Täydellisesti multiplikatiivisten funktioiden karakterisoinnit

Transkriptio

1 TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutielma Sau Sairanen Täydellisesti multipliatiivisten funtioiden araterisoinnit Matematiian, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiia Loauu 2007

2 2

3 Tampereen yliopisto Matematiian, tilastotieteen ja filosofian laitos SAIRANEN, SAKU: Täydellisesti multipliatiivisten funtioiden araterisoinnit Pro gradu -tutielma, 40 s. Matematiia Loauu 2007 Tiivistelmä Funtio f on aritmeettinen, jos se uvaa positiiviset oonaisluvut omplesiluujen jouoon. Aritmeettinen funtio f on puolestaan multipliatiivinen, jos funtio f ei ole identtisesti nolla ja f(nm) f(n)f(m) aina, un luujen n ja m suurin yhteinen teijä on ysi. Multipliatiivinen funtio f on edelleen täydellisesti multipliatiivinen, jos f(nm) f(n)f(m) aina, un m, n Z +. Tässä gradussa ooamme yhteen irjallisuudessa esitellyt välttämättömät ja riittävät ehdot sille, että join aritmeettinen funtio on täydellisesti multipliatiivinen. Tälläisiä ehtoja utsutaan täydellisesti multipliatiivisten funtioiden araterisoinneisi. 3

4 4

5 Sisältö 1 Valmistelevia tarasteluja Merintöjä Dirichlet n onvoluutio ja muita määritelmiä Multipliatiivisista funtioista Täydellisesti multipliatiivisista funtioista Logaritmioperaattorista Karaterisoinnit distriboituvuuden avulla 13 3 Karaterisoinnit yleisen Möbiusen funtion avulla Binomiteoriaa Yleisestä Möbiusen funtiosta Karaterisoinnit Karaterisoinnit Log-operaattorin avulla 31 5 Karaterisoinnit ydinfuntion avulla Taustaa Karaterisoinnit Karaterisoinnit sarjojen avulla 42 Viitteet 46 5

6 6

7 Johdanto Funtio f on aritmeettinen, jos se uvaa positiiviset oonaisluvut omplesiluujen jouoon. Aritmeettinen funtio f on puolestaan multipliatiivinen, jos funtio f ei ole identtisesti nolla ja f(nm) f(n)f(m) aina, un luujen n ja m suurin yhteinen teijä on ysi. Multipliatiivinen funtio f on edelleen täydellisesti multipliatiivinen, jos f(nm) f(n)f(m) aina, un m, n Z +. Tässä gradussa ooamme yhteen irjallisuudesta välttämättömät ja riittävät ehdot sille, että join aritmeettinen funtio on täydellisesti multipliatiivinen. Tälläisiä ehtoja utsutaan täydellisesti multipliatiivisten funtioiden araterisoinneisi. Tämän gradun lähtötilanteena on vuonna 1999 tehty Mio Tillanderin gradu Täydellisesti multipliatiivisista aritmeettisista funtioista. Lähinnä Tillanderin gradusta ooamme tiedot ensimmäiseen luuun Valmistelevia tarasteluja. Emme todista araterisointeja, jota ovat jo todistettu Tillanderin gradussa. Uudet araterisoinnit eli ne araterisoinnit, joita ei Tillanderin gradussa ole, todistamme aina. Nämä uudet araterisoinnit jaautuvat viiteen luuun sen muaan, millaisen lähestymistavan avulla ne on löydetty. Joainen näistä luvuista vaatii yseiselle lähestymistavalle ominaisia pohjatietoja. Jottei tämä tutielma paisuisi ja varsinainen asia huuisi, olemme rajanneet pohjatiedot mahdollisimman suppeisi. Osittain tästä ja aiheen laajuudesta johtuen on tämä tutielma varsin suoraviivainen ja vaatii luijalta tiettyä taraavaisuutta. 1 Valmistelevia tarasteluja 1.1 Merintöjä Keräämme tähän osioon joitain merintöjä, jota ovat samoja oo tutielman läpi. Jouoista P taroittaa aluluujen jouoa, Z oonaisluujen jouoa, R reaaliluujen jouoa ja C omplesiluujen jouoa. Lisäsi A symboloi aiien aritmeettisten funtioiden jouoa (s. pyälä 1). Kirjaimet p ja q on varattu taroittamaan aluluuja. Yhdistetyllä luvulla taroitetaan positiivista oonaisluua, joa ei ole ysi tai aluluu. Kirjaimet f, g ja h puolestaan symboloivat aina aritmeettisia funtioita. 7

8 1.2 Dirichlet n onvoluutio ja muita määritelmiä Määritelmä 1. Funtio f on aritmeettinen, jos se on uvaus positiivisten oonaisluujen jouolta Z + omplesiluujen jouoon C. Kaiien aritmeettisten funtioiden jouoa meritään A. Määritelmä 2. Aritmeettisten funtioiden summa f + g ja tulo f g määritellään seuraavasti: Tulo f g meritään yleensä fg. (f + g)(n) f(n) + g(n), (f g)(n) f(n) g(n). Määritelmä 3. Aritmeettisten funtioiden f ja g Dirichlet n onvoluutio f g on aritmeettinen funtio (f g)(n) d n f(d)g(n/d) missä d äy läpi aii n:n positiiviset oonaisluuteijät. Dirichlet n onvoluutiosta äytetään myös nimitystä Dirichlet n tulo. Lause 1. Dirchlet n onvoluutio on ommutatiivinen ja assosiatiivinen jouossa A. Lisäsi Dirichlet n tulo on distributiivinen yhteenlasuoperaattorin + anssa jouossa A. Toisin sanoen 1. f g g f, 2. (f g) h f (g h), 3. f (g + h) f g + f h aina, un f, g, h A. Todistus. Ks. [14, s. 3]. Määritelmä 4. Delta-funtio δ(n) on sellainen aritmeettinen funtio, että δ(1) 1 ja δ(n) 0 aina, un n 2. Määritelmä 5. Aritmeettisen funtion f Dirichlet n inverssi f 1 on sellainen aritmeettinen funtio, joa toteuttaa yhtälön f f 1 f 1 f δ. Puhumme tässä esitysessä myös aritmeettisen funtion f äänteisfuntiosta, taroittaen nimenomaan funtion f Dirichlet n inverssiä f 1. Tässä yhteydessä toteamme vielä, että jos aritmeettisella funtiolla on Dirichlet n inverssi, on se ysiäsitteinen. Seuraavassa lauseessa esitämme välttämättömän ja riittävän ehdon inverssin olemassaololle seä reursiivisen säännön inverssin lasemiselle. 8

9 Lause 2. Aritmeettisella funtiolla f on Dirichlet n inverssi f 1, jos ja vain jos f(1) 0. Jos funtiolla f on Dirichlet n inverssi f 1, voidaan se lasea reursiivisesti aavasta (1) (2) f 1 (1) 1 f(1) f 1 (n) 1 f(1) d n,d>1 f(d)f 1 (n/d). Todistus. Ks. [18, s. 6-7]. Huomautus 1. Tyydymme tässä vain toteamaan, että algebrallinen strutuuri (A, +, ) on itse asiassa oonaisalue. Tässä gradussa emme uitenaan äsittele asiaa taremmin. Seuraavasi määrittelemme erilaisia aritmeettisia funtioita, joita tarvitsemme jatossa useammassa uin yhdessä tämän teosen appaleessa. Ne aritmeettiset funtiot, jota esiintyvät vain yhdessä appaleessa, esitellään yseisessä osiossa. Määritelmä 6. Funtio u(n) on sellainen aritmeettinen funtio, että u(n) 1 aiilla positiivisilla oonaisluvuilla n. Määritelmä 7. Möbiusen funtio µ(n) on sellainen aritmeettinen funtio, että 1, un n 1, µ(n) ( 1) r, un n p 1 p 2 p r, missä aluluvut p 1, p 2,..., p r ovat erisuuret, 0 muulloin. 1.3 Multipliatiivisista funtioista Seuraavasi määrittelemme multipliatiivisen funtion äsitteen ja tuomme esiin muutamia multipliatiivisia funtioita osevia lauseita. Määritelmä 8. Aritmeettinen funtio f on multipliatiivinen, jos f 0 ja f(mn) f(m)f(n) aina, un (m, n) 1. Kaiien multipliatiivisten funtioiden jouoa meritään M. Edellisen määritelmän ehdon f 0 anssa yhtäpitäviä ehtoja ovat f(1) 0 tai f(1) 1. Täten lauseen 2 perusteella multipliatiivisella funtiolla on aina äänteisfuntio. 9

10 Lause 3. Aritmeettinen funtio f 0 on multipliatiivinen, jos ja vain jos f(p a 1 1 p ar r ) f(p a 1 1 ) f(p ar r ), missä p 1... p r ovat aluluuja ja esponentit a 1... a r ovat ei-negatiivisia oonaisluuja. Todistus. Triviaali. Lause 4. Jos f ja g ovat multipliatiivisia, niin myös f g on multipliatiivinen. Todistus. Ks. [14, s. 10]. Lause 5. Jos f on multipliatiivinen, niin myös f 1 on multipliatiivinen. Todistus. Ks. [14, s. 8-9]. 1.4 Täydellisesti multipliatiivisista funtioista Tässä luvussa esitämme täydellisesti multipliatiivisen funtion määritelmän ja nostamme esiin joitain araterisointeja täydellisesti multipliatiivisille funtioille. Emme uitenaan esitä todistusia näille araterisoinneille. Määritelmä 9. Aritmeettinen funtio f on täydellisesti multipliatiivinen, jos f 0 ja f(mn) f(m)f(n) aina, un m, n Z +. Lause 6. Aritmeettinen funtio f, jolla f(1) 1, on täydellisesti multipliatiivinen, jos ja vain jos (3) f(p a 1 1 p ar r ) f(p 1 ) a1 f(p r ) ar aina, un p 1... p r ovat aluluuja ja esponentit a 1... a r ovat ei-negatiivisia oonaisluuja. Todistus. Triviaali. Lause 7. Multipliatiivinen funtio f on täydellisesti multipliatiivinen, jos ja vain jos (4) f(p a ) f(p) a aina, un p on aluluu ja a positiivinen oonaisluu. Todistus. Ks. [1, s ]. Lause 8. Multipliatiivinen funtio f on täydellisesti multipliatiivinen, jos ja vain jos f 1 (p a ) 0 aina, un p on aluluu ja a 2. 10

11 Todistus. Ks.[1]. Lause 9. Aritmeettinen funtio f, jolla f(1) 0, on täydellisesti multipliatiivinen, jos ja vain jos aina, un g, h A. Todistus. Ks. [18, s ]. f(g h) fg fh Lause 10. Oletetaan, että funtio f on multipliatiivinen. Silloin funtio f on täydellisesti multipliatiivinen, jos ja vain jos (fg) 1 fg 1 aina, un aritmeettiselle funtiolle g on voimassa, että g(1) 0. Todistus. Ks. [2]. 1.5 Logaritmioperaattorista Tässä appaleessa esittelemme Rearicin logaritmioperaattorin, joitain yseisen operaattorin ominaisuusia ja yhden araterisoinnin täydellisesti multipliatiivisille funtioille operaattorin avulla. Määritelmä 10. Oloon B {f A : f(1) > 0}. Nyt Rearicin logaritmioperaattori Log : B A on sellainen aritmeettinen funtio, että Logf(1) log f(1) Logf(n) (log(n)) 1 d n f(d)f 1 (n/d) log(d), un n > 1, missä f 1 on Dirichlet n inverssi ja log on tavallinen logaritmifuntio. Huomautus 2. Käytämme tässä tutielmassa nimitystä Log-operaattori taroittaen Rearicin logaritmioperaattoria. Tiedetään, että operaattori Log on bijetio jouolta B jouolle A, joten on mahdollista määritellä esponenttioperaattori Exp : A B sellaisesi aritmeettisesi funtiosi, että Exp Log 1. Saamme operaattorille Exp seuraavanlaisen määritelmän. Määritelmä 11. Esponenttioperaattori Exp : A B on sellainen aritmeettinen funtio, että Expf(1) exp f(1) Expf(n) (log(n)) 1 d n ( Expf(d) ) f 1 (n/d) log(n/d), un n > 1, missä f 1 on Dirichlet n inverssi, log on tavallinen logaritmifuntio ja exp tavallinen esponenttifuntio. 11

12 Logaritmi-ja esponenttioperaattorit voidaan myös esittää sarjojen muodossa (s. [9, s. 75]) (Logf)(n) (Expf)(n) ( 1) r 1 r! r1 r1 d 1 d 2 drn d i 1(,2,...,r) d 1 d 2 drn d i 1(,2,...,r) f(d 1 )f(d 2 ) f(d r ), d 1!d 2! d r! f(d 1 )f(d 2 ) f(d r ), d 1!d 2! d r! un n > 1 ja sisemmässä summassa äydään läpi aii sellaiset järjestetyt luujonot d 1,..., d r, että d 1 d r n. Määritelmä 12. Aritmeettisen funtion f log-derivaatta d l aritmeettinen funtio, että on sellainen missä log on tavanomainen logaritmi. d l f(n) f(n) log(n), Huomautus 3. On helppo huomata,että missä f B. Logf(n) 1 ( dl f f 1) (n), log(n) Lause 11. Oletetaan, että f, g B. Logaritmioperaattorille Log pätee seuraavat ominaisuudet: Todistus. Ks. [9, s. 75]. Log(f g) Log(f) + Log(g), Log(δ) 0, Log(f ( 1) ) Logf. Seuraavasi esittelemme erään araterisoinnin täydellisesti multipliatiivisille funtioille Log-operaattorin avulla. Emme uitenaan esitä todistusta tässä yhteydessä. Lause 12. Multipliatiivinen funtio f on täydellisesti multipliatiivinen, jos ja vain jos { f(p) a, un n p a ja a 1, a (Logf)(n) 0 muulloin. Todistus. Ks. [4]. 12

13 2 Karaterisoinnit distriboituvuuden avulla Tässä appaleessa esitämme neljä uutta araterisointia täydellisesti multipliatiivisille funtioille. Aloitamme määrittelemällä distriboituvuuden ja disriminoituvuuden. Määritelmä 13. Aritmeettinen funtio f on distriboituva yli Dirichlet n tulon g h, jos f(g h) fg fh. Määritelmä 14. Pari g, h aritmeettisia funtioita on disriminoituva, jos (5) (g h)(n) g(1)h(n) + g(n)h(1) pätee vain, jos n on aluluu. Todettaoon vielä, että yhtälö (5) pätee aiille aritmeettisille funtioille, un n on aluluu. Lause 13. Aritmeettinen funtio f, jolla f(1) 0, on täydellisesti multipliatiivinen, jos ja vain jos f(g h) fg fh, missä pari g, h on join disriminoituva pari aritmeettisia funtioita. Todistus. Ks. [18, s ]. Edellisen lauseen erioistapausina saadaan helposti luuisia mieleäitä araterisointeja täydellisesti multipliatiivisille funtioille. Ei tarvitse uin löytää join disriminoituva pari aritmeettisia funtioita ja sijoittaa yseinen pari edelliseen lauseeseen. Tällaisiä lauseen 13 erioistapausena saatuja araterisointeja löytyy irjallisuudesta useita. Disriminoituvat parit aritmeettisia funtioita eivät ole ainoita pareja aritmeettisia funtioita, joiden yli distriboituvuus taaa yseisen funtion täydellisen multipliatiivisuuden. Tästä toteamusesta pääsemmein äsisi seuraavaan määritelmään. Määritelmä 15. Pari g, h aritmeettisia funtioita on semi-disriminoituva, jos yhtälöstä (g h)(n) g(1)h(n) + g(n)h(1) seuraa, että n 1 tai n on aluluu. Huomautus 4. Jos pari g, h on disriminoituva, silloin se on myös semidisriminoituva. Lause 14. Aritmeettinen funtio f, jolla f(1) 1, on täydellisesti multipliatiivinen, jos ja vain jos funtio f on distriboituva yli jonin semidisriminoituvan parin aritmeettisia funtioita g, h. 13

14 Todistus. (Vrt. [8, s ].) Oletetaan ensin, että funtio f on täydellisesti multipliatiivinen. Tällöinhän funtio f on lauseen 9 perusteella distriboituva yli aiien aritmeettisten funtioiden. Oletetaan sitten, että funtio f on distriboituva yli jonin semi-disriminoituvan parin g, h eli f(g h) fg fh. Oloon Ω sellainen aritmeettinen funtio, että Ω(n) a a s, un n p 1 a 1 p 2 a2 p s a s. Nyt teemme indutiotodistusen funtion Ω(n) suhteen ja osoitamme, että yhtälö (6) f(p 1 a 1 p 2 a2 p s a s ) f(p 1 ) a 1 f(p 2 ) a2 f(p s ) as on voimassa. Toteamme alusi, että un Ω(n) 1, niin silloin n on aluluu ja yhtälö (6) on voimassa. Sitten teemme indutio-oletusen, että yhtälö (6) on voimassa aina, un Ω(n) < m (m > 1). Kosa oletusen muaan funtio f on distriboituva yli parin g, h, niin f(n)(g h)(n) (fg fh)(n) d n f(d)g(d)f(n/d)h(n/d) d n d 1,n f(d)g(d)f(n/d)h(n/d) + f(n)g(n)f(1)h(1) + f(1)g(1)f(n)h(n). Seuraavasi äytämme ominaisuutta f(1) 1 ja indutio-oletusta hyväsemme ja saamme, että f(n)(g h)(n) f(d)f(n/d)g(d)h(n/d)+f(n)g(n)h(1)+g(1)f(n)h(n) d n d 1,n f(p 1 ) a 1 f(p 2 ) a2 f(p s ) as g(d)h(n/d) + f(n)[g(n)h(1) + g(1)h(n)]. d n d 1,n Sitten meritsemme summalauseeen Dirichlet n onvoluutiona ja tiettyjen tulojen erotusena. Saamme tulosesi, että f(n)(g h)(n) f(p 1 ) a 1 f(p 2 ) a2 f(p s ) as [(g h)(n) g(n)h(1) g(1)h(n)] + f(n)[g(n)h(1) + g(1)h(n)]. Edelleen siirtelemällä termejä saamme, että f(n)[(g h)(n) g(n)h(1) g(1)h(n)] f(p 1 ) a 1 f(p 2 ) a2 f(p s ) as [(g h)(n) g(n)h(1) g(1)h(n)]. Kosa pari g, h on semi-disriminoituva ja n on yhdistetty luu, niin (g h)(n) g(n)h(1)+g(1)h(n) eli [ (g h)(n) g(n)h(1) g(1)h(n) ] 0, joten f(n) f(p 1 ) a 1 f(p 2 ) a2 f(p s ) as. 14

15 Olemme päätelleet, että yhtälö (6) on voimassa, un Ω(n) m, joten indution nojalla aava (6) on voimassa aiilla n Z +. Lauseen 6 perusteella funtio f on täydellisesti multipliatiivinen. Huomautus 5. On hyvä huomata, että lauseen 13 oletusta, että f(1) 0, jouduttiin tiuentamaan muotoon f(1) 1. Samallahan laajensimme disriminoituvuuden semi-disriminoituvuudesi. On helppo huomata, että myös edellisen araterisoinnin erioistapausina saadaan luuisia mieleäitä araterisointeja täydellisesti multipliatiivisille funtioille. Seuraavaa araterisointia varten esittelemme seuraavan määritelmän. Määritelmä 16. Pari g, h aritmeettisia funtioita on osittain disriminoituva, jos (g h)(n) g(1)h(n) + g(n)h(1) pätee vain, un i 1 muotoa n p i oleville arvoille, missä p on aluluu ja i 1. Huomautus 6. Jos pari g, h on semi-disriminoituva, silloin se on myös osittain disriminoituva. Lause 15. Multipliatiivinen funtio f on täydellisesti multipliatiivinen, jos ja vain jos funtio f on distriboituva yli jonin osittain disriminoituvan parin aritmeettisia funtioita g, h. Todistus. (Vrt. [10].) Oletetaan, että funtio f on täydellisesti multipliatiivinen. Nyt lauseen 9 nojalla funtio f on disriminoituva yli aiien aritmeettisten funtioparien. Seuraavasi oletamme, että multipliatiivinen funtio f on distriboituva yli jonin osittain disriminoituvan parin g, h. Todistetaan, että funtio f on täydellisesti multipliatiivinen. Nyt meille riittää osoittaa lauseen 7 perusteella, että yhtälö f(p a ) f(p) a on voimassa aina, un p P ja a Z + {0}. Käytämme avusemme indutiota esponentin a suhteen. Tarvittava yhtäsuuruus pätee triviaalisti, un a 0, 1. Sitten teemme indutio-oletusen, että f(p ) f(p) aina, un < a (> 1). Funtio f on distriboituva yli parin g, h, joten f(p a )(g h)(p a ) (fg fh)(p a ) f(p i )g(p i )f(p j )h(p j ). i+ja Erotamme summasta asi termiä ja äytämme ominaisuutta, f(1) 1, hyväsemme. Saamme, että f(p a )(g h)(p a ) f(p i )g(p i )f(p j )h(p j )+f(p a )g(p a )h(1)+g(1)f(p a )h(p a ). i+ja i,j a 15

16 Seuraavasi hyödynnämme indutio-oletusta. Yhtälö tulee muotoon f(p a )(g h)(p a ) f(p) a g(p i )h(p j ) + f(p a )[g(p a )h(1) + g(1)h(p a )]. i+ja i,j a Sitten siirtelemme ja meritsemme termejä toisin. Saamme, että f(p a )[(g h)(p a ) g(p a )h(1) g(1)h(p a )] f(p) a [(g h)(p a ) g(p a )h(1) g(1)h(p a )]. Edelleen osa pari g, h on osittain disriminoituva, niin (g h)(p a ) g(p a )h(1)+ g(1)h(p a ) eli (g h)(p a ) g(p a )h(1) g(1)h(p a ) 0, joten f(p a ) f(p) a. Indutioperiaatteen ja lauseen 7 perusteella funtio f on täydellisesti multipliatiivinen. Huomautus 7. On hyvä huomata, että lauseen 14 oletus, että f(1) 1, jouduttiin tiuentamaan edellisen lauseen oletusesi funtion f multipliatiivisuudesta. Samallahan laajensimme semi-disriminoituvuuden osittain disriminoituvuudesi. Edellisen lauseen erioistapausena saadaan luuisia araterisointeja täydellisesti multipliatiivisille funtioille etsimällä join pari aritmeettisia osittain disriminoituvia funtioita ja sijoittamalla yseinen pari edelliseen lauseeseen. Seuraavassa esimerissä esitellään tunnetuin ja äytetyin erioistapausena syntynyt araterisointi. Esimeri 1. Osoitetaan alusi, että pari µ, u on osittain disriminoituva. Tässä vaiheessa oiaisemme sen verran, että toteamme olevan yleisesti tunnettua, että yhtälö (µ u) d n µ(d) δ(n) pätee (s.[1, s. 25]). Toisaalta { µ(p i )u(1) + µ(1)u(p i ) µ(p i 0, un i 1 ) + 1 1, un i 2. Siis pari µ, u on osittain disriminoituva. Nyt jos funtio f on multipliatiivinen, niin saamme, että f(n)(µ u)(n) (fδ)(n) δ(n) ja ((fµ) (fu))(n) ((fµ) f)(n). Nyt lauseen 15 nojalla multipliatiivinen funtio f on täydellisesti multipliatiivinen, jos ja vain jos δ(n) ((fµ) f)(n). Ottamalla edellisestä yhtälöstä Dirichlet n tulo funtion f inverssin f 1 anssa puolittain saadaan, että multipliatiivinen funtio f on täydellisesti multipliatiivinen, jos ja vain jos f 1 (n) (µf)(n). 16

17 Sitten pääsemme äsittelemään appaleen viimeistä araterisointia. Ensisi määrittelemme funtion, jona varaan araterisointi raentuu. Määritelmä 17. Yleinen von Mangoldtin funtio Λ,f (n) on sellainen aritmeettinen funtio, että Λ f, (n) d n f 1 (d)f(n/d) log (n/d) (f 1 f log )(n), missä funtio f on sellainen aritmeettinen funtio, että f(1) 0, ja on positiivinen oonaisluu. Lisäsi jos f u, niin Λ u, (n) Λ (n) d n µ(d) log (n/d). Edelleen jos 1, on tulosena tavallinen von Mangoldtin funtio Λ(n) { log p, jos n p a, un p on aluluu ja a 1, µ(d) log(n/d) 0 muulloin. d n Kappaleen viimeisen araterisoinnin todistamista silmällä pitäen esittelemme ensin olme apulausetta. Apulause 1. Oloon 2. Tällöin aina, un n Z +. Todistus. Ks. [8, s ]. Λ (n) log(n)λ 1 (n) + (Λ 1 Λ)(n) Apulause 2. Oloon positiivinen oonaisluu. Tällöin aina, un n Z +. Λ (n) 0 Todistus. (Vrt. [8, s. 121].) Teemme indutiotodistusen indesin suhteen. Kun 1, niin Λ(n) { log p, jos n p a, a 1, µ(d) log(n/d) 0, muulloin. d n Siis Λ(n) 0 aiilla n Z +. 17

18 Seuraavasi teemme indutio-oletusen, että Λ (n) 0 aiilla n Z + aina, un < m(> 1). Ja todistamme, että Λ m (n) 0 aiilla n Z +. Nyt apulauseen 1 perusteella Λ m (n) log(n)λ m 1 (n) + (Λ m 1 Λ)(n), missä log(n) 0 ja Λ m 1 (n) 0 aiilla n Z +, joten summan ensimmäinen termi on ei-negatiivinen. Edelleen (Λ m 1 Λ)(n) d n Λ m 1(d)Λ(n/d), missä Λ m 1 (d) 0 ja Λ(n/d) 0 aiilla d, (n/d) Z +. Täten myös summan toinen termi (Λ m 1 Λ)(n) 0, joten Λ m (n) 0 aiilla n Z +. Indution nojalla olemme todistaneet apulauseen väitteen. Apulause 3. Pari Λ, u aritmeettisia funtioita on semi-disriminoituva. Todistus. (Vrt. [8, s. 121]) Oloon n yhdistetty luu. On todistettava, että (Λ u)(n) Λ (n)u(1) + Λ (1)u(n). Tehdään vastaoletus eli oletetaan, että Nyt (Λ u)(n) Λ (n)u(1) + Λ (1)u(n). (Λ u)(n) Λ (n)u(1) + Λ (1)u(n) + d n d 1,n Λ (d)u(n/d). Käyttämällä vastaoletusta hyväsemme saamme edellisen yhtälön muotoon Λ (d)u(n/d) Λ (d) 0. d n d n d 1,n d 1,n Kosa n on yhdistetty luu, d on ainain erran aluluu p n. Tällöin Λ (p) d p µ(d) log (p/d) µ(1) log (p) + µ(p) log (1) log (p) > 0. Lisäsi apulauseen 2 muaan Λ (d) 0 aiilla d Z +. Täten on oltava Λ (d) > 0, d n,d 1,n miä taas on ristiriidassa vastaoletusesta saadun yhtälön d n Λ (d) 0 d 1,n anssa. 18

19 Huomautus 8. Kosa pari Λ, u on semi-disriminoituva, on se myös osittain disriminoituva. Pari Λ, u ei uitenaan ole disriminoituva, sillä (Λ u)(1) Λ (1)u(1) 0 Λ (1)u(1) + Λ (1)u(1). Nyt olemme valmiita todistamaan appaleen viimeisen araterisoinnin. Lause 16. Aritmeettinen funtio f, jolla f(1) 1, on täydellisesti multipliatiivinen, jos ja vain jos yhtälö Λ,f fλ on voimassa. Todistus. (Vrt. [8, s ]) Lauseen 14 ja apulauseen 3 tulosten nojalla meidän tarvitsee enää todistaa, että yhtälö Λ,f fλ on yhtäpitävä sen anssa, että funtio f on distriboituva yli Dirichlet n tulon Λ u. Tässä välissä muistutamme, että määritelmänsä perusteella Λ,f f 1 f log. Oletetaan, että funtio f on distriboituva yli Dirichlet n tulon Λ u eli (7) f(λ u) fλ fu. Nythän Λ u µ log u (µ u) log δ log log ja fu f, joten yhtälö (7) tulee muotoon Edelleen f log fλ f. f 1 f log fλ eli Λ,f fλ. Oletusesta Λ,f fλ seuraa helposti, että funtio f on distriboituva yli Dirichlet n tulon Λ u ääntämällä todistusen yhtälöetju toisinpäin. 3 Karaterisoinnit yleisen Möbiusen funtion avulla Tässä appaleessa esittelemme yleisen Möbiusen funtion. Sen avulla löydämme asi uutta araterisointia täydellisesti multipliatiivisille funtioille. Yleisen Möbiusen funtion luonteesta johtuen törmäämme osin myös binomiteoriaan. Binomiteorian roolia pyritään uitenin supistamaan mahdollisimman vähäisesi, jotta meidän annaltamme olennaisimmille asioille jäisi enemmän tilaa. Aloitamme uitenin luettelemalla tarvittavat binomiteorian tuloset ilman todistusia. 19

20 3.1 Binomiteoriaa Tässä luvussa esittelemme binomiteorian tulosia, joita äytämme hyväsemme tämän appaleen araterisointien todistusissa. Tämä luu on varsin suppea ja pinnallinen, sillä emme halua esyä varsinaisesta aiheesta liian auas. Luvun tuloset eivät uitenaan ole ovin ummallisia, joten motivoitunut luija pystynee halutessaan varmentumaan tulosten oieellisuudesta. Binominerroin ( n ) ertoo, uina monta järjestämätöntä :n ysilön jouoa voidaan n:stä ysilöstä valita. Määritelmä 18. Määritellään binominerroin ( n ) siten, että un n, R, niin ( ) n n! (n )!!, missä z! on ertoma. Korvaamalla ertoman z! gammafuntiolla Γ(z+1) saadaan binomiertoimen määritelmä laajennettua omplesiluujen jouoon. Seuraavasi listaamme joitain binomiertoimen identiteettejä ( Ks. [5] ). Oletamme, että n, R. Nyt ( ) ( ) n n (8) 1 0 n ( ) ( ) ( ) n + 1 n n (9) + 1 ( ) ( ) n n + 1 (10) ( 1). Edelliset yhtälöt ovat varsin tunnettuja binomiteorian tulosia. Seuraavaan listaan on oottu tulosi, joita erityisesti tarvitsemme tulevien araterisointien todistusissa. Kaii alla olevat tuloset löytyvät artielista [11]. Oletetaan, että, r, α R. Siis ( ) r + 1 (11) 1 r (12) (13) (14) (15) j 1 +j 2 + +jr j i (,2,...,r) r 1 ( ) r + 1 r > 0, un r 2 r 1 ( ) ( ) r + r 1 1 ( )( ) r i + r 1 r + ( 1) r + ( 1) i r 1 i r 1 ( )( ) [( ) ( )] α α α α + 0 i j i+j i,j 0 ( ) α 1 ( 1) α + ( 1) i ( α i 20 ) ( α + 1 α 1 ).

21 3.2 Yleisestä Möbiusen funtiosta Alusi esitämme yleisen Möbiusen funtion määritelmän. Määritelmä 19. Oletetaan, että α R. Yleinen Möbiusen funtio µ α (n) on sellainen aritmeettinen funtio, että µ α (n) p n ( ) α ( 1) vp(n), v p (n) missä p äy läpi aii luvun n aluluuteijät ja v p (n) saa sellaisen arvon, että p n ja p +1 n. Lisäsi tyydymme vain toteamaan, että on varsin vaivatonta huomata, että un α saa arvon 1, on yseessä tavallinen Möbiusen funtio µ. Ja edelleen, un α saa arvosi nollan, on yseessä funtio δ. Seuraavassa esimerissä todistamme, että µ 1 u. Esimeri 2. Nythän µ 1 (n) ( 1 p n v p(n)) ( 1) v p(n) suoraan määritelmän muaan. Edelleen aavan (10) avulla saadaan, että p n ( ) 1 ( 1) vp(n) v p (n) p n joten µ 1 u. ( 1 + vp (n) 1 v p (n) ) ( 1) vp(n) ( 1) vp(n) p n ( ) vp (n), v p (n) Seuraavasi tarastelemme joitain yleistä Möbiusen funtiota osevia tulosia. Apulause 4. Oletetaan, että α C. Silloin funtio µ α on multipliatiivinen. Todistus. Ks. [3, s. 73.]. Apulause 5. Oletetaan, että α, β C. Tällöin on voimassa, että Todistus. Ks. [3, s ]. µ α µ β µ α+β. Huomautus 9. Määritellään, että M {µ α : α C}. Nyt algebrallinen strutuuri (M, ) on Abelin ryhmä, jona yösalio on aritmeettinen funtio δ. Tämän huomautusen tulos todistetaan oonaisuudessaan artielissa [3] sivulla

22 3.3 Karaterisoinnit Sitten olemme valmiita todistamaan tämän luvun araterisoinnit. Nämä araterisoinnit ja niiden todistamiseen tarvittavat apulauseet löytyvät todistusineen artielista [11] luuunottamatta lauseen 18 vain jos -suuntaa, jona todistus on esitetty artielissa [9] seä lausetta 19, joa löytyy artielista [13] sivulta 439. Lause 17. Oletetaan, että α R {0}. Multipliatiivinen funtio f, joa ei saa arvoa nolla millään oonaisluvulla n, on täydellisesti multipliatiivinen, jos ja vain jos (µ α f) 1 µ α f. Todistus. Oletetaan ensin, että funtio f on täydellisesti multipliatiivinen. Nyt (µ α f)(1) µ α (1)f(1) 1, joten lauseen 2 perusteella äänteisfuntio (µ α f) 1 on olemassa ja se on ysiäsitteinen. Edelleen (µ α f) (µ α f)(n) d n µ α (d)f(d)µ α (n/d)f(n/d) f(n) d n µ α (d)µ α (n/d) f(n)(µ α µ α )(n) f(n)µ 0 (n) fδ(n) δ(n), joten (µ α f) 1 µ α f. Oletetaan sitten, että (µ α f) 1 µ α f. Kosa oletamme, että funtio f on multipliatiivinen, riittää täydellisen multipliatiivisuuden osoittamisesi yhtälön f(p ) f(p) voimassa olo aiilla aluluvuilla p ja ei-negatiivisilla oonaisluvuilla. Teemme indutiotodistusen esponentin suhteen. Kun esponentti 0, 1, niin yhtälö f(p ) f(p) on selvästi voimassa. Seuraavasi oletamme, että yhtälö f(p j ) f(p) j pätee aina, un j < (> 1). Nythän oletusesta seuraa, että (µ α f) (µ α f) δ. Tällöin 0 δ(p ) (µ α f µ α f)(p ) µ α (p i )f(p i )µ α (p j )f(p j ) i+j i+j f(p i )f(p j )µ α (p i )µ α (p j ) i+j Indutio-oletusta äyttämällä saamme, että 0 ( 1) f(p) ( )( ) α α + i j i+j i,j 0 ( 1) f(p) i+j i,j 0 ( )( α α i j [ ( 1) f(p ) f(p i )f(p j )( 1) i ( α i ) [( ) ( α α + ( 1) f(p ) + 22 ) ( ) α ( 1) j. j ( ) ( )] α α + ( 1) f(p ) )],

23 mistä seuraa, että f(p) i+j i,j 0 ( )( α α i j ) [ f(p ) (( ) α + ( α Nyt aavan (14) perusteella ( )( ) (( ) ( )) α α α α + 0, i j i+j,i,j 0 ))]. joten f(p) f(p ). Täten indutioperiaatteen ja lauseen 7 nojalla funtio f on täydellisesti multipliatiivinen. Ennen toisen araterisoinnin esittämistä tarvitsemme seuraavan määritelmän ja apulauseen. Määritelmä 20. Meritään, että B {f A : f(1) > 0}. Ja oletetaan, että f B ja α R. Määritellään funtio f α siten, että f α Exp(αLogf). Seuraava apulause on aava (27) artielin [16] sivulta 774. Apulause 6. Oletetaan, että f(1) > 0 ja r, s R. Tällöin s d l (f r+s ) (r + s)f r d l (f s ). Lisäsi ysinertaisuuden vuosi puhumme ominaisuudesta NE taroittaen, että jos α on negatiivinen, parillinen oonaisluu, niin oletamme, että f(p α 1 ) f(p) α 1, missä ( α 1) on siis pariton, posiitivinen oonaisluu. Lause 18. Oloon f multipliatiivinen funtio, joa ei saa arvoa nolla millään positiivisella oonaisluvulla n. Oletetaan lisäsi, että α R {0, 1} ja ominaisuus NE on voimassa. Nyt funtio f on täydellisesti multipliatiivinen, jos ja vain jos f α µ α f. Todistus. Oletetaan ensin, että funtio f on täydellisesti multipliatiivinen. Valitaan mielivaltainen n Z +. Todistetaan, että f α µ α f. Ideana on todistaa, että f α (n) ja (µ α f)(n) ovat molemmat α :n suhteen äärellisiä 23

24 polynomeja, mutta yhtälöllä f α µ α f on ääretön määrä rataisuja α. Meritään, että g Logf. Nyt f α (n) Exp ( αlogf ) (n) Exp(αg)(n) r1 r1 d 1 d 2 drn d 1(1,2,...,r) α r d 1 d 2 drn d 1(1,2,...,r) αg(d 1 )αg(d 2 ) αg(d r ) d 1!d 2! d r! g(d 1 )g(d 2 ) g(d r ) d 1!d 2! d r! Kosa sisemmässä summassa ysiään tulonteijöistä d ei saa olla ysi, niin on olemassa join m Z + siten, että r1 α r d 1 d 2 drn d 1(1,2,...,r) g(d 1 )g(d 2 ) g(d r ) d 1!d 2! d r! m r1 α r d 1 d 2 drn d 1(1,2,...,r) g(d 1 )g(d 2 ) g(d r ). d 1!d 2! d r! Nythän edellisen perusteella f α (n) on äärellistä astetta oleva polynomi esponentin α suhteen. Tarastellaan seuraavasi funtion µ α f arvoja ohdassa n. Nyt ( ) α ( 1) vp(n) f(n) µ α f(n) v p (n) p n ( α + vp (n) 1 v p (n) p n f(n) p n ) ( 1) (2vp(n)) f(n) (α + v p (n) 1)(α + v p (n) 2) α. v p (n)! Täten (µ α f)(n) on äärellinen polynomi α:n suhteen. Edellä olleiden tarastelujen perusteella tiedämme, että (f α µ α f)(n) on äärellisasteinen polynomi esponentin α suhteen. Oletetaan seuraavasi, että r Z +. Nythän lauseen 11 avulla saadaan, että f r Exp(rLogf) Exp(Logf + Logf + + Logf) Exp(Log(f f f) f f f. Edelleen tiedetään, että f fu fµ 1 (s. luu 3.2). Tällöin lauseen 9 avulla saadaan, että f r f f f fu fu fu (u u u)f µ r f, joten yhtälöllä f α µ α f on ääretön määrä rataisuja α. Toisaalta f α (n) ja µ α f(n) ovat äärellisasteisia α :n suhteen, joten f α µ α f. 24

25 Oletetaan sitten, että f α µ α f, un α R {0, 1}. Ja todistetaan, että funtio f on täydellisesti multipliatiivinen. Todistus jaautuu ahteen osaan sen muaan, uuluuo esponentti α oonaisluuihin vai ei. Sen lisäsi umpiin todistusen osa muodostuu ahdesta erillisestä apulauseesta. Apulause 7. Oloon f multipliatiivinen funtio, joa ei saa arvoa nolla millään positiivisella oonaisluvulla n, ja oloon r( 2) positiivinen oonaisluu. Nyt jos f r µ r f, niin funtio f on täydellisesti multipliatiivinen. Todistus. Kosa oletamme, että funtio f on multipliatiivinen, riittää osoittaa, että (16) f(p ) f(p), missä p P ja Z + {0}. Teemme indutiotodistusen esponentin suhteen. Todetaan ensin, että aava (16) on voimassa, un 0, 1. Oletetaan, että aava (16) on voimassa, un i 0, 1, 2,..., 1 ( 1). Oletusesta µ r f f r saadaan, että ( ) r µ r f(p ) ( 1) f(p ) f r (p ) f(p j 1 ) f(p jr ) rf(p ) + f(p) 1, j 1 + j r j 1 + jr j i (,2,...,r) missä viimeinen yhtälöetjun jäsen saadaan indutio-oletusta hyödyntämällä. Järjestelemällä termejä saadaan, että ( ) r ( 1) f(p ) rf(p ) f(p) 1. Ja edelleen [( ) r + 1 ] r f(p ) [( ) r + 1 r 1 f(p) ] r j 1 + jr j i (,2,...,r) j 1 + jr j i (,2,...,r) f(p ) [( ) r r 1 ] r f(p), missä yhtälöetjun viimeinen yhtäsuuruus saadaan aavan (11) avulla. Lisäsi osa r 2, niin ( ) ( ) r+ 1 r 1 r > 0 aava (12), joten f(p ) f(p). Täten lauseen 7 ja indutioperiaatteen nojalla funtio f on täydellisesti multipliatiivinen. 25

26 Jatamme todistamalla heti perään toisen apulauseen. Apulause 8. Oloon f multipliatiivinen funtio, joa ei saa arvoa nolla millään positiivisella oonaisluvulla n, ja oloon α r positiivinen oonaisluu. Oletetaan lisäsi, että ominaisuus NE on voimassa. Nyt jos f r µ r f, niin funtio f on täydellisesti multipliatiivinen. Todistus. Taas riittää osoittaa, että f(p ) f(p), un p P ja Z + {0}, sillä oletamme funtion f olevan multipliatiivinen. Todetaan ensin, että tapauset 0, 1 pätevät triviaalisti. Tehdään sitten indutio-oletus, että f(p i ) f(p) i, un i 0, 1, 2,..., 1. Kosa f r µ r f, niin f r µ r f δ. Nyt un 2, niin 0 δ(p ) (µ r f f r )(p ) (µ r f)(p i )f r (p j ) i+j (µ r f)(p i )f(p j 1 ) f(p jr ) i+j 1 + +j r j 1 + +j r + (µ r f)(p ) [ rf(p ) + f(p) ( f(p j 1 ) f(p jr ) + j 1 + +jr j l (l1,2,...,r) i+j 1 + +jr i 0, ] 1 + ) (µ r f)(p i )f(p j 1 ) f(p jr ) i+j 1 + +jr i 0, [ 1 µ r (p i )f(p) + µ r (p )f(p ) [( ) ] r + 1 ( ) r rf(p ) + r f(p) + ( 1) i r 1 i j 1 + +j r i ( ) r + ( 1) f(p ) [( ) ] [ r ( )( r i + r 1 rf(p ) + r f(p) + ( 1) i r 1 i r 1 ( ) r + ( 1) f(p ) [ ( )] r r + ( 1) f(p ) [( ) + r 1 1 ( )( )] r i + r 1 + r + ( 1) i f(p) r 1 i r 1 [ ( )] r r + ( 1) (f(p ) f(p) ), ] 1 f(p) )] f(p) missä yhtälöetjun viimeinen yhtäsuuruus pätee aavan (13) perusteella. 26

27 Nythän r ja ( 2) ovat positiivisia oonaisluuja. Tällöin r+( 1) ( r ) 0, jos ja vain jos r 1 ja on pariton ( Ks. [11, s. 636] ). Täten edeltäneen todistusen ja ominaisuuden NE nojalla apulause on todistettu. Nyt olemme äsitelleet tapauset α Z {0, 1}. Seuraavasi otamme äsittelyyn tapauset α R Z. Nämä tapauset hoidamme ahden apulauseen avulla. Apulause 9. Oloon funtio f aritmeettinen, p aluluu ja positiivinen oonaisluu. Jos f(1) 1 ja f(p i ) f(p) i (i 1, 2,..., 1), niin (Logf)(p i ) f(p)i (i 1, 2,..., 1). i Todistus. Nythän funtiolla f on olemassa Dirichlet n inverssi f 1. Lisäsi f 1 (1) 1 f(1) 1 ja Tällöinhän ja f 1 (p) 1 f(1) Logf(p) d p,d>1 f(d)f 1 (p/d) f(p)f 1 (1) f(p). Logf(1) log f(1) log log(p) f(d)f 1 (p/d) log(d) d p 1 ( f(1)f 1 (p) log 1 + f(p)f 1 (1) log(p) ) log(p) 1 ( ) 0 + f(p) log(p) f(p). log(p) Tässä välissä todistamme aputulosen, että f 1 (p i ) 0, un i 2, 3,..., 1. Teemme tämän indutiolla. Oloon i 2. Nyt f 1 (p 2 ) 1 f(d)f 1 (p 2 /d) (f(p)f 1 (p) + f(p 2 )f 1 (1)) f(1) d p 2 d>1 ( f(p) 2 + f(p 2 )) 0. Sitten teemme indutio-oletusen, että f 1 (p j ) 0 aina, un 1 < j < i (i 3, 4,..., 1). Tällöin f 1 (p i ) 1 f(d)f 1 (p i /d) f(1) d p i d>1 ( f(p)f 1 (p i 1 ) + + f(p i 1 )f 1 (p) + f(p i )f 1 (1) ) ( f(p i 1 f 1 (p) + f(p i ) ) ( f(p) i + f(p) i) 0. 27

28 Nyt un olemme todistaneet tarvittavan aputulosen, jatamme varsinaisen apulauseen todistamista. Nythän Log(p i ) 1 log(p i ) s+ti f(p s )f 1 (p t ) log(p s ) 1 ( f(p i 1 )f 1 (p) log(p i 1 ) + f(p i ) log(p i ) ) log(p i ) 1 ( f(p i 1 )( f ( p))(i 1) log(p) + if(p i ) log(p) ) i log(p) 1 ( f(p) i log(p) ) f(p)i. i log(p) i Huomautus 10. Edellisen apulauseen todistus on lähteessä [11, s. 637] tarpeettoman pitä ja virheellisesti annetaan uva, että todistus olisi indutiotodistus. Päätämme oo todistusen todistamalla vielä seuraavan apulauseen. Apulause 10. Oloon funtio f multipliatiivinen ja α R Z. Jos f α µ α f, niin funtio f on täydellisesti multipliatiivinen. Todistus. Kuten aiaisemmissain apulauseissa riittää osoittaa, että f(p ) f(p) aina, un p P ja Z + {0}, sillä oletamme, että funtio f on multipliatiivinen. Todistusessa äytämme taas hyväsemme indutiota esponentin suhteen. Alusi todetaan, että tapauset 0, 1 ovat triviaaleja. Tehdään indutio-oletus, että f(p i ) f(p) i, un i 1, 2,..., 1 ( > 1). Jatamme ottamalla log-derivaatan funtiosta f α. Tässä vaiheessa äytämme apulausetta 6 avusemme. Valitaan, että lauseen s 1 ja r α 1. Saamme, että d l f α (n) αf α 1 (n) d l f(n). Kosa (Logf)(n) 1 log(n) (d lf f 1 )(n), niin ( (log)(logf) f(n) ) d l (f)(n). Täten d l f α (n) αf α 1 (n) d l f(n) (αf α 1 (f log Logf))(n) (αf α d l Logf)(n) (αµ α f d l Logf)(n). Otamme sitten log-derivaatan puolittain polynomista f α µ α f ohdassa p ja äytämme edellä saamaamme tulosta hyväsemme. Saamme, että d l (µ α f)(p ) (µ α f)(p ) log(p ) α (µ α f)(p i )(Logf(p j ) log(p j )). 28 i+j

29 Edelleen edellisen yhtälönetjun viimeistä yhtäsuuruutta manipuloimalla saamme, että (µ α f)(p ) log(p) α log(p) (µ α f)(p i )jlogf(p j ). i+j Seuraavasi jaetaan puolittain log(p):llä, jolloin (µ α f)(p ) α (µ α f)(p i )jlogf(p j ). i+j Edelleen ( ) α (µ α f)(p ) µ α (p )f(p ) ( 1) f(p ) α (µ α f)(p i )jlogf(p j ) α µ α (p i )f(p i )jlog(p j ). i+j Käytetään hyväsi apulausetta 9. Saamme, että ( ) [( ) α α ( 1) f(p ) α Logf(p ) + 0 i+j i,j 0 i+j ] µ α (p i )f(p i )j f(p)j. j Seuraavasi hyödynnetään indutio-oletusta. Saadaan, että ( ) [( ) α α (17) ( 1) f(p ) α Logf(p ) + f(p) 0 i+j i,j 0 ] µ α (p i ). Hyödynnetään apulauseessa 9 olevaa aputulosta f 1 (p i ) 0, un i 2, 3,..., 1. Saadaan, että Log(f(p )) 1 log(p) i+j f(p i )f 1 (p j )i log(p) 1 if(p i )f 1 (p j ) 1 i+j 1 [ ] ( 1)f(p) + f(p ) [ ] ( 1)f(p 1 )f 1 (p) + f(p ) 1 f(p) + f(p ). Seuraavasi sijoitetaan saatu tulos yhtälöön (17). Saadaan, että ( ) [ α ( 1) f(p ) α ( 1 f(p) + f(p ) ) + f(p) ] µ α (p i ) i+j i,j 0 [ α (1 )f(p) + f(p ) + f(p) ] µ α (p i ). 29 i+j i,j 0

30 Edelleen [ ( ) α f(p ) ( 1) ] α 1 ( α f(p) [α + i ( ) α + 1 f(p) [α 1 ) ( 1) i α ] α, ] missä ertoimien yhtäsuuruudet saadaan aavasta (15). Nyt olemme todistaneet lauseen 18 oonaisuudessaan. Huomautus 11. Edellisessä lauseessa oletettaessa, että funtio f on täydellisesti multipliatiivinen, voitaisiin sallia, että α 0, 1. Jos α 1, niin saadaan, että f µ 1 f uf f. Jos taas α 0, niin saadaan, että f 0 µ 0 f δ. Kappaleen lopusi saamme vielä edellisen lauseen avulla uuden araterisoinnin ( s. [13, s. 439] ) ilman oletusta ominaisuudesta NE. Lause 19. Oletetaan, että funtio f on multipliatiivinen. Silloin funtio f on täydellisesti multipliatiivinen, jos ja vain jos ( ) 1 f α (p ) µ α (p ) α f α (p) aina, un α R {0}, ja missä p on aluluu ja N. Todistus. Oletetaan ensin, että funtio f on täydellisesti multipliatiivinen. Tällöinhän edellisen lauseen ja lauseen 11 perusteella f α µ α f, un α R. Nythän ( ) ( ) 1 1 µ α (p ) µ α(p ) α f α (p) α µ α(p)f(p) ( α 1 ( 1 µ α (p ) α ( 1)1 ) f(p)) µ α (p ) µ α (p )f(p) µ α f(p ) f α (p ). ( 1 α αf(p) ( Oletetaan sitten, että f α (p ) µ α (p 1 ) (p)) f α. Sijoitetaan oletu- α seen, että α 1. Saadaan, että f(p ) µ 1 (p )f(p) u(p )f(p) f(p) 30 )

31 aina, un N. Täten funtio f on täydellisesti multipliatiivinen lauseen 7 nojalla. Huomautus 12. Edellä olleen lauseen todistusta ei ole lähteessä [13]. Todistus on oonaisuudessaan tutielman teijän teemä. Lisäsi jää epäselväsi, miten artielin [13] irjoittaja on lauseen taroittanut tulittavasi. Lauseessa voitaisiin myös tulita, että (α R {0}) olisi lauseen alussa oletusena. Tällöin lauseen todistaminen olisi huomattavasti vaieampaa, miäli lause edes olisi validi. 4 Karaterisoinnit Log-operaattorin avulla Tässä luvussa esittelemme asi uutta araterisointia täydellisesti multipliatiivisille funtioille. Molemmissa lauseissa äytetään avusi määritelmän 10 Log-operaattoria. Lause 20. Oletetaan, että funtio f on multipliatiivinen. Silloin funtio f on täydellisesti multipliatiivinen, jos ja vain jos aina, un n N. (f Logf)(n) f(n)(u Logu)(n) Todistus. Kosa funtio f on multipliatiivinen, niin artielin [15] lauseen 4 muaan (Logf)(n) 0 aina, un n p. Meritään n r pe i i. Nyt edellä mainitun tulosen ja funtion f multipliatiivisuuden avulla saadaan, että r e i (f Logf)(n) f(n/p l j i )(Logf)(pl j i ) l j 1 r ei f(n/p e i i ) f(p (e i l j ) i )(Logf)(p l j i ). Oletetaan seuraavasi, että funtio f on täydellisesti multipliatiivinen. Nyt (Logf)(p l ) f(p)l l lauseen 12 perusteella, joten f(p (e l) )(Logf)(p l ) f(p) e. Täten l (f Logf)(n) ei r f(n/p e i i ) f(p (e i l j ) i )(Logf)(p l j i ) r l j 1 ei f(n/p e i i ) l j 1 l j 1 f(p e i i ) l j 31 f(n) r e i l j 1 1 l j c(n)f(n).

32 Helposti huomataan, että funtio c(n) ei riipu funtiosta f. Lisäsi tiedetään, että funtio u on täydellisesti multipliatiivinen, joten (Logu)(n) { u(p) a Täten on vaivatonta osoittaa, että a 1 a, un n pa ja a 1, 0 muulloin. (u Logu)(n) r e i l j 1 1 l j c(n), mistä seuraa, että (f Logf)(n) f(n)(u Logu)(n). Oletaan sitten, että (f Logf)(n) f(n)(u Logu)(n). Kosa funtio f on multipliatiivinen, riittää osoittaa, että f(p e ) f(p) e aina, un p P ja e Z + {0}. Arvoilla e 0, 1 tarvittava yhtäsuuruus pätee triviaalisti. Nythän (f Logf)(p e ) e f(p (e l) )Logf(p l ), (u Logu)(p e ) l0 e l1 1 l ja Logf(p e ) 1 e log p e f 1 (p (e l) )f(p l )l log p 1 e l0 e f 1 (p (e l) )lf(p l ), mistä saadaan, että Logf(p) f(p), un e 1. Seuraavasi tehdään indutio-oletus, että f(p i ) f(p) i aina, un i < e (e 2). Nyt oletusen avulla saadaan, että (18) (f Logf)(p e ) l1 e f(p (e l) )Logf(p l ) l0 e 1 f(p (e l) ) f(p)l l e 1 + (Logf)(p e ) f(p) e l1 l0 1 l + (Logf)(pe ) f(p e )(u Logu)(p e ) f(p e ) Tässä vaiheessa palautamme mieleen apulauseen 9 osana olleen tulosen. Jos f(p i ) f(p) i (i 1, 2,..., (e 1)), niin f 1 (p i ) 0 (i 2, 3,..., (e 1)). Nyt Logf(p e ) 1 e f 1 (p (e l) )lf(p l ) e l0 1 [ f 1 (p)f(p (e 1) )(e 1) + ef(p e ) ] e 1 f(p) e + f(p e ). e e 32 e l1 1 l.

33 Sijoittamalla saatu tulos yhtälöön (18) saadaan, että f(p e ) Edelleen e l1 mistä seuraa, että 1 l e 1 1 f(p)e l +(Logf)(pe ) f(p) e l1 ( e f(p e ) f(p e ) e l2 l1 ) ( 1 e 1 l 1 f(p) e 1 l f(p)e e l2 l1 e 1 l1 [ 1 e 1 l f(p) ]+f(p e e ). e 1 l e 1 ), e 1 l, joten f(pe ) f(p) e. Lause 21. Oletetaan, että funtio f on multipliatiivinen. Silloin funtio f on täydellisesti multipliatiivinen, jos ja vain jos ( ) ( ) Λf Λf log f (1) 0, log f (n) f(n) Λ(i) log(i), i n i 1 missä funtio Λ on tavallinen von Mangoldin funtio (s. määritelmä 17) ja lisäsi tehdään sopimus, että Λf (1) 0. log ( Λf Todistus. Nyt un n > 1, niin )(n) f Λ(i)f(i) f(n/i). i n log log(i) i 1 Oletetaan ensin, että funtio f on täydellisesti multipliatiivinen. Tällöin ( Λf log f Λ(i) log(i). Oletetaan sitten, että ) (n) i n i 1 Λ(i)f(i) log(i) f(n/i) f(n) i n i 1 ( Λf log f )(n) f(n) i n i 1 Λ(i) log(i) aina, un n > 1. Kosa funtio f on multipliatiivinen, riittää osoittaa, että f(p e ) f(p) e aina, un p P ja e Z + {0}. Teemme indutiotodistusen esponentin e suhteen. Arvoilla e 0, 1 tarvittava yhtäsuuruus pätee triviaalisti. Seuraavasi teemme indutio-oletusen, että f(p i ) f(p) i aina, un i < e (e 2). Nythän ( ) Λf log f (p e ) e j1 f(pe ) e Λ(p j )f(p j ) f(p (e j) ) Λ(pe )f(p e ) j log(p) e log(p) e 1 + f(p) e 1 j f(pe ) j1 33 e j1 e 1 + f(p) e j1 Λ(p j ) j log(p) f(pe ) 1 j e j1 1 j,

34 mistä seuraa, että [ e f(p e 1 ) j 1 ] e 1 f(p e 1 ) e j e 1 1 f(p)e j. j1 Täten f(p e ) f(p) e. j1 j1 Huomautus 13. Log-operaattorin tapaisia operaattoreita on määritelty muitain. Tunnetuin tällainen operaattori lienee Carlitzin ja Subbaraon määrittelemä operaattori β, jona määritelmän esittelemme seuraavasi. Määritelmä 21. Oloon C {f A : f(1) 1}. Operaattori β : C C on sellainen aritmeettinen funtio, että βf(1) 1 ( 1) r 1 βf(n) r r1 d 1 d 2 drn d i 1(,2,...,r) f(d 1 )f(d 2 ) f(d r ), un n > 1, missä sisemmässä summassa äydään läpi aii sellaiset järjestetyt luujonot d 1,..., d r, että d 1 d r n. Nyt operaattorin β avulla on olemassa seuraavanlainen araterisointi. Lause 22. Oletetaan, että aritmeettiselle funtiolle f on voimassa, että f(1) 1. Tällöin funtio f on täydellisesti multipliatiivinen, jos ja vain jos β(fg) fβg aina, un g on sellainen aritmeettinen funtio, että g(1) 1. Todistus. Ks. [6, s. 327.]. Huomautus 14. Artielissa [12] on todistettu, että Log-operaattori ja operaattori β ovat samat, poisluien funtion arvon 1. Arvolla 1 on voimassa, että Log(fg(1)) log(fg(1)) log(1) 0 ja f(1)(log(g)(1)) log(g(1)) log(1) 0, joten edellisessä lauseessa voidaan operaattori β orvata Logoperaattorilla. 5 Karaterisoinnit ydinfuntion avulla Tässä appaleessa vaihdamme näöulmaa ja esittelemme asi uutta Dirichlet n onvoluution tapaista lasutoimitusta aritmeettisille funtioille. Kummanin lasutoimitusen määrittelyssä äytämme apunamme ydinfuntiota. Uusien lasutoimitusten autta luomme uusia araterisointeja täydellisesti multipliatiivisille funtioille. 34

35 5.1 Taustaa Aloitamme määrittelemällä ydinfuntion.. Määritellään ydinfuntio γ(n) si- Määritelmä 22. Oloon n w ten, että pe i i γ(1) 1, γ(n) w p i, n > 1. Nyt voimme määritellä uudet lasutoimituset aritmeettisille funtioille. Määritelmä 23. Oletetaan, että f, g A. Ensimmäisen lajin ydinonvoluutio (f g) on sellainen aritmeettinen funtio, että (f g)(n) d n γ(d)γ(n) f(d)g(n/d). Toisen lajin ydinonvoluutio (f g) on sellainen aritmeettinen funtio, että (f g)(n) d n γ(d)γ(n/d) f(d)g(n/d). Huomautus 15. On helppo huomata, että lasutoimitusista on ommutatiivinen jouossa A, un taas ensimmäisen lajin ydinonvoluutio ei ole ommutatiivinen jouossa A. Seuraavasi äsittelemme asi apulausetta, joita tarvitsemme myöhemmissä araterisointien todistusissa. Apulause 11. Oloon funtiot f, g ja h multipliatiivisia. Silloin aiilla oonaisluvuilla n > 1 on voimassa, että [(h g) f](n) [(g + h δ) f + (h g) f](n). Jos sijoitetaan, että f δ, saadaan, että Todistus. Ks.[17, Theorem 6]. (h g)(n) [ (g + h) + h g ] (n). Apulause 12. Oloon funtiot f, g ja h multipliatiivisia. Silloin aiilla oonaisluvuilla n > 1 on voimassa, että [(h g) f](n) [(f + g δ) h + (g h) f](n). 35

36 Todistus. Todetaan alusi, että funtio [(h g) f] on multipliatiivinen, joten riittää tutia arvot n p e, missä p P ja e Z + {0}. Nyt [(g h) f](p e ) d n γ(d)γ(n/d) e 1 f(p e i ) ( e 1 (g h)(d)f(p e /d) (g h)(p i )f(p e i ) i j1 g(p j )h(p i j ) ). Edelleen [(h g) f](p e ) e e i (h g)(p i )f(p e i ) f(p e i ) h(p j )g(p i j ) i0 i0 e 1 f(p e ) + (h g)(p e ) + f(p e i ) j0 f(p e ) + (h g)(p e ) e 1 e 1 + f(p e i )g(p i ) + f(p e i ) ( i j1 j0 i h(p j )g(p i j ) g(p j )h(p i j ) ) e 1 (h g)(p e ) + f(p e i )g(p i ) + [(g h) f](p e ) (h g)(p e ) + (f g)(p e ) g(p e ) + [(g h) f](p e ) [(f + g δ) h + (g h) f](p e ). Huomautus 16. Edellisen apulauseen todistusta ei löydy lähteestä [17]. Todistus on tutielman teijän oma. 5.2 Karaterisoinnit Tämän luvun araterisoinneista aii paitsi ensimmäinen ovat Temba Shonhiwan artielista Core function based characterizations of number theoretic functions ([17]). Luvun ensimmäinen lause todistusineen löytyy artielista [19, s ]. Huomautus 17. Tämän appaleen merinnät on otettu suoraan Shonhiwan artielista. On huomattava, että lähteessä [19, s ] on äytetty merintää symboloimaan ensimmäisen lajin ydinonvoluutiota. 36

37 Lause 23. Oletetaan, että funtio f on multipliatiivinen. Silloin funtio f on täydellisesti multipliatiivinen, jos ja vain jos aina, un g, h A. f(g h) fg fh Todistus. Oletetaan ensin, että funtio f on täydellisesti multipliatiivinen. Tällöin (fg fh)(n) f g(d)f h(n/d) d n γ(d)γ(n) d n γ(d)γ(n) f(n) f(d)g(d)f(n/d)h(n/d) d n γ(d)γ(n) g(d)h(n/d) f(g h)(n). Oletetaan sitten, että f(g h) f g f h aiilla aritmeettisilla funtioilla g, h. Valitaan funtiot g ja h siten, että (g h)(p e ) 0 aina, un p P ja e Z +. Kosa oletamme funtion f olevan multipliatiivinen, riittää osoittaa, että f(p m ) f(p) m aina, un p P ja m Z + {0}. Teemme indutiotodistusen esponentin m suhteen. Arvoilla m 0, 1 tarvittava yhtäsuuruus pätee triviaalisti. Seuraavasi tehdään indutio-oletus, että f(p n ) f(p) n aina, un n < m (m 2). Nyt Toisaalta f(g h)(p m ) f(p m ) [ g(p m )h(1) + + g(p)h(p m 1 ) ]. (fg fh)(p m ) fg(p m )fh(1) + + fg(p)fh(p m 1 ) Tällöin eli f(p m )g(p m )h(1) + f(p) m[ g(p m 1 )h(p) + + g(p)h(p m 1 ) ]. f(p m ) [ g(p m )h(1) + + g(p)h(p m 1 ) g(p m )h(1) ] f(p) m[ g(p m )h(1) + + g(p)h(p m 1 ) ] f(p m )(g h)(p m ) f(p) m (g h)(p m ). Kosa (g h)(p m ) 0, niin f(p m ) f(p) m. 37

38 Lause 24. Oletetaan, että funtio f on multipliatiivinen. Silloin funtio f on täydellisesti multipliatiivinen, jos ja vain jos aina, un g, h A. f(g h) fg fh Todistus. Oletetaan ensin, että funtio f on täydellisesti multipliatiivinen. Tällöin (fg fh)(n) f g(d)f h(n/d) d n γ(d)γ(n/d) d n γ(d)γ(n/d) f(g h)(n). f(d)g(d)f(n/d)h(n/d) f(n) d n γ(d)γ(n/d) g(d)h(n/d) Oletetaan sitten, että f(g h) fg fh aiilla aritmeettisilla funtioilla g, h. Valitaan funtiot g ja h siten, että (g h)(p e ) 0 aina, un p P ja e Z +. Kosa oletamme funtion f olevan multipliatiivinen, riittää osoittaa, että f(p m ) f(p) m aina, un p P ja m Z + {0}. Teemme indutiotodistusen esponentin m suhteen. Arvoilla m 0, 1 tarvittava yhtäsuuruus pätee triviaalisti. Seuraavasi tehdään indutio-oletus, että f(p n ) f(p) n aina, un p on aluluu ja n < m (m 2). Nyt Toisaalta eli f(g h)(p m ) f(p m ) [ g(p m 1 )h(p) + + g(p)h(p m 1 ) ]. (fg fh)(p m ) fg(p m 1 )fh(p) + + fg(p)fh(p m 1 ) f(p) m[ g(p m 1 )h(p) + + g(p)h(p m 1 ) ]. f(p m )(g h)(p m ) f(p) m (g h)(p m ), joten f(p m ) f(p) m, sillä (g h)(p m ) 0. Määritelmä 24. Funtio τ(n) on sellainen aritmeettinen funtio, että τ(n) d n 1 aina, un n on positiivinen oonaisluu. 38

39 Lause 25. Oletetaan, että funtio f on multipliatiivinen. Silloin funtio f on täydellisesti multipliatiivinen, jos ja vain jos (f f) f f(τ u). Todistus. Oletetaan ensin, että funtio f on täydellisesti multipliatiivinen. Kosa funtio [(f f) f] on multipliatiivinen, riittää tarastella yseistä funtiota arvoilla n p e. Nyt [(f f) f](p e ) e f(p e i ) i0 f(p e ) i f(p j )f(p i j ) f(p e ) j0 e τ(p i ) f(p e ) i0 e i0 i 1 j0 e τ(p i )u(p e i ) [f(τ u)](p e ). Oletetaan sitten, että [(f f) f] [f(τ u)]. Kosa funtio f on multipliatiivinen, riittää osoittaa, että f(p e ) f(p) e aina, un p P ja e Z {0}. Teemme tämän indutiotodistusella esponentin e suhteen. Lisäsi äytämme hyväsemme apulausetta 11. Arvoilla e 0, 1 tarvittava yhtäsuuruus pätee triviaalisti. Seuraavasi teemme indutio-oletusen, että f(p i ) f(p) i aina, un i < e (e 2). Tällöin i0 e [f(τ u)](p e ) f(p e ) τ(p i ) f(p e )(1+2+ +(e+1) i0 (e + 1)(e + 2) f(p e ). 2 Toisaalta [(f f) f](p e ) [(f + f δ) f + (f f) f](p e ). Käsittelemme summan termit alusi erillään. Ensisi [(f + f δ) f](p e ) + e (f + f δ)(p i )f(p e i ) i0 e (2f(p i ) δ(p i ))f(p e i ) 2f(p e ) + f(p e ) i0 e 1 2f(p) e e 1 3f(p e ) + 2f(p) e 1 3f(p e ) + 2(e 1)f(p) e. 39

40 Toisesi [(f f) f](p e ) e (f f)(p i )f(p e i ) e i 1 f(p e i ) f(p j )f(p i j ) j1 e ( i 1 ) e i 1 f(p) e i f(p) i 1 f(p) e 1 j1 e e 1 f(p) e (i 1) f(p) e i j1 (e 1)e f(p) e. 2 Seuraavasi yhdistelemme saadut tuloset ja saamme aluperäisen oletusen anssa yhtäpitävän yhtälön: (e + 1)(e + 2) f(p e ) 3f(p e ) + 2(e 1)f(p) e + 2 mistä saadaan, että (e 1)(e 2) 6 f(p e ) 2 (e 1)(e + 4) f(p) e. 2 (e 1)e f(p) e, 2 Lopusi on varsin vaivatonta todeta, että edellisen yhtälön ertoimet ovat samat ja eroavat nollasta, joten f(p e ) f(p) e. Huomautus 18. Edellisen lauseen todistusessa on painovirhe lähteessä [17, Corollary 1]. Todistusen loppupuolella on plusmeri vaihtunut vahingossa miinusmerisi. Lause 26. Multipliatiivinen funtio f on täydellisesti multipliatiivinen, jos ja vain jos f fg fg aina, un funtio G on multipliatiivinen ja g(n) (G µ)(n). Todistus. Oletetaan ensin, että funtio f on täydellisesti multipliatiivinen. Nythän G g u, sillä u µ δ. Täten f fg fu fg f(u g) fg. Oletetaan sitten, että f fg fg aina, un G on multipliatiivinen ja g(n) (G µ)(n). Valitaan funtio G siten, että G(p e ) G(p e 1 ) aina, un e Z + {0}. Lisäsi apulauseen 11 perusteella (f fg)(n) [ (f + fg) + (f fg) ] (n) aina, un n > 1. Kosa funtio f on multipliatiivinen, riittää osoittaa, että f(p e ) f(p) e aina, un p P ja e Z + {0}. Teemme 40

41 jälleen indutiotodistusen esponentin e suhteen. Arvoilla e 0, 1 homma on selvä. Seraavasi teemme indutio-oletusen, että f(p i ) f(p) i aina, un i < e (e 2). Nyt fg(p e ) f(p e )G(p e ) (f fg)(p e ) f(p e ) + f(p e )g(p e ) + (f fg)(p e ). Edelleen siirtelemällä termejä sadaan, että f(p e )G(p e ) f(p e ) f(p e )g(p e ) f(p e )G(p e ) f(p e ) f(p e ) ( G(p e ) G(p e 1 )) mistä saadaan, että e 1 (f fg)(p e ) f(p i )f(p e i )g(p e i ) e 1 e 1 f(p) e g(p e i ) f(p) e (G µ)(p e i ) e 1 ( f(p) e G(p e i ) G(p e i 1 ) ) f(p) e( G(p e 1 ) 1 ), f(p e ) ( G(p e i ) G(p e i 1 ) ) f(p) e( G(p e i ) G(p e i 1 ) ). Nythän G(p e i ) G(p e i 1 ) 0, joten f(p e ) f(p) e. Lause 27. Oletetaan, että funtio f on multipliatiivinen. Silloin funtio f on täydellisesti multipliatiivinen, jos ja vain jos aina, un p on aluluu ja e 2. (f f 1 )(p e ) (f 1 f)(p e ) Todistus. Oletetaan ensin, että funtio f on täydellisesti multipliatiivinen. Oloon e 2. Nyt e (f 1 f)(p e ) f 1 (p i )f(p e i ) Toisaalta (f f 1 )(p e ) e µ(p i )f(p i )f(p e i ) f(p e ). e 1 f(p i )f 1 (p e i ) e 1 f(p i )µ(p e i )f(p e i ) f(p e ). 41