Pääsykoemenestyksen vaikutus välikoepisteisiin

TEKNILLINEN KORKEAKOULU Teknllsen fyskan ja matematkan koulutusohjelma Mat-.108 Sovelletun matematkan erkostyöt 10.1.001 Pääsykoemenestyksen vakutus välkoepstesn Kalle Soukka 4193W

Ssällysluettelo Ssällysluettelo... 1 1 Johdanto... 1.1 Tavotteet... 1. Tutkmusmenetelmät... Varanssanalyys... 3 3 Järjestyskorrelaato... 4 3.1 Spearmann ρ... 4 Tlastollnen testaus... 5 3. Kendalln τ... 5 Tlastollnen testaus... 6 3.3 Osttasjärjestyskorrelaato... 7 4 Tulokset... 8 4.1 Havantoanesto... 8 4. Varanssanalyys... 8 4.3 Järjestyskorrelaato... 10 Spearmann ρ... 10 Kendalln τ... 11 4.4 Osttasjärjestyskorrelaato... 13 5 Johtopäätökset... 15 Lähteet... 16 1

1 Johdanto Teknllseen korkeakouluun pyrtään valntakokella, jossa hakjolta testataan matematkan ja fyskan osaamsta. Er osastolla on omat pääsykoepsterajat, jonka perusteella opskeljat valtaan. Koulun kursst suortetaan usen tentellä ta välkokella. Votasn olettaa, että pääsykokessa menestyneet opskeljat menestysvät hyvn myös koulun kurssessa. Sovelletun todennäkösyyslaskun kurss kuuluu jollakn koulutusohjelmlla perusopntohn. Tämän työn tarkotuksena on tutka mten pääsykokeden matematkan ja fyskan pstemäärät vakuttavat todennäkösyyslaskun koemenestykseen. 1.1 Tavotteet Työssä tutktaan koepsteden yhteyttä kurssmenestykseen. Havantoanestona on 19 opskeljan pääsykoe- ja kursskoepsteet. Opskeljat ovat teknllsen fyskan, sähköteknkan ja tetoteknkan koulutusohjelmsta. Er vuosna pääsykokeet ja todennäkösyyslaskun koe vovat olla ertasosa. Lsäks er koulutusohjelmen opskeljat vovat olla ertasosa johtuen erlassta pääsykoepsterajosta. Tavotteena on selvttää mllanen yhteys pääsykokessa saavutetulla pstellä on menestykseen todennäkösyyslaskun kokeessa. 1. Tutkmusmenetelmät Er vuosen ja koulutusohjelmen välsä eroja selvtetään varanssanalyysllä. Analyysssä muodostetaan testsuure, jolla testataan hypoteesa er otosten keskarvojen yhtenevyydestä. Test paljastaa pokkeavatko otokset merkttäväst tosstaan. Tämän jälkeen tutktaan järjestyskorrelaatolla ja osttasjärjestyskorrelaatolla matematkan ja fyskan valntakoepstemäären ja todennäkösyyslaskun koepstemäären välstä yhteyttä. Tuloksena saadaan korrelaato otosten tutkttaven otosten välllä ja vodaan testata onko korrelaato tlastollsest merkttävää. Varanssanalyysn ja korrelaatoden sekä tlastollsten testen laskenta suortettn Matlabohjelmston 6.1 versolla (http://www.mathworks.com/products/matlab/).

Varanssanalyys Varanssanalyys (ANOVA, eng. Analyss of varance) on tlastollnen menetelmä, jolla vodaan vertalla useden havantoanestojen keskarvoja ja testata ovatko ne tlastollsen testn perusteella ersuura. Menetelmässä koko havantoaneston ssältämä vahtelu jaetaan komponenttehn, joden vodaan katsoa aheutuvan er otoksn vakuttavsta lmöstä. Tässä työssä vakuttava tekjötä on kaks, opskeljoden ssäänottovuos ja koulutusohjelma, joten kesktymme ns. kakssuuntaseen varanssanalyysn (eng. two-way ANOVA). Vomme krjottaa jokasen havantoaneston havannon muodossa [Mlton ja Arnold 1990, s.533] Y ( ) = µ + α + β + αβ + E (.1) jk j j jk Tämä tarkottaa että havannot vodaan kästtää muodostuvan komponentesta: koko lmön keskarvosta µ, lmöstä A (, lmöstä B, lmöden A ja B yhtesvakutuksesta ( ) j αβ ja satunnasvahtelusta k. Erlasa vakutuksa A on a kappaletta ja vakutuksa B b kappaletta. 0 ( ) α ) E j H : αβ = 0 = 1,,..., a j = 1,,..., b H j I 0 1 a ( β j ) Kakssuuntasella varanssanalyysllä vomme testata kolmea hypoteesa. Olemme knnostuneta onko vakutuksen A ja B yhtesvakutus tlastollsest merkttävä. (.) Jos tämä hypotees jätetään vomaan, vodaan jatkaa testaamalla pokkeavatko vakutuksen A er arvolla eroja Jossa : µ = µ =... = µ (.3) µ on otoksen havantojen, jotka ovat mtattu vakutuksen A tasolla, keskarvo. Tämä hypotees on sama kun H : α = α =... = α a = 0 H I 0 1 Samon testataan vakutuksen B tasojen pokkeavuuksa: el : µ = µ =... = µ II 0 1 a H : β = β =... = β a = 0 II 0 1 (.4) (.5) (.6) 3

3 Järjestyskorrelaato Korrelaato on satunnasmuuttuja, jota käytetään, kun analysotava anesto koostuu havantoparesta, jotka rppuvat tosstaan. Oletetaan satunnasotoksen koostuvan n:stä havantoparsta (, ),(, ) ( ) X1 Y1 X Y,..., X, Y. Vastaava satunnasmuuttujapar on ( X, Y ). n n Jos esmerkks X on :nnen mehen ptuus, Y vos olla samasen mehen sän ptuus. X :n ja Y :n välnen korrelaato noudattaa seuraava ehtoja: 1. Korrelaaton suuruuden tulee olla välllä [ 1,1].. Jos X :n suuret arvot ovat yhteydessä Y :n suuren arvojen kanssa ja vastaavast X :n penet arvot ovat yhteydessä Y :n penn arvohn, tulee korrelaaton olla postvnen, ja jos lmö on vomakas, lähellä arvoa 1. Tällön puhutaan postvsesta korrelaatosta X :n ja Y :n välllä. 3. Jos taas X :n suuret arvot ovat yhteydessä Y :n penen arvojen kanssa ja vastaavast X :n penet arvot ovat yhteydessä Y :n suurn arvohn, tulee korrelaaton olla negatvnen. Vomakkaan yhteyden valltessa arvo on lähellä 1:tä. Tällön X :n ja Y :n välnen korrelaato on negatvnen. 4. Jos X :n ja Y :n arvot ovat satunnasest yhteydessä tosnsa, korrelaaton arvo on lähellä nollaa. Usemmn käytetty korrelaaton mtta on Pearsonn r = n n ( X X)( Y Y) = 1 n ( X X) ( Y Y) = 1 = 1 jossa X ja Y ovat X :n ja Y :n otoskeskarvot. 3.1 Spearmann ρ 1 r [Conover 1998, s.313]: (3.1) Järjestyskorrelaatota varten määrtellään havannon X rankk R ( X ). Tämä on havannon järjestysnumero, el ( ) 1 R X =, jos X on havantoaneston penn havanto. Vastaavast R( X ) =, jos X on havantoaneston toseks penn havanto ja ( ) R X = n, jos X on havantoaneston suurn havanto. Jos anestossa on yhtä suura havantoja, nden rankks asetetaan ko. havantojen rankken keskarvo. 4

Järjestyskorrelaatota vodaan mtata Spearmann ρ:lla [Conover 1998, s.315]: = 1 ρ = 1 1 n n n n + 1 R( X ) R( Y ) n n+ 1 n+ 1 R( X ) n R( Y) n = 1 = 1 (3.) joka on Pearsonn r (3.1) laskettuna rankella ja keskarvoslla rankella. Jos oletetaan, ette anestossa ole samansuurusa havantoja, saadaan (3.) huomattavast yksnkertasempaan muotoon. Tämä oletus e kutenkaan täyty tässä työssä käytetyllä anestolla, joten käytämme analyysehn tarkkaa ρ:n arvoa. Tlastollnen testaus Pearsonn r (3.1) on satunnasmuuttuja, jolla on oma jakauma, joka rppuu X :n ja Y :n yhtesjakaumasta. Tämän vuoks r :n luottamusvälejä e voda muodostaa, ellevät X :n ja Y :n jakaumat ole tunnettuja. Spearmann ρ on, kuten edellä todettn, r laskettuna rankella R ( X ) ja R ( Y ). Näden jakaumat ovat tunnettuja, joten ρ:n tlastollnen testaus on mahdollsta. Kakssuuntanen (two-taled) testhypotees on seuraava: H : X 0 ja Y ovat tosstaan rppumattoma H 1 : X :n ja Y :n välllä on merkttävä negatvnen ta postvnen korrelaato H 0 hylätään väärn perusten todennäkösyydellä α, jos ρ. Tässä w1 α / w on ρ:n jakauman kvantl, jonka arvon approksmaato, kun n > 30, ta kun anestossa on mona yhtä suura havantoja, on [Conover 1998, s.317] w p = z p n 1 Tässä on normaaljakauman todennäkösyyttä p vastaava kvantl. ρ:ta vastaava z p (3.3) todennäkösyyden arvo kakssuuntasessa testssä saadaan kaavalla ( ) P= P Z ρ n 1 (3.4) 3. Kendalln τ Havantoaneston havantopareja tarkastellaan ana kahta para kerrallaan. Jos havannolle (, ) ja X Y pätee X > X j ja Y > Yj, havantoja pdetään yhdenmukasna (eng. X Y ( j, j) 5

concordant). Jos taas X X ja Y < ta X < X ja Y > Y, havantojen sanotaan olevan epäyhdenmukasa (eng. dsordant). Havantopart vodaan järjestää n = n( n 1/ ) er tavalla. Tällön korrelaaton mttana on Kendalln τ [Conover 1998, s.319]: N c τ = n n ( ) N c N d 1/ > j Yj j jossa on yhdenmukasten paren lukumäärä anestossa ja on vastaavast epäyhdenmukasten parn lukumäärä. Oletuksena on, ette anestossa ole yhtä suura havantoja. Mkäl yhtä suura havantoja esntyy, käytetään seuraavaa menetelmää. Yj Y Jos 0, lsätään :n 1, X X > N c Yj Y 1 jos = 0, lsätään molempn, Nc :n ja Nd :n, X X j j Yj Y jos < 0, lsätään N d :n 1, X X j j N d (3.5) jos X = X j, vertalua e tehdä. Nyt τ:n laskemseen käytetään kaavaa N τ = N c c N + N d d (3.6) Nän τ vo saada arvon 1 ta 1 vakka anesto ssältäskn yhtä suura havantoja. Tlastollnen testaus Kendalln τ:ta vodaan käyttää kappaleen 3.1 hypoteesn testaukseen. Testaus tom samon kuten Spearmann ρ:lla testatessa. Nyt van w p määrtellään er tavon: w p = z p ( n ) n( n ) 5 3 1 (3.7) Kaava on vomassa suurlla n :n arvolla ja kun anesto ssältää useta yhtä suura havantoja. T:n arvoa vastaava P-arvo saadaan ss seuraavast: 6

P( vasen häntä) = P Z ( τ + 13 ) n( n 1) ( n 5) (3.8) P( okea häntä) = P Z ( τ 13 ) n( n 1) ( n 5) H 0 penemp kun α / ta P on suuremp kun 1 α /. 3.3 Osttasjärjestyskorrelaato (3.9) Kakssuuntasessa testssä hylätään väärn perusten todennäkösyydellä α, mkäl P on Monen satunnasmuuttujan ( X1, X,..., Xk joukossa vo esntyä korrelaatota X 1 :n ja X :n välllä ja X :n ja X 5 :n välllä jne. X 1 :n ja X :n korrelaato r1 kuvaa muuttujen välstä kokonasvakutusta, joka vo ssältää epäsuoraa vakutusta :n ja X :n välsestä korrelaatosta. Ols mukavaa mtata kahden muuttujan välstä korrelaatota josta on ) X 5 elmnotu korrelaato muden muuttujen välllä. Korrelaatota :n ja X :n välllä, kun X1 epäsuora vakutus muuttujsta X 3, X4,..., X n on elmnotu, merktään r 1 34..n :llä, kun osttaskorrelaato lasketaan Pearsonn r :lle. Yksnkertasessa tapauksessa jossa n = 3, osttaskorrelaato vodaan laskea Pearsonn osttaskorrelaatokertomella [Conover 1998, s.37]: r = 1 3 j r r r 1 13 3 ( 1 r13 )( 1 r3 ) (3.10) jossa r on tavanomanen Pearsonn r X :n ja X :n välllä. Osttaskorrelaatota mtataan j myös Kendalln osttaskorrelaatokertomella τ = 1 3 τ τ τ 1 13 3 ( 1 τ13 )( 1 τ 3 ) (3.11) jossa on Kendalln τ X :n ja X :n välllä. Spearmann ρ vodaan laajentaa samalla tavon τ j mttaamaan osttaskorrelaatota 1 3 X1 X X 3 j r :n jakauma rppuu :n, :n ja :n jakaumsta. ja sten suuretta e voda käyttää teststatstkkana. :n ja :n jakaumat rppuvat samaten muuttujen yhtesjakaumsta, τ 1 3 ρ 1 3 ja ntä vodaan käyttää teststatstkkana van jos kakk kolme muuttujaa ovat keskenään rppumattoma. 7

4 Tulokset 4.1 Havantoanesto Tarkasteltava anesto ssältää 19 opskeljan välkoepsteet sovelletun todennäkösyyslaskun kokeessa syksyllä 000 ja samojen henklöden pääsykokessa savuttamat psteet matematkassa ja fyskassa. Opskeljat ovat teknllsen fyskan, tetoteknkan ja sähköteknkan osastolta, ja hedät on hyväksytty opskeljoks vuosna 1998 ja 1999. Havantoanesto löytyy ltteestä A. Seuraavssa kappalessa tarkastellaan mllasa eroja er koulutusohjelmen ja ssäänottovuosen välllä on. Varanssanalyysn avulla saadaan selvlle, erojen olemassaolo. Tulosten perusteella anesto vodaan ryhmtellä tosstaan selväst pokkeavn joukkohn. Olemme myös knnostuneta selvttämään mllanen yhteys pääsykoemenestyksellä on välkoepstesn. Tätä tutktaan seuraavassa kappaleessa järjestyskorrelaatolla. Er vuosna pääsykokeet ovat saattaneet olla ertasosa. Samaten er koulutusohjelmn hyväksytään opskelemaan ertasosa henklötä. Ylemmän vuoskurssn opskeljat saattavat myös olla tatavampa, koska hedän opntonsa ovat jo pdemmällä. Tämän vuoks analyys tehdään varanssanalyysn perusteella jaetulle ryhmlle erkseen. Nän saadaan koulutusohjelmen ja välkokeden erosta rppumattoma tuloksa. 4. Varanssanalyys Varanssanalyysllä testataan onko matematkan ta fyskan pääsykoepstessä ta todennäkösyyslaskun välkoepstessä eroja er vuosen ja koulutusohjelmen välllä. Testaus suortetaan luvussa estetyllä tavalla Matlabn anovan-funktolla. Käytetyt komennot ovat ltteessä B. Funkto antaa tuloksena ANOVA-taulukon, jossa näkyvät hypoteeseja (.), (.3) ja (.5) vastaavat F-arvot ja nhn lttyvät todennäkösyyksen arvot. Ensn laskemme ANOVA:n matematkan pääsykoepstelle. Tulokset näkyvät taulukossa 4.1. Koulutusohjelman ja opskeljoden ssäänottovuoden yhtesvakutusta vastaava todennäkösyyden arvo on 0.6758, joka e okeuta hypoteesn (.) hylkäämseen. Yhtesvakutus e ss ole merkttävä. Sen sjaan molemmat, sekä koulutusohjelman että ssäänottovuoden vakutukset yksnään, ovat merkttävä. Vomme ss hylätä hypoteest (.3) ja (.5). Koulutusohjelmen ja ssäänottovuosen välllä on merkttävä eroja. Ssäänottovuosen välnen ero näyttää, että er vuosna matematkan pääsykoe on ollut ertasonen. Koulutusohjelmen välset erot selttyvät ersuuruslla pääsykoerajolla. 8

Taulukko 4.1 Kakssuuntanen varanssanalyys matematkan pääsykoepstelle Taulukossa 4. ovat testn tulokset fyskan pääsykoepstelle. Todennäkösyyksen perusteella yhtesvakutus e ole merkttävä. Samon pääsykoevuoden vakutus e erottele vuosa tosstaan. Fyskan pääsykoe on ollut samantasonen molempna vuosna. Koulutusohjelmen välset erot ovat merkttävä kuten matematkan pääsykoepstessä. Taulukko 4. Kakssuuntanen varanssanalyys fyskan pääsykoepstelle Testasmme velä todennäkösyyslaskun välkoemenestystä samalla testllä (Taulukko 4.3). Jälleen yhtesvakutus e ole merkttävä. Opskeljoden ssäänottovuoden vakutus vos näkyä testssä, koska pdemmälle opnnossaan edenneet opskeljat saattavat olla tatavampa laskjota. Todennäkösyyden arvo 0.1751 e kutenkaan okeuta tekemään eroa vuosen välllä. Jälleen er koulutusohjelmen opskeljat menestyvät selväst er tavon todennäkösyyslaskussa. Taulukko 4.3 Kakssuuntanen varanssanalyys todennäkösyyslaskun välkoepstelle 9

4.3 Järjestyskorrelaato Anesto jaettn samohn ryhmn kun edellsessä kappaleessa, koko anesto, ssäänottovuodet 1998 ja 1999, sekä jokanen koulutusohjelma omana ryhmänään. Kakken tulosten laskemseen käytetyt Matlab M-tedostot löytyvät ltteestä C. Spearmann ρ Spearmann ρ:lla mtataan rankken korrelaatota, hypoteesna on kappaleen 3.1 mukanen hypotees, el tutkmme kahden muuttujan välstä rppumattomuutta. Laskmme todennäkösyyslaskun koepsteden ja matematkan pääsykoepsteden korrelaatota sekä todennäkösyyslaskun koepsteden ja fyskan pääsykoepsteden välstä korrelaatota. Tulokset kaklle ryhmlle ovat taulukossa 4.4. Koko anestolla, samon kun vuosttaslla otokslla, korrelaato on hyvn vomakasta Vomme hylätä :n hyvn penellä erehtymstodennäkösyydellä. Koulutusohjelmttaset tulokset ovat melenkntosa. Teknllsen fyskan ja tetoteknkan osastojen opskeljolla fyskan pääsykokeen ja välkoepsteden välnen korrelaato on hyvn lähellä nollaa, joten nollahypotees jää vomaan. Kummallsta on, mks sähköteknkan osastolla samaa lmötä e esnny. Korrelaato on suurmmllaan (0.6534) tetoteknkan koulutusohjelmassa välkoepsteden ja matematkan pääsykoepsteden välllä. Tarkastelemme velä sähköteknkan koulutusohjelman koepstetä erkseen. Teknllsen fyskan ja tetoteknkan koulutusohjelmen osuus on lan pen, jotta otoskoot rttäsvät analyysen tekoon. Sähköteknkan opskeljat jaetaan kahteen ryhmään ssäänottovuoden perusteella. Vuoden 1998 otokseen tul 57 opskeljaa ja vuoden 1999 otokseen 18 opskeljaa. Nälle otokslle lasketut Spearmann ρ:n ja ntä vastaaven todennäkösyyksen arvot ovat taulukossa 4.5. Vuonna 1998 opskelemaan hyväksyttyjen opskeljoden otoksessa korrelaato välkoepsteden ja molempen pääsykokeden välllä on tlastollsest merkttävää, jos pdämme rajana 95%:n luotettavuutta. Sen sjaan vuoden 1999 opskeljosta e voda tehdä yhtä luotettavast samoja johtopäätöksä. Lsäks matematkan kokeen ja välkokeen psteden korrelaato on yllättäväst penemp kun välkoepsteden ja fyskan koepsteden välnen korrelaato. Tosn ero on hyvn pen, ja vuoden 1999 otoskoko on van 18. Ilmö on todennäkösest osaks satunnasuuden seurausta. H 0 10

Koko anesto ρ P vk-mat 0.5349 0 vk-fys 0.465 0 Vuos 1998 ρ P vk-mat 0.515 0 vk-fys 0.436 0 Vuos 1999 ρ P vk-mat 0.5786 0.0003 vk-fys 0.6041 0.000 Teknllnen fyskka ρ P vk-mat 0.4407 0.0088 vk-fys -0.0031 0.493 Sähköteknkka ρ P vk-mat 0.407 0.000 vk-fys 0.475 0 Tetoteknkka ρ P vk-mat 0.6534 0.0009 vk-fys 0.004 0.493 Taulukko 4.4 Spearmann ρ, ja stä vastaavan tlastollsen testn P-arvo er otokslla. Sähköteknkka, vuos 1998 ρ P vk-mat 0.3193 0.0169 vk-fys 0.4554 0.0007 Sähköteknkka, vuos 1999 ρ P vk-mat 0.44 0.0803 vk-fys 0.4711 0.051 Taulukko 4.5 Spearmann ρ, ja stä vastaavan tlastollsen testn P-arvo sähköteknkan Kendalln τ koulutusohjelmassa ssäänottovuosa 1998 ja 1999. Hypoteesna on edelleen sama oletus rppumattomsta otokssta. Kendalln τ laskettn samolle otokslle kun Spearmann ρ. Tulokset ovat taulukossa 4.6. Testen perusteella kaklla otokslla esntyy merkttävää korrelaatota. Lsäks korrelaatot ovat er otokslla hyvn lähellä tosaan. Kuten Spearmann ρ:n tapauksessa suurn korrelaato on tetoteknkan opskeljoden keskuudessa välkoepsteden ja matematkan pääsykoepsteden välllä. Tässä 11

tapauksessa vomme hylätä nollahypoteesn rppumattomuudesta (1-0.0151*)100%=96.98% :n todennäkösyydellä. Analyys tehtn myös edellsen kappaleen tapaan sähköteknkan opskeljolle erkseen. Tulokset nähdään taulukossa 4.7. Korrelaatot ja ntä vastaavat todennäkösyydet ovat lkman yhtä suura suurempen otoskokojen kanssa. Korrelaato vodaan tulkta tlastollsest merkttäväks välkoepsteden ja molempen pääsykokeden välllä. Koko anesto τ P(vasen) P(okea) vk-mat 0.68 0 0 vk-fys 0.6549 0 0 Vuos 1998 τ P(vasen) P(okea) vk-mat 0.671 0 0 vk-fys 0.6501 0 0 Vuos 1999 τ P(vasen) P(okea) vk-mat 0.6915 0 0.003 vk-fys 0.7017 0 0.003 Teknllnen fyskka τ P(vasen) P(okea) vk-mat 0.6187 0 0.0006 vk-fys 0.4394 0 0 Sähköteknkka τ P(vasen) P(okea) vk-mat 0.696 0 0 vk-fys 0.6563 0 0 Tetoteknkka τ P(vasen) P(okea) vk-mat 0.7149 0 0.0151 vk-fys 0.4618 0 0 Taulukko 4.6 Kendalln τ, ja stä vastaavan tlastollsen testn molempen häntäjakaumen P-arvot er otokslla. Sähköteknkka, vuos 1998 τ P(vasen) P(okea) vk-mat 0.5957 0 0 vk-fys 0.6551 0 0 Sähköteknkka, vuos 1999 τ P(vasen) P(okea) vk-mat 0.6458 0 0.0091 vk-fys 0.6389 0 0.008 Taulukko 4.7 Kendalln τ, ja stä vastaavan tlastollsen testn molempen häntäjakaumen P-arvot er otokslla. 1

4.4 Osttasjärjestyskorrelaato Osttaskorrelaato laskettn Spearmann ρ:lle sjottamalla kaavaan (3.10) r :n tlalle ρ. Kendalln osttasjärjestyskorrelaato laskettn kaavalla (3.11). Havantoanestona käytettn samoja otoksa kun edellsessä kappaleessa. Molemmlle suurelle laskettn välkoepsteden korrelaato matematkan pääsykoepsteden kanssa ehdolla fyskan pääsykoepsteet ( ρ ) ja välkoepsteden korrelaato fyskan pääsykoepsteden kanssa ehdolla vk, mat fys matematkan pääsykoepsteet ( ρ vk, fys mat ). Tulokset ovat taulukossa 4.8 ja 4.9. Tlastollsa testejä e saatu suortettua edellä kerrottujen syden vuoks (ks. kappale3.3), mutta jo korrelaatoden arvot ovat melenkntosa. Spearmann ρ:lle lasketussa arvossa nähdään selvää postvsta korrelaatota suuren välkoepsteden ja suuren pääsykoepsteden välllä. Pokkeuksa olvat Teknllsen fyskan ja tetoteknkan osastolla välkoepsteden ja fyskan pääsykokeen vakutukset tosnsa. Nässä tapauksssa korrelaato on lähellä nollaa. joten yhteyttä e ole. Tulokset ovat konsstentteja edellä saatujen Spearmann ρ:n arvojen kanssa. Kendalln osttaskorrelaato näyttää postvsta korrelaatota kaklla otokslla. Suuret pääsykoepsteden arvot mplkovat hyvää välkoemenestystä. Myös nämä tulokset ovat vastaavan suuntasa edellä estettyjen Kendalln τ:n arvojen kanssa. ρ vk, mat fys ρ vk, fys mat Koko anesto 0.4034 0.793 Vuos 1998 0.3601 0.104 Vuos 1999 0.4139 0.457 Teknllnen fyskka 0.447-0.0471 Sähköteknkka 0.986 0.3899 Tetoteknkka 0.6539-0.0339 Taulukko 4.8 Spearmann osttaskorrelaato er otokslla 13

τ vk, mat fys τ vk, fys mat Koko anesto 0.4464 0.3807 Vuos 1998 0.4093 0.3541 Vuos 1999 0.431 0.4569 Teknllnen fyskka 0.5165 0.035 Sähköteknkka 0.3943 0.451 Tetoteknkka 0.635 0.009 Taulukko 4.9 Kendalln osttaskorrelaato er otokslla 14

5 Johtopäätökset Työssä ol tarkotuksena selvttää er vuosen ja er koulutusohjelmen eroja sekä järjestyskorrelaatota ja osttasjärjestyskorrelaatota pääsykokeden ja todennäkösyyslaskun kokeen välllä. Varanssanalyysn avulla samme selvlle, että vuosen 1998 ja 1999 välllä on selvä ero matematkan pääsykoemenestyksessä. Samalla tavon koulutusohjelmen välllä erot olvat merkttävä. Järjestyskorrelaato paljast että kaklla koulutusohjelmlla ja molempna vuosna hyvä pääsykoemenestys johtaa hyvään menestykseen todennäkösyyslaskussa. Korrelaato ol merkttävää kaklla koulutusohjelmlla, vakka varanssanalyysn perusteella matematkan pääsykoe on ollut er vuosna er vakeustasoa. Tämä e ole kovn yllättävä tulos. Melenkntosa pokkeuksa olvat teknllsen fyskan ja tetoteknkan opskeljat, joden keskuudessa fyskan pääsykokeen ja todennäkösyyslaskun kokeen välllä e esntynyt merkttävää korrelaatota. Tämä selttyy sllä että todennäkösyyslaskun kurss ssältää huomattavast enemmän matematkkaa kun fyskkaa. Mutta mks sähköteknkan koulutusohjelmassa vastaavaa lmötä e esnny? Tämä saattas olla puhdasta sattumaakn, lmötä ptäs tutka useampen vuosen osalta, jotta vosmme varmstua johtopäätösten pakkansa ptävyydestä. Ols myös hyödyllstä tarkastella jonkn fyskan peruskurssn koepsteden korrelaatota pääsykoepsteden kanssa. Olsko tässä tapauksessa fyskan pääsykokeella suuremp vakutus kurssn kokeen pstemäärn? Spearmann ρ ja Kendalln τ antovat heman erlasa tuloksa, vakka molemmat suureet mttaavat peraatteessa samaa lmötä. Tämä selttynee suureden erlaslla laskutavolla. Ols ollut mukavaa testata tlastollsest osttasjärjestyskorrelaaton arvoja. Tosn saadut osttaskorrelaatoden arvot olvat hyvn samankaltasa verrattuna järjestyskorrelaaton arvohn. Velä e välkoepstetä voda ennustaa pääsykoemenestyksen perusteella. Työn tulokset puhuvat pääsykokeden hyödyllsyyden puolesta. Pääsykokessa menestyneet opskeljat menestyvät todennäkösest myös koulun kurssessa. 15

Lähteet Conover, W.J., Practcal Nonparametrc Statstcs, thrd edton, John Wley & Sons, Inc. 1998 Mlton, J.S., Arnold, Jesse C.: Introducton to Probablty and Statstcs, second edton, McGraw-Hll 1990 Usng Matlab: The Language of Techncal Computng, ffth prntng, The MathWorks, Inc. 000 16

Lte A Havantoanesto osasto vuos vk mat fys 1 Tf 1998 14 36 9 Tf 1998 9 8 31 3 Tf 1998 18 3 7 4 Tf 1998 15 3 3 5 Tf 1999 9 0 6 6 Tf 1999 9 8 8 7 Tf 1998 10 9 31 8 Tf 1998 14 9 4 9 Tf 1999 16 5 3 10 Tf 1998 17 3 33 11 Tf 1998 18 30 8 1 Tf 1999 1 6 6 13 Tf 1998 15 30 34 14 Tf 1999 14 0 36 15 Tf 1999 9 19 31 16 Tf 1999 11 6 9 17 Tf 1998 15 30 6 18 Tf 1998 15 34 8 19 Tf 1999 16 31 9 0 Tf 1999 13 6 4 1 Tf 1998 10 9 7 Tf 1998 13 3 9 3 Tf 1999 18 31 33 4 Tf 1998 14 3 8 5 Tf 1999 13 3 7 6 Tf 1999 13 4 8 7 Tf 1998 10 31 35 8 Tf 1998 13 8 8 9 Tf 1999 18 4 6 30 Tf 1999 1 5 8 31 S 1998 14 19 15 3 S 1998 13 3 17 33 S 1998 14 9 18 34 S 1998 14 5 0 35 S 1998 8 0 10 36 S 1998 8 3 11 37 S 1998 13 0 14 38 S 1998 14 8 7 39 S 1998 13 0 16 40 S 1999 1 7 19 41 S 1998 6 13 13 4 S 1999 6 19 43 S 1998 1 6 3 44 S 1998 13 18 3 45 S 1999 15 0 46 S 1998 11 13 47 S 1998 15 33 6 48 S 1999 1 18 14 49 S 1998 7 8 16 50 S 1998 5 5 11 51 S 1998 10 31 0 5 S 1999 7 10 16 53 S 1998 1 6 3 54 S 1998 1 4 3 55 S 1998 1 3 19 56 S 1998 8 19 19 57 S 1998 1 6 16 58 S 1998 1 0 10 59 S 1999 15 3 6 60 S 1998 11 3 19 61 S 1998 17 3 33 6 S 1998 16 6 63 S 1998 14 7 4 64 S 1998 7 17 14 65 S 1998 4 17 18 66 S 1998 10 7 17 67 S 1998 11 10 1 68 S 1999 5 10 16 69 S 1999 14 18 1 70 S 1999 11 0 71 S 1998 1 0 14 7 S 1998 16 6 73 S 1998 11 7 74 S 1999 14 13 9

76 S 1999 9 17 3 77 S 1998 13 9 3 78 S 1999 7 17 13 79 S 1998 14 11 16 80 S 1998 13 9 3 81 S 1998 7 17 15 8 S 1998 1 1 16 83 S 1998 15 5 7 84 S 1998 8 11 17 85 S 1998 1 0 15 86 S 1998 10 6 31 87 S 1998 8 15 19 88 S 1998 13 6 33 89 S 1999 7 8 0 90 S 1998 10 31 18 91 S 1998 8 5 9 S 1999 8 1 1 93 S 1999 3 6 5 94 S 1998 15 18 19 95 S 1998 14 8 18 96 S 1998 13 3 18 97 S 1998 8 1 17 98 S 1998 10 3 16 99 S 1998 6 16 1 100 S 1998 1 15 1 101 S 1998 11 6 5 10 S 1999 6 17 14 103 S 1999 3 11 1 104 S 1998 7 5 19 105 S 1998 15 7 34 106 T 1998 17 35 30 107 T 1998 18 31 5 108 T 1998 15 33 35 109 T 1998 14 5 3 110 T 1998 14 30 8 111 T 1998 18 33 0 11 T 1998 11 31 113 T 1999 10 6 14 114 T 1998 16 8 1 115 T 1998 13 30 31 116 T 1998 3 8 3 117 T 1998 15 3 5 118 T 1998 14 9 5 119 T 1999 18 33 33 10 T 1998 15 8 11 T 1999 1 17 7 1 T 1998 14 9 5 13 T 1998 15 31 7 14 T 1998 15 33 5 15 T 1999 13 19 7 16 T 1998 14 8 5 17 T 1998 6 6 18 T 1998 11 19 31 19 T 1998 13 30 4

Lte B Varanssanalyysssä käytetty Matlab-kood functon anovan_batch(data) group = {data(:,)';data(:,3)'} [p table] = anovan(data(:,4)',group,3,3,{'k.ohjelma';'vuos'},'on') [p table] = anovan(data(:,5)',group,3,3,{'k.ohjelma';'vuos'},'on') [p table] = anovan(data(:,6)',group,3,3,{'k.ohjelma';'vuos'},'on')

Lte C Järjestyskorrelaatoanalyysessä käytetyt Matlabkoodt Spearmann ρ functon spearman_rhoo_batch(data) = zeros(,); sprntf('vk-mat koko anesto'); [rhoo P] = spearman_rhoo(data(:,4),data(:,5)); (1,1) = rhoo; (1,) = P; sprntf('vk-fys koko anesto'); [rhoo P] = spearman_rhoo(data(:,4),data(:,6)); (,1) = rhoo; (,) = P; data1998 = subset(data, 3, 1998); sprntf('vk-mat vuos 1998'); [rhoo P] = spearman_rhoo(data1998(:,4),data1998(:,5)); (1,1) = rhoo; (1,) = P; sprntf('vk-fys vuos 1998'); [rhoo P] = spearman_rhoo(data1998(:,4),data1998(:,6)); (,1) = rhoo; (,) = P; data1999 = subset(data, 3, 1999); sprntf('vk-mat vuos 1999'); [rhoo P] = spearman_rhoo(data1999(:,4),data1999(:,5)); (1,1) = rhoo; (1,) = P; sprntf('vk-fys vuos 1999'); [rhoo P] = spearman_rhoo(data1999(:,4),data1999(:,6)); (,1) = rhoo; (,) = P; datatf = subset(data,, 1); sprntf('vk-mat osasto Tf'); [rhoo P] = spearman_rhoo(datatf(:,4),datatf(:,5)); (1,1) = rhoo; (1,) = P; sprntf('vk-fys osasto Tf'); [rhoo P] = spearman_rhoo(datatf(:,4),datatf(:,6)); (,1) = rhoo; (,) = P; datas = subset(data,, ); sprntf('vk-mat osasto S'); [rhoo P] = spearman_rhoo(datas(:,4),datas(:,5)); (1,1) = rhoo; (1,) = P; sprntf('vk-fys osasto S'); [rhoo P] = spearman_rhoo(datas(:,4),datas(:,6)); (,1) = rhoo; (,) = P; datat = subset(data,, 3); sprntf('vk-mat osasto T'); [rhoo P] = spearman_rhoo(datat(:,4),datat(:,5)); (1,1) = rhoo; (1,) = P; sprntf('vk-fys osasto T'); [rhoo P] = spearman_rhoo(datat(:,4),datat(:,6)); (,1) = rhoo; (,) = P; functon spearman_rhoo_batch_s(data) = zeros(,); datas1998 = subset(subset(data, 3, 1998),, );

sprntf('vk-mat sähköteknkka 1998'); [rhoo P] = spearman_rhoo(datas1998(:,4),datas1998(:,5)); (1,1) = rhoo; (1,) = P; sprntf('vk-fys sähköteknkka 1998'); [rhoo P] = spearman_rhoo(datas1998(:,4),datas1998(:,6)); (,1) = rhoo; (,) = P; datas1999 = subset(subset(data, 3, 1999),, ); sprntf('vk-mat sähköteknkka 1998'); [rhoo P] = spearman_rhoo(datas1999(:,4),datas1999(:,5)); (1,1) = rhoo; (1,) = P; sprntf('vk-fys sähköteknkka 1998'); [rhoo P] = spearman_rhoo(datas1999(:,4),datas1999(:,6)); (,1) = rhoo; (,) = P; % Lasketaan Spearmann roo ja stä vastaavan tlastollsen % testn P-arvo % Syntaks: [rhoo, P] = spearman_rhoo(x, y) functon [rhoo, P] = spearman_rhoo(x, y) xr = add_rank(x, 1); yr = add_rank(y, 1); n = sze(x,1); rhoo = pearson_r(xr(:,), yr(:,)); P = 1 - normcdf(abs(rhoo)*sqrt(n-1)); % Lasketaan järjestysluvut matrssta data pystyrvn column % mukaan. Samansuuruset havannot saavat järjestysluvuks havantojen % järjestyslukujen keskarvon. % Luvut sjotetaan matrsn uuteen ulommaseen pystyrvn % Syntaks: x = add_rank(data, column) functon x = add_rank(data, column) x = data; x(:,sze(x,)+1) = zeros(sze(x,1),1); x(:,sze(x,)+1) = (1:sze(x,1))'; x = sortrows(x, column); tmp = 1; count = 1; for I=:sze(x(:,column),1) f x(i-1,column) == x(i,column) tmp = tmp + I; count = count + 1; else for J=I-count:I-1 x(j,sze(x,)-1) = tmp/count; end; tmp = I; count = 1; end; f I == sze(x(:,column),1) for J=I-count:I x(j,sze(x,)-1) = tmp/count; end; end; end; x = sortrows(x,sze(x,)); x = x(:,1:sze(x,)-1);

% Lasketaan Pearsonn 'product moment correlaton coeffcent' % muuttujen a ja b välllä. % Syntaks: r = pearson_r(a, b) functon r = pearson_r(a, b) ma = mean(a); mb = mean(b); n = sze(a, 1); r = (sum(a.*b) - n*ma*mb)/(((sum(a.^) - n*ma^)^(1/))*((sum(b.^) - n*mb^)^(1/))); % Tonen vahtoehto laskentaan: %c = cov(a, b); %r = c(1,)/(std(a)*std(b))

Kendalln τ functon kendall_tau_batch(data) = zeros(,3); sprntf('vk-mat koko anesto'); [tau Plow Pup] = kendall_tau(data(:,4),data(:,5)); (1,1) = tau; (1,) = Plow; (1,3) = Pup; sprntf('vk-fys koko anesto'); [tau Plow Pup] = kendall_tau(data(:,4),data(:,6)); (,1) = tau; (,) = Plow; (,3) = Pup; data1998 = subset(data, 3, 1998); sprntf('vk-mat vuos 1998'); [tau Plow Pup] = kendall_tau(data1998(:,4),data1998(:,5)); (1,1) = tau; (1,) = Plow; (1,3) = Pup; sprntf('vk-fys vuos 1998'); [tau Plow Pup] = kendall_tau(data1998(:,4),data1998(:,6)); (,1) = tau; (,) = Plow; (,3) = Pup; data1999 = subset(data, 3, 1999); sprntf('vk-mat vuos 1999'); [tau Plow Pup] = kendall_tau(data1999(:,4),data1999(:,5)); (1,1) = tau; (1,) = Plow; (1,3) = Pup; sprntf('vk-fys vuos 1999'); [tau Plow Pup] = kendall_tau(data1999(:,4),data1999(:,6)); (,1) = tau; (,) = Plow; (,3) = Pup; datatf = subset(data,, 1); sprntf('vk-mat osasto Tf'); [tau Plow Pup] = kendall_tau(datatf(:,4),datatf(:,5)); (1,1) = tau; (1,) = Plow; (1,3) = Pup; sprntf('vk-fys osasto Tf'); [tau Plow Pup] = kendall_tau(datatf(:,4),datatf(:,6)); (,1) = tau; (,) = Plow; (,3) = Pup; datas = subset(data,, ); sprntf('vk-mat osasto S'); [tau Plow Pup] = kendall_tau(datas(:,4),datas(:,5)); (1,1) = tau; (1,) = Plow; (1,3) = Pup; sprntf('vk-fys osasto S'); [tau Plow Pup] = kendall_tau(datas(:,4),datas(:,6)); (,1) = tau; (,) = Plow; (,3) = Pup; datat = subset(data,, 3); sprntf('vk-mat osasto T'); [tau Plow Pup] = kendall_tau(datat(:,4),datat(:,5)); (1,1) = tau; (1,) = Plow; (1,3) = Pup; sprntf('vk-fys osasto T'); [tau Plow Pup] = kendall_tau(datat(:,4),datat(:,6)); (,1) = tau; (,) = Plow; (,3) = Pup; functon kendall_tau_batch_s(data) = zeros(,3); datas1998 = subset(subset(data, 3, 1998),, ); sprntf('vk-mat sähköteknkka 1998'); [tau Plow Pup] = kendall_tau(datas1998(:,4),datas1998(:,5)); (1,1) = tau; (1,) = Plow; (1,3) = Pup; sprntf('vk-fys sähköteknkka 1998'); [tau Plow Pup] = kendall_tau(datas1998(:,4),datas1998(:,6)); (,1) = tau; (,) = Plow; (,3) = Pup; datas1999 = subset(subset(data, 3, 1999),, );

sprntf('vk-mat sähköteknkka 1998'); [tau Plow Pup] = kendall_tau(datas1999(:,4),datas1999(:,5)); (1,1) = tau; (1,) = Plow; (1,3) = Pup; sprntf('vk-fys sähköteknkka 1998'); [tau Plow Pup] = kendall_tau(datas1999(:,4),datas1999(:,6)); (,1) = tau; (,) = Plow; (,3) = Pup; % Lasketaan testsuureena käytettävä Kendalln tau % ja stä vastaavan tlastollsen testn P-arvot molemmsta % jakauman hännstä. % Syntaks: [tau P] = kendall_tau(x, y) functon [tau, Plower, Pupper] = kendall_tau(x, y) n = sze(x,1); Nc = 0; Nd = 0; for I=1:n-1 for J=I+1:n f x(i) ~= x(j) tmp = (y(j) - y(i))/(x(j) - x(i)); f tmp > 0 Nc = Nc + 1; elsef tmp > 0 Nd = Nd + 1; else Nc = Nc + 1/; Nd = Nd + 1/; end; end; end; end; tau = (Nc - Nd)/(Nc + Nd); Plower = 1 - normcdf(((tau+1)*3*sqrt(n*(n-1)))/sqrt(*(*n-5))); Pupper = normcdf(((tau-1)*3*sqrt(n*(n-1)))/sqrt(*(*n-5)));

Osttasjärjestyskorrelaato functon partal_corr_batch(source) sprntf('spearman rhoo') sprntf('koko anesto') data = source; [rhoo1 P1] = spearman_rhoo(data(:,4),data(:,5)); [rhoo13 P13] = spearman_rhoo(data(:,4),data(:,6)); [rhoo3 P3] = spearman_rhoo(data(:,5),data(:,6)); rhoo1_3 = partal_corr(rhoo1, rhoo13, rhoo3) rhoo13_ = partal_corr(rhoo13, rhoo1, rhoo3) sprntf('vuos 1998') data = subset(source, 3, 1998); [rhoo1 P1] = spearman_rhoo(data(:,4),data(:,5)); [rhoo13 P13] = spearman_rhoo(data(:,4),data(:,6)); [rhoo3 P3] = spearman_rhoo(data(:,5),data(:,6)); rhoo1_3 = partal_corr(rhoo1, rhoo13, rhoo3) rhoo13_ = partal_corr(rhoo13, rhoo1, rhoo3) sprntf('vuos 1999') data = subset(source, 3, 1999); [rhoo1 P1] = spearman_rhoo(data(:,4),data(:,5)); [rhoo13 P13] = spearman_rhoo(data(:,4),data(:,6)); [rhoo3 P3] = spearman_rhoo(data(:,5),data(:,6)); rhoo1_3 = partal_corr(rhoo1, rhoo13, rhoo3) rhoo13_ = partal_corr(rhoo13, rhoo1, rhoo3) sprntf('teknllnen fyskka') data = subset(source,, 1); [rhoo1 P1] = spearman_rhoo(data(:,4),data(:,5)); [rhoo13 P13] = spearman_rhoo(data(:,4),data(:,6)); [rhoo3 P3] = spearman_rhoo(data(:,5),data(:,6)); rhoo1_3 = partal_corr(rhoo1, rhoo13, rhoo3) rhoo13_ = partal_corr(rhoo13, rhoo1, rhoo3) sprntf('sähkötenkka') data = subset(source,, ); [rhoo1 P1] = spearman_rhoo(data(:,4),data(:,5)); [rhoo13 P13] = spearman_rhoo(data(:,4),data(:,6)); [rhoo3 P3] = spearman_rhoo(data(:,5),data(:,6)); rhoo1_3 = partal_corr(rhoo1, rhoo13, rhoo3) rhoo13_ = partal_corr(rhoo13, rhoo1, rhoo3) sprntf('tetotenkka') data = subset(source,, 3); [rhoo1 P1] = spearman_rhoo(data(:,4),data(:,5)); [rhoo13 P13] = spearman_rhoo(data(:,4),data(:,6)); [rhoo3 P3] = spearman_rhoo(data(:,5),data(:,6)); rhoo1_3 = partal_corr(rhoo1, rhoo13, rhoo3) rhoo13_ = partal_corr(rhoo13, rhoo1, rhoo3) sprntf('kendall tau') sprntf('koko anesto') data = source; [tau1 P1l P1u] = kendall_tau(data(:,4),data(:,5)); [tau13 P13l P13u] = kendall_tau(data(:,4),data(:,6)); [tau3 P3l P3u] = kendall_tau(data(:,5),data(:,6)); tau1_3 = partal_corr(tau1, tau13, tau3) tau13_ = partal_corr(tau13, tau1, tau3) sprntf('vuos 1998') data = subset(source, 3, 1998); [tau1 P1l P1u] = kendall_tau(data(:,4),data(:,5)); [tau13 P13l P13u] = kendall_tau(data(:,4),data(:,6)); [tau3 P3l P3u] = kendall_tau(data(:,5),data(:,6)); tau1_3 = partal_corr(tau1, tau13, tau3) tau13_ = partal_corr(tau13, tau1, tau3) sprntf('vuos 1999')

data = subset(source, 3, 1999); [tau1 P1l P1u] = kendall_tau(data(:,4),data(:,5)); [tau13 P13l P13u] = kendall_tau(data(:,4),data(:,6)); [tau3 P3l P3u] = kendall_tau(data(:,5),data(:,6)); tau1_3 = partal_corr(tau1, tau13, tau3) tau13_ = partal_corr(tau13, tau1, tau3) sprntf('teknllnen fyskka') data = subset(source,, 1); [tau1 P1l P1u] = kendall_tau(data(:,4),data(:,5)); [tau13 P13l P13u] = kendall_tau(data(:,4),data(:,6)); [tau3 P3l P3u] = kendall_tau(data(:,5),data(:,6)); tau1_3 = partal_corr(tau1, tau13, tau3) tau13_ = partal_corr(tau13, tau1, tau3) sprntf('sähkötenkka') data = subset(source,, ); [tau1 P1l P1u] = kendall_tau(data(:,4),data(:,5)); [tau13 P13l P13u] = kendall_tau(data(:,4),data(:,6)); [tau3 P3l P3u] = kendall_tau(data(:,5),data(:,6)); tau1_3 = partal_corr(tau1, tau13, tau3) tau13_ = partal_corr(tau13, tau1, tau3) sprntf('tetotenkka') data = subset(source,, 3); [tau1 P1l P1u] = kendall_tau(data(:,4),data(:,5)); [tau13 P13l P13u] = kendall_tau(data(:,4),data(:,6)); [tau3 P3l P3u] = kendall_tau(data(:,5),data(:,6)); tau1_3 = partal_corr(tau1, tau13, tau3) tau13_ = partal_corr(tau13, tau1, tau3) % Lasketaan osttaskorrelaato muuttujen 1 ja % välllä ehdolla muuttuja 3, kun muuttujen % 1, ja 3 välset korrelaatot ovat tunettuja. % Syntaks: r1_3 = partal_corr(r1, r13, r3) functon r1_3 = partal_corr(r1, r13, r3) r1_3 = (r1 - r13*r3)/sqrt((1-r13^)*(1-r3^));