LIITE 8A: RAKENNELUVUN 137 YHTÄLÖITÄ

Transkriptio

1 LIITE 8A: RAKENNELUVUN 37 YHTÄLÖITÄ Raknnluvusta 37 on tämän työn yhtydssä syntynyt yli 00 yhtälöä, joista 00 yhtälöä on analysoitu. Näistä on osoittautunut 70 yhtälöä milnkiintoisiksi ja saman vrran otaksutaan olvan löytämättä. Näissä yhtälöissä raknnluku 37 siintyy skä sisäisnä rakntn tkijänä ttä sidosryhmin kautta, joita molmpia voi olla usampia lajja, jotn raknnluku 37 on hyvin monimuotoinn. Priaattssa sidostn on aina oltava jotnkin mukana ja sidostuminn on mahdollinn vain knttin kautta. Alkishiukkastn sisäist sidokst liittyvät värähdyshtkn samantapaissti kuin kmiassa syntyvät rilaist molkyylisidokst ja samantapaissti kuin kmian raktiot ovat mahdollisia vain värähdyshtkllä. Edllä on sittty, ttä raknnluku 37 i tul oppikirjayhtälöstä 8.. Tämän yhtälön johdannaismuodot ovat 37 h / η. q (8A.) /η. q. f V /η. h. f V (8A.) (8A.3) joissa η tyhjiön aaltoimpdanssi 376, V/A f V f 0 / 3,6, /s qhf V, J (8A.) (8A.5) (8A.6) Tulos 8A.5 syntyy, koska kääntiskntässä jännit V vastaa alkioryhmää 3,6. γ 0 ja tuloksn 8A.6 laatu J vastaa sitn tällaisn V alkioryhmän Planckin nrgiaa E hf. Sama tulos tul sittn yhtälön 7A.38 mukaissti yhtälöstä 7A.38, kun laboratoriolktroni 9 9,. 0-3 kg laittaan V jännitknttään li tällöin yhtälössä on E mv /. Yhtälöissä 8A. ja 8A.3 on aihtta uudstaan huomata, mitn fysiikassa h ja q rinnastuvat käytännössä usin samaksi asiaksi. Kaikkiin dllä olviin yhtälöihin 8A.... 8A.3 on siis luku 37 laitttu tukätn sisään ikä sitä niistä silloin titnkään voida laska. Hyvänä yhtälönä raknnluvun 37 laskmisksi on dllä sittty yhtälö 8.9 ja rikoista huomiota kannataa kiinnittää ylisn rakntn tkijään yhtälö 8.8, vaikka mont raknnluvun 37 yhtälöt voidaankin sittää matmaattissti yksinkrtaismmissa muodoissa. Ohisn yhtälöluttloon on valittu skä yksinkrtaismpia ulkorakntita, ttä monikrroksismpia sisärakntita Lambin siirtymää ja ylihinosilppoumaa unohtamatta. 8A. Raknnluku 37 plkästä luonnonluvusta muodostttuna /,37 x (+/00)/(x ) (8A.7) (/x) /x x 0, (8A.8) Tämän antama tulos on 37, ja tässä luku x on sama prustavalaatuinn alkio kuin kohdassa 7A., mistä tul simrkiksi Lambin siirtymä ja gravitaatioknttä. Tulos 8A.7 voidaan ymmärtää muodoksi

2 ,37. x sidosryhmät (8A.9) Oikan puoln nsimmäinn trmi tarkoittaa nljässä krroksssa olvaa alkioryhmää x, mikä sidostumisssa muodostaa kaksoishiukkasn luku vasmmalla puollla. Tämä asia tul kuitnkin ymmärtää myös kääntissti sitn, ttä vaikka tulos 8A.8 näyttää yksinkrtaislta, niin siinä x:llä on todllisuudssa monikrroksinn raknn sitn, ttä luku,37 on jo sinänsä monikrroksinn yhdistlmäraknn yhtälössä 8A.7 ja tämä raknn kokonaisuudssaan siirtyy yhtälöön 8A.8. Tämän tyyppinn saattaa olla luonnonluvun todllisuus fysiikassa, mikä sittn voidaan sittää yksinkrtaismmissa matmaattisissa asuissa. 8A. Kohta 8A. kun sidosryhmä on muotoa 3535,37. x. ( +,3535 3, ) (8A.0) (/x) /x x 0, (8A.) Tämä antaa myös oikan tuloksn kaikilla laskimn numroilla ja roaa dllisstä ainoastaan sillä tavalla, mitn sidosryhmä ilmoittaan. Kaikissa tapauksissa näissä rakntissa siintyvät aina molmmat rakntt 00 ja Eksponntti 3,8 yhtälössä 8A.0 tarkoittaa kaksoisraknntta. ( + 0.9) 3,8. 8A.3 Raknnluku 37 liittynnä usampiin x x -rakntisiin a. ( +,37, ) b a a y y y a, b b,37 / b, (8A.) (8A.3) (8A.) Yhtälö 8A. antaa oikan tuloksn raknnluvull 37 kaikilla käyttyn laskimn numroilla. Lisäksi kannattaa huomioida, ttä kaikissa näissä kohdissa 8A.... 8A.3 siintyy tkijänä,37 /. 8A. Raknnluku 37 tulokssta 8.9 johdttuna,9 /(/,9. 000) 6, (8A.5) 9. 6,68 7, A (8A.6) (x x ) x 0 0 x, B (8A.7) B /(. ( + A. 0-6 ) ), (8A.8) Yhtälö 8A.5 kuvaa tässä rästä hiukkasfysiikan prustavalaatuista raknntta, mikä toistuu usin. Luvut 9 0. (,0 + 0,9) ja ovat puolstaan räitä mikrorakntn pruslukuja.

3 8A.5 Raknnluku 37 prusraknnluvun.9 muodostamana a ( ) 37 + a ( ), ,9 00 (8A.9) (8A.0) Ensimmäinn lisätrmi antaa tuloksn / 37, , mikä on tarkin mahdollinn kymmnllä numrolla ilmoitttava tulos. Säännöllisstä hiukkassta on aina olmassa /000-osa ja siitä dlln /,9-osa. Luku yhtälön 8A.0 dssä tarkoittaa, ttä tällaissta raknnosasta ottaan puolt sidostumisn. Yksinkrtaisuus ja päättymättömyys ovat tämän yhtälön hyviä puolia. Kysymys matmatiikall: voisivatko kaikki riittävän suurt luvut olla raknnttu luvun 9 potnssista (i its kksitty). 8A.6 Raknnluku 37 prusluvun 0 muodostamana ( ) 00 β 0 0 ( 6 / 5 0β 6 0 ) ( β ) 0 β dx β, (8A.) (8A.) (8A.3) Tämä yhtälö on samantapaissti kaunis kuin yhtälö 8.9 ja s on yksinkrtaissti raknnttu vain luvusta 0. Sn lisäksi siinä jokainn hiukkaslajikrros osallistuu aina samalla panokslla : joko lisäosana (+) tai yhtisllä osalla (-). Tällä taas saattaa olla lähistä sukulaisuutta protonin ja nutronin massaroon. Yhtälön 8A. antama matmaattinn tulos on / 37, , koska käyttty laskin i tässä tapauksssa riitä parmpaan. 8A.7 Raknnluvun 37 muodostaminn luvun 00 dksponointi tulokssta 6 ( ) ( 00) + dx( 00) 37 + A 0 dx 00 ( ) [ ] ( ) /,9 50, ( 50 ) A 9 dx(00) x x 00 x 3,59780 dx(00) (8A.) (8A.5) (8A.6) Yhtälön 8A. antama arvo on / 37, Tässä yhtälössä raknnluvun 37 tkijät ovat hiukkasfysiikan prusluvut 0 ja,9. Kun raknnluku 37 on syntynyt sadasta alkioryhmästä, minkä kunkin koko on,37 00.,37 37, niin yhtälössä 8A. tkijä dx (00)/00 ilmoittaa, ttä jokaista alkioryhmää sitoo yksi alkioryhmä dx (00). Nämä viimksi mainitut alkioryhmät on puolstaan sidottuja tkijällä A, mikä on tuttu sidostkijä muualtakin ja lopulta yhtälön 8A.5 tkijä (+/000+.) osoittaa näidn sidostumistkijöidn sisäistä raknntta.

4 8A.8 Raknnluku 37 laskttuna protonin ja lktronin massasuhtsta 0 / 37 0, A 000 β ( + ) (8A.7) missä ja A dx [ dx( )] 0, ( ) x x ( ) 6 6 x dx x ( ) 0, [ dx( )] 0, (8A.8) (8A.9) (8A.30) (8A.3) β kahdsti didksponoitu didx didx () x y x y ( x ) y ( y ) x, didx didx () (8A.3) (8A.33) Dksponointi ja didksponointi ovat aivan yksinkrtaisia käsittitä, jotka näyttävät liittyvän olllislla tavalla hiukkasfysiikkaan. Titysti on hyvin milnkiintoista, ttä protonin ja lktronin massasuhd voidaan laska käyttämällä vain raknnlukua 37 ja luonnoslukua. Kun yhtälöä käyttään toisn suuntaan, niin ratkaisuksi luonnollissti tul raknnluku 37. Yhtälön 8A.7 antama numrinn tulos on 37, / (8A.3) / 37, (8A.35) Kahdn viimisn numron tulisi olla 6 ja ro voi hyvin johtua laskimn rajoituksista rikoissti ksponointi ja dksponointi thtävissä. Toisaalta tuloksssa 8A.3 on numroa oikin, jotn saattaa olla, ttä myös tulos 8A.35 on pätvä ja rinnakkainn tuloksll 8.. 8A.9 Raknnluku 37 ja raknn (/) / Tässä yhtydssä käsitllään ri tavoin sllaisia rakntita, joidn olttaan olvan jollain tavalla avainasmassa hiukkasrakntissa, vaikka samat asiat voidaan usin ilmaista matmaattissti yksinkrtaismmin. S, ttä asiat voidaan ilmaista monin tavoin johtuu raknnluvun 37 skä sn johdannaisn.,37, monimuotoisuudsta. Usat näistä monimuotoisista rakntista voidaan ajatlla lisäksi yhtä aikaa olmassa olviksi ja myös sisäist värähtlyt

5 muodossa 37 n /37 n ovat mahdollisia. Tässä yhtydssä tutkitaan tarkmmin prustavanlaatuisia yhtälöitä Y ja Y. Y ( / ) / / (8A.36A) 0, (8A.36B) Y,9 [ ( 50)/,9 ( 50),9 000 ] (8A.36C) 77,337 (8A.36D) Rakntt 8A.36A ja 8A.36C ovat slvästikin ri luontisia, mutta n voivat kuvata samaa asiaa. Tämä takia tutkitaan, ttä onko olmassa sllaisia johdonmukaisia alkioryhmiä, joilla syntyy yhtälöt Y Y AtaiY B. Y. Tässä jo nyt voidaan todta, ttä molmmat löytyvät hiukkasfysiikan tavanomaisina ratkaisuina usammallakin tavalla, joista kummastakin sittään tässä yhtydssä yksi havainnollistava simrkki. Kysymyksssä ylnsä on päättymätön sarja alkioryhmiä tai ainakin voidaan sanoa, ttä ihmiskunnalla i ol prustita olttaa, ttä on olmassa tunnttu pinin tasalukuinn alkioryhmä. Rajoitukst asttavat laskimin tarkkuus ja lähtöarvojn tarkkuus varsinkin, jos viimksi mainittuja on usampia rinnakkaisarvoja. Kun mrkitään A A +A, niin nsiksi saadaan, ttä A on samaa sukua kuin its raknn Y, mikä ylnsä on tärkä asia. (/) /. (/) 0, (8A.37A) / 0, / A (8A.37B) Nyt saadaan Y A / 00 0, (8A.37C) Tämä on tarkkuudlla 0, sama tulos 8A.36D, mutta pini alkio jää puuttumaan. Nyt tarkoituksllissti olttaan, ttä Lambin siirtymä sisältää tidon tällaisn alkion olmassa olosta, mikä tarkoittaa, ttä sama alkio siintyy protonisissa rakntissa. Kirjoittaan Lambin siirtymä muotoon / 7777,5638, (8A.37D) x x / 00 3 (8A.37E) x, x,555555,55 / 00 3, A Y A 77,3099 : 00 0, (8A.37F) (8A.37G) (8A.37H) (8A.37I) (8A.37J)

6 mikä on täsmälln sama tulos kuin yhtälöstä 8A.37C. Tämän jälkn käsitllään yhtälöitä Y ja Y toislla tavalla ja kirjoittaan Y kääntisalkioryhmän muotoon. 0. /. Y 0, (8A.38A) ( +. Y /00 3 ). 0, , (8A.38B) Tämän rotus yhtälöön Y on 6, , mikä on juuri yhtälön 8A.36C suluissa olvan lauskkn arvo li. Y /.,9 6, (8A.38C) Nämä lasklmat ovat hyvin johdonmukaisia ja pätvät kaikilla käyttyn laskimn tarkkuuksilla. Näistä yhtälöistä löytyy myös muita tuttuja alkioryhmiä, mutta tarkoitushakuissti yhtnä ratkaisuna haluttiin sittää Lambin siirtymään liittyvä x x -ratkaisu. 8A.0 Raknnluku 37 Lambin siirtymästä ja ylihinosilppoumasta laskttuna,637 9, ,605698/,637 9, ,066 (8A.0) + " Lamb" " ylihino" 00 Suraava trmi olisi /, mikä on kaukana skä laskimn ttä raalistn mittaustn tarkkuudsta, mutta saattaa silti olla oikin ja sitn osoittaa sitä voimaa, mikä matmatiikalla on ja sitä suurta säännöllisyyttä, mikä hiukkasfysiikalla on. Luku on räs luonnon suosima hiukkaslukumäärä, mistä tul. 3,6. 3, γ 0, mutta fysiikka on kiinnittänyt nrgian ,066 V. Tästä luvusta saadaan titysti raknnluku 37 hyvin yksinkrtaissti ,60 (8A.) Tällä yhtälöllä 8A. on kuitnkin monta onglmaa, joista yksi on s, ttä historiallissti tarkastltuna sitä tul pitää järjstttynä. Lisäksi luonnon suosima luku ilmoittaa rään lktronin koon fotonissa γ o lausuttuna, mutta tämä räs lktroni i olkaan lktroni 9 vaan, krtaa suurmpi 3,6 ja tämäkin sittn vilä kaksinkrtaisna. Yhtälössä 8A.0 luku,637 on kääntisksponointitulos luvusta,3535 ja sitn räs prustavalaatuinn alkioryhmä. x /x,3535 x, (8A.) Kukapa olisi aikaismmin uskonut, ttä matmaattissta nrgiasta 3,6 V voidaan yksinkrtaislla tavalla yhtä aikaa ratkaista skä Lambin siirtymä ttä ylihinosilppouma tai kääntän, ttä näistä voidaan yksinkrtaislla tavalla ratkaista raknnluku 37 / kaikkin numroidn tarkkuudlla. 8A. Raknnluku 37 luonnonvakiosta ω r/v laskttuna

7 Kaikill säännöllisill hiukkasill pät riippumatta niidn koosta ω r/v/(. 37) (8A.3) kaikkin numroidn tarkkuudlla. Tällöin on tarkasti huomioitava, ttä kaikki luvut todllinn värähdysluku ω, ominaiskntän säd r ja hiukkasn siirtymänopus v vastaavat toisiaan. Esimrkiksi magntonill m m nämä ovat: ω, /s r, m v, m/s (8A.) (8A.5) (8A.6) 8A. Raknnluku 37 raknnttuna V kntästä ja varaukssta ÿÿ. ω V / q, , /, , (8A.7) Tämä on ns. vaarallinn yhtälö samalla tavalla kuin yhtälöt 8A.... 8A.3. Yhtälön 8A.7 komponntit ja tulos ovat oikita ja hyviä, mutta niidn yhdistämisssä näyttää olvan vähän järkä. Kun fysiikka usin tarvits lukua 37 ja sn potnssja, niin näillä yhtälöillä ja niidn yhdistlmillä s onnistuu ilman, ttä näin syntyvät symboliyhtälöt sittäisivät mitään todllista fysiikassa. Värähdysluku ω V lasktaan sitn, ttä kun fotonin γ 0 taajuus on 3, /s, niin sn värähdysluku on π. 37. f, Sähköknttä V on raknnttu yhtnäisistä alkioryhmistä 3, γ 0, jotn tällaistn alkioryhmin värähdysluku on, / 3,6, /s. 8A.3 Raknnluku 37 Rydbrgin vakiosta laskttuna R. λ c λ c / λ 0 /(. 37 ) (8A.8) Tämä yhtälö on todllista fysiikkaa ja sanoo, ttä sähkökntältään prusfotoni γ 0 on. 37 krtaa suurmpi kuin Comptonin lktroni c ja sitn näidn aallonpituuksilla λ 0 ja λ c on sama suhd. Tätä yhtälöä 8A.8 voidaan toriassa käyttää raknnluvun 37 mittaamisn. 8A. Raknnluku 37 säirakntna Hiukkastn voidaan olttaa ktjuuntuvan kaksoissäikksi muodossa ÿ (8A.9) Esimrkiksi atomiytimissä tämän tyyppinn sisäinn raknn voi olla välttämätön, koska niissä siintyvät nrgiatasot lukuun 3 asti. Tällaist sisäkkäist kaksoisrakntt 00 voivat muodostaa

8 ri hiukkasryhmin välist rot ja kun jokainn luku on sisältä,37, niin silloin juuri tul ryhmäro 37. Raknnluvussa 37 luku,37 voi olla jokin dllä lutlluista rakntista tai todnnäköismmin vilä usampi raknn yhtä aikaa. Näin saattaa hyvin olla msonisissa rakntissa. Protonisissa rakntissa tilann on toinn ja sillä pät (8A.50) Kun yhtälössä 8A.9 raknnluvun 37, dsimaaliosa voidaan olttaa tasan jakautunksi rakntssa, niin yhtälössä 8A.50 ja protonistn rakntidn uloimmassa krroksssa dsimaaliosa kuuluu kahdll suurimmall raktiivisll jakll (9 + ) + ( + 3) + ( + 3) 68 jakll. Tämä on slvittty yksityiskohtaissti yhtälön 7A.5A yhtydssä ja vastaa sitä, ttä atomilla ominaislämmöt C p ja C V puolstaan riippuvat vastaavalla tavalla kahdsta suurimmasta raktiivissta lktroniryhmästä, vrt. Esim. yhtälö A.. 8A.5 Raknnluku 37 laskttuna protonin ja nutronin massarosta Lasktaan tämä nsiksi tunntun massasuhtn n / p +, mukaissti, jolloin massaro on, kg. Tämän jälkn käyttään hyväksi yhtälöä 7A.7E muodossa m 3 / c / 0 (8A.5) missä c Comptonin lktroni, kg ja sitn suhtksi tul massoista suoraan laskttuna m 3 / c, (8A.5) Yhtälöstä 8A.5 saadaan tulos m 3 / c, (8A.53) mikä on täsmälln tulos 8A.5. kun , , , (8A.5) niin voidaan sanoa, ttä protonin ja nutronin massaro saadaan raknnluvun 37, avulla ja kääntän, ttä raknnluku 37 saadaan protonin ja nutronin massarosta, mutta nyt nintään tarkkuudlla 37, Tämä johtuu luonnollissti protonin ja nutronin massaron tarkkuudsta yhdistttynä laskimn tarkkuutn.