Jakso 15. Vaihtovirrat. Sarja- ja lineaaripiirit. Maxwellin yhtälöt

Transkriptio

1 Jakso 15. Vaihtovirrat. Sarja- ja linaaripiirit. Maxwllin yhtälöt Tässä jaksossa käsitllään vaihtovirtapiirjä. Mukana on skä sarjapiirjä ttä linaaripiirjä. Sarjapiirilaskut ovat hkä hlpompia, sillä virta on joka komponntissa aina sama, vaikka vaihtlkin ajan funktiona. Linaaripiirjä käsitltässä käyttään Kirchhoffin sääntöjä ja potntiaalia ri kohdissa. Lopussa on lasku Maxwllin yhtälöistä. Komplksilukulaskut täytyy hallita tässä jaksossa. Niitä krrataan nsimmäisssä thtävässä. Toriaa tähän jaksoon on Tuomo Nygrénin luntomonistssa luvuissa 12, 13, 14 ja 15. Matriaali on ladattavissa sivulta Lisämatriaalia on jonkin vrran linkissä Näytä tai jätä tarkistttavaksi tämän jakson thtävät viimistään tiistaina ylimääräisssä tapaamisssa. T 15.1 (pakollinn): A) Muuta suraavat komplksiluvut muotoon α + βi: a) iπ/2, b) iπ, c) iπ/4, d) 0. B) Muuta suraavat komplksiluvut muotoon iθ : a) 2 + 2i, b) 2 2i, c) i, d) i, ) 1 ) Muuta suraavat lauskkt muotoon X : a) Zi, b) c) d). D) Mikä vaih-ro on suraavin jännittidn ja virtojn välillä? Kumpi on dllä? Piirrä kuva! a) ja b) ja

2 Jännit [V] Jännit [V] Virta [10 ma] Jännit [V] T 15.2 (pakollinn): Käytössäsi on (kuvittllinn) vastus, kla ja kondnsaattori skä vaihtojännitlähd, josta saadaan sinimuotoista jännitttä. Kytk nämä nljä komponnttia sarjaan alla olvan kuvan mukaissti. Vastus Kondnsaattori Kla Vaihtojännitlähd a) Tutki (kuvittllislla) oskilloskoopilla yllä kuvatun piirin virtaa ja jännitttä vastuksn, kondnsaattorin ja klan yli. Saat nljä rilaista kuvaajaa, jotka on sittty alla. Kuvaaja A vastaa piirin virtaa ajan funktiona. Minkä komponnttin jännitttä kuvaavat B, ja D? (Opastus: Kiinnitä huomio vaihsn.) Miksi joissakin komponntissa on jännittllä ri vaih kuin piirin virralla? A B D

3 T 15.3: Vastus, kla ja kondnsaattori kytktään sarjaan vaihtojännitlähtn kanssa, kutn dllisn thtävän kuvassa. Vaihtojännitlähtn jännit ajan funktiona noudattaa yhtälöä V V 0 i Vastuksn rsistanssi on = 24 Ω, klan induktanssi L = 18 mh, = 70 µf, jännittn taajuus f = 50 Hz ja jännittn amplitudi V 0 = 10 V. Määritä a) jännittn kulmataajuus ω, b) klan komplksinn impdanssi skä impdanssin normi ja vaihkulma, c) kondnsaattorin komplksinn impdanssi skä impdanssin normi ja vaihkulma, d) piirin komplksinn impdanssi skä impdanssin normi ja vaihkulma, ) piirin komplksinn virta, maksimivirta, vaihkulma ja thollinn virta, f) virran ja jännittn välinn vaih-ro piirissä, g) piirin thollinn jännit, h) piirin kuluttama tho. T 15.4: Kla, kondnsaattori ja kaksi idnttistä vastusta on kytktty vaihtojännitlähtsn alla olvan kuvan mukaissti. Vastuksin rsistanssi on = 200 Ω, klan induktanssi L = 5,00 H, kondnsaattorin kapasitanssi = 50 µf, jännittn kulmataajuus ω = 50 Hz ja jännittn amplitudi V 0 = 50 V. Määritä a) jännittn taajuus, b) piirin ylmmän haaran komplksinn impdanssi skä impdanssin normi ja vaihkulma, c) piirin almman haaran komplksinn impdanssi skä impdanssin normi ja vaihkulma, d) koko piirin komplksinn impdanssi skä impdanssin normi ja vaihkulma, ) ylmmän haaran komplksinn virta YLÄ, f) almman haaran komplksinn virta ALA, g) koko piirin virta KOK. YLÄ KOK ALA L

4 T 15.5: Alla olvassa kuvassa on Maxwllin induktanssi-kapasitanssisilta. Sillä voidaan määrittää klan induktanssi L ja sisäinn vastus asttamalla säädttävän vastuksn ja kondnsaattorin arvot sllaisiksi, ttä laittn O läpi i kulj virtaa. Määritä L:n ja :n lausk. Opastus:Tasapainohdot ovat samat kuin Ownin sillalla (lunnot kappal 14.4). L 1 O 2 3 V T 15.6 (pakollinn): Tyhjiössä on sähköknttä, joka muuttuu ajan funktiona suraavan yhtälön E uˆ ze0 xp i ky. Määritä magnttiknttä jonkin Maxwllin yhtälön avulla ja mukaissti: osoita, ttä nämä kntät noudattavat muitakin Maxwllin yhtälöitä tyhjiössä: E 0, B 0, B E E ja B 0 0

5 Vastauksia: T 15.1:A: a) i, b) 1, c), d) 1 B) a), b), c) iπ/2, d) -iπ/2 ) 0 ) a) Z, b) Z c) d), ( ) T 15.3: a) 314 rad/s, b) Z L = (5,65 Ω)i, Z L =5,65 Ω, θ L = π/2, c) Z = (45,5 Ω)i, Z =45,5 Ω, θ = - π/2, d) Z = (24 39,8i) Ω, Z =46,5 Ω, θ = - 1,03 rad (= - 58,9 o ) (0,215A) 1,03) ) f) θ = 1,03 rad = -58,9 o, g) V = 7,07 V, h) P = 0,555 W, MAX = 0,215 A, = 0,152 A T 15.4: a) f = 7,96 Hz b) Z YLÄ = ( i)Ω, Z YLÄ = 447 Ω, θ YLÄ = -1,11 rad = -63,4 o, c) Z ALA = ( i)Ω, Z ALA = 320 Ω, θ ALA = 0,896 rad = 51,3 o, 0,148) d) Z (335 ) Z KOK = 335 Ω, θ KOK = - 0,148 rad (= - 8,46 o ) ) f) g) KOK YLÄ ALA KOK (0,112A) (0,156A) (0,149A) 1,11) 0,896) 0,148) T 15.5: L = 1 2, = 1 2 / 3