaan simrkkinä yksiulottissta Gauss-Lgndr intgroinnista lausktta I x x )( x dx x x ( x dx ) Lasktaan nsin intgraalin tarkka arvo. Jakamalla intgrandi osamurtoihin saadaan I dx [ ln( x ) ln( x )] x x / 6 7 ln ln8,078 ( ln ln7 ln ln )

5 / Muunntaan intgraali numrista intgrointia vartn standardimuotoon sijoitukslla x ( ) ( ) (7 ) dx d x (7 ) 6 8 x x (7 ) (7 ) 8 I 6 8 d 8 Yhdn pistn intgroinnilla saadaan likiarvoksi I 8 0,8888 Kahdn pistn intgroinnilla saadaan vastaavasti I / 6 / 8 8 / / 6 / 8 / 8,06 Kolmn pistn intgroinnista suraa tulos I ,0886 ulosta voitaisiin tarkntaa nostamalla intgrointiasttta, jolloin myös laskntaan kuluva aika kasvaa. Elmnttimntlmässä joudutaan laskmaan hyvin monia intgrointja, jotn liiallisn tarkkuutn i ol syytä mnnä, jotta lasknta-aika pysyisi kohtuullisna. HARJOIUS FESH x Lask määrätyn intgraalin I dx tarkka arvo ja likiarvot käyttän yhdn, x x kahdn, kolmn ja nljän pistn Gauss-Lgndr intgrointia. Vast. I ln6 0, I 0,760 I I 0,688 0, I 0,77708 Vihjt: