Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause
|
|
- Mikael Kouki
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Tero Harju (2008/2010) Äärellisesti generoitujen Abelin ryhmien peruslause Merkintä X on joukon koko ( eli #X). Vapaat Abelin ryhmät Tässä kappaleessa käytetään Abelin ryhmille additiivista merkintää. Abelin ryhmä G on joukon B = {a 1, a 2,..., a n } generoima vapaa Abelin ryhmä, jos jokainen g G voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa g = m 1 a 1 + m 2 a m n a n (m i Z). Tässä tapauksessa B on ryhmän G kanta. Esimerkki 1.1. Ryhmä Z on vapaa: joukot {1} ja { 1} ovat sen kantoja. Yleisemmin Z n = Z Z... Z on vapaa kantana {e 1, e 2,..., e n }, missä e i = (0,..., 0, 1, 0,..., 0). Todetaan, ettei vapaan Abelin ryhmän nolla-alkio 0 voi kuulua mihinkään kantaan, sillä = 0 antaa kaksi esitystä joukon {0,...} suhteen. Esimerkki 1.2. Toisaalta Z 2 ei ole vapaa, sillä muutoin sen kantana olisi välttämättä {1}, mutta esimerkiksi (mod 2) eli alkiolla 1 on useita esityksiä. Lemma 1.1. Olkoon G äärellisesti generoitu Abelin ryhmä. Tällöin sen kaikki minimaaliset generoijajoukot ovat äärellisiä. Todistus. Harjoitustehtävä. Lause 1.1. Olkoon G äärellisesti generoitu vapaa Abelin ryhmä. Tällöin ryhmän G jokaisessa kannassa on yhtä monta alkiota. Tätä lukua kutsutaan ryhmän G asteeksi. Todistus. Edeltävän mukaan ryhmällä G on (äärellinen) kanta B = {a 1,..., a n }. Tarkastellaan ryhmän G aliryhmää 2G = {2g g G} G, ja sen tekijäryhmää G/2G = {g + 2G g G}. Kun g G, niin g = m i a i joillain m i Z, sanokaamme m i = 2k i + r i, missä 0 r i 1. Siten g + 2G = (2k i + r i )a i + 2G = r i a i + 2 k i a i + 2G = r i a i + 2G. Tässä r i {0, 1} ja siten G/2G = 2 n, missä G/2G on riippumaton kannan B valinnasta. Näin ollen jokaisessa kannassa on tarkalleen n alkiota.
2 Lause 1.2. Olkoon G astetta n oleva vapaa Abelin ryhmä kantana B = {a 1, a 2,..., a n } ja olkoon H Abelin ryhmä. Tällöin jokainen kuvaus f : B H laajenee yksikäsitteisesti homomorfismiksi f : G H, missä f(a n ) = f (a n ). Todistus. Määritellään f(m 1 a m n a n ) = m 1 f (a 1 ) m n f (a n ), 2 jolloin väite todetaan helposti oikeaksi. Lause 1.3. Samaa astetta olevat vapaat Abelin ryhmät G 1 ja G 2 ovat isomorfiset. Todistus. Olkoot B 1 = {a 1, a 2,..., a n } ja B 2 = {b 1, b 2,..., b n } vastaavasti näiden ryhmien kantoja. Tällöin kuvaus f : B 1 G 2 ehdosta f (a i ) = b i laajenee homomorfismiksi f : G 1 G 2. Kuvaus f on surjektiivinen, sillä B 2 generoi ryhmän G 2, ja se on injektiivinen, koska B 2 on kanta. Täten f on isomorfismi. Edeltävän nojalla saadaan: Lause 1.4. Jokainen astetta n oleva vapaa Abelin ryhmä on isomorfinen ryhmän Z n = Z... Z kanssa. Lause 1.5. Jokainen äärellisesti generoitu Abelin ryhmä on vapaan Abelin ryhmän homomorfinen kuva. Todistus. Olkoon G = g 1,..., g n ja olkoon B = {e 1,..., e n } astetta n olevan vapaan Abelin ryhmän H kanta. Tällöin kuvaus f : B G ehdosta f (e i ) = g i laajenee homomorfismiksi f : H G, joka on surjektiivinen. Täten G = f(h). Tässä on erityisesti G = H/ Ker(f). Torsiovapaat ryhmät Ryhmä G on torsioryhmä, jos sen jokaisen alkion g kertaluku ord(g) on äärellinen. Ryhmä G on torsiovapaa, jos jokaisen alkion a 1 kertaluku on ääretön. Esimerkki 1.3. Abelin ryhmät Z, Q, R ja C ovat torsiovapaita yhteenlaskun suhteen. Tekijäryhmä Q/Z on torsioryhmä, sillä p (q/p) Z kaikille q/p Q. Kertolaskun suhteen Q \ {0} on torsiovapaa, mutta C \ {0} ei ole. Vuonna 1902 Burnside esitti seuraavan ongelman: Ovatko äärellisesti generoidut torsioryhmät välttämättä äärellisiä? Kysymys sai negatiivisen vastauksen, kun Golod ja Shafarevich (1964) osoittivat, että on olemassa kolmen alkion generoima ääretön ryhmä, jonka alkioiden kertaluvut ovat alkuluvun p potensseja. Adjan ja Novikov (1968) todistivat, että kun n 4381 on pariton luku, niin on olemassa kahden alkion generoima ääretön ryhmä, jossa g n = 1 kaikille g.
3 Olkoon G Abelin ryhmä. Alkio g G on torsioalkio, jos on n 1, jolla ng = 0. Merkitään T (G) = {g G g torsioalkio}. Lause 1.6. Olkoon G Abelin ryhmä. Tällöin T (G) G on torsioryhmä ja G/T (G) on torsiovapaa. Todistus. Selvästi 0 T (G). Jos g 1, g 2 T (G), sanokaamme ng 1 = 0 ja mg 2 = 0, niin nm(g 1 g 2 ) = 0 ja siten g 1 g 2 T (G). Siis T (G) G. Myös T (G) G, koska G on Abelin ryhmä. Jos g + T (G) G/T (G) ja n(g + T (G)) = ng + T (G) = T (G) (ryhmän G/T (G) nolla-alkio), niin m(ng) = 0 jollain m 1, eli g T (G), ja siten g + T (G) = T (G). Esimerkki 1.4. Todetaan, että T (Z Z 2 ) = {(0, 0), (0, 1)} ja Z Z 2 /T (Z Z 2 ) = Z. Lause 1.7. Äärellisesti generoitu Abelin ryhmä G on vapaa jos ja vain jos se on torsiovapaa. Todistus. Ensinnä, jos G on vapaa, niin G = Z n jollain n, ja näin ollen T (G) = {0}. Toisaalta, oletetaan, että G on torsiovapaa, ja G = g 1,..., g n, missä n on minimaalinen. Todistetaan väite induktiolla lukuun n. Jos n = 1, niin G = g 1 = Z, joten väite on selvä. Olkoon sitten n 2 ja että jollain g G on kaksi esitystä generaattorien avulla: 3 g = m 1 g m n g n = m 1g m ng n (m i, m i Z). Vähentämällä toisistaan saadaan k 1 g 1 + k 2 g k n g n = 0 (k i Z). (1.1) Oletetaan nyt, että (1.1) on valittu niin, että k i on pienin mahdollinen. Tällöin varmastikin syt(k 1,..., k n ) = 1. (Muutoin jaetaan yhteinen tekijä pois vedoten ryhmän G torsiovapauteen.) Todetaan, että k i 1, sillä muutoin g i voidaan lausua muiden generaattorien avulla vastoin luvun n minimaalisuutta. Voidaan olettaa myös, että 0 < k 2 k 1, sanokaamme k 1 = sk 2 + r, missä 0 r < k 2. Merkitään g 2 = g 2 + sg 1. Nyt rg 1 + k 2 g 2 + k 3 g k n g n = 0. Siis G = g 1, g 2,..., g n, missä 0 r < k 1 vastoin summan k i minimaalisuutta. Tämä on ristiriita todistaa väitteen.
4 4 Äärellisesti generoidut Abelin ryhmät Muistetaan, että Abelin ryhmä G on aliryhmiensä H ja N suora summa, eli G = H N, jos jokainen g G voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa g = a + b, missä a H ja b N. Vielä: G = H N jos ja vain jos H N = {0} ja G = H + N. Lause 1.8. Olkoon G äärellisesti generoitu Abelin ryhmä. Tällöin G = T (G) G/T (G), missä T (G) on äärellinen ja G/T (G) on vapaa Abelin ryhmä, eli G = T (G) Z... Z. Todistus. Lauseen 1.6 mukaan G/T (G) on torsiovapaa, ja lauseen 1.7 mukaan se on vapaa. Olkoon {e 1 + T (G), e 2 + T (G),..., e k + T (G)} (e i G) ryhmän G/T (G) jokin kanta, ja merkitään B = {e 1, e 2,..., e k }. Merkitään H = B. Jos nyt k m ie i = 0 joillain m i Z, niin myös k m i(e i + T (G)) = T (G) (= 0 G/T (G) ), ja siis vapauden perusteella m i = 0 kaikilla i. Näin ollen H on vapaa, ja siten H = G/T (G) lauseen 1.3 mukaan. Väite 1. G = T (G) H. Tod. Kun g G, niin on luvut m i Z, joilla g + T (G) = ( k k ) m i (e i + T (G)) = m i e i + T (G), toisin sanoen g m i e i T (G), ja siten on alkio a T (G), jolla g = a + m i e i T (G) + H. Siis G = T (G) + H. Toisaalta jos a 1 + m i e i = a 2 + n i e i joukossa T (G)+H, niin (m i n i )e i = a 2 a 1 T (G), ja siten on luku n Z, n 0, niin, että 0 = n (m i n i )e i = n(mi n i )e i. Mutta B on ryhmän H kanta, joten n(m i n i ) = 0 kaikilla i, eli m i = n i kaikilla i. Lopulta myös a 2 = a 1, ja väite 1 on todistettu. On osoitettu, että G = T (G) G/T (G), missä G/T (G) on vapaa. Väite 2. T (G) on äärellinen. Olkoon G = g 1, g 2,..., g n, missä edeltävän nojalla g i = a i + h i joillain a i T (G) ja h i H. Kun a T (G), on se muotoa a = m i g i = m i a i + m i h i, missä m i h i T (G) H = {0} suoran summan ominaisuuden perusteella. Siis a = m i a i. Olkoot r i a i = 0 eli ord(a i ) = r i, kun i = 1, 2,..., n. Tällöin jokainen g T (G) on edeltävän mukaisesti muotoa a = m i a i, missä m i < r i. Näin ollen T (G) r 1 r 2 r n, mikä todistaa väitteen.
5 5 Äärelliset Abelin ryhmät Seuraava tulos liittyy jo Sylowin lauseisiin. Sitä varten, olkoon p alkuluku. Joukko G p = {g p k g = 0 jollain k 0} on ryhmän G (p-)primäärinen komponentti. Lemma 1.2. Olkoon G kertalukua p e 1 1 pe 2 2 pe k k ovat luvun n eri alkulukutekijät. Tällöin oleva Abelin ryhmä, missä p 1,..., p k G = G p1 G p2... G pk. Todistus. Abelin ryhmälle G p G kuten helposti todetaan. Olkoon g G, g 0, ja ord(g) = n = p c 1 1 pc k k, missä kukin c i Z (mahdollisesti 0). Merkitään n i = n/p c i i, jolloin syt(n 1, n 2,..., n k ) = 1, ja näin ollen on olemassa luvut m 1,..., m k niin, että k m in i = 1. Nyt ( k ) g = m i n i g = (m 1 n 1 )g (m k n k )g. Tässä p c i i (m in i )g = (m i n)g = 0, sillä ord(g) = n. Siis (m i n i )g G pi kaikilla i, ja näin ollen g G p1 + G p G pk. Täten G = G p1 + G p G pk. Toisaalta, jos g G pi ( G p G pi 1 + G pi G pk ), niin p e i g = 0 jollain e, ja siten ord(g) = p t i jollain t e. Myös g = j i g j, missä g j G pj, sanokaamme p d j j g j = 0. Kun m = p d 1 1 pd i 1 i 1 pd i+1 i+1... pd k k, niin mg = 0, ja siten ord(g) m. Mutta p i m; ristiriita. Näin ollen jokaisella alkiolla g on yksikäsitteinen esitys summassa G p1 + G p G pk, ja väite seuraa. Ryhmä G on p-ryhmä, jos sen kertaluku on alkuluvun potenssi. Lagrangen lauseen nojalla p-ryhmän jokaisen alkion kertaluku on saman alkuluvun p potenssi. Jokainen Abelin ryhmän primäärinen komponentti on siis p-ryhmä. Lause 1.9. Jokainen Abelin p-ryhmä G on syklisten ryhmien suora summa. Todistus. Olkoon g G alkio jonka kertaluku on mahdollisimman suuri, ja merkitään H = g, jolloin H = p n jollain n 1. Voidaan olettaa, että H G. (Muutoin G on syklinen.) Väitetään, että G = H F jollekin aliryhmälle F G. Koska tässä F on myös p-ryhmä, lopullinen väite seuraa induktiivisesti. Väite ( ). On olemassa C G, jolle H C = {0} ja C = Z p. Tod. Olkoon a G \ H ja olkoon alkion a + H G/H kertaluku p r, missä r 1. Tällöin p r a H = g, joten p r a = sg jollekin s Z. Koska ord(g) = p n on
6 mahdollisimman suuri, niin p n a = 0, ja siten p n a = (sp n r )g = 0. Siis p n jakaa luvun sp n r, jolloin p s, koska r 0. Olkoon s = ps. Valitaan a 1 = p r 1 a s g ja C = a 1, jolloin pa 1 = p r a ps g = sg sg = 0. Siis ord(a 1 ) = p ja näin ollen C = p. Siten C = Z p. Lisäksi C H = {0}, sillä a 1 / H (koska p r 1 a / H). Tämä todistaa väitteen ( ). Etsitään sitten F induktiivisesti. Tätä varten olkoon f : G G/C luonnollinen homomorfismi, eli f(a) = a + C. Nyt f(h) = g + C on tekijäryhmän G/C syklinen aliryhmä, jonka kertaluku on mahdollisimman suuri p n. Koska G/C < G ja G/C on p-ryhmä, induktio osoittaa, että G/C = f(h) F (1.2) jollain F G/C. Merkitään F = f 1 ( F ). Nyt F G ja C F (sillä C = 0 G/C ). Edelleen h G = h + C = m(g + C) + (d + C) (sillä (1.2) : d + C F ) = h mg d C Siis G = H + F. Toisaalta = h = mg + (d + c) H + F (c C, d + c F ). h H F = f(h) f(h) f(f ) = f(h) F = {0} (sillä 1.2) = h Ker(f) = C = h H C = h = 0. 6 Näin ollen G = H F. Seuraava tulos on Abelin ryhmien peruslause. Lause Olkoon G äärellisesti generoitu Abelin ryhmä. Tällöin G = Z... Z H, missä H on äärellinen Abelin ryhmä, joka voidaan kirjoittaa muotoon H = Z p r 1 1 Z p r Z p rn n, missä jokainen p i on alkuluku (jotka eivät välttämättä ole erisuuria). Tämä esitys on yksikäsitteinen komponenttien järjestystä lukuunottamatta. Todistus. Väitteen alkuosa on osoitettu lauseessa 1.8. Äärellisiä Abelin ryhmiä koskeva väite seuraa lauseesta 1.9, sillä jokainen syklinen ryhmä on isomorfinen jonkun ryhmän Z m kanssa.
7 7 Lause Olkoon G äärellinen Abelin ryhmä. Tällöin se on muotoa missä d i d i+1 jokaisella i. G = Z d1 Z d2... Z dt, Todistus. Tiedetään, että G = G p1... G pm missä jokainen primäärinen komponentti (luvut p i ovat erisuuria alkulukuja), G pi = C i1 C i2... C ik niin, että C ij C i(j+1) (1.3) on syklisten ryhmien C ij suora summa. Tässä siis C ij jakaa kertaluvun C i(j+1), koska molemmat ovat alkuluvun p i potensseja. Liittämällä tarvittaessa loppuun triviaaleja aliryhmiä {0} voidaan olettaa, että esityksen (1.3) pituus k on sama kaikille p i. Nyt H j = C 1j... C kj on syklinen ryhmä, koska alkuluvut p i ovat erisuuria (harjoitustehtävä). Selvästi H j jakaa kertaluvun H j+1, ja lisäksi G = H 1 H 2... H k kuten vaadittua.
LUKUTEORIA A. Harjoitustehtäviä, kevät 2013. (c) Osoita, että jos. niin. a c ja b c ja a b, niin. niin. (e) Osoita, että
LUKUTEORIA A Harjoitustehtäviä, kevät 2013 1. Olkoot a, b, c Z, p P ja k, n Z +. (a) Osoita, että jos niin Osoita, että jos niin (c) Osoita, että jos niin (d) Osoita, että (e) Osoita, että a bc ja a c,
LisätiedotEsimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.
Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4
Lisätiedot4. Ryhmien sisäinen rakenne
4. Ryhmien sisäinen rakenne Tässä luvussa tarkastellaan joitakin tapoja päästä käsiksi ryhmien sisäiseen rakenteeseen. Useimmat tuloksista ovat erityisen käyttökelpoisia äärellisten ryhmien tapauksessa.
Lisätiedot4 Abelin ryhmät. 4.1 Suorat tulot ja summat
4 Abelin ryhmät Ensimmäisellä ryhmäteorian kurssilla käytiin läpi lähinnä syklisiä ryhmiä. Tällä kurssilla keskitymme epäkommutatiivisiin esimerkkeihin. On kuitenkin niin, että äärellisesti viritettyjen
LisätiedotTransversaalit ja hajoamisaliryhmät
Transversaalit ja hajoamisaliryhmät Graduseminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Motivointi Esimerkki 1 (Ryhmäteorian kurssin harjoitustehtävä). Jos G on ryhmä,
Lisätiedotrm + sn = d. Siispä Proposition 9.5(4) nojalla e d.
9. Renkaat Z ja Z/qZ Tarkastelemme tässä luvussa jaollisuutta kokonaislukujen renkaassa Z ja todistamme tuloksia, joita käytetään jäännösluokkarenkaan Z/qZ ominaisuuksien tarkastelussa. Jos a, b, c Z ovat
LisätiedotEräitä ratkeavuustarkasteluja
Eräitä ratkeavuustarkasteluja Pro gradu-tutkielma Milla Jantunen 2124227 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2014 Sisältö 1 Ryhmät ja aliryhmät 3 1.1 Ryhmä...............................
Lisätiedoton Abelin ryhmä kertolaskun suhteen. Tämän joukon alkioiden lukumäärää merkitään
5. Primitiivinen alkio 5.1. Täydennystä lukuteoriaan. Olkoon n Z, n 2. Palautettakoon mieleen, että kokonaislukujen jäännösluokkarenkaan kääntyvien alkioiden muodostama osajoukko Z n := {x Z n x on kääntyvä}
LisätiedotLiite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet
Liite 2. Ryhmien ja kuntien perusteet 1. Ryhmät 1.1 Johdanto Erilaisissa matematiikan probleemoissa törmätään usein muotoa a + x = b tai a x = b oleviin yhtälöihin, joissa tuntematon muuttuja on x. Lukujoukkoja
LisätiedotSylowin lauseet äärellisten ryhmien luokittelussa
Sylowin lauseet äärellisten ryhmien luokittelussa Jenna Johansson 21. marraskuuta 2018 Pro gradu -tutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2018 Merkintöjä: N Luonnollisten
LisätiedotLisää ryhmästä A 5 1 / 28. Lisää ryhmästä
14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 1 / 28 14A.1 14A.1 14A.2 14A.3 14A.4 14A.5 14A.6 14A.7 14A.8 14A.9 14A.10 14A.11 14A.12 14A.13 Tehtävä: Määrää ryhmän karakteritaulu,
LisätiedotShorin algoritmin matematiikkaa Edvard Fagerholm
Edvard Fagerholm 1 Määritelmiä Määritelmä 1 Ryhmä G on syklinen, jos a G s.e. G = a. Määritelmä 2 Olkoon G ryhmä. Tällöin alkion a G kertaluku ord(a) on pienin luku n N \ {0}, jolla a n = 1. Jos lukua
Lisätiedot802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2017 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................
LisätiedotSyklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016
Syklinen ryhmä Pro Gradu -tutkielma Taava Kuha Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmäteoriaa 4 1.1 Ryhmän määritelmä....................... 4 1.2 Kertaluku.............................
LisätiedotCauchyn ja Sylowin lauseista
Cauchyn ja Sylowin lauseista Pro gradu-tutkielma Jukka Kuru Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2014 Sisältö Johdanto 2 1 Peruskäsitteet 4 1.1 Funktion käsitteitä........................ 4
Lisätiedot{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja
5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.
Lisätiedotei ole muita välikuntia.
ALGEBRA II 41 Lause 4.15. F q m on polynomin x qm x hajoamiskunta kunnan F q suhteen. Todistus. Olkoon α kunnan F q m primitiivialkio. Nyt F qm =< α > muodostuu täsmälleen polynomin x qm 1 1nollakohdistajatäten
Lisätiedot3 Ryhmäteorian peruskäsitteet ja pienet ryhmät, C 2
3 Ryhmäteorian peruskäsitteet ja pienet ryhmät, C 2 Olen valinnut kunkin luvun teemaksi yhden ryhmän. Ensimmäisen luvun teema on pienin epätriviaali ryhmä, eli ryhmä, jossa on kaksi alkiota. Merkitsen
Lisätiedota 2 ba = a a + ( b) a = (a + ( b))a = (a b)a, joten yhtälö pätee mielivaltaiselle renkaalle.
Harjoitus 10 (7 sivua) Ratkaisuehdotuksia/Martina Aaltonen Tehtävä 1. Mitkä seuraavista yhtälöistä pätevät mielivaltaisen renkaan alkioille a ja b? a) a 2 ba = (a b)a b) (a + b + 1)(a b) = a 2 b 2 + a
Lisätiedot802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen
802355A Algebralliset rakenteet Luentorunko Syksy 2016 Markku Niemenmaa Kari Myllylä Topi Törmä Marko Leinonen Sisältö 1 Kertausta kurssilta Algebran perusteet 3 2 Renkaat 8 2.1 Renkaiden teoriaa.........................
LisätiedotH = H(12) = {id, (12)},
7. Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Tarkastelemme luvun aluksi ryhmän ja sen aliryhmien suhdetta. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. Alkiong G vasen sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on gh = {gh : h H} ja sen
LisätiedotH = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.
10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas
LisätiedotEsko Turunen Luku 3. Ryhmät
3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,
LisätiedotAlgebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä. 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen
Algebran ja lukuteorian harjoitustehtäviä Versio 1.0 (27.1.2006) Turun yliopisto Lukuteoria 1. Tutki, ovatko seuraavat relaatiot ekvivalenssirelaatioita joukon N kaikkien osajoukkojen joukolla: a) C D
LisätiedotLaitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Aika/Datum Month and year Huhtikuu 2014
Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty Matemaattis-luonnontieteellinen tiedekunta Laitos/Institution Department Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tekijä/Författare Author Anna-Mari Pulkkinen Työn
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 9 (6 sivua) 28.3.-1.4.2011 OT 1. a) Osoita, että rengas R = {[0] 10, [2] 10, [4] 10, [6] 10, [8] 10 } on kokonaisalue. Mikä
Lisätiedot802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä
802354A Algebran perusteet Luentorunko Kevät 2018 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Topi Törmä Sisältö 1 Lukuteoriaa 3 1.1 Jakoalgoritmi ja alkuluvut.................... 3 1.2 Suurin yhteinen tekijä......................
LisätiedotRatkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä
Ratkeavista ryhmistä: teoriaa ja esimerkkejä Pro Gradu-tutkielma Lauri Kangas 2192712 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2015 Sisältö 1 Perusteita 3 1.1 Ryhmät ja aliryhmät.......................
Lisätiedotg : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.
ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot
LisätiedotMatematiikan mestariluokka, syksy 2009 7
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 7 2 Alkuluvuista 2.1 Alkuluvut Määritelmä 2.1 Positiivinen luku a 2 on alkuluku, jos sen ainoat positiiviset tekijät ovat 1 ja a. Jos a 2 ei ole alkuluku, se on yhdistetty
LisätiedotAlgebra II. Syksy 2004 Pentti Haukkanen
Algebra II Syksy 2004 Pentti Haukkanen 1 Sisällys 1 Ryhmäteoriaa 3 1.1 Ryhmän määritelmä.... 3 1.2 Aliryhmä... 3 1.3 Sivuluokat...... 4 1.4 Sykliset ryhmät... 7 1.5 Ryhmäisomorfismi..... 11 2 Polynomeista
LisätiedotAlgebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia
Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,
Lisätiedot4. Ryhmien sisäinen rakenne
3.5. Sisäiset symmetriat. Kuution väritysesimerkissä 3.14 tarkasteltiin yksittäisten alkioiden sijaan niiden konjugaattiluokkia ja todettiin, että konjugaattiluokkia vastaavat luonnollisella tavalla erityyppiset
LisätiedotTIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta
Oulun yliopisto TIIVISTELMÄ OPINNÄYTETYÖSTÄ (liite FM-tutkielmaan) Luonnontieteellinen tiedekunta Maisterintutkinnon kypsyysnäyte Laitos: Matemaattisten tieteiden laitos Tekijä (Sukunimi ja etunimet) Isopahkala
LisätiedotMikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen
Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin
LisätiedotHänessä kaikki viisauden ja tiedon aarteet ovat kätkettyinä. Vrt. Paavalin kirje kolossalaisille 2:2-3.
TAMPEREEN YLIOPISTO Matematiikan pro gradu -työ Seppo Janhonen Ryhmäteoriaa Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Kesäkuu 2001 Hänessä kaikki viisauden ja tiedon aarteet ovat kätkettyinä.
LisätiedotJarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori
Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 5,
Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)
Lisätiedot6 A 5, alternoiva ryhmä ja muita yksinkertaisia ryhmiä
6 A 5, alternoiva ryhmä ja muita yksinkertaisia ryhmiä Tutustukaamme ensin ryhmään S 5. Jos käytämme syklinotaatiota, toteamme, että se sisältää syklejä, jotka ovat muotoa (12), (123), (1234), (12345),
LisätiedotAlgebra I, harjoitus 8,
Algebra I, harjoitus 8, 4.-5.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H sen normaali aliryhmä. Todista, että tällöin G/H on ryhmä, kun määritellään laskutoimitus joukossa G/H asettamalla aina, kun x, y G (lauseen
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotÄÄRELLISTEN RYHMIEN VAIHDANNAISUUSVERKOT MIIKKA SILFVERBERG
ÄÄRELLISTEN RYHMIEN VAIHDANNAISUUSVERKOT MIIKKA SILFVERBERG PRO GRADU HELSINGIN YLIOPISTON MATEMATIIKAN LAITOS TOUKOKUU 2008 SISÄLTÖ 1. Merkinnöistä ja määritelmistä 2 2. Johdanto 3 3. Ryhmäteoriaa 5 3.1.
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 3.5 Reedin-Mullerin koodit Olkoon tässä kappaleessa F = F2 = Z2 ja n = 2 m. Määritellään avaruuteen F n kertolasku koordinaateittain:
Lisätiedot[E : F ]=[E : K][K : F ].
ALGEBRA II 35 Lause 4.4 (Astelukulause). Olkoot E/K/Fäärellisiä kuntalaajennuksia. Silloin [E : F ]=[E : K][K : F ]. Todistus. Olkoon {α 1,...,α n } kanta laajennukselle E/K ja {β 1,...,β m } kanta laajennukselle
LisätiedotJOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 3, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Olkoot n, d 1 ja d n. Osoita, että (k, n) d jos ja vain jos k ad, missä (a, n/d) 1. (ii) Osoita, että jos (m j, m k ) 1 kun
Lisätiedot1 Algebralliset perusteet
1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset
Lisätiedot1 Lukujen jaollisuudesta
Matematiikan mestariluokka, syksy 2009 1 1 Lukujen jaollisuudesta Lukujoukoille käytetään seuraavia merkintöjä: N = {1, 2, 3, 4,... } Luonnolliset luvut Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } Kokonaisluvut Kun
Lisätiedot802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä
802354A Lukuteoria ja ryhmät Luentorunko Kevät 2014 Työryhmä: Markku Niemenmaa, Kari Myllylä, Juha-Matti Tirilä, Antti Torvikoski, Topi Törmä Sisältö 1 Ekvivalenssirelaatio 3 2 Lukuteoriaa 4 2.1 Lukuteorian
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotMatematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.
Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä
Lisätiedot(xa) = (x) (a) = (x)0 = 0
11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi : R! R 0 on erityisesti ryhmähomomorfismi :(R, +)! (R 0, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) OT. 1. a) Määritä seuraavat summat:
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 6 (8 sivua) 21.2.-25.2.2011 OT 1. a) Määritä seuraavat summat: [2] 4 + [3] 4, [2] 5 + [3] 5, [2] 6 + [2] 6 + [2] 6, 7 [3]
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
Lisätiedot(x + I) + (y + I) = (x + y)+i. (x + I)(y + I) =xy + I. kaikille x, y R.
11. Ideaalit ja tekijärenkaat Rengashomomorfismi φ: R R on erityisesti ryhmähomomorfismi φ: (R, +) (R, +) additiivisten ryhmien välillä. Rengashomomorfismin ydin määritellään tämän ryhmähomomorfismin φ
LisätiedotEsko Turunen MAT Algebra1(s)
Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
Lisätiedot2.1. Tehtävänä on osoittaa induktiolla, että kaikille n N pätee n = 1 n(n + 1). (1)
Approbatur 3, demo, ratkaisut Sovitaan, että 0 ei ole luonnollinen luku. Tällöin oletusta n 0 ei tarvitse toistaa alla olevissa ratkaisuissa. Se, pidetäänkö nollaa luonnollisena lukuna vai ei, vaihtelee
LisätiedotLukuteoria. Eukleides Aleksandrialainen (n. 300 eaa)
Lukuteoria Lukuteoria on eräs vanhimmista matematiikan aloista. On sanottu, että siinä missä matematiikka on tieteiden kuningatar, on lukuteoria matematiikan kuningatar. Perehdymme seuraavassa luonnollisten
LisätiedotKanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
Lisätiedotk=1 b kx k K-kertoimisia polynomeja, P (X)+Q(X) = (a k + b k )X k n+m a i b j X k. i+j=k k=0
1. Polynomit Tässä luvussa tarkastelemme polynomien muodostamia renkaita polynomien ollisuutta käsitteleviä perustuloksia. Teemme luvun alkuun kaksi sopimusta: Tässä luvussa X on muodollinen symboli, jota
LisätiedotÄärellisistä ryhmistä, transversaaleista ja luupeista
Äärellisistä ryhmistä, transversaaleista ja luupeista Pro Gradu - tutkielma Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Oulun yliopisto Tiedekunta/osasto/laitos Matemaattisten tieteiden
Lisätiedotkoska 2 toteuttaa rationaalikertoimisen yhtälön x 2 2 = 0. Laajennuskunnan
4. Äärellisten kuntien yleisiä ominaisuuksia 4.1. Laajenuskunnat. Tarkastellaan aluksi yleistä kuntaparia F ja K, missä F on kunnan K alikunta. Tällöin sanotaan, että kunta K on kunnan F laajennuskunta
LisätiedotRyhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua)
Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua) 10.12.2012 Tehtävä 1. Osoita, että tuloryhmän R np R sp indeksi Rubikin paikkaryhmässä R p on täsmälleen kaksi. (Tarkkaan
LisätiedotJohdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma
Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 2 syksy 2008 Eemeli Blåsten Ratkaisuehdotelma Tehtävä 1 1. Etsi lukujen 4655 ja 12075 suurin yhteinen tekijä ja lausu se kyseisten lukujen lineaarikombinaationa ilman laskimen
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotYhtäpitävyys. Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite).
Yhtäpitävyys Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite). Toisaalta ollaan osoitettu, että n 2 on parillinen (oletus) n on parillinen (väite). Nämä kaksi väitelausetta
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 (7 sivua)
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin ( sivua).... Nämä ovat kurssin Algebra I harjoitustehtävien ratkaisuehdoituksia. Ratkaisut koostuvat kahdesta osiosta,
Lisätiedot= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
Lisätiedot6. Tekijäryhmät ja aliryhmät
6. Tekijäryhmät ja aliryhmät Tämän luvun tavoitteena on esitellä konstruktio, jota kutsutaan tekijäryhmän muodostamiseksi. Konstruktiossa lähdetään liikkeelle jostakin isosta ryhmästä, samastetaan alkioita,
LisätiedotTodistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?
Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien
LisätiedotTekijä Pitkä Matematiikka 11 ratkaisut luku 2
Tekijä Pitkä matematiikka 11 0..017 170 a) Koska 8 = 4 7, luku 8 on jaollinen luvulla 4. b) Koska 104 = 4 6, luku 104 on jaollinen luvulla 4. c) Koska 4 0 = 80 < 8 ja 4 1 = 84 > 8, luku 8 ei ole jaollinen
LisätiedotLineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016
Lineaariset ryhmät Pro gradu -tutkielma Miia Lillstrang 2187044 Matematiikan yksikkö Oulun yliopisto 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Esitietoja 3 1.1 Ryhmät.............................. 3 1.1.1 Ryhmä ja aliryhmä....................
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Jarmo Niemelä. Primitiivisistä juurista ja. alkuluokkaryhmistä
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jarmo Niemelä Primitiivisistä juurista ja alkuluokkaryhmistä Matematiikan, tilastotieteen ja filosofian laitos Matematiikka Marraskuu 2000 2 TAMPEREEN YLIOPISTO
Lisätiedot1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää
Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotus 1. Tarkastellaan esimerkissä 4.9 esiintynyttä neliön symmetriaryhmää D 8 = { id,
Lisätiedotd Z + 17 Viimeksi muutettu
5. Diffien ja Hellmanin avaintenvaihto Miten on mahdollista välittää salatun viestin avaamiseen tarkoitettu avain Internetin kaltaisen avoimen liikennöintiväylän kautta? Kuka tahansahan voi (ainakin periaatteessa)
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
Lisätiedotpdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN Lukujoukot Sekalaisia merkintöjä...
pdfmark=/pages, Raw=/Rotate 90 Sisältö 1 LUKUTEORIAA JA MUITA TYÖKALUJA SALAUKSEEN 0-2 2 Merkintöjä 0-3 2.1 Lukujoukot................... 0-3 2.2 Sekalaisia merkintöjä.............. 0-4 2.3 Tärkeitä kaavoja................
LisätiedotEnsimmäinen induktioperiaate
1 Ensimmäinen induktioperiaate Olkoon P(n) luonnollisilla luvuilla määritelty predikaatti. (P(n) voidaan lukea luvulla n on ominaisuus P.) Todistettava, että P(n) on tosi jokaisella n N. ( Kaikilla luonnollisilla
LisätiedotMAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen
MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen
Lisätiedotisomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.
Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua
LisätiedotHN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa
Lisätiedota ord 13 (a)
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod
Lisätiedota b 1 c b n c n
Algebra Syksy 2007 Harjoitukset 1. Olkoon a Z. Totea, että aina a 0, 1 a, a a ja a a. 2. Olkoot a, b, c, d Z. Todista implikaatiot: a) a b ja c d ac bd, b) a b ja b c a c. 3. Olkoon a b i kaikilla i =
LisätiedotTekijäryhmät ja homomorsmit
Tekijäryhmät ja homomorsmit LuK-tutkielma Henna Isokääntä 1953004 henna.isokaanta@gmail.com Matemaattiset tieteet Oulun yliopisto Kevät 2019 Sisältö Johdanto 1 1 Tekijäryhmät 1 2 Homomorsmit 3 Lähdeluettelo
LisätiedotALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA
ALKULUKUJA JA MELKEIN ALKULUKUJA MINNA TUONONEN Versio: 12. heinäkuuta 2011. 1 2 MINNA TUONONEN Sisältö 1. Johdanto 3 2. Tutkielmassa tarvittavia määritelmiä ja apulauseita 4 3. Mersennen alkuluvut ja
LisätiedotTensorialgebroista. Jyrki Lahtonen A = A n. n=0. I n, I = n=0
Tensorialgebroista Esitysteorian kesäopintopiiri, Turun yliopisto, 2012 Jyrki Lahtonen Olkoon k jokin skalaarikunta. Kerrataan k-algebran käsite: A on k-algebra, jos se on sekä rengas että vektoriavaruus
LisätiedotFermat n pieni lause. Heikki Pitkänen. Matematiikan kandidaatintutkielma
Fermat n pieni lause Heikki Pitkänen Matematiikan kandidaatintutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2009 Sisältö Johdanto 3 1. Fermat n pieni lause 3 2. Pseudoalkuluvut
Lisätiedot{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja
5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.
LisätiedotMatematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden
Lisätiedot(1) refleksiivinen, (2) symmetrinen ja (3) transitiivinen.
Matematiikassa ja muuallakin joudutaan usein tekemisiin sellaisten relaatioiden kanssa, joiden lakina on tietyn ominaisuuden samuus. Tietyn ominaisuuden samuus -relaatio on ekvivalenssi; se on (1) refleksiivinen,
LisätiedotBijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) OT
Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 3 (9 sivua) 31.1.-4.2.2011 OT 1. Määritellään kokonaisluvuille laskutoimitus n m = n + m + 5. Osoita, että (Z, ) on ryhmä.
LisätiedotKoodausteoria, Kesä 2014
Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 4.7 Syklisen koodin jälkiesitys Olkoon F = F q ja K = F q m kunnan F laajennuskunta. Määritelmä 4.7.1. Kuntalaajennuksen K/F jälkifunktioksi
Lisätiedot[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko
3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin
LisätiedotRyhmäteoria. Pirita Paajanen 26. marraskuuta 2008
Ryhmäteoria Pirita Paajanen pirita.paajanen@helsinki.fi 26. marraskuuta 2008 Sisältö 1 Merkinnät 3 2 Alkusanat 4 3 Ryhmäteorian peruskäsitteet ja pienet ryhmät, C 2 6 3.1 Peruskäsitteet...........................
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
LisätiedotFrobeniuksen lauseesta ja sen yleistyksistä
Frobeniuksen lauseesta ja sen yleistyksistä Pro Gradu-tutkielma Mikko Korhonen Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perustuloksia 4 2.1 Lukuteoriaa............................
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen
Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen 1. Väite: Funktio f : [, ) [1, ), missä on bijektio. f(x) = x + 4x + 5, Todistus: Luentomateriaalissa todistettujen
LisätiedotÄärellisten mallien teoria
Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 5 ratkaisut (Hannu Niemistö) Tehtävä 1 OlkootGjaG neljän solmun verkkoja Määritä, milloing = 2 G eli verkot ovat osittaisesti isomorfisia kahden muuttujan suhteen
Lisätiedot