S , Fysiikka III (Sf) tentti/välikoeuusinta

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "S , Fysiikka III (Sf) tentti/välikoeuusinta"

Ari Halonen
5 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 S-445, Fysiikka III (Sf) tentti/välikoeuusinta 43 välikokeen alue ristetyssä astiassa, jonka lämötila idetään, kelvinissä, on nestemäistä heliumia tasaainossa helium kaasun kanssa Se on erotettu toisesta heliumsäiliöstä, jossa on helium kaasua 3 K lämötilassa ohuella kalvolla, jossa on ieni reikä Osoita, että tasaainotilassa jälkimmäisen säiliön aine on = a3 /, f /, missä on, K lämötilassa olevan säiliön aine Ratkaisu asaainotilanteessa reiän läi virtaava molekyylivuo on nolla nergiavuon ei tarvitse olla nolla sillä energiabalanssia ylläidetään akottamalla kaasusäiliöt vakiolämötilaan lämökylvyn avulla asaainotilanteessa j = nvave = n v ave = j 4 4, () missä indeksittömät suureet viittaavat 3 K lämötilassa olevaan osaan ja alaindeksillä varustetut suureet, K lämötilassa olevaan osaan Oletamme,että kaasu on harvaa ja käytämme ideaalikaasun tilanyhtälöä ilanyhtälöstä P = Nk fi = nk fi n = k oisaalta noeuden itseisarvon keskiarvolle ätee v ave = F H 8k m I K / Sijoittamalla yhtälöön () saamme 4 k F H I = F I K H K / / 8k 8k m 4 k m josta ratkaisemalla a f = 3 /, / ätä kutsutaan termomolaariseksi ainesuhteeksi Osoita, että hyvin alhaisissa lämötiloissa N elektronin FD systeemin energia on U = ( 3 / 5) e Oastus: oleta, että kaikki tilat ovat täynnä fermienergiaan saakka ja käytä tilatiheyttä N F / 3/ m / g ( ) = 3 h π

2 Ratkaisu Sisäenergia on määritelmän mukaan U = nii = g( ) f( ) d i () missä F F ( ) = b g sillä matalissa lämötiloissa µ F Huomataan, että kun e F / k ( )=, kun F + ja F ( )= kun > F Yhtälö () voidaan siis kirjoittaa U = F g ( ) d () Sijoittamalla tilatiheys m g( ) π h 3 / / = saadaan / 3 3 / F / 3 / m 3 / m U = d == / 3 3 π h π h 5 5 / F (3) Hiukkasmäärä N voidaan lausua Fermienergian avulla seuraavasti: N / 3 / F / 3 / m / m 3 / = g( ) f( ) d = d = 3 3 F h h 3 (4) Yhtälöstä (4) saadaan / m 3 / 3 3 / = N 3 F π h Sijoittamalla tämä lauseke (3):n saadaan U N F = Ulkoisessa magneettikentässä B systeemin elektroneilla on kaksi mahdollista energiatasoa =- m BB, =+ m BB, missä m B on Bohrin magnetoni Systeemi on termisessä tasaainossa lämötilan ollessa Olettaen, että elektronien magneettisten alitilojen miehittyminen noudattaa MB statistiikkaa a) osoita, että artitiofunktio on B Z cosh m B k = F H I K

3 ja b) johda lauseke suureille U, S ja M sitä energiatasojen miehitusluvut lämötilan ja kenttävoimakkuuden funktiona käyttäen Maxwell Boltmann jakaumaa Ratkaisu: Merkitään ε = µ B B Alemman tilan energia on siis = ε ja ylemmän = ε Partitiofunktio lasketaan tavalliseen taaan: Z = e + e = cosh ( ε / k) = cosh k ε / k ε / k µ BB b) Miehitysluvut : N N N n = e = e ; n = e Z cosh ε/ k cosh ε / k + ε / k ε / k ε / k ( ) ( ) c) Sisäenergia : d sinh ( ε / k ) U = Nk ( ln Z ) = Nε = Nε tanh ε / k d cosh ε / k ( ) ( ) Huomataan, että sisäenergia voitaisiin laskea myös lausekkeesta: N + ε / k N ε / k U = n + n = ( ε) e + ( ε) e = Nε tanh ( ε / k) Z Z Magnetoituminen (lasketaan ositiiviseksi magneettikentän suuntaan) M = nµ B nµ B = µ B( n n) = µ BN tanh ( ε/ k) utkimalla eksonenttifunktion käyttäytymistä :n funktiona itämällä B vakiona huomataan, että kun U Nε ja M Nµ B ts kaikki magneettiset momentit asettuvat kentän suuntaan alhaisissa lämötiloissa astaavasti kun huomataan, että U ja M Lämöliike tuhoaa ulkoisen kentän luoman orientaatio efektin ntroiaa laskettaessa on huomattava entroian jakautuminen translaatioliikkeen ja hiukkasen sisäisen liikkeen entroioiksi välikokeen alue 4 arkastellaan kahta identtistä kaaletta, molemien yhteinen ominaislämö c ja alkulämötilat ja, missä > Kaaleet on lämöeristetty ymäristöstä a) Nämä kaaleet toimivat ylemänä, ja alemana lämövarastona Carnotin koneelle, joka tekee useita differentiaalisen ieniä lämömääriä siirtäviä kierroksia siirtäen lämöä kaaleiden välillä, kunnes niiden lämötila on tasaantunut a) Osoita, että kaaleiden loulämötila on = b) Osoita, että Carnotin koneen tekemän työn määrä on yhteensä ( ) / / / ( ) W = νc c) Mikä on loulämötila, jos kaaleet hakeutuvat adiabaattisesti tasaainotilaan tekemättä työtä?

4 Ratkaisu a) Maksimityö liittyy aina reversiibeliin rosessiin Koneen työaineen ja lämövarastojen yhteinen entroia on koko lämötilojen tasaantumisen ajan vakio Jos lämöä siirretään kaaleiden välillä Carnotin koneella, kaaleiden ja työaineen entroia ysyy vakiona rään kierroksen aikana kuumemman kaaleen entroia ienee määrällä dsy = d QY / Missä on kuumemman kaaleen lämötila kyseisen kiertorosessin aikana Jos loulämötila on niin > > Samalla kylmemmän kaaleen entroia kasvaa määrällä ds A = d QA /, missä on kylmemmän kaaleen lämötila kyseisen kiertorosessin aikana, < < Carnotin rosessissa entroiamuutosten summa =, joten kunkin kierroksen aikana ätee dsy + ds A = fi dqy / = - dqa / Oletamme nyt, että lämmön siirtyminen koneen ja lämövarastojen välillä taahtuu vakioaineessa Kuumemman kaaleen entroian kokonaismuutos on tällöin dq d DSY = = nc = nc ln, ja kylmemmän kaaleen dq d DS A = = nc = nc ln Merkitään muutokset yhtä suuriksi, ja ratkaistaan loulämötila: nc ln =-nc ln fi =- fi = b) Koneen tekemä työ saadaan ensimmäisen ääsäännön avulla ( ) ( ) ( ) W = Qy + QA = νc + νc = νc + = νc c / / ( + ) = ν ( ) c) Jos kaaleet hakeutuvat termodynaamiseen tasaainoon tekemättä työtä, kuumemman kaaleen luovuttama lämömäärä on yhtä suuri kun kylmemmän kaaleen saama lämömäärä: b g b g b g/ nc - = nc - fi = + 5 Jäähdytyskoneena toimiva Carnot n kone luovuttaa, kj lämöä huoneilmaan samalla, kun koneen moottori tekee työtä, J Huoneilman lämötila on 5 C a) Kuinka aljon lämöä kone ottaa alemmasta lämösäiliöstä? b) Mikä on alemman lämösäiliön lämötila? Ratkaisu Q =, kj, W =, J, = 5 C Y ext Y a) nergian säilymislain mukaan QA + Wext = QY QA = QY Wext, J, J = 8 J b) Jäähdytyskoneen tehokerroin on

5 ε J QY, kj = εl = 9, W, J oisaalta Carnot n koneelle A ε J ε = = 5, C ε + J A Y Y A J Q Y 3 3 ν R ln 3 Y 3 W W 5,7 W 5,7 W = = = = η C A 5,7 5,7 Y 3 5,7 W Y = 3 K 3 ν Rln 5,7 Y 7,46 K A = K 5,7 5,7 6 Suljetussa metallisäiliössä, jonka seinät oletetaan ideaalisiksi lämmönjohteiksi, on ν moolia kaasua (ominaislämö vakiotilavuudessa c) lämötilassa Säiliö saatetaan kosketuksiin hyvin suuren lämösäiliön kanssa, jonka lämötila on =,8 a) Laske kaasun entroian muutos olettaen, että lämösäiliön lämötila ei muutu b) utki, onko rosessi reversiibeli vai ei Ratkaisu a) Oletetaan, että muutos on kvasistaattinen Kaasun entroian muutos on δ Q SK = Kaasu on suljetussa astiassa, joten sen tilavuus ysyy jäähtymisen aikana vakiona eli muutos on isokoorinen Kaasun saama lämö on siten δq = νc d ntroian muutokseksi saadaan d,8 K ν ν ln ν ln, 3ν S = c = c = c c b) Reversiibeliyden tutkimiseksi tarkastellaan kaasusäiliön ja ymäristön eli suuren lämösäiliön muodostamaa systeemiä Olettamuksen mukaan lämösäiliön lämötila ei muutu sen saadessa kaasulta lämömäärän ( ) Q = ν c

6 Lämösäiliön entroian muutos on Q S Ym = = ν c Kaasun ja ymäristön yhteenlaskettu entroian muutos on täten S = S + S = ν c + νc + = νc K Ym ln ln,8,7,8 ntroia kasvaa, joten muutos on irreversiibeli AKIOIA me = 9, 9 kg m =, 675 kg mn =, 6748 kg amu =, 665 kg e =, 6 C c =, 9979 m / s h =, 545 Js m B = 9, 73 J e = 8, 8544 CN m Ke = / 4e m =, 566 mkgc Km = m / g = 6, 67 Nm kg NA = 6, 5 mol R = 8, 343 JK mol k =,385 JK -

Samankaltaiset tiedostot

Oletetaan kaasu ideaalikaasuksi ja sovelletaan Daltonin lakia. Kumpikin seoksen kaasu toteuttaa erikseen ideaalikaasun tilanyhtälön:

Oletetaan kaasu ideaalikaasuksi ja sovelletaan Daltonin lakia. Kumpikin seoksen kaasu toteuttaa erikseen ideaalikaasun tilanyhtälön: S-445, ysiikka III (Sf) entti 653 Astiassa on, µmol vetyä (H ) ja, µg tyeä ( ) Seoksen lämötila on 373 K ja aine,33 Pa Määritä a) astian tilavuus, b) vedyn ja tyen osaaineet ja c) molekyylien lukumäärä