Laseallise obiatoriia perusogelia Varsi oissa tehtävissä, joissa etsitää tietylaiste järjestelyje, jouoje ts luuääriä, o taustalla joi uutaista peruslasetatavoista tai lasetaogelista Tässä esitelläälyhyesti uutaia tällaisiaalleja Mallito uotoiltutehtävisi rataisuiee Muutaat rataisut eivät oieastaa rataise esitettyä ogelaa, vaa atavat äyttöö eriä, jolla rataisu voisi ilaista, seä palautusaava jota äyttäe ueeriset rataisut ovat periaatteessa löydettävissä Moet allit perustuvat joseei suoraa tuloperiaatteesee, jota voi utsua yös laseallise obiatoriia perusperiaatteesi: Jos toiepide T voidaa puraa perääisisi osatoiepiteisi T 1, T 2,, T ja jos osatoiepide T j voidaa tehdä a j eri tavalla, ii toiepide T voidaa tehdä a 1 a 2 a eri tavalla 1 Motao : alio jooa voidaa uodostaa :stä eri aliosta, u saa alio voi esiityä useai ui erra? Rataisu Joaiselle :lle paialle voidaa valita, toisista valioista riippuatta, joi :stä eri aliosta Mahdollisuusie luuäärä o siis } {{ } = pl 2 Motao : eri alio jooa voidaa uodostaa :stä eri aliosta? Rataisu Esiäie alio voidaa valita :llä tavalla, seuraavaa jää 1 ahdollisuutta je Eri jooja tulee oleaa ( 1) ( +1)= appaletta Ku! ( )! =, joojeäärä o! 3 Motao : alio jouoa voidaa uodostaa :stä eri aliosta? Rataisu Edellise perusteella eri aliota voidaa laittaa jooo! eri tavalla Jos x o ysytty jouoje äärä, voidaa edellise uero ( tulos ) lasea yös( uodossa ) x!! Yhtälöstä x! = ( )! rataistaa x =!!( )! = Syboli luetaa : yli (Eglaisi choose ) 4 Misi bioiaava pätee eli Rataisu (a + b) = =0 a b? (a + b) =(a + b)(a + b) (a + b) } {{ } pl Ku oiea puole tulosta poistetaa suleet, ii teri a b saadaa joaisella sellaisella valialla, jossa joistai :sta tulo teijästä poiitaa a ja lopuista :sta teijästä b teijää voidaa valita eri tavalla
2 5 Motao eri jooa voidaa uodostaa :stä ollastaja:stä yösestä? ( Rataisu ) Valitaa :lle ollalle paiat + : paia jouosta Tää voidaa tehdä + tavalla 6 Moessao : olla ja : yöse joossa ei ole perääisiä yösiä? Rataisu Kirjoitetaa ollaa jooo Esiäistä ollaa ee, ollie välissä ja viieise olla jälee o yhteesä ( + 1 paiaa ) Joaisessa joo o ysi yöe tai +1 ei yhtää yöstä :llä yöselläo eri ahdollisuutta täyttää äitä paioja Jos >+ 1, joo ei ole ahdollie 7 Moellao tavalla :stä erilaisesta aliosta voidaa valita aliota, jos saa alio voidaa valita useita ertoja, utta aii aliot o valittava aiai erra? (Siis ) Rataisu Ajatellaa :ta loeroa rivissä Esiäisii loeroihi laitetaa esiäiset aliot, sitte laitetaa pasupi väliseiä, sitte seuraavii toiset je Eri valitoje äärä ilaisevat pasupie väliseiie äärät Väliseiiä( tarvitaa ) 1 appaletta 1 ja iide ahdollisia paioja o 1 Eri valitoja o siis 1 8 Moellao tavalla :stä erilaisesta aliosta voidaa valita aliota, jos saa alio voidaa valita useita ertoja? Rataisu Luuäärä o saa ui jos olisi valittava ( + aliota ) ( ja valiassa ) tulisi + 1 + 1 olla uaa aiie : alio aiai erra, siis = 1 9 Moellao tavalla erilaista aliota voidaa sijoittaa :ää eri laatioo? Rataisu Esiäie pallo voidaa sijoittaa :llä eri tavalla, toie edellisestä riippuatta yös :llä eri tavalla je Tapoja o siis appaletta 10 Moellao tavalla idettistä palloa voidaa sijoittaa :ää erilaisee laatioo? Rataisu Oloot laatiot A, B,, X, issä irjaiia o appaletta Tehtävä o saa ui uodostaa : alio joo irjaiista, u ui irjai voi esiityä ielivaltaise ota ) ertaa (tietysti eitää ertaa) Kohda 7 perusteella eri tapoja o ( + 1 11 Moellao tavalla idettistä palloa voidaa sijoittaa :ää erilaisee laatioo, jos ysiää laatio ei saa jäädä tyhjäsi? Rataisu Tehtävä o saa( ui jos) sijoitettaisii idettistä palloa :ää erilaisee 1 1 laatioo Rataisu o siis = 1
12 Moellao tavalla erilaista palloa voidaa sijoittaa :ää erilaisee laatioo, jos j:tee laatioo tulee sijoittaa j palloa ( 1 + 2 + + = )? Rataisu Esiäisee( laatioo ) voidaa sijoittaa iä hyväsä palloje 1 -alioie osajouo Tapoja o siis Jostää o tehty, toisee laatioo voi sijoittaa jäljelle 1 1 jääeide iä tahasa 2 -alioise osajouo; äitä tapojao je Tapoja o aiiaa! 1!( 1 )! ( 1 )! 2!( 1 2 )! ( ( 1 + + 2 )! 1!( ( 1 + 2 + + 1 ))! ( )! = 1! 2!! =, 1, 2,, sillä ( 1 + 2 + + 1 )= 13 Jos joo uodostuu :stä erisybolista1, 2,,, se pituus o, jaj esiityy joossa j ertaa, ii oeeo eri järjestysee joo voidaa irjoittaa?! Rataisu Tehtävä o saa ui edellie; vastaus o siis 1! 2!! 14 Moellao tavalla erilaista palloa voidaa sijoittaa :ää erilaisee laatioo, jos iää laatio ei saa jäädä tyhjäsi? Rataisu Luuäärä o ( ) = T (, ) 1, 2,, 1 1 + 2 + += 1, 2,, Voidaa osoittaa, että T toteuttaa palautusaava u 1 << T (, ) =(T ( 1, 1) + T ( 1, )), 15 Motao -irjaiista saaa voidaa uodostaa :stä irjaiesta, jos joaista irjaita o äytettävä aiai erra? Rataisu Tehtävä o saa ui edellie 16 Moellao tavalla erilaista aliota voidaa jaaa :si osajouosi, joide oot ovat 1, 2,,? ( ) Rataisu Jos osajouot olisivat iettyjä, luuäärä olisi Oloo 1, 2,, 1-alioisia jouoja r 1, 2-alioisia jouoja r 2 je Kosa jouoje järjestysellä eiole väliä, tehtävä vastaus o ( ) 1, 2,, r 1!r 2!r 3! r! 2 3
4 17 Moellao tavalla aliota voidaa jaaa :si epätyhjäsi osajouosi? Rataisu Ku verrataa ueroo 13 ja otetaa huoioo, että jouoteivät yt ole 1 iettyjä, saadaa vastausesi T (, )! 18 Moellao tavalla positiivie ooaisluu voidaa lausua : positiivise ooaisluvu suaa? Rataisu Kysyttyä luua eritää P (, ) Sillä ei ole ysiertaista lauseetta, utta voidaa osoittaa, ettäpätee palautusaava u 1 << P (, ) =P ( 1, 1) + P (, ), 19 Moellao tavalla esieet a 1,a 2,, a voidaa sijoittaa loeroihi A 1,A 2,, A ii, että a i ei ole loerossa A i illää i, 1 i? Rataisu Jos ysytty luuäärä of(), ii f(1) = 0 ja f(2) = 1 Oletetaa, että f() tuetaa, u ja tarastellaa sijoittelua, u esieitä ja loeroita o +1 Oletetaa, että a +1 o sijoitettu loeroo A j, j Sellaisia väärisijoitteluja, joissa a j o sijoitettu loeroo A +1 o f( 1) appaletta Sellaisia väärisijoitteluja, joissa a j ei ole loerossa A +1 o f() appaletta Kosa A j voidaa valita :llä eri tavalla, f( +1)=(f()+f( 1)) Mutta yt f( +1) ( +1)f() =f( 1) f() = ( 1)(f() (f( 1)) ja edellee f(+1) (+1)f()=( 1) 1 (f(2) 1 f(1) = ( 1) 1 tai f() f( 1) = ( 1) 2 =( 1) Tää yhtälö voi irjoittaa uotoo f()! f( 1) ( 1)! = ( 1)! Ku edelliset yhtälöt irjoitetaa arvoilla =2, 3,, ja lasetaa puolittai yhtee, saadaa f() f(1) = ( 1) + ( 1) 1 ( 1)2 + +,! 1!! ( 1)! 2! joa voi sievetää uotoo f() =! (1 ) ( 1) + + + 11! 12! 13!! (Suleissa oleva sua lähestyy raja-arvoa e 1 0,368, u ) 20 Mite voidaa lasea yhdistee A 1 A 2 A alioide luuäärä? Rataisu Meritää jouo X alioide luuäärää sybolilla X Kysyyse (ysi) vastaus o A 1 A 2 A = A i A i A j + 1 i<j< i=1 1 i<j A i A j A +( 1) 1 A 1 A 2 A (1)
Edelllise aava (jota iitetää sua ja erotuse periaatteesi tai iluusio ja esluusio periaatteesi)perusteleisesitarastellaa alio x, joa esiityy tasa :ssa, 1, jouoista A i, otribuutiota yhtälö eri puolille Vasealle puolelle alio ataa otribuutio 1: se o ysi yhdistee alioista ( Oiea ) puole esiäisee suaa alio tuottaa luvu, toisee suaa luvu, sillä x o uaa aiissa sellaisissa 2 pareissa A i,a j, joissa seä A i että A j ovat iide : osajouo jouossa, joihi x uuluu Vastaavasti olas sua tuottaa luvu je Viieie sua, josta x tuottaa 3 positiivise otribuutio o se, ( jossa ) äydää läpi : osajouo leiauset Tähä suaa otribuutio o 1 eli Mutta ( + +( 1) 1 =1 1 2 3 + 1 ) +( 1) =1 (1 1) =1 2 Alio otribuutio sua oleille puolille o siis saa Kosa x o ielivaltaie, yhtälö (1) o voiassa Muutaa obiatorie lasu- ja harjoitustehtävä 1 Motao viisiirjaiista saaa voi uodostaa aaosista A, B, C,,V,W,X,Y,Z, Å, Ä, Ö? 2 Motao viisiirjaiista saaa voi uodostaa aaosista A, B, C,,V,W,X,Y,Z, Å, Ä, Ö, jos saa aiie irjaiie o oltava eri irjaiia? 3 Motao viisiirjaiista saaa voi uodostaa aaosista A, B, C,,V,W,X,Y,Z, Å, Ä, Ö, jos saassa ei saa olla ahta saaa perääistä irjaita? 4 Motao viisiirjaiista saaa voi uodostaa aaosista A, B, C,,V,W,X,Y,Z, Å, Ä Ö, jos saa irjaite o oltava o oltava eri irjaiia ousevassa tai lasevassa aaosjärjestysessä? 5 Autoje reisterituusissa o asi tai ole irjaita aaostosta A, B, C, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, O, P, R, S, T, U, V, X, Y, Z ja luu väliltä 1,, 999 Moio auto voi saada eri reisterituuse? 5 6 Osoita obiatorisesti, että = ja + = +1 +1 +1 7 Jouossa o aliota Motao eri osajouoa sillä o?
6 8 Moellao tavalla ole autoa voidaa pysäöidä seitseälle viereäiselle pysäöitipaialle ii, että joaise ahde auto välii jää aiai ysi tyhjä paia? 9 Moellao tavalla voidaa valita ole ueroa jouosta {0, 1, 2,, 9}, jos jouossa ei saa olla perääisiä ueroita? 10 Kuia suuri osa ahdollisista lottoriveistä o sellaisia, joissa ei esiiy ahta perääistä ueroa? (Lotossa arvotaa 7 ueroa jouosta {1, 2,, 39}) 11 Motao ousevaa jooa a 1 a 2 a 9 a 10 voidaa uodostaa jouo {1, 2,, 20} luvuista? 12 Todista, että luu(2)! o jaollie luvulla (!) 2 13 Sehä yt voidaa tehdä tuhaella ja yhdellä tavalla! Etsi bioiertoiie avulla asia, joa voidaa tehdä tasa 1001:llä eri tavalla 14 Moellao tavalla 52 orttia voidaa jaaa eljälle pelaajalle A, B, C ja D, ii että joaiesaa13orttia? 15 Muua sua 2 + 0 2 + 1 2 + + 2 2 uotoo x y 16 Poeriäsi o viide eri orti jouo 52 orti stadardipaasta, jossa o eljä 13 orti aata Lase a) poeriäsie luuäärä; b) sellaiste poeriäsie luuäärä, joissa aii ortit ovat saaa aata ( väri ); c) sellaiste äsie luuäärä, jossa aii ortit ovat saaa aata ja perääisiä ueroita; ässä voi saada joo uero 1 tai uero 14 ( värisuora ); d) sellaiste äsie luuäärä, joissa o eljä saaueroista orttia ( eloset ); e) sellaiste äsie luuäärä, joissa o asi saaueroista orttia ja ole aiitusta uerosta eroavaa utta saaueroista orttia ( täysäsi ); f) sellaiste äsie luuäärä, joissa o ole saaueroista orttia, utta jossa asi uuta orttia ovat eseää eriueroisia ja eriueroisia ui ole saaueroista ( oloset ), g) sellaiste äsie luuäärä, joissa o viisi perääistä ueroa ja ässä voi olla uero 1 tai uero 14 ( suora ); h, i) Ku olet päässyt äi hyvää aluu, voit vielä lasea äsie asi paria ja pari luuäärä Harjoitustehtävie rataisuja 1 Aaosia o 29, ja u joaiselle saa viidelle paialle voi valita irjaie 29:lla eri tavalla, valitoja voi tehdä aiiaa 29 5 = 20 511 149 appaletta 2 Esiäie irjai voidaa valita 29:llä eri tavalla, seurava 28:lla je Eri valitoja o 29 28 27 26 25 = 14 250 600 appaletta
3 Esiäie irjai voidaa valita 29:llä eri tavalla Toisesi irjaiesi elpaa iä tahasa uu ui esiäisesi valittu irjai Vaihtoehtoja o siis 28 Kolaesi irjaiesi elpaa iä hyväsä uu ui toisesi valittu irjai Vaihtoehtoja o taas 28 Näi jatae todeta, että ehdo täytäviä viisiirjaiisia saoja o 29 28 4 = 17 825 024 appaletta 7 4 Joaie viide eri irjaie( jouo ) voidaa asettaa ousevaa tai lasevaa aaosjärjestysee Saoja o siis 2 = =29 7 9 26 5 = 237 510 29 2 29 28 27 26 25 5 5! appaletta 5 [Oletteo osaa äheet suoalaista reisteriilpeä, jossa olisi irjai D?] Jos esitetyt ehdot pitävät paiasa, tuuse irjaiosa esiäie ja toie irjai voidaa valita upii 23:llä eri tavalla ja olas 24:llä eri tavalla, osa olae irjaie puuttuie o yös ysi ahdollisuus [Itse asiassa irjai o vai perävauuje tuusissa, ja e voivat alaa yös olla yös W:llä, utta jätetää tää ottaatta huoioo] Kirjaiet voidaa siis valita 23 2 24 = 12696 eri tavalla Nuero-osaa o 999 valitaahdollisuutta Erilaisia tuusia voi siis olla 12696 999 = 12 683 304 appaletta 6 1 rataisu Ajatellaa ole auto vieree jäävää eljää tilaa laatioia, joihi sijoitetaa eljää palloa, joista ui eritsee yhtä vapaata paiaa Autoje välii tulevat laatiot eivät saa jäädä tyhjisi, utta autoje ulopuolella olevat asi laatioa voivat olla tyhjiäi Jos autoje välissä olevissa ahdessa laatioissa o asi palloa, loput asi palloa voidaa sijoittaa olella tavalla: asi vasepaa laitaa, ysi olepii laitoihi tai asi oieaa laitaa Jos välilaatioissa o ole palloa, e voivat olla ahdella eri tavalla Viieie pallo voi sei olla ahdessa paiassa, jote tällaisia ahdollisuusia o 2 2 = 4 Jos viiei aii eljä palloa sijoitetaa ahtee välilaatioo, ii ahdollisuusia o ole: vaseapuoleisessa laatiossa o 1, 2 tai 3 palloa Kaiiaa vaihtoehtoja o siis 3 + 4 + 3 = 10 appaletta 2 rataisu Neljää viereäisee tyhjää paiaa liittyy viisi viereistä paiaa, joissa joaisessa o auto tai ei ole autoa Eri tapoja sijoitaa ole autoa äille paioille o 5 = 10 3 7 Joaista -alioise jouo A-alioista osajouoa B vastaa ( )-alioie osajouo A \ B ja joaista ( )-alioista osajouoa C-alioie osajouo ( A \ C ) - alioisia osajouoja ja ( )-alioisia osajouoja o yhtä paljo, jote = Tarastellaa jouoa A, jossa o + 1 aliota Valitaa iistä ysi, a Kaii jouo A ( + 1)-alioiset osajouot voidaa jaaa ahtee erillisee jouoo, iihi joissa a o uaa ja iihi, joissa a ei ole uaa Edellisiä oyhtäpaljoui-alioisessa jouossa A \{a} o -alioisia osajouoja eli Jäliäisiä oyhtäpaljoui
8 jouossa A \{a} o ( + 1)-alioisia osajouoja eli +1 Siis +1 +1 +1 = + 8 Seitseä ei-valittava uero vieressä o ahdesa paiaa, joissa voi olla tai olla 8 oleatta ysi valittavista olesta uerosta Kahdesa alio jouolla o =56 3 osajouoa 9 Osajouo voidaa uodostaa :ssä vaiheessa päättäällä ui jouo alio ohdalla, uluuo se osajouoo vai ei Tuloperiaattee ojalla eri osajouoja o 2 Muaa ovat tällöi jouo itse ja tyhjä jouo 10 Lottorivejäoyhtä ota ui sellaisia 39 eri pituisia olla ja yöse jooja, joissa o tasa seitseä yöstä ja 32 ollaa Rivit, joissa ei ole perääisiäueroita, vastaavat jooja, ( joissa ) ahde yöse välissä o aiai ysi olla Saoi ui ( esellä, ) 33 39 äitä joojao = 4272048 appaletta Kosa lottorivejä o aiiaa = 7 7 15380937 appaletta, harvoja rivejä o oi 27,8 % aiista 11 Jos 1 a 1 a 2 a 9 a 10 10, ii a 1 <a 2 +1<a 3 +2<<a 10 +9 19 ja jos 1 b 1 <b 2 < < b 10 19, ii 1 b 1 b 2 1 b 3 2 b 10 9 10 Tehtävässä ysytjä jooja o siis yhtä ota ui aidosti ousevia jooja 1 b 1 <b 2 < < b 10 19; ( äitä ) oyhtä ota ui jouolla {1, 2,, 19} o yealioisia 19 osajouoja eli = 92378 10 12 (2)! (!) 2 = (2)!!(2 )! = 2 Bioiertoiet ovat ooaisluuja 13 1001 = 7 11 13 Etsitää bioierroi =7 11 13 Luvu o oltava 13 14 14 13 12 11 Piee oeilu jälee huoaa, että = =7 13 11 elpaa Tasa 4 2 3 4 1001 tavalla voi siis esierisi valita eljä eri pizza täytettä, jos vaihtoehtoja o 14 14 Ajatellaa ortit aettavasi järjestysessä ( esia:lle, ) sitte B:lle, sitte C:lle ja 52 lopusi D:lle A:lle voidaa jaaa aiiaa erilaista jouoa B: oletoista 13 39 orttia voidaa tää jälee valita 39:stä ahdollisesta, ja eri vaihtoehtoja o 13 26 Nyt jäljellä o vielä 26orttia,jaC:lle iistä voidaa ataa 13 eri tavalla D: o 13
9 tyytyie jäljelle jääeisii 13 orttii Eri tapoja tehdä jao o siis 52 39 26 = 52! 13 13 13 13! 39! 39! 13! 26! 26! 13! 13! = 52! (13!) 4 = 53 644 737 765 488 792 839 237 440 000 eli yli viisiyetätuhatta vadriljooaa [O elei ahdotota, että uolla seoitetuista paoista voisi tulla idettiset bridgejaot Mutta uollie seoittaie o oa ogelasa] 15 Käytetää hyväsi bioiertoiie perusoiaisuutta sua o siis saa u =0 = Tehtävä Tää havaito teee ahdollisesi ataa tehtävä sualle obiatorise tulia Ajatellaa jouoa, jossa o 2 aliota, esierisi A = {1, 2,, 2} Jaetaa jouo ahdesi osajouosi, joissa oleissa o aliota, esierisi B = {1, 2,, } ja C = { +1,+2,, 2} Nyt joaie A: osajouo E o uotoa (E B) (E C) Lasetaa aiie A: osajouoje luuäärä ii, että aiilla = 0, 1,, lasetaa sellaiset A: osajouot E, ( joissa ) ( E B) o -alioie ja E C o ( )- alioie Tällaisia jouoja o juuri appaletta Kosa A:lla o aiiaa 2 2 -alioista osajouoa, o tehtävässä ysytty sua 16 ( a) Poeriäsiä ) oyhtä ota ui 52: alio jouolla o viisialioisia osajouoja, 52 siis = 2 598 960 appaletta b) Tapoja valita ysi eljästä väristä o 4 ja tapoja 5 13 valita Viide orti jouo 13 ortista o = 5148 c) Värille o 4 vaihtoehtoa ja 5 aliaueroiselle ortille 10 Erilaisia värisuoria o 40 d) Neljästi esiityvä uero voi olla iä hyväsä 13vaihtoehdostajaviidesiä hyväsä lopuista 48 ortista Vaihtoehtoja siis 13 48 = 642 e) Se uero, joa esiityy olesti, voidaa valita 13 tavalla ja eljästä saaueroisesta ortista voidaa valita ole eljällä tavalla Se uero, jota o asi, voidaa valita ( 12:lla ) tavalla ja tapoja valita e asi, jota eljästä vaihtoehdosta otetaa uaa, o = 6 Erilaisia täysäsiä o13 4 12 6 = 1872 appaletta 4 2 f) Tapoja valita ole saaueroista orttia o 13 4 = 52 Neljäs ortti voi olla iä hyväsä 48:sta uuueroisesta Viideelle ortille o sitte 44 eri vaihtoehtoa Nyt uitei eriueroiset yhdistelät tulee lasetuisi ahdesti, jote olosäsiä o siis 52 48 44/2 = 54 912 erilaista g) Ali uero voidaa valita 10:llä eri tavalla Korttie värit voidaa valita ueroista riippuatta Viide orti värit voidaa valita ui toisista riippuatta eljällä eri tavalla Värivalitoja o siis 4 5 = 2 10 = 1024
10 Erilaisia suoria o 10240 appaletta (Jos lasetaa värisuorat ( pois, ) jää jäljelle 10200 tavallista suoraa h) Pariorttie ueroyhdistelälle o =6 13 vaihtoehtoa ja 13 2 uassai parissa aat voi taas valita uudella tavalla Viides ortti o iä tahasa pariorttie uerosta eroava Mahdollisuusia o 44 erilaista Kasi paria -äsiä o siis 6 13 6 6 44 = 123 552 appaletta i) Pariortilla o 13 uerovaihtoehtoa ja 6 aayhdistelävaihtoehtoa Kolas ortti o joi 48 uusta, eljäs joi 44:stä uusta ja viides joi 40:stä uusta Nyt uitei saa yhdistelä tulee lasetusi uudessa eri järjestysessä Vaihtoehtoja o siis 13 6 48 44 40/6 = 1 098 240 appaletta Tai: Tapoja valita orttipari o 13 6 = 78 appaletta Muide ole orti ueroyhdisteliä o 12 yhtä ota ui ahdetoista alio jouolla olialioisia osajouoja, siis = 220 3 appaletta Joaie äistä olesta ortista voi olla eljää eri aata Vaihtoehtoja o 4 3 = 64 Kaiiaa vaihtoehtoja o 78 220 64 = 1 098 240 appaletta Lasettuje luuäärie perustella voi äärittää poeri erilaiste äsie todeäöisyysiä Pelitilae o oiutaisepi Esierisi tieto oista orteista uuttaa vastustajie äsie todeäöisyysiä: jos itsellä o ässäpari, uilla pelaajilla ei voi olla ässäelosia Jos paassa o joeri, luuäärät uuttuvat