Energian säilymislain perusteella elektronin rekyylienergia on fotnien energioiden erotus: (1)

Transkriptio

1 S Fysiikka IV (Sf), I Väliko Osoita, ttä Comptonin sironnassa lktronin suurin mahdollinn rkyylinrgia voidaan sittää muodossa E Kin hf 1 + mc /hf Enrgian säilymislain prustlla lktronin rkyylinrgia on fotnin nrgioidn rotus: E hf hf (1) K 1 missä 1 ja viittaavat tulvaan ja sironnsn fotoniin vastaavasti Comptonin kaavaan prustlla h 1 1 h λ λ θ θ ( 1 cos ) ( 1 cos ) 1 mc f f1 mc Ratkaismalla tästä fmc 1 f mc hf1 ( 1 cos + θ ) Sijoittaan näin saatu f yhtälöön (1) saamm E K 1+ hf 1 ( 1 cosθ ) ( ) ( 1 cosθ ) ( θ) hf1m c hf1mc + hf1 hf1mc 1 mc + hf1( 1 cosθ) mc + hf1 1 cos hf hf1 mc Comtonin kaavan mukaan fotonin nrgian mntys (li aallonpituudn lisäys) on suurin silloin, kun sirontakulma on 18 asttta li π Tällöin cosθ 1, jolloin hf1 EK 1 + mc /hf 1 Olttaan, ttä protonin ja lktronin välinn vtovoima on vrrannollinn suursn r ( F kr) ikä täisyydn nliön kääntisarvoon ( F k / r ) Käytä kulmaliikmäärän kvantittumissääntöä ja osoita, ttä stationääristn ratojn sätt ovat rn n / / km 8 1 ja ttä

2 nrgiat ovat En nω, missä ω on massan m omaavan hiukkasn kirtoliikkn kulmataajuus tässä voimakntässä Bohrin mallin kvantisointihto on L n; n 1,,,, (1) Jos oltamm radan ympyrän muotoisksi n L n mrv v () mr Tasaisll ympyräliikkll pät (sijoittaan lopuksi yhtälö ()) mv m n n kr r r () r m mr Ratkaismalla r n n r km km 1 / (4) Mrkitsmällä oskillaattorin kulmataajuutta ω k / m saadaan kokonaisnrgiaksi: E 1 mv + 1 kr kr k n km n k / m n ω, (5) missä käytttiin toistamisn yhtälöä () Voidaan osoittaa, ttä ksakti kvanttimkaaninn ratkaisu on En n + ω, missä ( / ) ω on ns nollapist-nrgia Huomaa, ttä myös harmoninn oskillaattori totuttaa viriaalitorman, joka ylisssä muodossa kirjoittaan Ekin 1 V r (6) klassisssa mkaniikassa tarkoittaa aikakskiarvoa ja kvanttimkaniikassa ao suurn odotusarvoa Voidaan osoittaa, ttä torman (6) ylistys johtaa raalikaasun tilanyhtälön muotoon 1 pv νrt + ij F r ij kaikki parit av missä av tarkoittaa aikakskiarvoa

3 Tarkastllaan äärtöntä potntiaalilaatikkoa, jonka lvys on a a) Päättl lktronin x- koordinaatin ja liikmäärän odotusarvot < x > ja < p > potntiaalilaatikon prustilassa Lask odotusarvot suurill < x > ja < p > Määritllään kskipoikkamat x ( < x > < x> ) 1/ ja p ( p p ) 1/ 1/ < > < > b) Osoita, ttä π 6 x p ts lktronitila totuttaa Hisnbrgin päyhtälön (a) Symmtrian prustlla < x > a/ ts, lktroni on yhtä suurlla todnnäköisyydllä kskikohdan molmmin puolin Samalla prustlla < p > ; lktroni liikkuu molmpiin suuntiin yhtä usin Edllä olvat tulokst voi titnkin myös hlposti laska aaltofunktion avulla (b) Lasktaan suraavaksi < x > Odotusarvon määritlmän mukaan a a πx πx 1 πx < x > sin x sin dx 1 cos x dx a a a a a a 1 π 1 cos xdx a a a 4π π a x a a a a missä jälkimmäinn intgraali laskttiin käyttämällä 1 x x coskxdx x sin kx coskx k + k k Odotusarvo < p > m< E > ( sillä tässä rikoistapauksssa E ), mutta prustilassa (stationäärinn tila) (b) Sijoittamalla π π 1 1 < E > E < p > me ma a x ja p lauskkisiin yllä, saadaan π π x p a 1,14 > π 4 a 4 (a) Lask normitusvakio C harmonisn oskillaattorin prustilan aaltofunktioll ψ ( x) m x Lask myös (b) x ja (c) V( x ) täll tilall Prustilan aaltofunktio on / ψ C ω Vinkkinä intgraalit: x 1 π I λ λ ja x 1 4 λ π I x λ p

4 m ω x / (a) ψ C normitus (funktion itsisarvon nliö intgroituna koko avaruudn yli 1): mω x / π ψ ( x) dx 1 C dx C I C, λ missä nyt λ mω/ Käytttiin siis vinkiksi annttua intgraalia Koska funktio on x- akslilla symmtrinn origon suhtn, voitiin intgraalia käyttää nollan molmmin puolin josta krroin nljännssä vaihssa Ratkaistaan C : π ψ ( x) dx C 1, mω 1/4 mω josta ratkaistaan normitusvakio C π (b) Idana oppia laskmaan jonkun suurn odotusarvo Lasktaan siis x-koordinaatin nliön odotusarvo: * mω mω x / x ψx ψdx x dx π mω mω 1 π I 4 π π λ 1 mω π π m ω mω kx mω x (c) Harmonisn värähtlijän potntiaalinrgia on V( x) Sn odotusarvo 1 1 saadaan (b) kohdan tuloksn avulla sillä V( x) kx mω x Käyttään tähän kohdan (b) 1 1 tulosta, koska V( x) mω x mω x, jolloin saadaan V( x) mω x mω x mω ω mω 4 5 Olkoon lktronin aaltofunktion pallokoordinaatiston kulmasta φ riippuva osa φ φ ψ ( φ) A i 1 i φ, π a) Mitkä ovat yksittäisssä mittauksssa saatavat L z :n mahdollist arvot täll lktronill? b) millä todnnäköisyydllä n saadaan? c) Mikä on kulmaliikmäärän z-komponntin odotusarvo? Apunuvo: Voidaan osoittaa, ttä pallokoordinaatistossa L z i Määrää normitusvakio φ I π A sitn, ttä ψφ ( ) d φ 1

5 Aloitamm ylisillä tarkastluilla Voidaan osoittaa, ttä pallokoordinaatistossa Lˆz i, missä φ on kirtokulma z-akslin ympäri Suraavissa tarkastluissa mm φ kuitnkaan tarvits pallokoordinaatiston ominaisuuksia i1 φ iφ Mrkitään χ1 ( φ ) ja π ( ) χ φ Kokilmalla huomaamm, ttä L ˆ z χ1 1 π 1 χ, kysssä on siis L ˆz ominaisfunktio ominaisarvolla 1 toisaalta L ˆ z χ χ, kysssä on siis L ˆz ominaisfunktio ominaisarvolla Lisäksi huomataan, ttä π π 1 d χ ( φ) φ χ ( φ) dφ 1 ja π π * * 1 d 1 χ χ φ χ χ dφ (1) Tällaisia funktioita sanotaan ortonormratuiksi Normitusvakion laskminn : π π * * ( 1 )( 1 ) ψφ ( ) dφ π A χ + 8χ χ + 8χ dφ π * * * * ( ) π A χ χ + 8 χ χ + 8χ χ + 8χ χ dφ 1 Yhtälöidn (1) prustlla saamm suoraan π A ( ) (valitsimm A :n raalisksi) A 484 4π a) Kulmaliikmäärän z-komponntin yksittäisissä mittauksissa mahdollisia arvoja ovat ylissti L ˆz :n ominaisarvot Anntussa aaltofunktiossa siintyy kuitnkin ainoastaan kaksi i1 L ˆz :n ominaistilaa 1 ( ) φ iφ χ φ ja π ( ) χ φ Siksi mahdollisia mittauksissa saatavia π arvoja täll hiukkasll ovat ainoastaan 1 ja b) Mrkitään nyt c 1 A π, 46 ja c 8A π,976 Tällöin alkupräinn aaltofunktio voidaan kirjoittaa ψ c1χ1+ cχ ja lisäksi komponntin arvo 1 saadaan todnnäköisyydllä π * 1 d c 1 ψ χ φ, c 1 c + Kulmaliikmäärän z- (li 6 % todnnäköisyydllä) ja z-komponntin arvo saadaan vastaavasti todnnäköisyydllä

6 π * d c ψ χ φ,941 li 94 % todnnäköisyydllä c) Aaltofunktio on valmiiksi normitttu, jotn z π π * * * φ z z π ( )( ˆ ˆ ) L ψ i ψdφ c χ + c χ c L χ + c L χ dφ * * ( c1χ1 + cχ)[ c11 χ1 + c( ) χ] dφ c1 1 + c ( ) () Sijoittamalla lopuksi krtoimt c 1, saadaan L 1,85 z VAKIOITA p n m 9, kg m 1, kg m 1, kg amu 1, kg 1, 61 1 C c, m / s 1, Js µ B 9, 7 1 JT ε 8, C N m K 1 / 4πε µ 1, mkgc Km µ / 4π γ 6, 67 1 Nm kg N 6, 5 1 mol R 8,14 JK mol k 1,85 1 JK A