http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta. Nämä ogelmat voidaa pelistää ysymysesi, uia moella tavalla -alioisesta jouosta voidaa valita aliota äsittävä osajouo. Niitä utsutaa -alioise jouo -ombiaatioisi. Asiaa voidaa, ehä yllättäe, lähestyä polyomie ertolasu autta. Mietimme alusi, mite ( x) 4 lasetaa. O selvää, että tulos o eljäe astee polyomi, eli ( x) 4 C (4) 0 C (4) x C (4) 2 x 2 C (4) 3 x 3 C (4) 4 x 4, missä ertoimet C (4) 0,... C (4) 4 ovat toistaisesi tutemattomia. Ne löydetää suorittamalla ertolasut ( x)( x)( x)( x). Osittelu- ja vaihdatalaie autta päädytää siihe, että aii errotaa aiilla ja äi saadut tulot lasetaa yhtee. Vaiotermi C (4) 0 saamisesi valitsemme aiista eljästä sululauseeesta olla appaletta termiä x, siis yöse joaisesta, ja erromme e eseää. C (4) 0. Neljä x: jouosta voidaa valita olla appaletta termiä x aioastaa yhdellä tavalla, ts. 4-alioisesta jouosta voidaa valita 0-alioie osajouo vai yhdellä tavalla. Nolla-alioie jouo o tyhjä jouo ja se meritää symbolilla. Esimmäise astee termi lasemisesi o valittava yhdestä sululauseeesta x ja lopuista yöset. Se voidaa suorittaa eljällä eri tavalla. Saamme eljä tuloa x, x, x, x, ja iide summa C (4) x 4x. Termi erroi 4 ilmoittaa uia moella tavalla eljä alio jouosta voidaa valita ysi. Toise astee termi lasemisesi o valittava ahdesta sululauseeesta x ja ahdesta muusta yöe. Saamme uusi tuloa x x, x x, x x, x x, x x, x x joide summa C (4) 2 x 2 x 2. Kerroi ilmoittaa uia moella tavalla eljä alio jouosta voidaa valita ahde alio osajouo. Kolmae astee termi voimme päätellä. Siihe o valittava olme appaletta termiä x {2303 } /8
http://matematiialehtisolmu.fi/ eljä jouosta, miä luoollisesti o sama ui jos valittaisii ysi yöe eljä yöse jouosta. Täte C (4) 3 C (4) ja olmae astee termi C (4) 3 x 3 4x 3. Samalla tavalla saamme C (4) 4 x 4 x 4. Siis C (4) 0, C (4) 4, C (4) 2, C (4) 3 4, C (4) 4, ja ämä ertoimet ilmoittavat, uia moella tavalla 4-alioisesta jouosta voidaa valita 0-, -, 2-, 3-, ja 4-alioie osajouo. Edellä ähty pätee yleisemmii. Polyomi p (x) ( x) C () 0 C () erroi C () x... C () x... C () x o -alioise jouo -ombiaatioide luumäärä. Oo yt sitte lottorivie ja poeriäsie luumäärie selvittämisesi lasettava ( x) 39 ja ( x) 52? Ei aiva, sillä o olemassa muitai tapoja luuje C () lasemisesi. Johdamme alusi ertoimie yhteelasuu perustuva lasusääö. Selvästi Havaitsemme edellee, että C () 0 C () aiilla 0,, 2,.... C () C () aiilla 0,, 2,...,, sillä ( )-alioisia ja -alioisia osajouoja o luoollisesti sama määrä. Kute tapausessa 4 ähtii, ertoimet muodostavat esiohda suhtee symmetrise rivi. Oletetaa yt, että tuemme :e rivi luvut, 0,, 2,...,. Seuraava rivi luvut C() saadaa irjoittamalla p (x) muotoo C () p (x) ( x) ( x)( x) ( x)p (x) ( x)(c () 0 C () x... C () x C () x... C () x ). Tulosesta ähdää, että jote C () x x C () x C () x ( C () ) C() x, C () C () C(). {2303 } 2/8
http://matematiialehtisolmu.fi/ Tämä yhteelasusääö avulla voimme lasea rivi luvut, u edellise rivi luvut tuetaa. Rivit o tapaa irjoittaa olmio muotoisesi aaviosi C (0) 0 C () 0 C () C (2) 0 C (2) C (2) 2 C (3) 0 C (3) C (3) 2 C (3) 3 C (4) 0 C (4) C (4) 2 C (4) 3 C (4) 4 C (5) 0 C (5) C (5) 2 C (5) 3 C (5) 4 C (5) 5..................... Yhteelasusääö avulla sitä voi jataa rajattomasti ja se 39. riviltä paljastuu sitte lottoriviei luumäärä. Nii pitälle ei uiteaa aata äsi lasea, sillä luvut asvavat alaspäi metäessä opeasti hyvi suurisi. Ohjelmoitia harrastavalle aavio muodostamie johoi rajaa asti o muava haaste. Luuarvoi rivit 0 äyttävät seuraavilta: 2 3 3 4 4 5 0 0 5 5 20 5 Kaaviota utsutaa Pascali olmiosi, osa Blaise Pascal (23 2) tuti se omiaisuusia, mutta se o paljo vahempi. Bagdadissa eläyt matemaatio al-karaji (953 029) lasi se avulla biomi potesseja. Hä lieee myös esimmäiseä esittäyt idutioo pohjautuvia todistusia eräide luujooje summii liittye. Myös persialaie (yyisi Ira) matemaatio, ruoilijaai arvostettu Omar Khaijam (048 3) tusi luuolmio ja äytti sitä algebrallisissa töissää. Kiialaie matemaatio Tšu-Shih-Tšieh (20.320) julaisi vuoa 303 samaise aavio, joa avulla voi irjoittaa biomi potessit 2 8. Hä todeäöisesti siteerasi aiaisemmi biomi potesseja äsitellyttä maamiestää Jia Xia ia (.00.070), ja otsioi irjoitusesa muotoo Vaha meetelmä uvio, jossa o seitsemä errottua eliötä. Ilmeisesti silitietä piti ulivat mausteide ja aaide lisäsi myös ideat suutaa ja toisee. (Historialliset tiedot ovat lähteistä [], [2] ja [3].) {2303 } 3/8
http://matematiialehtisolmu.fi/ Muiaisille matemaatioille luvut C () olivat imeomaa biomi potessie ertoimia ja iitä utsutaai biomiertoimisi. Pascal oli ysi todeäöisyyslasea perustajista ja häelle ämä luvut meritsivät myös ombiaatioide luumääriä. Johdamme lopusi helpoimma tava biomiertoimie lasemisesi. Siihe tarvitsemme tuloperiaatetta, joa äy selväsi seuraavasta esimeristä: Kuia mota asuyhdistelmää voidaa muodostaa, u äytettävissä o asi pipoa ja olme huivia? Pipoja ja huiveja o yt ii vähä, että pystymme luettelemaa aii yhdistelmät: (p, h ), (p, h 2 ), (p, h 3 ), (p 2, h ), (p 2, h 2 ), (p 2, h 3 ). Asu valita voidaa ajatella jaetu ahdesi vaiheesi. Esi valitaa pipo. Siihe o 2 mahdollisuutta. Sitte valitaa huivi. Siihe o 3 mahdollisuutta. Valita voidaa suorittaa ii moella tavalla ui miä o vaiheide suorittamismahdollisuusie luumäärie tulo, tässä tapausessa 2 3. Vaiheita voi olla miä määrä tahasa. Sovellamme tuloperiaatetta seuraavassa. Kuia moella tavalla aliota voidaa asettaa jooo? Esimmäie alio voidaa valita eri tavalla, toie alio ( ) eri tavalla, olmas alio ( 2) eri tavalla je.... toisesi viimeie alio 2 eri tavalla ja viimeie alio aioastaa yhdella tavalla. Erilaisia jooja o täte ( ) ( 2)... 2! appaletta. Meritä! luetaa -ertoma. Esimerisi 0!, sillä tyhjästä jouosta saadaa ysi joo, imittäi tyhjä joo. Myös!. Kuia moella tavalla -alioisesta jouosta voidaa poimia aliota äsittävä joo ja mite C () lasetaa? Joo-ogelma voidaa rataista ahdessa vaiheessa. Esi valitaa aliota äsittävä osajouo. Se voidaa tehdä C () eri tavalla. Sitte järjestetää valitut aliota jooo. Se voidaa tehdä! eri tavalla. Tuloperiaattee muaa -jooja saadaa C ()! appaletta. Voimme ajatella tämä toisii. Esimmäie alio voidaa valita eri tavalla, toie alio ( ) eri tavalla je...., ja lopulta :s alio ( ) eri tavalla. Tuloperiaattee muaa joo voidaa muodostaa ( )( 2)... ( ) eri tavalla. Biomiertoime määrittämisesi saamme yhtälö josta C () C ()! ( )( 2)... ( ), ( )( 2)... ( )!!!( )!. () {2303 } 4/8
http://matematiialehtisolmu.fi/ Lottosaraeide luumäärä o yt helppo lasea: C (39) 7 ( ) 39 7 39! 7! (39 7)! 39! 7! 32! 5380937. Lasimissa o valmiit ohjelmat ertoma ja biomiertoime lasemisesi. Poeriäsie luumäärä lasetaa TI-lasimilla äppäilemällä 52 Cr 5. Tulos o 259890. Tehtäviä. Yhtälössä () esitety meritätava avulla ( x) 0 x x 2... 2 Kirjoita tätä soveltae vastaavalla tavalla (u v). x... x. 2. Osoita, että 0...... 2. 3. Osoita yhtälössä () aetu aava avulla, että ja. 4. Kuia mota 4-oiei lottoriviä o olemassa. (Neljä oiei lotossa taroittaa riviä, jossa o eljä oieaa palloa ja olme väärää palloa.) 5. Ysitoista rastia äsittävä lottosysteemi sisältää ( ) 7 330 riviä. Jos tällaise systeemi umeroista viisi osuu oieide lottoumeroide jouoo, ii uia mota appaletta a) 5-oiei, b) 4-oiei riviä systeemii sisältyy? {2303 } 5/8
http://matematiialehtisolmu.fi/. Vaioveiaussaraeessa o 3 ohdetta, joissa ussai o olme vaihtoehtoa,, ja 2. a) Kuia moella eri tavalla sarae voidaa täyttää, u joaisesta ohteesta voi valita aioastaa yhde vaihtoehdo? b) Kuia moella tavalla saraee voi täyttää site, että siiä o 0 oiei veiattua ohdetta? 7. Eräää vuoa valtauallisessa luio matematiiailpailussa oli seuraava ysymys: Pascali olmio eräällä rivillä o olme perääistä luua x, y ja z site, että x : y : z : 2 : 3. Määritä luvut ja iide paiat. 8. Osoita, että ( ) 2 0 ( ) 2... ( ) 2... ( ) 2 Ohje: Huomaa, että ( x) 2 ( x) ( x). ( ) 2. 9. Kuia moella tavalla vaioveiaussaraee voi täyttää site, että uudessa ohteessa o yöe, olmessa ohteessa ja eljässä ohteessa aoe? 0. Kuia moella tavalla 20 euro olioa voidaa jaaa olmelle heilölle? Historiaa [] C. Boyer, Tieteide uigatar, matematiia historia osa, Art House 2000. [2] M. Lehtie, Matematiia historia, http://matematiialehtisolmu.fi/2000/mathist/ [3] MacTutor History of Mathematics archive http://www-groups.dcs.st-ad.ac.u/~history/idex.html {2303 } /8
http://matematiialehtisolmu.fi/ Vastausia ja ohjeita. Kirjoita (u v) alusi muotoo u ( v u). 2. Sijoita yöstehtävässä olevaa aavaa x. 3. ( ja )! ( )!( ( ))!! ( )!!! ( )!( ( ))!!!( )!! ( )!!( )!!( )!! ( )!!!(( ) )! ( ) ( )!.!(( ) )! 4. Neljä oieaa palloa seitsemästä voidaa valita ( ) 7 4 eri tavalla ja olme väärää palloa 32:sta ( ) 32 3 eri tavalla. Tuloperiaattee muaa o. rivejä o ( )( ) 7 32 35 490 7300. 4 3 5. a) Viide oiea umero lisäsi o valittava asi väärää umeroa; se tapahtuu ( ) 2 5 eri tavalla. b) Viide oiea umero jouosta valitaa eljä ( ) 5 4 5 eri tavalla ja uude väärä umero jouosta olme ( ) 3 20 eri tavalla. Neljäoiei-rivejä o site 5 20 00 appaletta.. a) Joaie ohde voidaa täyttää 3 eri tavalla, jote tuloperiaattee muaa mahdollisuusia o 3 } 3 3 {{... 3} 3 3 594323. 3 pl b) Oiei veiatut ohtee voidaa valita ( ) 3 0 28 eri tavalla. Kolme vääri veiatu ohtee merit voidaa valita 2 2 2 8 eri tavalla. Mahdollisuusia o siis 28 8 2288 appaletta. {2303 } 7/8
http://matematiialehtisolmu.fi/ 7. Yhtälöt pelistyvät muotoo ja edellee yhtälöparisi : 2 2 ja ja { 3 2 5 3 : 2 3 2 3 joa rataisu o 4, 5. Kysytyt biomiertoimet ovat ( ) ( ) ( ) 4 4 4 00, 2002, 3003. 4 5 8. Idetiteetistä ( x) 2 ( x) ( x) ähdää välittömästi, että C (2) x o luuje ( )( ) C () x C () x x, 0,, 2,..., summa. Tulos seuraa (teht. 3 aluosa) tästä. 9. Kolmestatoista ohteesta voidaa uudelle yöselle valita paiat ( ) 3 eri tavalla. Se jälee o seitsemä paiaa jäljellä. Niistä voidaa valita paiat olmelle rastille ( ) 7 3 eri tavalla. Loput eljä paiaa meevät aosille ( ) 4 4 eri tavalla. Tuloperiaattee muaa saamme ( ) 3 erilaista veiausriviä. ( ) 7 3 ( ) 4 4 7 35 000 0. Koliot jaaatuvat luumääräisesti, u e ahde erotusmeri era } {{ } 22 paiaa sijoitetaa 22-paiaisee loerioo. Jaoja o se määrä, uia moella tavalla 22-paiaisesta loeriosta voidaa valita 2 paiaa erotusmereille, siis ( ) 22 2 23 appaletta. {2303 } 8/8