Smplex-menetelmän menetelmän lasennallset tenat 9. luento: Prmaal-smplex Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 1 Prmaal-smplex Degenerotuneen annan ästtely Saraeen valnta Rvn valnta Wolfen menetelmällä Rvn valnta asvavalla toleransslla (EXPAND) Alotusannat Loognen anta CRASH-annat CPLEX-anta Tearng algorthm Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 2 1
Degenerotunesuus Vaarana ertämnen: palataan samaan antaan uudestaan a uudestaan Käytännön tehtävssä ongelmana paalleen äämnen Degenerotunesuus = antamuuttua raallaan D = { ( x = 0, I I I ) ( x = u, )} : 0 1 2 I1 Vapaat muuttuat (tyypp 3) evät ole osaan degenerotuneta Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 3 Lähes degenerotuneet muuttuat Degenerotunesuus toleranssn avulla + D = : β ε D = { d } { : β υ ε max{ 1, υ }} d + D = D D Degenerotunut nntetty muuttua (tyypp 0) uuluu molempn ouohn D + a D - Menetelmät degeneracy aware: hnnottelu, Wolfe ym härntämenetelmät degeneracy unaware: EXPAND, FEWPHI Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 4 2
Degenerotunesuuden huomova hnnottelu Hnnottelulla tarotus löytää ohdefunton arvoa parantava ratasu Hnnottelussa pävtettävä saraeta e tedetä Hnnottelussa vodaan äyttää rteerä, oa postaa todella huonot ehdoaat 1 Lause: Oloon α parantava ehdoas = B a pävtettynä. Sen tuomnen antaan tuottaa adost parantavan aseleen, os V = α = 0 D Tämän lasemnen äytännössä mahdotonta Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 5 Ylmääränen hnnotteluvetor Määrtellään v: 1, os D v = 0, muuten Approsmodaan V : ˆ T T 1 = α = v α = v B D V Lasennallnen työ: BTRAN v-vetorlla seä pstetulo edullsten saraeden anssa Saraeet, olla pen Vˆ, on suuremp mahdollsuus tuottaa adost parantava asel a = vˆ T a Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 6 3
Tonen approsmaato V :lle Lause: Van degenerotunut asel on mahdollnen saraeella, os T = α α > 0 + D D Jos T 0, mtä tahansa vo tapahtua Tähän heurstaan perustuvaa saraeen valntaa annattaa äyttää van, os anta on degenerotunut E-degenerotuneessa annassa valnta tällä heurstalla e paras mahdollnen Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 7 Wolfen ad hoc menetelmä Teoreettsest ärevä a lasennallsest tehoas Ertysen tehoas ombnatorsten tehtäven LPrelasaaton ratasemsessa Vauttaa annasta postuvan muuttuan valntaan Käytetään 2. vaheen smplexssä Yrtetään postaa nntetyt muuttuat annasta (tyypp 0) mahdollsmman nopeast Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 8 4
α 0 α 0 α = 0 Degenerotuneet antamuuttuat Degenerotuneden antamuuttuen ouot D + = D = ~ D = { : β = 0, type( β ) { 1,2} } { : β = υ, type( β ) = 1 } { : β = 0, type( β ) = 0 } Iteraato e ole degenerotunut, os D D ~ D + β ( t) ( ) 2 α 0, type β = Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 9 Degenerotumsen ästtely Etstään lasusuunta degenerotunelle muuttulle Jos lasusuunta löytyy, saadaan e-degenerotunut teraato Alotetaan, un aselptuus θ = 0 ensmmäsen erran Jos D ~ e ole tyhä, annasta postuu D ~ :ssä oleva muuttua, ona pvot-alo on suurn p ~ p : α α, D Jos D ~ on tyhä, suortetaan Wolfen algortm Mertään D = D + D Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 10 5
Wolfen algortm Degenerotunesuuden syvyys g, D Jos syvmmällä olevaan muuttuaan satunnanen härö, tällön degenrotunesuus syvenee Jos lasusuunta löytyy, degenerotunesuus matalotuu g = 0, D Parantava ehdoas x on valttu Pävtetty sarae α saatavlla Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 11 Wolfen algortm, 1.. asel Satunnanen härö alle degenerotunelle muuttulle β : = δ, β : = υ δ, os β = 0 os β = υ Joaselle D, δ valtaan satunnasest erseen Kasvatetaan syvyyttä g : = g +1 Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 12 6
Wolfen algortm, 2. asel G = max { g } Mertään Tehdään suhdetest alle muuttulle, olla g = G Jos pvot-rv p löytyy, olla p θ = β p α ta ( ) p θ = β p υ p α srrytään 3. aseleeseen, muuton srrytään 4. aseleeseen Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 13 Wolfen algortm, 3. asel Kannasta postuva muuttua asetetaan täsmälleen raallensa Jos g < G, nn antamuuttuaa e pävtetä Jos g = G, pävtetään antamuuttua: β : = β θα, os p β p : = x + θ Asetetaan g p = G Valtaan uus antaan tuleva sarae a palataan aseleeseen 1 Jos uutta ehdoasta e löydy, ratasu on optmaalnen Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 14 7
Wolfen algortm, 4. asel Pvot-rvä e löytynyt Löydettn lasusuunta altehtävälle, ossa g = G Degenerotunesuus on madaltunut Jos G = 0, tehtävä on raottamaton Jos G > 0, nn pävtetään alla, olla g = G β = 0 ta β = υ g := g 1 Palataan aseleeseen 2 Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 15 Wolfen menetelmän edut E aheuta epääypyyttä Lasennallnen työ asvaa van ohtuullsest Toteutus ysnertasta Jos äytetään degenerotumsen huomovaa hnnottelustrategaa, ouot D + a D - raottuvat muuttun, olla g = G Lähes degenerotuneden muuttuen huomont täreää Menetelmän äyttöä tuls vvyttää, unnes on tehty tetty määrä perääsä degenerotuneta teraatota Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 16 8
Kasvava toleranss (EXPAND) Taaa mnmparannusen oasella teraatoerrosella Jodenn antamuuttuen äypyys rotaan Mään anta e tostu Aheutettu epääypyys vodaan hallta Epääypyys postetaan, un optmaalnen ratasu relasodulle tehtävälle on saavutettu Mustuttaa Harrs:n suhdetestä Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 17 EXPANDn alustus Muuttuen raat välennetään päätoleransslla δ f e x u + δ f e Työ toleranss äypyydelle δ asvaa oasella teraatoerrosella τ:n verran Valtaan antaan tuleva muuttua x a lasetaan sen 1 pävtetty sarae α = B a Pävtetään toleranss: δ δ + τ = 1 Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 18 9
β + δ, α tˆ = β υ δ, α EXPAND, vahe 1 osα > ε osα < ε { } tˆ Asetetaan: θ = mn 1 Oletetaan, että antaan tulevan muuttuan yläraa e ole este: θ 1 u p p Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 19 EXPAND, vahe 2 Lasetaan suhteet uudestaan, tarolla raolla t β, α = β υ, α osα > ε osα < ε Luodaan rv-ndesen ouo T: T { t θ } = : 1 p p Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 20 10
EXPAND, vahe 3 Valtaan p T sten, että p α α T Nän määräytyy θˆ = t p Asetetaan: θ = max{ θˆ,0 } Jos θ = 0, lasetaan EXPANDn vaatma mnmaselptuus p θ mn = τ α > 0 Määrtetään EXPAND-aselptuus: θ = E max { θ, θ } mn Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 21 EXPAND-menetelmän seurauset Jos postuva muuttua β p ol äypä a auempana un τ lähntä raaansa, nn yseessä on e-degenerotunut asel, a β p postuu annasta täsmälleen raallaan Jos β p ol lähempänä raaansa un τ, nn tehdään paotettu vähmmäsasel. Raa rotaan enntään τ:n verran Jos β p ol o valms epääypä nyysen toleranssn suhteen, epääypyys asvaa τ:n verran Epääypyys asvaa välllä [τ, δ + τ] Nyt δ +1 = δ + τ, oten β p sälyy äypänä, os ol äypä Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 22 11
Toleranssn hallnta Työtoleranssn annetaan asvaa anoastaan K teraatoerrosta Työtoleranss e yltä päätoleranssa: δ δ f, K Suostusa: δ = 10 K = 10000 K f 0 ( δ δ ) K K 6 δ = 0.5δ δ = 0.99δ τ = f 0 f Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 23 EXPANDn nollaus K teraaton äleen toleransst vodaan nollata Tarvtaan myös optmratasun löydyttyä, ollon ratasu lasetaan uudestaan tarolla raolla Työtoleranss asetetaan nollaan, samon E-antamuuttuat, ota ovat δ f :n päässä raastaan, srretään täsmälleen raallensa Kantamuuttuen arvot lasetaan mahdollsest uudestaan Nollausen tulosena antaratasu saattaa äädä epääyväs Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 24 12
EXPANDn edut Degenerotuneta muuttua e tarvtse erseen etsä Suhdetestssä e ylmäärästä lasentaa a tuee numeersta stablutta Helppo toteuttaa Tom hyvn penllä a essuurlla tehtävllä Huonost äyttäytyvllä a suurlla tehtävllä toleranssen nollaus vo aheuttaa ongelma Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 25 Alotusannat Smplex-menetelmä tarvtsee alotusannan Valtaan m lneaarsest rppumatonta saraetta antaan Paremp alotusanta: tehtävän ratasuun tarvtaan penemp oonastyö Menetelmä: Loognen anta CRASH-annat CPLEX-anta Tearng algorthm Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 26 13
Loognen anta Joasella raotteella loognen muuttua, ota muodostavat ysömatrsn Loognen anta on ysömatrs, B = I Etua: Luont tapahtuu välttömäst Vastaava annan ääntesmatrs het saatavlla Ensmmäset teraatoerroset nopeta Vo utenn ohtaa huomattavast suurempaan teraatomäärään un muut alotusannat Saadaan paremp aluratasu, os alotusannassa palon raenteellsa muuttua Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 27 CRASH-annat Luodaan suurn mahdollnen olmomatrsanta, ossa seä raenteellsa että loogsa muuttua Kolmoantoen edut: Kannan ääntesmatrsssa yhtä monta nollasta poeavaa alota un annassa Numeersest taroa Luomnen nopeaa Operaatot nopeta Symbolnen vs. numeernen CRASH-menetelmä Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 28 14
CRASH-menetelmen peraate Alotetaan ysömatrssta I Saraeet orvataan raenteellslla muuttulla sten, että uus matrs sälyy olmona Valnta perustuu rv- a saraeluuhn, R a C Alaolmomatrsn ensmmäseen dagonaalaloon valtaan sellanen pvot-rv, olle R = mn {R } Jos R = 1, pvot-sarae on ysästtenen Jos R > 1, vodaan sarae valta esm. penmmän C :n muaan Tasatlanne ratastaan lsärteeren Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 29 CRASH(LTSF) Käyvn olmoanta Jos rvn a saraeen valnta ysästtestä, menetelmä tom uten edellnen CRASH(LTS) Saraeen valnnassa preferodaan Penen äypyysalueen omaavan loogsen muuttuan postamsta annasta Suuren äypyysalueen omaavan raenteellsen muuttuan lsäämstä antaan Paras ombnaato on orvata nntetty loognen muuttua vapaalla raenteellsella muuttualla Järestys selvtetään prorteettfuntolla Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 30 15
CRASH(LTSF) prorteett Rvn tyypp (RT) Prorteett (RP) Kommentt 0 3 Yhtälöraotteella oren prorteett 1 2 Range-raote 2 1 E-postvnen, enegatvnen 3 0 Aln prorteett raottamattomalla rvllä Saraeen tyypp (CT) Prorteett (CP) Kommentt 0 0 Aln prorteett nntetyllä muuttualla 1 1 Raotettu muuttua 2 2 E-negatvnen muuttua 3 3 Koren prorteett vapaalla muuttualla RT() = Rvn loogsen muuttuan tyypp RC() = nollasta poeaven aloden luumäärä rvllä RI() = Rvn leaven atvsten saraeden ndesouo CT() = saraeen tyypp CC() = nollasta poeaven aloden luumäärä saraeessa AR = atvsten rven ndesouo Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 31 CRASH(LTSF) rvn a saraeen valnta Rvprorteettfunto: RPF() = RP( RT () ) 10RC( ) Rvn valnta: r = max{ RPF() } AR Saraeprorteettfunto: CPF( ) = CP( CT ( ) ) 10CC( ) Saraeen valnta: = max { CPF( ) } RI ( r ) Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 32 16
CRASH(LTSF) algortm [ ] Matrs A on ostettu: A = Aˆ I Luo prorteetttauluot Knntetyt saraeet a vapaat rvt possaolevs Alusta loognen anta B = I. Loppuosaa A:sta ( Â) utsutaan atvses Lase RC() a CC() atvselle osalle Valtse rv RPF:n perusteella Jos löyty sopva rv, nn Valtse sarae CPF:n perusteella Pävtä atvnen osa a vastaavat rv- a saraeluvut Srry vaheeseen 5 Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 33 CPLEX-anta Tavotteena luoda harva a hyvn äyttäytyvä anta, ossa on mahdollsmman vähän tyypn 0 muuttua Hyvä ohdefunton arvo a olmomasuus muta tavotteta Mertään raenteellsten muuttuen luumäärä n:llä Preferenssärestys muuttulle: C = : > n, type x = 2 C C 1 2 3 = = C4 = : type { ( ) } { : type( x ) = 3 } { : n, type( x ) = 2 } { ( x ) = 1 } Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 34 17
Saot raenteellslle muuttulle Määrtellään sao alle mulle pats tyypn 0 muuttulle 0, os C2 C3 gˆ = u, os C4 Oloon c tsesarvoltaan suurn ohdefunton erron Määrtellään 1000c, os c 0 cmax = 1, muuten Sao raenteellslle muuttulle g = gˆ c c max + Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 35 Muuttuen ärestys Saoen perusteella muuttuat ouossa C 2, C 3 a C 4 ärestetään Penmmän saon omaava muuttua lstan aluun Järestetyt ouot C 2, C 3 a C 4 ltetään yhdes ärestetys ouos C Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 36 18
Tearng algorthm Tavotteena löytää mahdollsmman äypä alotusanta Oletuset: Matrs A vodaan ärestää alempaan lohoolmomuotoon Käytettävssä on tehoas a luotettava theä smplex (DLP) penten tehtäven ratasemseen (max s rvä) Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 37 Matrs A lohomuodossa A A A = M A r A1 1 1 2 1 r 1 + 1 A A A M 2 2 r 2 r+ 1 2 O L L A A r r r+ 1 r 0 Almatrsn A dmensot m n m > 0, n > 0, = 1,, r m r+1 a n r+1 vovat olla nolla Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 38 19
Laaennettu tehtävä Käypä ratasu saadaan helpost, täydentämällä tehtävä tavoteoptmonnn muotoon: mnζ = 1 s.e. v, w 0 Ratastaan sara penä LP-tehtävä: T mnζ = 1 v + w s.e. T ( v + w) Ax + v w = b A x v, w ( ) + v 0 w = b 1 = 1 A xˆ Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 39 Yhteenveto Degenerotuneen annan huomomnen: Hnnottelustrategalla vodaan välttää huonommat vahtoehdot Wolfen menetelmä tom äytännössä oen hyvn EXPAND tom hyvn penssä a esoosssa tehtävssä Alotusannan luomsmenetelmät: CRASH(LTSF) a CPLEX hyvä a tehoata, annattaa ssällyttää smplex-mplementaatoon Tearng algorthm näyttäs tomvan huomattavan hyvn esooslla tehtävllä, mutta stä e ole testattu suurlla tehtävllä Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 40 20
Krallsuutta Benchou, M., Gauter, J., Hentges, G., Rbere, G. (1977). The effcent soluton of large-scale lnear programmng problems. Mathematcal Programmng 13, 280-322. Bxby, R. (1992). Implementng the Smplex Method: The Intal Bass. ORSA Journal on Computng 4(3), 267-284. Bland, R. (1977). New fnte pvot rule for the smplex method. Mathematcs of Operatons Research 2, 103-107. Charnes, A. (1952). Optmalty and degeneracy n lnear programmng. Econometrca 20, 160-170. Dantzg, G., Orden, A., Wolfe, P. (1955). A generalzed smplex method for mnmzng a lnear form under lnear neualty constrants. Pacfc Journal of Mathematcs 5(2), 183-195. Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 41 Krallsuutta Ersman, A., Grmes, R., Lews, J., Poole, Jr., W. (1985). A structurally stable modfcaton of Hellerman-Rarc s P 4 algorthm for reorderng unsymmetrc sparse matrces. SIAM Journal on Numercal Analyss 22, 369-385. Gal, T. (1990). Degeneracy n mathematcal programmng and degeneracy graphs. ORON 6, 3-36. Gll, P., Murray, W., Saunders, M., Wrght, M. (1989). A Practcal Ant-Cyclng Procedure for Lnearly Constraned Optmzaton. Mathematcal Programmng 45, 437-474. Gould, N., Red, J. (1989). New crash procedures for large systems of lnear constrants. Mathematcal Programmng 45, 475-501. Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 42 21
Krallsuutta Greenberg, H. (1978). Pvot selecton tactcs. Maros, I. (1981). Adaptvty n lnear programmng, II. Alalmazott Matemata Lapo 7, 1-71. Nazareth, J. (1987). Computer Soluton of Lnear Programs. Oxford Unversty Press, New Yor, Oxford. Ryan, D., Osborne, M. (1988). On the Soluton of Hghly Degenerate Lnear Programmes. Mathematcal Programmng 41, 385-392. Wolfe, P. (1963). A technue for resolvng degeneracy n lnear programmng. SIAM Journal of Appled Mathematcs 11, 205-211. Matemaattsten algortmen ohelmont Kevät 2008 / 43 22