1. Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "1. Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta"

Iivari Hovinen
6 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 766328A Termofysiikka Harjoitus no. 5, ratkaisut syyslukukausi 204). Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta E n n + ) ω, n 0,, 2,... 2 a) Oskillaattorin partitiofunktio saadaan sijoittamalla oskillaattorin energiat partitiofunktion lausekkeeseen β / ), Z n0 n0 e ωβ 2 e ωβ 2 e Enβ e n+ 2 ) ωβ n0 e n ωβ ) e ωβ n. n0 Tämä on muotoa Z A n0 xn oleva geometrinen sarja, missä A e ωβ/2 ja x e ωβ. Sarja suppenee, jos x < eli jos ωβ > 0. Vakiot ja k ovat positiivisia. Jos oletetaan, että myös T ja ω ovat positiivisia T, ω 0), ehto toteutuu ja sarja suppenee lausekkeeksi Z A x e ωβ/2 e ωβ e ω 2 e ω b) Tilojen todennäköisyydet saadaan Boltzmannin jakaumasta, Perustilan n 0 todennäköisyys on p 0 Z e E 0. p n Z e En. e ω 2 e ω e ω ja ensimmäisen viritystilan n todennäköisyys p Z e E e ω e ω 2 e ω e ω ) e ω 2 ) e 3 ω 2 ).

2 c) Luentojen yhtälön 4.30) mukaan energian keskiarvo saadaan derivoimalla partitiofunktion luonnollista logaritmia, E ln Z/ β. Edellä lasketun partitiofunktion avulla E β e ωβ/2 β ln e [ ωβ ) ωβ 2 ln e ωβ ) ] ω 2 + ωe ωβ e ωβ ) ω 2 + e ωβ ) ω 2 +. e ω d) Oskillaattorin lämpökapasiteetti C V d E /dt saadaan derivoimalla edellä laskettua energian keskiarvoa, C V d [ )] ω dt 2 + e ω ω ω k e ω ) 2e ω ) 2 e ω e ω ) 2. e) Tarkastellaan lämpökapasiteetin raja-arvoa, kun ω ) 2 i) lämpötila T 0. Merkitään x ω/ ), jolloin x. Tällöin lim C V lim T 0 Kun x on suuri, e x e x, jolloin x kx 2 e x e x ) 2. lim C V lim kx 2 ex T 0 x e 2x kx 2 lim x e, x missä sekä osoittaja että nimittäjä lähestyvät ääretöntä. Raja-arvoon voidaan tällöin soveltaa l Hôpitalin sääntöä, jonka mukaan funktioiden fx) ja gx) osamäärän raja-arvo lim x c fx)/gx) lim x c f x)/g x), mikäli lim x c fx) lim x c gx) 0 tai ±. Lämpökapasiteetin raja-arvoksi saadaan tällöin lim C 2kx V lim T 0 x e, x jossa osoittaja ja nimittäjä lähestyvät edelleen ääretöntä. Käyttämällä sääntöä uudelleen saadaan raja-arvoksi lim C 2k V lim T 0 x e 0 x eli lähestyttäessä absoluuttista nollapistettä lämpökapasiteetti vakiotilavuudessa lähestyy nollaa. 2

3 ii) lämpötila T. Edellisen kohdan merkinnöillä x 0 ja lim C V lim T x 0 kx 2 e x e x ) 2. Koska x on nyt hyvin pieni, eksponenttifunktiota voidaan approksimoida kirjoittamalla se sarjakehitelmänä e x + x +..., joka katkaistaan lineaarisen termin jälkeen. Tällöin lim C V lim T x 0 kx 2 lim x 0 k + x) k. + x + x ) 2 Lämpötilan noustessa lämpökapasiteetti siis lähestyy Boltzmannin vakiota. 2. Yksiatomisen klassisen ideaalikaasun partitiofunktio on β ) ZT, V, N) [ ) ] 3/2 N ev 2πm. N h 2 a) Sisäisen energian keskiarvoksi saadaan partitiofunktion logaritmia derivoimalla E ln Z β β ln β N 3 2 N β 3 2 N h2 h 2 β 3 2 N. [ ev N ) ] 3/2 N 2πm h 2 β ) ev + 3 )] 2πm N 2 ln h 2 β [ ln 2πm) ln h 2 β )] [ ln 4.30) b) Sisäisen energian keskihajonta saadaan derivoimalla energian keskiarvoa, E) 2 E β E β 3N 2β N. ) 3N 2β 4.33) 3

4 c) Paineen P keskiarvo saadaan derivoimalla partitiofunktion logaritmia, P ) ln Z 5.8) β V β [ ) ev N ln + 3N )] 2πm β V N 2 ln h 2 β β N [ ] lnev ) ln N V β N e ev N V. Kaasun paine P,00 atm 0325 Pa, lämpötila T ,5 K ja tilavuus V,00 km 3, m 3. Sisäisen energian keskiarvon suuruus on tällöin ideaalikaasun tilanyhtälön avulla E 3 2 N 3 2 P V Pa,00 09 m 3, J ja keskihajonnan suuruus, kun Boltzmannin vakio k, J/K, 3 E 2 N 3 P V P V Pa,00 09 m 3, J K 7, J 7, J. Entropian muutos saadaan termodynamiikan perusrelaatiosta olettamalla, että dv 0, de T ds P dv 5.25) S E T 7, J 293,5 K 2, J K 2, J K. 3. Merkitään systeemin kahta mahdollista mikrotilaa symboleilla tila ) ja tila 2). Eräässä makrotilassa näiden mikrotilojen esiintymistodennäköisyydet ovat p 2/3 ja p /3. Tarkasteltavana on kokonaissysteemi, joka koostuu edellä kuvatun yhden systeemin kuudesta identtisestä kopiosta. 4

5 a) Mikrotilojen esiintymislukumäärien eli miehityslukujen oletetaan vastaavan tarkasti tilojen esiintymistodennäköisyyksiä. Koska systeemin kopioita on kuusi, mikrotilassa on p systeemiä ja mikrotilassa puolestaan p systeemiä. Luonnollisesti p +p, joten olisi voitu laskea myös p p ) b) Kokonaissysteemin fysikaalisesti erilaiset tilat saadaan luettelemalla kopioiden sellaiset permutaatiot, jotka noudattavat kohdan a) tuloksia. Nämä tilat yhteensä 5 kappaletta) on esitetty alla: c) Luentojen perusteella tilojen lukumäärä voidaan laskea lausekkeesta Ω N N! N!N 2!N 3! N r!, 5.) missä N on systeemien lukumäärä ja N r mikrotilaan r kuuluvien systeemien lukumäärä. Tarkasteltavan kokonaissysteemin tapauksessa r 2, N 6, N 4 ja N 2 2, jolloin mikä on sama tulos kuin edellä. Ω 6 6! 4!2! 6 5 4! 4! 2 5, d) Entropia on luentojen yhtälön 4.3) mukaan suoraan verrannollinen mikrotilojen lukumäärän luonnolliseen logaritmiin, S k ln Ω, jolloin S k ln Ω 6 ln 5 2,708. e) Kokonaissysteemin entropia on osasysteemien entropioiden summa. Koska systeemit ovat toistensa kopioita, yhden systeemin antama osuus kohdan d) entropiaan on S k N ln Ω 6 ln 5 6 0,45. f) Kun systeemin kopioiden lukumäärä lähestyy ääretöntä, käytetään Gibbsin entropian 5

6 määritelmää, jolloin yhden systeemin antama osuus kokonaissysteemin entropiaan on S k r p r ln p r 5.5) S k r p r ln p r p ln p + p ln p ) 2 3 ln ln 3 0, Informaation muutos I on verrannollinen entropian muutokseen S Q/T, missä Q on systeemiin tuotu lämpömäärä. a) Ideaalikaasun isotermisessä puristuksessa E 0, jolloin termodynamiikan ensimmäisen pääsäännön nojalla Q W. Ideaalikaasun tilanyhtälön P V nrt avulla Q V 2 V V 2 V P dv nrt V dv / V 2 nrt ln V V nrt ln V 2 ln V ) nrt ln V ) 2 ln V nrt ln 2 nrt ln 2. Entropian muutokseksi saadaan siirtyneen lämpömäärän avulla S Q T nrt ln 2 T Nk ln 2. Informaation muutos saadaan jakamalla puolittain luentojen yhtälöt S k r I C r p r ln p r 5.5) p r ln p r ln 2 p r ln p r, 5.) r 6

7 jolloin S k ln 2 I S k I ln 2 I S k ln 2 Nk ln 2 k ln 2 N. Informaatio siis lisääntyy N bittiä. b) Adiabaattisessa puristuksessa Q 0, jolloin S 0. Siitä seuraa, että I 0, joten informaatio ei muutu adiabaattisessa puristuksessa. 5. Jääkaapista otetaan m 0,500 kg kivennäisvettä, joka lämpenee päivän aikana alkulämpötilasta T 5,0 278,5 K huoneen vakiona pysyvään lämpötilaan T 2 20,0 293,5 K. Veden ominaislämpökapasiteetti tällä lämpötila-alueella on c 490 J/kg K). a) Veden lämmetessä arvosta T arvoon T + dt siihen siirtyy ympäristöstä lämpömäärä d Q cmdt. Veden entropian muutokseksi S v saadaan tällöin luentojen mukaan ds d Q T S v T 2 T cm T dt / T 2 cm ln T T cm ln T2 T ) 490 J kg K 0,500 kg ln 0, J K 0 J K. ) 293,5 K 278,5 K 5.28) b) Veden lisäksi myös huoneen entropia S h muuttuu prosessin aikana. Koska lämpöä siirtyy veteen, ympäristöön tuotu lämpömäärä on negatiivinen, ja koska huoneen lämpötila T 2 ei oleellisesti muutu kyseessä on vesipullon kannalta lämpökylpy), S h T 2 T cm T 2 cm dt T 2 / T 2 T T cm T 2 T T 2 7

8 490 J kg K 293,5 K 278,5 K 0,500 kg 293,5 K 07, J K 07 J K. Tuloksista nähdään, että vaikka ympäristön entropia pienenee prosessin aikana, kokonaisentropia S S v + S h kasvaa: S v + S h 3 J/K > Jos mustan aukon massa on M, sillä on entropia S 8π2 kgm 2, hc missä k on Boltzmannin vakio, G gravitaatiovakio, h Planckin vakio ja c valon tyhjiönopeus. a) Kun Käytetään energian ja massan ekvivalenttisuutta E mc 2, saadaan mustan aukon entropia kirjoitettua muodossa S 8π2 kgm 2 hc αm 2 α E2 c 4, missä α 8π 2 kg/hc). Entropian muutos saadaan differentioimalla, ds α 2E c 4 de α 2E c 4 dmc2 ). Luentojen yhtälön avulla lämpötilaksi saadaan T d Q ds dmc2 ) α 2E dmc c 2 ) 4 c 4 8π 2 kg2mc hc 2 hc 3 6π 2 kgm. 5.28) b) Käyttämällä termodynaamisen lämpötilan määritelmää, saadaan T ds de α2e T c 4 hc 3 6π 2 kgm. 4.9) 8

9 c) Mustan aukon lämpövirta on Stefan-Boltzmannin lain mukaan h σt ) Käyttämällä Schwarzschildin sädettä R 2GM/c 2, säteilytehoksi saadaan P ha σt 4 4πR 2 ) hc 3 4 2GM σ 4π 6π 2 kgm c ) 2 h 4 c 2 4π4G 2 M 2 σ 6 4 π 8 k 4 G 4 M 4 c 4 σh 4 c π 7 k 4 G 2 M. 2 d) Tarkastellaan hiiliatomin ytimen kokoista mustaa aukkoa, jonka säde R m. Vakioiden arvot ovat G 6, m 3 /kg s 2 ), h 6, J s, k, J/K, σ 5, W/m 2 K 4 ) ja c m/s. i) Massaksi saadaan Schwarzschildin säteen avulla ii) Entropiaksi saadaan S 8π2 kgm 2 hc M Rc2 2G ) m m s ) 2 2 6, m 3 kg s 2 2, kg 2, kg. 8π2, J K 6, m 3 kg s 2 6, J s m s 2, kg) 2, J K, J K. iii) Lämpötilaksi saadaan hc 3 T 6π 2 kgm 6, J s m s ) 3 6π 2, J K 6, m 3 kg s 2 2, kg 6, K 6, K. 9

10 iv) Säteilytehoksi saadaan edellä laskettujen lukuarvojen avulla P ha 4σT 4 πr 2 4 5, W m 2 K 4 6, K) 4 π m) ,42 W 87,3 MW. Jos musta aukko säteilisi vakioteholla P E/t, sen elinaika olisi t E P Mc2 P 2, kg m s ) ,42 W 2, s 6, a. 0

Samankaltaiset tiedostot

Mikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1

Mikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1 76628A Termofysiikka Harjoitus no. 4, ratkaisut (syyslukukausi 204). (a) Systeemi koostuu neljästä identtisestä spin- -hiukkasesta. Merkitään ylöspäin olevien spinien lukumäärää n:llä. Systeemin mahdolliset