Kompleksianalyysi viikko 3

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Kompleksianalyysi viikko 3"

Transkriptio

1 Kompleksianalyysi viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division

2 Derivaatta Oletetaan seuraavassa, että joukko A C on avoin, eli jokaista z 0 A kohti on olemassa sellainen ǫ > 0, että z z 0 < ǫ z A. f : A C on yksiarvoinen. Määritellään funktion derivaatan käsite. Määr. 1 Funktio f : A C on derivoituva pisteessä z 0 A, jos raja-arvo f(z) f(z 0 ) lim z z 0 z z 0 on olemassa. Derivaattaa merkitään f (z 0 ) = df dz (z 0). 2 / 28

3 Derivaatta Huomautus 1 Derivaatan määritelmässä 1 on huomattava, että mahdollisia reittejä lähestyä pistettä z 0 on ääretön määrä. Raja-arvon on oltava riippumaton reitistä, jolla z lähestyy pistettä z 0. Vertaa kahden reaalimuuttujan funktion derivaatan käsite PK II:ssa. Luentomonisteessa on esitetty Määritelmään 1 nojautuvat perustelut, miksi esimerkiksi f(z) = z 2 on derivoituva jokaisella z C. f(z) = z ei ole derivoituva millään z C. Jatkossa esitetään kätevämpi tapa tarkastella derivoituvuutta. 3 / 28

4 Analyyttinen funktio Määr. 2 Jos f on derivoituva jokaisessa pisteessä z 0 A, sanotaan että f on analyyttinen A:ssa. Funktio f on analyyttinen pisteessä z 0, jos f on analyyttinen jossakin z 0 :n ympäristössä (kiekossa) U(z 0,r) = {z C : z z 0 < r}. Derivaatalle pätee reaalianalyysistäkin tuttu tulos Lause 1 Jos f (z 0 ) on olemassa, niin f on jatkuva z 0 :ssa. 4 / 28

5 Esimerkki Esim. 1 Olkoon Laske raja-arvo f(z) = lim z 0 { z 2 z, z 0, 0, z = 0. f(z) f(0), z 0 kun z z 0 koordinaattiakseleita pitkin, pitkin suoraa y = x, ja totea, ettei f ole derivoituva pisteessä z = 0. Esimerkin 1 mukaan ei riitä, että pistettä lähestytään koordinaattiakseleita pitkin. 5 / 28

6 Ominaisuuksia Lause 2 Olkoot f ja g analyyttisiä A:ssa. Silloin (i) af + bg on analyyttinen A:ssa, (af + bg) = af + bg, kaikilla a,b C (ii) fg on analyyttinen A:ssa, (fg) = f g + fg (iii) jokainen polynomi P(z) = a 0 + a 1 z + +a n z n on analyyttinen C:ssä ja P (z) = a 1 + 2a 2 z + +na n z n 1 (iv) jos g(z) 0 kaikilla z A, niin f g on analyyttinen A:ssa ja ( ) f (z) = f (z)g(z) g (z)f(z) g [g(z)] 2 (v) Rationaalifunktio P(z) Q(z) = a 0+a 1 z+ +a nz n b 0 +b 1 z+ +b mz m on analyyttinen joukossa B = {z C : Q(z) 0}. 6 / 28

7 Ketjusääntö Lause 3 (Ketjusääntö) Olkoot f : A C ja g : B C analyyttisiä ja oletetaan että f(a) B. Tällöin g(f(z)) on analyyttinen A:ssa ja dg(f(z)) dz = g (f(z))f (z). Vaikka kompleksisella derivaatalla on paljon samanlaisia ominaisuuksia kuin tavallisella reaalifunktion derivaatalla, on kompleksinen derivaatta paljon vahvempi kuin sen reaalinen analogia. Osoittautuu esimerkiksi ehkä hieman yllättäen, että jos f on olemassa, niin myös f :n kaikkien kertalukujen derivaatat ovat olemassa! (osoitetaan myöhemmin). 7 / 28

8 Esimerkkejä Esim. 2 Osoita, että Lauseen 2 kohta (iii) seuraa kohdasta (i), jos oletetaan tunnetuksi, että d dz zn = nz n 1 kaikilla n = 1,2,... Esim. 3 Laske funktion a) f(z) = (1 4z 2 ) 3, b) f(z) = (1+z2 ) 4 z 2, z 0, derivaatta. 8 / 28

9 Alkeisfunktioiden analyyttisyys Reaalianalyysistä tutut derivoituvat alkeisfunktiot ovat derivoituvia myös kompleksitasossa. Esimerkiksi polynomifunktio on derivoituva koko C:ssä. eksponenttifunktio on derivoituva koko C:ssä rationaalifunktio on derivoituva kaikkialla muualla paitsi pisteissä {z C : Q(z) = 0}. logaritmifunktio f(z) = log z on derivoituva jokaisella haaralla (2k 1)π < arg z < (2k + 1)π, k Z. juurifunktio f(z) = n z = z 1 n on derivoituva jokaisella haaralla (2k 1)π n < arg z < (2k + 1)π, k Z. n 9 / 28

10 Cauchy-Riemannin yhtälöt Funktion f = u + iv : A C analyyttisyys voidaan ilmaista funktion reaaliosaa ja imaginaariosaa koskevana ehtona. Lause 4 (Cauchy-Riemannin yhtälöt) Jos f (z 0 ) on olemassa, niin Cauchy-Riemannin yhtälöt u x = v y, ovat voimassa pisteessä z 0 ja u y = v x (1) f (z 0 ) = u x + i v x = v y i u y. Kääntäen, jos osittaisderivaatat u y ovat jatkuvia A:ssa sekä toteuttavat (1), niin f on analyyttinen A:ssa. x, u y, v x, v 10 / 28

11 Cauchy ja Riemann Kuva 1 : Cauchy ( ), ranskalainen matemaatikko Kuva 2 : Riemann ( ), saksalainen matemaatikko 11 / 28

12 Todistus f (z 0 ) = lim z z0 f(z) f(z 0 ) z z 0, z 0 = x 0 + iy 0. Erikoisesti, kun z = x + iy 0 z 0 (eli x x 0 ), niin f(z) f(z 0 ) z z 0 = u(x,y 0)+iv(x,y 0 ) u(x 0,y 0 ) iv(x 0,y 0 ) x x 0 = u(x,y 0) u(x 0,y 0 ) x x 0 + i v(x,y 0) v(x 0,y 0 ) x x 0 u x (x 0,y 0 )+i v x (x 0,y 0 ), kun x x 0 f (z 0 ) = u x + i v x. 12 / 28

13 Tod. jatkuu Vastaavasti, kun z = x 0 + iy z 0 (eli y y 0 ), niin f(z) f(z 0 ) = u(x 0,y)+iv(x 0,y) u(x 0,y 0 ) iv(x 0,y 0 ) z z 0 i(y y 0 ) = u(x 0,y) u(x 0,y 0 ) + v(x 0,y) v(x 0,y 0 ) i(y y 0 ) y y 0 1 u i y + v y = v y i u y, kun y y 0 f (z 0 ) = v y i u y u x = v y ja u y = v x. Todistuksen toinen suunta sivuutetaan. Seuraa laskemalla u:n ja v:n differentiaalikehitelmät ja käyttämällä C-R-yhtälöitä. 13 / 28

14 Esimerkkejä Esim. 4 Osoita Lauseen 4 avulla, että eksponenttifunktio f(z) = e z on derivoituva kaikilla z C ja että f (z) = e z. Esim. 5 Osoita Lauseen 4 avulla, että f(z) = z 2 ei ole derivoituva millään 0 z C. 14 / 28

15 Harmoninen funktio Funktio u = u(x, y) on harmoninen, jos u = 0 eli jos 2 u x u y 2 = 0, ja jos u:n 2. kertaluvun osittaisderivaatat ovat jatkuvia. Harmonisuus on läheisessä yhteydessä analyyttisyyteen kuten seuraava lause osoittaa. Lause 5 Analyyttisen funktion f = u + iv reaali- ja imaginaariosat ovat harmonisia. Kääntäen, jos u on harmoninen alueessa A, jossa ei ole reikiä, on olemassa A:ssa analyyttinen f, jolle Ref = u. Jos f = u + iv on analyyttinen, sanotaan että v on u:n konjugaattiharmoninen funktio tai harmoninen konjugaatti. 15 / 28

16 Harmoninen konjugaatti Vaatimus, että A:ssa ei ole reikiä, on oleellinen Lauseessa 5. Esimerkiksi u(x,y) = 1 ( 2 x 2 + y 2) on harmoninen C\{0}:ssa ja logaritmifunktion f(z) = log z reaaliosa. Mutta logaritmifunktio ei ole analyyttinen (sillä se ei ole edes jatkuva) C\{0}:ssa (Katso luentomonisteen Esimerkki 14). Harmoninen konjugaatti voidaan määrätä (mikäli sellainen löytyy) Cauchy-Riemannin yhtälöistä saatava yhtälöpari { ux = v y, u y = v x. 16 / 28

17 Esimerkkejä Esim. 6 Etsi kaikki analyyttiset funktiot f(z), joille Ref(z) = x 3 3xy 2 + 2y. Esim. 7 a) Määrää kaikki analyyttiset funktiot f(z), joille Re f(z) = x 2 y 2 x + 2. b) Laske a)-kohdan funktion derivaatta f (z). 17 / 28

18 Konformikuvaus Käyrän tangentti Jos käyrä c : [a, b] C, c(t) = (x(t), y(t)) = x(t)+iy(t), on derivoituva, niin c (t) = (x (t), y (t)) = x (t)+iy (t), on käyrän tangentti pisteessä (x(t), y(t)) mikäli c (t) 0. Määr. 3 Kuvaus (funktio) f : A C on konforminen pisteessä z 0 jos on olemassa sellaiset θ [0, 2π) ja r > 0, että jokaiselle käyrälle c(t) A jolle c(0) = z 0 ja c (0) 0, käyrä d(t) = f(c(t)) on derivoituva pisteessä t = 0 ja d (0) = r c (0), arg d (0) = arg c (0)+θ mod 2π. Eli venytys r ja kiertokulma θ ovat vakiot kaikille käyrille c(t). Kuvaus on konformikuvaus, jos se on konforminen jokaisessa pisteessä. 18 / 28

19 Konformisuus Konformikuvaus säilyttää toisiaan leikkaavien käyrien väliset kulmat (=tangenttien väliset kulmat), sillä arg d 1(0) arg d 2(0) = arg c 1(0) arg c 2(0). 19 / 28

20 Derivaatan geometrinen merkitys Lause 4 Jos f : A C on analyyttinen ja f (z 0 ) 0, niin f on konforminen { pisteessä z 0 ja θ = arg f (z 0 ), paikallinen kiertokulma z 0 :ssa r = f. (z 0 ), paikallinen venytys z 0 :ssa Todistus: d(t) = f(c(t)) d (t) = f (c(t))c (t) sijoitetaan t = 0 d (0) = f (z 0 )c (0), =r {}}{ d (0) = f (z 0 ) c (0) arg d (0) = arg c (0)+arg f (z 0 ) }{{} =θ 20 / 28

21 Esimerkki Esim. 8 Tutki kuvauksen z f(z) = z paikallista käyttäytymistä pisteessä z 0 = 1+i. 21 / 28

22 Esimerkki y f(z) = z v x u Esimerkin 8 funktion paikallinen käyttäytyminen pisteessä z = 1+i / 28

23 Kohtisuorat käyräparvet Olkoon f = u + iv analyyttinen ja f (z) 0. Tasa-arvokäyrät u(x, y) = c v(x, y) = d. Tasa-arvokäyrien normaalit ( u u = x, u ) y ( v v = x, v ). y Cauchy-Riemannin yhtälöiden mukaan u v = u x v x + u y v y = v y ( u y )+u y v y = 0, joten tasa-arvokäyrät leikkaavat kohtisuoraan. 23 / 28

24 Yhteys sähköstatiikkaan Oletetaan, että sähkökenttä E on gradienttikenttä, eli on olemassa sähköinen potentiaali u, jolle E = u. (2) Oletetaan, että tarkasteltavassa alueessa ei ole varauksia, jolloin Gaussin lain mukaan E = 0. (3) Yhtälöistä (2) ja (3) seuraa, että u on harmoninen: u = u = E = 0. Jos alueessa ei ole reikiä, niin on olemassa harmoninen konjugaatti v, jonka tasa-arvokäyrät leikkaavat potentiaalin u tasa-arvokäyrät kohtisuorasti. 24 / 28

25 Yhteys sähköstatiikkaan Ulkoinen varaus liikkuu sähkökentässä E harmonisen funktion v tasa-arvokäyriä pitkin. Tämän vuoksi v:tä nimitetään usein virtausfunktioksi. Sähkökentän E kenttäviivat ovat siis virtausfunktion v tasa-arvokäyrien suuntaisia ja toisaalta v:n kenttäviivat ovat u:n tasa-arvokäyrien suuntaisia. 25 / 28

26 Kohtisuorat leikkaajat Kuvassa on funktion f(z) = z 2 reaaliosan (sinisellä) ja imaginaariosan (punaisella) tasa-arvokäyriä. Funktion f reaaliosa Re f = u on sähköinen potentiaali ja imaginaariosa Im f = v on virtauspotentiaali. 26 / 28

27 Esimerkki Esim. 9 Tarkastellaan yhtälöä z = f(z)+e f(z), missä z = x + iy ja f = u + iv on analyyttinen funktio. Määrää potentiaalin v tasa-arvokäyrät. 27 / 28

28 Esimerkki Esimerkin 9 funktion f = u + iv = i(v iu) imaginaariosan v tasa-arvokäyriä. Tulkitsemalla tasa-arvokäyrät tasapotentiaaleiksi nähdään, että kyseessä on puolisuorien < x 1, y = ±π määräämän kondensaattorin tasapotentiaaleja. 28 / 28

Derivaatta. Joukko A C on avoin, jos jokaista z 0 A kohti on olemassa ǫ > 0: jos z z 0 < ǫ, niin z A. f : A C on yksiarvoinen.

Derivaatta. Joukko A C on avoin, jos jokaista z 0 A kohti on olemassa ǫ > 0: jos z z 0 < ǫ, niin z A. f : A C on yksiarvoinen. Derivaatta Joukko A C on avoin, jos jokaista z 0 A kohti on olemassa ǫ > 0: jos z z 0 < ǫ, niin z A. f : A C on yksiarvoinen. Määritelmä Funktio f : A C on derivoituva pisteessä z 0 A jos raja-arvo (riippumatta

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 4

Kompleksianalyysi, viikko 4 Kompleksianalyysi, viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Aloitetaan reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraalin määrittelyllä,

Lisätiedot

Kompleksianalyysi Funktiot

Kompleksianalyysi Funktiot Kompleksianalyysi Funktiot Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksimuuttujan funktio Aloitetaan funktion määritelmällä. Määr. 1 Kompleksimuuttujan funktio f : C C on sääntö, joka liittää joukkoon

Lisätiedot

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1 1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 5

Kompleksianalyysi, viikko 5 Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 6

Kompleksianalyysi, viikko 6 Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 3. Kompleksinen derivointi 3.1. Määritelmä. Olkoon G kompleksitason C epätyjä osajoukko. Olkoon z 0 joukon G sisäpiste. Funktio f : G C on kompleksisesti

Lisätiedot

2. Funktiot. Keijo Ruotsalainen. Mathematics Division

2. Funktiot. Keijo Ruotsalainen. Mathematics Division 2. Funktiot Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Kompleksimuuttujan funktio Kompleksimuuttujan z kompleksiarvoinen funktio f(z) voi olla yksiarvoinen tai moniarvoinen, esimerkiksi f(z) = e z f(z) =

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

1 Analyyttiset funktiot

1 Analyyttiset funktiot Analyyttiset funktiot. Kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio Olkoot A ja B kompleksitason C osajoukkoja. Kuvausta f : A B sanotaan kompleksimuuttujan kompleksiarvoiseksi funktioksi. Usein on B C..Vakiokuvaus.

Lisätiedot

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa 1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa Tavallisessa analyyttisessä geometriassa käyrien yhtälöt esitetään x-koordinaattien ja y-koordinaattien avulla, esimerkiksi y = 1 x esittää tasasivuista hyperbeliä,

Lisätiedot

Reaaliset sin ja cos voidaan palauttaa eksponenttifunktioon Eulerin kaavan avulla: Jos x on reaaliluku, niin e ix = cos x i sin x

Reaaliset sin ja cos voidaan palauttaa eksponenttifunktioon Eulerin kaavan avulla: Jos x on reaaliluku, niin e ix = cos x i sin x 2 1. Trigonometriset ja hyperboliset funktiot Reaaliset sin ja cos voidaan palauttaa eksponenttifunktioon Eulerin kaavan avulla: Jos x on reaaliluku, niin e ix = cos x + i sin x, e ix = cos x i sin x Jos

Lisätiedot

Kompleksitermiset jonot ja sarjat

Kompleksitermiset jonot ja sarjat Kompleksitermiset jonot ja sarjat Aalto MS-C300, 205, v., Kari Eloranta Tutkitaan kompleksitermisten jonojen ja sarjojen ominaisuuksia. Päätavoite on kompleksifunktioiden sarjakehitelmien ymmärrys. Määritelmä

Lisätiedot

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op

Johdatus reaalifunktioihin P, 5op Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti

Lisätiedot

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue. 1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z

Lisätiedot

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus Mat-.33 Matematiikan pk KP3-i - kertaus J.v.Pfaler TKK 24. lokakuuta 2007 Kurssin ensimmäisen puoliskon selkäranka on Kompleksitason funktioiden teoria, sisältäen analyyttiset funktiot, auchy integraali

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 01 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 5. Eksponenttifunktio ja sini- ja kosinifunktiot Kertausta. (1 Reaaliselle eksponenttifunktiolle e x : R R + pätee e x x k = kaikilla x R. k! (

Lisätiedot

Kompleksiluvut Kompleksitaso Kompleksifunktiot ja kuvaukset Funktioiden raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta Eräitä kompleksifun.

Kompleksiluvut Kompleksitaso Kompleksifunktiot ja kuvaukset Funktioiden raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta Eräitä kompleksifun. 17. lokakuuta 2016 Kompleksiluvut Kompleksiluku Kompleksiluku z on järjestetty reaalilukupari missä x ja y ovat reaalilukuja. z = (x, y), Lukuparin reaaliosa on x ja imaginaariosa on y. Lukuparin reaaliosa

Lisätiedot

Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i. Osa I. Kompleksiluvut. TKK lokakuuta Määritelmä ja perusominaisuuksia

Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i. Osa I. Kompleksiluvut. TKK lokakuuta Määritelmä ja perusominaisuuksia Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i A.Rasila J.v.Pfaler TKK27 19. lokakuuta 27 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 1 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331

Lisätiedot

Harmoniset funktiot kompleksialueessa ja konformikuvaukset

Harmoniset funktiot kompleksialueessa ja konformikuvaukset Harmoniset funktiot kompleksialueessa ja konformikuvaukset Hanna-Kaisa Karttunen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2014 Tiivistelmä: Hanna-Kaisa Karttunen,

Lisätiedot

Kompleksiluvut Kompleksitaso

Kompleksiluvut Kompleksitaso . Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 212 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 6.1. Poluista. 6. Kompleksinen integrointi Olkoon [α, β] suljettu reaaliakselin väli, α < β, ja olkoon A kompleksitason avoin joukko. Polku on

Lisätiedot

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,

Lisätiedot

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Integraalilaskenta 2 Harjoitus Olkoon A := {(x, y) R 2 0 x π, sin x y 2 sin x}. Laske käyräintegraali

JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Integraalilaskenta 2 Harjoitus Olkoon A := {(x, y) R 2 0 x π, sin x y 2 sin x}. Laske käyräintegraali JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MTEMTIIKN J TILSTOTIETEEN LITOS Integraalilaskenta Harjoitus 4 5.4.4. Olkoon := {(x, y) R x π, sin x y sin x}. Laske käyräintegraali + (y dx + x dy) a) suoraan; ja b) Greenin lauseen

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.

Lisätiedot

2 Funktion derivaatta

2 Funktion derivaatta ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 2 Funktion derivaatta 1. Määritä derivaatan määritelmää käyttäen f (), kun (a), (b) 1 ( > 0). 2. Tutki, onko funktio sin(2) sin 1, kun 0, 2 0, kun = 0, derivoituva

Lisätiedot

OLLI HUOPIO JOHDANTO KOMPLEKSISIIN MONIARVOISIIN FUNKTIOI- HIN. Kandidaatintyö

OLLI HUOPIO JOHDANTO KOMPLEKSISIIN MONIARVOISIIN FUNKTIOI- HIN. Kandidaatintyö OLLI HUOPIO JOHDANTO KOMPLEKSISIIN MONIARVOISIIN FUNKTIOI- HIN Kandidaatintyö Tarkastaja: Petteri Laakkonen 1.12.2017 i TIIVISTELMÄ OLLI HUOPIO: Johdanto kompleksisiin moniarvoisiin funktioihin Tampereen

Lisätiedot

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17 1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen

Lisätiedot

Tutki, onko seuraavilla kahden reaalimuuttujan reaaliarvoisilla funktioilla raja-arvoa origossa: x 2 + y 2, d) y 2. x + y, c) x 3

Tutki, onko seuraavilla kahden reaalimuuttujan reaaliarvoisilla funktioilla raja-arvoa origossa: x 2 + y 2, d) y 2. x + y, c) x 3 2. Reaaliarvoiset funktiot 2.1. Jatkuvuus 23. Tutki funktion f (x,y) = xy x 2 + y 2 raja-arvoa, kun piste (x,y) lähestyy origoa pitkin seuraavia xy-tason käyriä: a) y = ax, b) y = ax 2, c) y 2 = ax. Onko

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 1. Möbius-kuvauksista 13. Konformikuvauksista 13.1. Johdantoa. Seuraavassa α ja β ovat annettuja kompleksilukuja ja k ja t 0 ovat reaalisia vakioita.

Lisätiedot

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa 1 ja perusominaisuuksia 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 1: Johdatus kompleksilukuihin 4 Kompleksilukujen algebraa 5 Kompleksitaso

Lisätiedot

6 Eksponentti- ja logaritmifunktio

6 Eksponentti- ja logaritmifunktio ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 019 6 Eksponentti- ja logaritmifunktio 6.1 Eksponenttifunktio 1. Määritä (a) e 3 e + 5, (b) e, (c) + 3e e cos.. Tutki, onko funktiolla f() = 1 e tan + 1 ( π + nπ, n

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen

Lisätiedot

u = 2 u (9.1) x + 2 u

u = 2 u (9.1) x + 2 u 9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.

Lisätiedot

Osittaisdifferentiaaliyhtälöt

Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016

Lisätiedot

2 Funktion derivaatta

2 Funktion derivaatta ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 2 Funktion derivaatta 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 1. Määritä suoraan derivaatan määritelmää käyttäen f (0), kun (a) + 1, (b) (2 + ) sin(3). 2. Olkoon

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JAOS Kompleksianalyysi

MATEMATIIKAN JAOS Kompleksianalyysi MATEMATIIKAN JAOS Kompleksianalyysi Harjoitustehtäviä, syksy 00. Määrää kompleksiluvun a) = 3 j + 3j, b) = j, + j c) = ( 3 3 3 j)( j) itseisarvo ja argumentti.. Määrää sellaiset reaaliluvut x ja y, että

Lisätiedot

Matematiikan perusteet taloustieteilij oille I

Matematiikan perusteet taloustieteilij oille I Matematiikan perusteet taloustieteilijöille I Harjoitukset syksy 2006 1. Laskeskele ja sieventele a) 3 27 b) 27 2 3 c) 27 1 3 d) x 2 4 (x 8 3 ) 3 y 8 e) (x 3) 2 f) (x 3)(x +3) g) 3 3 (2x i + 1) kun, x

Lisätiedot

5 Differentiaalilaskentaa

5 Differentiaalilaskentaa 5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.

Lisätiedot

1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet.

1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet. BM0A5700 - Integraalimuunnokset Harjoitus 1 1. Piirrä kompleksitasoon seuraavat matemaattiset objektit/alueet. a Piste z 1 i. Ympyrä z 1 i. Avoin kiekko z 1 i

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto

Lisätiedot

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali

d Todista: dx xn = nx n 1 kaikilla x R, n N Derivaatta Derivaatta ja differentiaali 6. Derivaatta 6.. Derivaatta ja differentiaali 72. Olkoon f () = 4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f ( 3). f ( 3) = 08. 73. Muodosta funktion f () = derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.

Lisätiedot

Phragmén-Lindelön lauseista

Phragmén-Lindelön lauseista Phragmén-Lindelön lauseista Pro gradu -tutkielma Tuomas Saarelainen 249684 Itä-Suomen yliopisto 28. toukokuuta 2017 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Kompleksiarvoisten funktioiden ominaisuuksia 2 2.1 Kompleksitason

Lisätiedot

Kompleksianalyysi I. Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syyslukukausi Kari Astala

Kompleksianalyysi I. Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syyslukukausi Kari Astala Kompleksianalyysi I Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syyslukukausi 2016 Kari Astala Teksti hyödyntää myös Pekka Niemisen ja Ritva Hurri-Syrjäsen aikaisempia muistiinpanoja. Kuvat:

Lisätiedot

Matematiikka B1 - avoin yliopisto

Matematiikka B1 - avoin yliopisto 28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan

Lisätiedot

Oulussa, kesäkuussa 2016 Jukka Kemppainen. The shortest route between two truths in the real domain passes through the complex domain

Oulussa, kesäkuussa 2016 Jukka Kemppainen. The shortest route between two truths in the real domain passes through the complex domain Kompleksianalyysin luentorunko Oulun yliopisto Tekniikan matematiikka 8. lokakuuta 206 Kuva : Funktion f (z) = z reaaliosa Kuva 2: Funktion f (z) = ez reaaliosa Tämä luentomoniste on tehty emeritusprofessori

Lisätiedot

Kompleksianalyysi. Tero Kilpeläinen

Kompleksianalyysi. Tero Kilpeläinen Kompleksianalyysi Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja keväälle 2005 26. huhtikuuta 2006 Alkusanat Seuraavilla sivuilla on luentomuistiinpanoja kompleksianalyysin laudatur-kurssille. Toivoakseni kirjoitus

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 5: Taylor-polynomi ja sarja Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 26.9.2016 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4

VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 VEKTORIANALYYSIN HARJOITUKSET: VIIKKO 4 Jokaisen tehtävän jälkeen on pieni kommentti tehtävään liittyen Nämä eivät sisällä mitään kovin kriittistä tietoa tehtävään liittyen, joten niistä ei tarvitse välittää

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali

Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Määritelmä 1 Olkoon f(t) = u(t) + jv(t) jatkuva funktio välillä [a, b]. Tällöin (1) b b b f(t)dt = u(t)dt + j v(t)dt. a a a Jatkossa oletetaan, että

Lisätiedot

RIEMANNIN KUVAUSLAUSE. Sirpa Patteri

RIEMANNIN KUVAUSLAUSE. Sirpa Patteri RIEMANNIN KUVAUSLAUSE Sirpa Patteri 2 RIEMANNIN KUVAUSLAUSE Johdanto Georg Bernhard Riemann (826-866) esitti kuvauslauseen väitöskirjassaan vuonna 85. Hän käytti todistuksessaan Dirichlet n periaatetta,

Lisätiedot

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden

Lisätiedot

Toispuoleiset raja-arvot

Toispuoleiset raja-arvot Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen

Lisätiedot

Funktioteoria I. Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syyslukukausi 2009

Funktioteoria I. Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syyslukukausi 2009 Funktioteoria I Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syyslukukausi 2009 Kari Astalan muistiinpanoista (2005) muokannut Pekka Nieminen Kuvat: Martti Nikunen Funktioteorian eli kompleksianalyysin

Lisätiedot

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan

Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Johdatus tekoälyn taustalla olevaan matematiikkaan Informaatioteknologian tiedekunta Jyväskylän yliopisto 3. luento 17.11.2017 Neuroverkon opettaminen (ohjattu oppiminen) Neuroverkkoa opetetaan syöte-tavoite-pareilla

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Yleisiä integroimissääntöjä

Yleisiä integroimissääntöjä INTEGRAALILASKENTA, MAA9 Yleisiä integroimissääntöjä Integroiminen eli annetun funktion f integraalifunktion F määrittäminen (löytäminen) on yleisesti haastavaa. Joskus joutuu jopa arvata tai kokeilla.

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Residylause ja sen sovelluksia

Residylause ja sen sovelluksia TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Henry Joutsijoki Residylause ja sen sovelluksia Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Marraskuu 7 Tampereen yliopisto Matematiikan, tilastotieteen

Lisätiedot

VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN

VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN Matematiikan kurssikoe, Maa6 Derivaatta RATKAISUT Sievin lukio Torstai 23.9.2017 VASTAA YHTEENSÄ KUUTEEN TEHTÄVÄÄN MAOL-taulukkokirja on sallittu. Vaihtoehtoisesti voit käyttää aineistot-osiossa olevaa

Lisätiedot

Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi.

Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi. Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 4: Taylorin sarja, residymenetelmä A.Rasila J.v.Pfaler 26. syyskuuta 2007 Kompleksista sarjoista Jono, suppeneminen, summasarja Potenssisarja, suppenemissäde ja analyyttiset

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut

KOMPLEKSILUVUT C. Rationaaliluvut Q. Irrationaaliluvut KOMPLEKSILUVUT C Luonnolliset luvut N Kokonaisluvut Z Rationaaliluvut Q Reaaliluvut R Kompleksi luvut C Negat kokonaisluvut Murtoluvut Irrationaaliluvut Imaginaariluvut Erilaisten yhtälöiden ratkaiseminen

Lisätiedot

KATRI KOPONEN VIRTAUSTEN MALLINTAMINEN KONFORMIKUVAUKSEN AVULLA. Diplomityö

KATRI KOPONEN VIRTAUSTEN MALLINTAMINEN KONFORMIKUVAUKSEN AVULLA. Diplomityö KATRI KOPONEN VIRTAUSTEN MALLINTAMINEN KONFORMIKUVAUKSEN AVULLA Diplomityö Tarkastaja: Seppo Pohjolainen Tarkastaja ja aihe hyväksytty Luonnontieteiden tiedekuntaneuvoston kokouksessa 12.08.2015 I TIIVISTELMÄ

Lisätiedot

Pro gradu -tutkielma

Pro gradu -tutkielma Pro gradu -tutkielma Kolmen pisteen Schwarzin-Pickin lemma Ahmed Khalif Matematiikan Pro Gradu -tutkielma Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Joulukuu 2012 Tiivistelmä Tässä opinnäytetyössä

Lisätiedot

Diskreetin LTI-systeemin stabiilisuus

Diskreetin LTI-systeemin stabiilisuus Diskreetin LTI-systeemin stabiilisuus LuK-tutkielma Johannes Ylitalo 2372956 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2016 Sisältö Johdanto 2 Merkintöjä 2 1 Kompleksifunktiot 3 2 Signaalianalyysi

Lisätiedot

Tehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa

Tehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa määritelty kuvaus B(0, 1) := x R 2 : x

Lisätiedot

Residylaskenta ja sen sovelluksena äärettömien sarjojen summien laskeminen ja Mittag-Leerin laajennuslause

Residylaskenta ja sen sovelluksena äärettömien sarjojen summien laskeminen ja Mittag-Leerin laajennuslause Residylaskenta ja sen sovelluksena äärettömien sarjojen summien laskeminen ja Mittag-Leerin laajennuslause Pro Gradu-tutkielma Urho Erkkilä Matemaattisten tieteiden laitos Oulun Yliopisto Kevät 03 Sisältö

Lisätiedot

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT

JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause

Lisätiedot

Ratkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,...

Ratkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,... HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset 11 Osoita, että vektorifunktio f = (f 1,, f m ): R n R m, on jatkuva, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat

1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat 1.7 Gradientti ja suunnatut derivaatat Funktion ensimmäiset osittaisderivaatat voidaan yhdistää yhdeksi vektorifunktioksi seuraavasti: Missä tahansa pisteessä (x, y), jossa funktiolla f(x, y) on ensimmäiset

Lisätiedot

Raja-arvo ja jatkuvuus, L5

Raja-arvo ja jatkuvuus, L5 ja jatkuvuus, L5 1 Wikipedia: (http://fi.wikipedia.org/wiki/ ) 2 Funktion f () = 2 4 2 a ei voi laskea kohdassa = 2. Jos eroaa kahdesta ( 2), niin funktion voidaan laskea ja seuraavasta taulukosta nähdään,

Lisätiedot

PERUSASIOITA ALGEBRASTA

PERUSASIOITA ALGEBRASTA PERUSASIOITA ALGEBRASTA Matti Lehtinen Tässä luetellut lauseet ja käsitteet kattavat suunnilleen sen mitä algebrallisissa kilpatehtävissä edellytetään. Ns. algebrallisia struktuureja jotka ovat nykyaikaisen

Lisätiedot

y + 4y = 0 (1) λ = 0

y + 4y = 0 (1) λ = 0 Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

Konformikuvauksista. Lotta Jokiniemi Ohjaaja: Jouni Parkkonen. Sivuainetutkielma

Konformikuvauksista. Lotta Jokiniemi Ohjaaja: Jouni Parkkonen. Sivuainetutkielma Konformikuvauksista Lotta Jokiniemi 23.5.2016 Ohjaaja: Jouni Parkkonen f z 0 B D 0 Sivuainetutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2016 i Tiivistelmä Jokiniemi, Lotta

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

z 1+i (a) f (z) = 3z 4 5z 3 + 2z (b) f (z) = z 4z + 1 f (z) = 12z 3 15z 2 + 2

z 1+i (a) f (z) = 3z 4 5z 3 + 2z (b) f (z) = z 4z + 1 f (z) = 12z 3 15z 2 + 2 BM20A5700 - Integraauunnokset Harjoitus 2 1. Laske seuraavat raja-arvot. -kohta ratkeaa, kun pistät sekä yläkerran että alakerran muotoon (z z 1 )(z z 2 ), missä siis z 1 ja z 2 ovat näiden lausekkeiden

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen

Lisätiedot

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe

Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe Ratkaisuehdotus 2. kurssikoe 4.2.202 Huomioitavaa: - Tässä ratkaisuehdotuksessa olen pyrkinyt mainitsemaan lauseen, johon kulloinenkin päätelmä vetoaa. Näin opiskelijan on helpompi jäljittää teoreettinen

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen. Sarjaoppia Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan. Kirjallisuutta: 1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering

Lisätiedot

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x

Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa

Lisätiedot

3 Derivoituvan funktion ominaisuuksia

3 Derivoituvan funktion ominaisuuksia ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 3 Derivoituvan funktion ominaisuuksia 31 l Hospitalin sääntö 1 Määritä 2 5 4 2 + 2 7 12 + 11, e 1 2, (c) tan sin 2 Määritä 2012 3 704 + 2 6 30 13 10 + 7, 3 2017

Lisätiedot