Harjotus, esmerkkratkasut K 1. Olkoon f : C C, f(z) z z. Tutk, mssä pstessä f on dervotuva. Ratkasu 1. Jotta funkto on dervotuva, on sen erotusosamäärän f(z + ) f(z) raja-arvon 0 oltava olemassa ja ss sama rppumatta lähestymspolusta. Pelkästään akseleden ta musta yksttässtä suunnsta tapahtuva tarkastelu e rtä näyttämäään, että funkto on dervotuva. Se vo kyllä rttää sen osottamseen, että funkto e ole dervotuva. Tähän rttää löytää kaks esmerkkpolkua, jota ptkn lähestymällä saatasn er raja-arvo (vastaesmerkk). Krjotetaan z x + y. Tällön x + y ja f(z + ) f(z) (x + x) + (y + y) (x + y ) x + y x x + y y + ( x) + ( y). x + y Lähdetään hakemaan sellasa suunta, josta lähestyen erotusosamäärä saa er arvon. Jos lähestymnen tapahtuu reaalakseln suuntasest (el y 0), saadaan f(z + ) f(z) x x + ( x) x x + x x 0 x. Jos lähestymnen tapahtuu magnaarakseln suuntasest (el x 0), saadaan f(z + ) f(z) y y + ( y) y y y y 0 y. Koska x ja y ovat molemmat reaallukuja, on nästä kahdesta suunnasta tapahtuvan lähestymsen mahdollsta päätyä samaan raja-arvoon (el x y) anoastaan, jos x y 0. Tällä tarkastelulla vodaan ss todeta, että funkto f on dervotuva korkentaan psteessä z 0. Velä emme tedä, onko funkto dervotuva edes sellä, koska muta lähestysmssuuunta kun akselt, e ole tarkasteltu. Tutktaan ss velä tarkemmn erotusosamäärää psteessä z 0: f(0 + ) f(0). Tätä raja-arvoa tutkttn jo edellsen vkon taulutehtävässä 5, joten tedämme, että se on olemassa ja sten funkto f on dervotuva psteessä 0. Dervaatta saa arvon f (0) 0. Syksy 008 svu 1(6)
Harjotus, esmerkkratkasut Ratkasu. Edellä oleva ratkasu perustuu puhtaast dervotuvuuden määrtelmään. Tässä tok votasn käyttää myös luennotsjan mustnpanojen svun 30 lausetta (ks. tarkemmn loppuvkon tehtävä ). Tällä kertaa f(z) f(x + y) x + y, joten u(x, y) x + y ja v(x, y) 0. Osttasdervaatat u x (x, y) x, u y (x, y) y ja v x (x, y) v y (x, y) 0 ovat jatkuva koko komplekstasossa (avon joukko) ja Cauchyn-Remannn yhtälöt (u x v y ja u y v x el x 0 ja y 0) ovat vomassa orgossa (ja van sellä), joten funkto on dervotuva yhdessä psteessä, orgossa. Dervaatan arvon tässä psteessä vo laskea luennotsjan mustnpanojen svun 9 huomautuksen perusteella. K 3. Ratkase yhtälö sn z 1000. Ratkasu 1. Snlle pätee sn(z) 1 ( e z e z). Otetaan välakasest käyttöön muuttuja w e z. Tällön alkuperänen yhtälö saadaan (kertomalla puolttan termllä w ja järjestelemällä uudelleen) muotoon w 000 w 1 0. Tämä vodaan ratkasta han normaalst tosen asteen yhtälön ratkasukaavalla. Sspä w 000 ± ( 000) + 4 000 ± 3999996 1000 ± 3 111111. Nyt Re(w) 0, Im(w) 1000 ± 3 111111 > 0 ja w e arg(w) w e z e (x+y) e y+x. Täten saadaan e y w 1000±3 111111 ja x arg(w) + πn, n Z. Kakk ratkasut ovat ss π mssä n Z. z x + y π + πn ln(1000 ± 3 111111), Syksy 008 svu (6)
Harjotus, esmerkkratkasut Ratkasu. Snlle pätee (myös) sn(z) snh(z) snh( y + x) snh( y) cos(x) + cosh( y) sn(x) snh(y) cos(x) + cosh(y) sn(x) cosh(y) sn(x) + snh(y) cos(x). Nyt Im(sn z) Im(1000) 0, joten on oltava joko snh(y) 0 ta cos(x) 0. Jos snh(y) ey e y 0, nn y 0. Tällön cosh(y) ey +e y 1 ja ss sn z sn x 1. Yhtälöllä e ss ole sellasta ratkasua, jossa snh(y) 0. Jälkmmänen vahtoehto toteutuu, kun x π +nπ, mssä n Z. Koska cosh(y) > 0, on oltava myös sn(x) > 0, jotta sn z 1000 > 0. Edelleen, koska sn( π + nπ) ( 1) n, on oltava n m ja ss x π + πm, mssä m Z. Nyt ss on saatu sn x 1, joten enää tarvtsee ratkasta cosh(y) 1000. Otetaan välakaseks muuttujaks t e y ja saadaan yhtälö t 000t + 1 0. Tosen asteen yhtälön ratkasukaavalla saadaan Sspä ja kakk ratkasut ovat ss mssä m Z. t 000 ± ( 000) 4 1000 ± 3 111111. y ln(t) ln(1000 ± 3 111111) z x + y π + πm + ln(1000 ± 3 111111), Huomautus. Molemmlla tavon saadut ratkasut ovat (näennäsestä merkkerosta huolmatta) samat, koska (1000 + 3 111111)(1000 3 111111) 1000000 999999 1 ja ss ( 0 ln(1) ln (1000 + 3 111111)(1000 3 ) 111111) ln(1000 + 3 111111) + ln(1000 3 111111) Syksy 008 svu 3(6)
Harjotus, esmerkkratkasut el ln(1000 + 3 111111) ln(1000 3 111111). 1. Olkoon f : C \ {0} C, f(z) 5+3. Laske f ( + ). z 3 Ratkasu. joten f (z) d dz f ( + 1) 5 + 3 z 3 (5 + 3) d dz 1 (5 + 3) 3 z3 z 4 15 9, z 4 15 9 15 9 15 9 15 9 ( + ) 4 (( + ) ) (3 + 4) 7 + 4 15 9 7 4 7 + 4 7 4 ( 15)( 7) ( 9)( 4) + (( 15)( 4) + ( 9)( 7)) ( 7) 4( 4) 105 16 + (360 + 63) 111 + 43. 49 + 576 65. Tutk, mssä pstessä seuraavat funktot ovat dervotuva. Määrää suurn mahdollnen joukko, jossa ne ovat analyyttsä. (a). f : C C, f(z) f(x + y) x y + xy. (b). f : C C, f(z) f(x + y) x + y + xy. Ratkasu. Määrtelmän mukaan funkto f : E C on dervotuva psteessä z 0 E, jos erotusosamäärän raja-arvo f(z 0 + h) f(z 0 ) lm h 0 h on olemassa. Tätä merktään f (z 0 ). Funkto f on edelleen analyyttnen (avomessa) joukossa E, jos se on dervotuva sen jokasessa psteessä. Koska (a)-kohdan funktolle pätee f(z) f(x + y) x y + xy (x + y) z, on se luennotsjan mustnpanojen esmerkken (svu 3, svu 5 (1)) perusteella dervotuva kaklla z 0 C ja sten se on myös analyyttnen kakkalla, suurn mahdollnen analyyttsyysjoukko on ss C. Syksy 008 svu 4(6)
Harjotus, esmerkkratkasut (Lasku nlle, jotka evät luennotsjan mustnpanoja ole lukeneet: (z 0 + h) z0 lm h 0 h rppumatta psteen z 0 valnnasta.) lm h 0 z 0 + h z 0 (b)-kohdassa e päästä avan nän helpolla, koska vastaavaa smppelä estystä muuttujan z avulla e ole. Nyt vodaan (ja oltasn tok votu jo (a)-kohdassakn) soveltaa luennotsjan mustnpanojen svun 30 lausetta: Lause. Olkoon E C avon ja f : E C, f(z) f(x + y) u(x, y) + v(x, y) funkto, jonka osttasdervaatat ovat jatkuva joukossa E. Jos ne lsäks toteuttavat Cauchyn-Remannn yhtälöt { ux (x 0, y 0 ) v y (x 0, y 0 ) u y (x 0, y 0 ) v x (x 0, y 0 ), psteessä z 0 x 0 + y 0, nn sllon f on dervotuva psteessä z 0. (b)-kohdan funkton reaal- ja magnaarosat ovat u(x, y) x + y ja v(x, y) xy. Näden osttasdervaatat u x (x, y) x, u y (x, y) y, v x (x, y) y ja v y (x, y) x ovat jatkuva kaklla x, y, mutta Cauchyn-Remannn yhtälöt (x x ja y y) ovat yhtä akaa vomassa van reaalaksellla (y 0). Sspä funkto on dervotuva reaalaksellla C R ekä ss mssään analyyttnen (koska suljetulla joukolla C R e ole yhtään avonta osajoukkoa). Suurn analyyttsyysjoukko on ss tyhjä joukko. (Jotta funkto vo olla analyyttnen jossan psteessä, sen täytyy olla dervotuva jossan ko. psteen avomessa ympärstössä. (Tällön se on tok myös analyyttnen ko. ympärstössä, joten analyyttsyys snällään e ole pstettänen käste.) Näytetään ss, että mllään reaalakseln psteellä e ole pelkästään reaalaksellla olevaa avonta ympärstöä. Jokanen reaalakseln psteen ξ ympärstö ssältää jonkn ξ-kesksen avomen kekon komplekstasossa. Tällasella kekolla on ana postvnen säde. Olkoon se vakka ε. Pste ξ + ε sjatsee tässä kekossa reaalakseln ulkopuolella. Ss reaalakseln psteen ξ jokanen avon ympärstö ulottuu reaalakseln ulkopuolelle ekä tehtävän funkto ss vo olla analyyttnen reaalakselllakaan.) Syksy 008 svu 5(6)
Harjotus, esmerkkratkasut 5. Olkoon f : C C, f(z) e z. Tutk, mten f kuvaa seuraavat joukot. (a). A {z C : 1 Re(z) 1, π < Im(z) < π}. (b). B {z C : ln 3 < Re(z) < ln 5}. Ratkasu. Krjotetaan z x+y ja ss f(z) e z e x+y re θ, joten r e x ja θ y. Sspä lähtöpuolen vahteluväl reaalakseln suunnassa kertoo kuvapuolen vahteluväln moduln ja lähtöpuolen kompleksnen vahteluväl kertoo kuvapuolen argumentt. Täten (a)-kohdassa saadaan ja (b)-kohdassa f(a) {w C : e 1 w e 1, π < Arg(w) < π} f(b) {w C : e ln 3 < w < e ln 5 } {w C : 3 < w < 5}. Syksy 008 svu 6(6)