S ysteemianalyysin Laboratorio Janne Sorsa Teknillinen korkeakoulu Matemaattisten algoritmien ohjelmointi Kevät 2008 / 1

Transkriptio

1 Smplex-menetelm menetelmän lsennllset tent 4. luento: MPS-tedostomuoto LP-tehtäven esästtely S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 1 MPS-tedostomuoto LP-teht tehtäven esästtely sttely MPS-tedostomuoto sen ästtely Esästtely: Presolve Slus Jälästtely S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 2 1

2 MPS-tedostomuoto IBM ehtt MPS (Mthemtcl Progrmmng System) formtn 50-luvull Formtn rotuset seurust reäortest Mon täretä mlle tllennettu MPS-formttn Esmers Netlb ssältää ooelmn suur LPtehtävä MPS-muodoss Kunnollsess mllnnusohelmstoss ptää oll tu MPS-muodolle Perustus pätee nyyäänn: tehtävä nnetn nollst poeven loden vull S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 3 MPS-tedoston renne Rvettän trst määrtellyt enttärt Indttor määrttää esm. rotteen tyypn Nmet enntään 8 merä ptä Nmä e s lott vällyönnllä Josell ololl tulee oll ysästtenen nm Feld-1 Feld-2 Feld-3 Feld-4 Feld-5 Feld-6 Locton Contents Indctor Nme Nme Vlue Nme Vlue S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 4 2

3 MPS-tedoston renne Tedosto on ettu osohn Osn luoht tunnstetn nmestään Nmet rotetn 1. sreest len Osot ptää oll ärestysessä: NAME, ROWS, COLUMNS, RHS, RANGES, BOUNDS, ENDATA RANGES BOUNDS evät ole polls Kohdefunto ssällytetään mtrsn e-rottvn rvnä S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 5 NAME ENDATA NAME lott mlln määrttämsen Tedoston rvt ennen NAME-osot hylätään Mlllle vo nt nmen (Feld-3) ENDATA lopett tedoston S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 6 3

4 ROWS Määrtellään mtrsn rven nmet Anostn tässä määrteltyä nmä vodn äyttää myöhemmn Rotusten tyypt määrätään tässä ososs (Feld-1) Rotusten nmet seurvt tyyppä (Feld-2) S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu Row type Code Menng L Less thn or equl constrnt G Greter thn or equl constrnt = E Equlty constrnt Obectve N Obectve row Free N Non-bndng constrnt Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 7 COLUMNS Määrtellään muuttuen (sreden) nmet Määrtellään mtrsn A ohdefunton lot Sreen lot vodn nt mssä ärestysessä thns Sreen lot tulee oll perään Tetueen muoto: Feld-2: Muuttun nm Feld-3: Rvn nm Feld-4: Alon rvo S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 8 4

5 RHS Määrtellään RHS-rvot Vodn määrtellä uset RHS-vetoret Tetueen renne: Feld-2: RHS-vetorn nm Feld-3: Rvn nm Feld-4: Arvo S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 9 MPS-tedoston ästtely Kästtely perustuu hutuluohn, ot määräävät MPS-nmen LP-tehtävän ssäsen ndesonnn vstvuuden = ˆ sre rv rvo [ ][ ][ ] [ ][ ] b = ˆ rv rvo Kästtelyn n tehtävä trstus Toseen ertn määrteltyä rvn nmeä e huomod Sm rv e vo esntyä ht ert sreess Olvto pollset osot tedostoss Menetelmä: hhmon tunnstus, hutus, ärestämnen, hu S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 10 5

6 Presolve Tehtävän oon penentämnen Numeersen äyttäytymsen prntmnen Epääypyyden rottmttomuuden tunnstmnen Kompromss työmäärän tehouuden välllä S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 11 LP-teht tehtävä presolve-testess testessä T mn c x + c0 s.t. Ax = b l x u Rveä sret postetn presolvess Tehtävän dmensot muuttuvt Presolven yhteydessä mernnät trottvt ullonn vomss olev rvo: ndesont summluseess RHS b ustnnusteät c S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 12 6

7 Määrtelmä Muutmt testt perustuvt rotteen penmpään suurmpn mhdollseen rvoon Postvsten negtvsten ertomen ndesouot oselle rvlle mtrsss A P = : > 0 N b b = = = { } { : < 0} l + P N u + P N u l S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 13 Rstrt muuttuen ross Jos l > u mlle thns, tehtävä on epääypä Knntt trst muuttut = 1,, n S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 14 7

8 Tyhät t rvt Ken renteellsten muuttuen ertomet noll Ano nollst poev on z = b Vo ssältyä tehtävään snänsä Vo oll muden muunnosten nsm presolvess Jos b on äypä rvo z :lle, rv vodn post Jos b e ole äypä rvo z :lle, tehtävä on epääypä S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 15 Tyhät t sreet Jos sre on tyhä, vstv muuttu x e vut rottesn postetn tehtävästä Jos c = 0 x :n rvos vodn sett mä thns äypä rvo l Kohdefuntot e trvtse muutt Jos c > 0 Asetetn: x = l c 0 := c 0 + c l Jos l =, tehtävän rtsu on rottmton Jos c < 0 Asetetn: x = u c 0 := c 0 + c u Jos =, tehtävän rtsu on rottmton u u S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 16 8

9 Sngleton-rvt Vn ys rvn renteellnen erron poe nollst Sngleton-rvt postetn tehtävästä Jos rote on yhtälö (tyypp 0) Jos x [ l, u ], tehtävä on epääypä Muuten setetn x = b muuttu postetn tehtävästä Jos rote on e-rottv (tyypp 3), x setetn ohonn äypään rvoon postetn tehtävästä Jos rote on epäyhtälörote (tyypp 1, 2 t 4), se määrää ylä t lrn x :lle S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 17 Sngleton-rvn määrämät rt muuttulle Jos Jos Jos x b > 0 < 0 nn nn x u = b x l = b Jos x Jos Jos b > 0 nn x l = b < 0 nn x u = b Pävtetyt rotusehdot x :lle: { l, } { u u } l : = mx l u : = mn, S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 18 9

10 Knntettyen muuttuen postmnen Knntetty muuttu vodn post Knntetään x = t Kohdefuntot pävtetään: c 0 := c 0 + c t Rotusehto pävtetään: Ax := Ax t Rotusehtoen l- ylärt pävtetään: b : = b t b : = b t S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 19 Redundntt pottvt rotteet Oletetn luperänen rote: x b Täytyy toteutt myös rotteen l- ylärt: b x b Jos b < b, tehtävä on epääypä Jos b = b, muuttut vodn nnttää l- ylärolleen: x = l, P x = u, N Jos b b, rote on redundntt vodn post Jos b < b < b, rotett e vod post S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 20 10

11 Muuttuen roen tuentmnen Oletetn, että rote tyyppä 2 ( ) lr b äärellnen Jos muuttu x = l lrll P, svtetn x :n rvo: b + ( x l ) x b, P x u = l b b +, P S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 21 S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu Muuttuen roen tuentmnen Vstvst, os muuttu x = u ylärll, N, pennetään x :n rvo b + ( x u ) x b, N x l Uudet rt: l : = mx l, l = u { } { } u : = mn u, u Jos l >, tehtävä on epääypä u b b +, N Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 22 11

12 Implsttsest vpt muuttut Mertään muuttulle x : Aluperäset muutturt: l u Lsetut muutturt: l u x on mplsttsest vp muuttu, os [ l, u ] [ l, u ] Jos x on sngleton-sre s.e. 0 on no nollst poev lo, nn seä x että rv vodn post tehtävästä Kohdefuntot pävtetään x :n dulmuuttun y vull S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 23 Hrvuuden vähentv hentämnen Tvotteen nollst poeven loden postmnen rotemtrsst A Yhtälörotus (tyypp 0) slrll errottun vodn lsätä mhn thns muuhun rotteeseen Vltn rv pvot-rvs Vltn rv, on hrvuusrenne on rvn ylouo Pävtetään rvä : b = + γ S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu = b + γb Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 24 12

13 Hrvuuden vähentv hentämnen S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu X X X X X X X b X X X X X X X X c X X X X X X X X X X X d X X X e X X X X X Rv on pvot-rv Sre 1:tä äytetään ylouoen etsmseen Rv b on ylouo Rvn c ensmmänen lo on noll Rv d on lyhyemp un Rvn e lo on noll tosen levn sreen ohdll Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 25 Presolve-lgortm Mtrs A äydään läp uset erto Muutos yhdellä errosell vo oht muutosn seurvll errosll Jos hdell perääsellä errosell e tule muutos, lopetetn lgortm Ääretön sr penä prnnus on teorss mhdollst, oten tertoden luumäärälle on syytä sett ylär S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 26 13

14 Slus Tvotteen tehtävän numeersten omnsuusen prntmnen Josus slusen vull vodn rtst muuten rtsemton tehtävä Josus slus teee rtstvss olevst tehtävästä rtsemttomn Slus: RAC x = Rb R = dg R 1, K, Cx = x x = C S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu R m 1 x C = dg C 1, K,C n Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 27 Arvoen hont mtrsss Sopvt mttysöt yleensä tuottvt tspnos rvo mtrsn Huonost slttu mtrs: nollst poeven loden rvot poevt tosstn huomttvst Hyvn slttu mtrs: nollst poeven loden rvot ovt lähellä tosn Jos slusell sdn vähennettyä loden rvoen hont, tehtävä on helpomp rtst Vstesmer: = 1± ε, 0 < ε < 10 8 S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 28 14

15 Hyvn slttu mtrs Mtrs on hyvn slttu, os mx 0 mn penemp un (Fulerson & Wolfe, 1962; Orchrd-Hys, 1968) Mtrs on hyvn slttu, os ( log ) 0 2 svutt hyväsyttävän rvon (Hmmng, 1971; Curts & Red, 1972) S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 29 Slusertomet Oletetn bnäärnen luuluuärestelmä: e = f 2, 1 2 f 1 Slusess pyörstysvrheet mhdolls, os ertomet evät ole luuluuärestelmän nnn potensse ρ γ R = 2, C = 2 Sltut esponentt: e = e + ρ + γ Kertomet sdn mnmomll hont: mn 0 2 ( log ) = mn ( e + ρ + γ ) ρ, γ 0 2 S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 30 15

16 Slusertomen rtsemnen Teholl lttogrdenttmenetelmällä (Curts & Red, 1972) lmääränen rtsu Tr rtsu e trvt, os lopullset rvot pyörstetään oonsluvus Menetelmä onvergo äytännössä n. 10 tertoss rppumtt tehtävän oost Trvttv vn pen os vrsnsten Smplextertoden vtmst st S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 31 Mut slusmenetelmä Tspnotus Jonen rv sre sltn sten, että suurn rvo on 1 Sdn mll rv (sre) sen suurmmll rvoll Geometrnen esrvo { } { } 1 2 mx mn Artmeettnen esrvo Tyypllsest äytetään näden menetelmen yhdstelmä S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 32 16

17 Postsolve Rtstu tehtävä evvlentt luperäsen tehtävän nss, mutte denttnen Stu rtsu muunnettv tsn luperäslle muuttulle rottelle K esästtelyssä tehdyt muutoset tulee tllent Pnorenne soveltuu prhten, os muutoset ptää plutt ääntesessä ärestysessä Tyypllnen ärestys esästtelyssä: Tehtävän uudelleen muotolu Presolve Slus S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 33 Slus luperäsn muuttun Renteellset muuttut: x = Cx Loogset muuttut: etn vstvll rvn slusertomell Kohdefunton ertomet: etn vstvll sreen slusertomell Mrgnlustnnuset: errotn vstvll rvn slusertomell S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 34 17

18 Presolven umomnen Presolve:n hstor lst: onen muutos muuttuss tllennetn vetorn ( 1, 2, ) Koonsluvut 1 2 määrttävät muuttut operton tyypn Relluu ertoo esm. nntetyn rvon t muuttuneen rn Esmereä: Alrn srtämnen: 1 =, 2 = 0, = ( ) l Implsttnen vp muuttu: 1 =, 2 = -, = y Hrvuuden vähentämnen: 1 =, 2 =, = γ S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 35 Yhteenveto MPS-tedostomuoto täreä hstorllsst systä Presolven ptäs tunnst epääyvät rottmttomt tehtävät Slusen äyttämnen e n ut tehtävän rtsuss Numeersen truuden sälyttämnen täreää esästtelyssä Esästtely on ompromss työmäärän svutetun hyödyn välllä S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 36 18

19 Krllsuutt Andersen, E., Andersen. K. (1995). Presolvng n Lner Progrmmng. Mthemtcl Progrmmng 71(2), Benchou, M. et l (1977). The effcent soluton of lrge-scle lner progrmmng problems. Mthemtcl Progrmmng 13, Brerley, A. et l (1975). Anlyss of Mthemtcl Progrmmng Problems Pror to Applyng the Smplex Method. Mthemtcl Progrmmng 8, Curts, A., Red, J. (1972). On the utomtc sclng of mtrces for Gussn elmnton. Journl of the Insttute of Mthemtcs nd ts pplctons 10, S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 37 Krllsuutt Fourer, R., Gy, D. (1993). Experence wth Prml Presolve Algorthm. Numercl Anlyss Mnuscrpt 93-06, AT&T Bell Lbortores. Fulerson, D., Wolfe, P. (1962). An lgorthm for sclng mtrces. SIAM Revew 4, Gy, D. (1985). Electronc ml dstrbuton of lner progrmmng test problems. COAL Newsletter 13, Gondzo, J. (1997). Presolve Anlyss of Lner Progrms Pror to Applyng n Interor Pont Method. INFORMS Journl on Computng 9(1), Orchrd-Hys, W. (1968). Advnced Lner-Progrmmng Computng Technques, McGrw Hll. S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 38 19

20 Krllsuutt Tomln, J. (1975). On sclng lner progrmmng problems. Mthemtcl Progrmmng Study 4, Tomln, J., Welch, J. (1983). Forml optmzton of some reduced lner progrmmng problems. Mthemtcl Progrmmng 27(2), Tomln, J., Welch, J. (1983). A pthologcl cse n the reducton of lner progrmmngs. Opertons Reserch Letters 2, Tomln, J., Welch, J. (1986). Fndng duplcte rows n lner progrm. Opertons Reserch Letters 5, S ysteemnlyysn Lbortoro Tenllnen oreoulu Mtemttsten lgortmen ohelmont Kevät 2008 / 39 20