Aritmeettiset funktiot ja totienttien karakterisointeja

Transkriptio

1 TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jussi Kangas Aritmeettiset funktiot ja totienttien karakterisointeja Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Kesäkuu 2009

2 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos KANGAS, JUSSI Aritmeettiset funktiot ja totienttien karakterisointeja Pro gradu -tutkielma, 99 s. Matematiikka Kesäkuu 2009 Tiivistelmä Tässä gradussa käsitellään aritmeettisia funktioita ja niiden ominaisuuksia sekä tiettyjä aritmeettisia funktioita, joita kutsutaan totienteiksi. Aritmeettinen funktio on reaali- tai kompleksiarvoinen funktio, jonka määrittelyjoukko on positiivisten kokonaislukujen joukko. Tutkielman alkupuoli keskittyy esittelemään aritmeettisten funktioiden peruskäsitteitä ja tuloksia. Alkupuolella tutustutaan muun muassa käsitteisiin Dirichlet n konvoluutio, aritmeettisen funktion käänteisfunktio Dirichlet n konvoluution suhteen, multiplikatiivinen funktio ja täydellisesti multiplikatiivinen funktio. Näitä käsitteitä ja niihin liittyviä tuloksia tarkastellaan melko laajasti ja monipuolisesti. Tutkielman alkupuolen tarkoitus on antaa lukijalle välineitä tutkielman loppupuolen tulosten käsittelyyn. Tutkielman loppupuoli käsittelee totientteja. Totientti on aritmeettinen funktio, joka voidaan esittää täydellisesti multiplikatiivisen funktion ja täydellisesti multiplikatiivisen funktion käänteisfunktion Dirichlet n konvoluutiona. Tutkielman loppupuolella esitellään ja kootaan yhteen totienttien ominaisuuksia sekä välttämättömiä ja riittäviä ehtoja sille, että aritmeettinen funktio on totientti. Tällaiset ehdot tunnetaan totienttien karakterisointeina. Tutkielman loppupuolella esitellään myös yksi uusi totienttien karakterisointi. Asiasanat: Aritmeettiset funktiot, multiplikatiiviset funktiot, totientit, täydellisesti multiplikatiiviset funktiot

3 Sisältö Johdanto 1 1 Aritmeettisten funktioiden peruskäsitteitä Määritelmä ja esimerkkejä Dirichlet n konvoluutio Käänteisfunktiot Dirichlet n konvoluution suhteen Multiplikatiivisuus Multiplikatiivisuuden määritelmä Multiplikatiivisten funktioiden ominaisuuksia Käänteisfunktion multiplikatiivisuus Möbiuksen funktion multiplikatiivisuus Dirichlet n konvoluution multiplikatiivisuus Eulerin funktion multiplikatiivisuus Täydellisesti multiplikatiiviset funktiot Täydellisesti multiplikatiivisten funktioiden karakterisointeja ja ominaisuuksia I Täydellisesti multiplikatiivisen funktion käänteisfunktio Täydellisesti multiplikatiivisten funktioiden karakterisointeja ja ominaisuuksia II Aritmeettisen funktion Bellin sarja Totientit Totientin määritelmä ja esimerkkejä Totienttien karakterisointeja ja ominaisuuksia Viitteet 99 i

4 Johdanto Tämä tutkielma käsittelee aritmeettisia funktioita ja niiden ominaisuuksia sekä tiettyjä aritmeettisia funktioita, joita kutsutaan totienteiksi. Tutkielma jakautuu kahteen osaan. Ensimmäisen osan muodostavat luvut 1 ja 2 ja toisen osan muodostaa luku 3. Ensimmäisen osan tarkoitus on esitellä monipuolisesti aritmeettisia funktioita ja niiden ominaisuuksia sekä antaa apuvälineitä toisen osan tulosten käsittelyyn. Toisessa osassa keskitytään pääasiassa edellä mainittujen totienttien karakterisointeihin. Totientin karakterisointi tarkoittaa välttämätöntä ja riittävää ehtoa sille, että aritmeettinen funktio on totientti. Luvussa 1 esitellään aritmeettisen funktion määritelmä ja muutamia tunnetuimpia aritmeettisia funktioita. Lisäksi tutustutaan aritmeettisten funktioiden ja tutkielman jatkon kannalta tärkeisiin käsitteisiin, kuten Dirichlet n konvoluutioon ja funktion käänteisfunktioon tämän konvoluution suhteen. Luku 2 keskittyy ehkä tärkeimpään aritmeettisten funktioiden luokkaan eli multiplikatiivisiin funktioihin. Pykälässä 2.1 esitellään multiplikatiivisuuden määritelmä ja muutamia tunnetuimpia multiplikatiivisia funktioita, ja pykälässä 2.2 esitellään laajasti multiplikatiivisten funktioiden ominaisuuksia. Pykälässä 2.3 tutustutaan täydellisesti multiplikatiivisiin funktioihin sekä niiden ominaisuuksiin. Pykälässä 2.4 esitellään aritmeettisille funktioille määritelty muodollinen potenssisarja, joka tunnetaan nimellä Bellin sarja. Luvuissa 1 ja 2 esitellään useita määritelmiä, tuloksia ja esimerkkejä, jotka ovat varsin hyödyllisiä luvussa 3. Tärkeimpinä lähdeteoksina luvuissa 1 ja 2 toimivat Paul J. McCarthyn kirja Introduction to Arithmetical Functions [7] ja Tom M. Apostolin teos Introduction to Analytic Number Theory [1]. Luku 3 vie lukijan tarkastelemaan totientteja. Totientti on aritmeettinen funktio, joka voidaan esittää täydellisesti multiplikatiivisen funktion ja täydellisesti multiplikatiivisen funktion käänteisfunktion Dirichlet n konvoluutiona. Pykälässä 3.1 esitellään totientin määritelmä ja muutamia totientteja sekä huomautuksia totientteihin liittyen. Pykälässä 3.2 esitellään ja käydään läpi lukuisia totienttien karakterisointeja. Lauseessa 3.3 esitellään myös yksi uusi totienttien karakterisointi. Luvun 3 tärkein lähde on Pentti Haukkasen artikkeli Some Characterizations of Totients [4] ja tätä täydentämässä Pentti Haukkasen käsikirjoitus Some Further Characterizations of Totients [5]. Todistusten kannalta tärkeimmät aritmeettisia funktioita koskevat tulokset esitellään tutkielmassa. Lukijan oletetaan hallitsevan lukuteorian perusteet erityisesti jaollisuuteen liittyen sekä algebran ja joukko-opin perusmerkinnät. Lisäksi lukijan tulisi ymmärtää erilaisia matemaattisia todistustekniikoita. 1

5 1 Aritmeettisten funktioiden peruskäsitteitä Tässä luvussa esitellään aritmeettisen funktion määritelmä ja muutamia tunnetuimpia aritmeettisia funktioita. Lisäksi tutustutaan aritmeettisille funktioille määriteltyyn laskutoimitukseen, joka tunnetaan Dirichlet n konvoluutiona tai Dirichlet n tulona. Aritmeettisten funktioiden tutkimuksen kannalta erittäin tärkeä käsite on myös multiplikatiivisuus, mutta tämän käsitteen tärkeyden vuoksi sille on varattu oma lukunsa, jossa siihen keskitytään syvällisemmin. Todettakoon, että kun tekstissä puhutaan luvun n tekijöistä, niin tarkoitetaan luvun n positiivisia tekijöitä. Merkintä P tarkoittaa kaikkien alkulukujen joukkoa ja merkintä N 0 tarkoittaa positiivisten kokonaislukujen joukkoa, johon on liitetty luku 0. Huomautus. Algebran tapojen mukaisesti sovimme, että a 0 kantaluvuilla a C. Siis myös 0 0 = 1. = 1 kaikilla 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Määritelmä 1.1. (Ks. [7, s. 1].) Aritmeettinen funktio on reaaliarvoinen (tai kompleksiarvoinen) funktio, jonka määrittelyjoukko on positiivisten kokonaislukujen joukko. Aritmeettisen funktion (puhutaan myös lukuteoreettisesta funktiosta [1, s. 24]) määritelmä ei siis aseta kovinkaan tarkkoja rajoituksia funktiolle tai sille miten se kuvaa positiivisia kokonaislukuja kompleksiluvuiksi. Jokainen kuvaus positiivisten kokonaislukujen joukolta kompleksilukujen joukkoon on aritmeettinen funktio. Näin ollen, kuten esimerkiksi McCarthyn teoksessa [7, s. 1] todetaan, esimerkkejä tällaisista funktioista voitaisiin määritellä täysin mielivaltaisesti ja niitä olisi tarjolla lukuisia. Esimerkiksi voitaisiin määritellä, että f : Z + C, f(n) = 1 5 (α n β n ), missä α = ja β = α 1. Näin määriteltynä f on funktio, joka kuvaa positiivisia kokonaislukuja kompleksiluvuiksi (tai tarkemmin sanottuna positiivisiksi kokonaisluvuiksi). Siis f on aritmeettinen funktio. 1 1 Näin määriteltynä f kuvaa luvun n Fibonaccin lukujonon n. termiksi [8, s. 28]. 2

6 Koska aritmeettisista funktioista käytetään myös nimitystä lukuteoreettinen funktio, ei liene yllätys, että tunnetuimmat aritmeettiset funktiot kertovat yleensä jotain kuvattavan luvun n ominaisuuksista. Seuraavaksi käydään läpi tällaisia funktioita, jotka ovat jatkon kannalta mielenkiintoisia. Esimerkki 1.1. Eulerin 2 funktio φ kertoo niiden positiivisten kokonaislukujen x määrän, jotka ovat pienempiä tai yhtäsuuria kuin luku n ja suhteellisia alkulukuja tämän kanssa. McCarthy muotoilee Eulerin funktion määritelmän siten, että φ(n) = niiden kokonaislukujen x määrä, joille 1 x n ja (x, n) = 1 kaikilla n Z + [7, s. 1]. Eulerin funktio on yksi tunnetuimmista ja lukuteorian kannalta mielenkiintoisimmista aritmeettisista funktioista. Eulerin funktio tunnetaan myös nimellä Eulerin φ-funktio, Eulerin totienttifunktio tai Eulerin totientti [1, s. 25]. Totienttifunktion määritelmä ja totienttifunktioiden ominaisuuksia esitellään luvussa 3. Esimerkki 1.2. (Ks. [7, s. 1].) Olkoon k N 0. Määritellään funktio σ k siten, että σ k (n) = d k kaikilla n Z +. d n Näin määriteltynä σ k -funktio muodostaa joukon erilaisia aritmeettisia funktioita, sillä sen lauseke riippuu vakiosta k. Tärkeimpiä näistä funktioista ovat σ 1 ja σ 0, ja näille on vakiintuneet omat merkintätapansakin [7, s. 2]. Merkitään σ(n) = σ 1 (n) = d. d n Funktio σ ilmoittaa siis luvun n tekijöiden summan. Lisäksi merkitään τ(n) = σ 0 (n) = d n 1. Funktio τ saa näin ollen arvokseen luvun n tekijöiden lukumäärän. Funktiojoukko σ k tunnetaan myös nimellä tekijäfunktiot [1, s. 38]. Esimerkki 1.3. Toisen tärkeän funktiojoukon muodostavat funktiot N α (α N 0 ), jotka määritellään siten, että N α (n) = n α, kun n Z +. Funktioille N α käytetään myös merkintää ζ α [7, s. 2], mistä saadaankin vakiintunut merkintä tapa N 0 = ζ. Funktiota ζ kutsutaan zeta-funktioksi. Zeta-funktio 2 Leonhard Euler( ) oli sveitsiläinen matemaatikko, jota pidetään eräänä merkittävimmistä matemaatikoista kautta aikain [8, s. 216]. 3

7 saa siis arvokseen luvun 1 kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla n. Toinen vakiintunut merkintätapa on N 1 = N. Tällöin kyseessä on siis funktio, joka kuvaa luvun aina itsekseen. Näillä funktioilla on mielenkiintoisia ominaisuuksia, joita tarkastellaan enemmän, kun tutustutaan muutamiin tärkeisiin aritmeettisten funktioiden käsitteisiin, määritelmiin ja ominaisuuksiin. Jatkossa tutustutaan myös muihin tärkeisiin funktioihin ja niiden ominaisuuksiin. 1.2 Dirichlet n konvoluutio Aritmeettiset funktiot noudattavat luonnollisesti tavallisia funktioiden yhteenlasku- ja tulosääntöjä [7, s. 2] eli ja (f + g)(n) = f(n) + g(n) kaikilla n Z + (fg)(n) = f(n)g(n) kaikilla n Z +. Näiden perussääntöjen lisäksi aritmeettisille funktioille on määritelty monia muitakin laskutoimituksia, joista keskeisin on Dirichlet n konvoluutiona (tai Dirichlet n tulona) tunnettu laskuoperaatio. Määritelmä 1.2. (Ks. [7, s. 2].) Aritmeettisten funktioiden f ja g Dirichlet n 3 konvoluutio f g määritellään lausekkeella (f g)(n) = d n f(d)g( n d ) kaikilla n Z +. Aritmeettisten funktioiden tutkimisessa Dirichlet n konvoluutio on yksi tärkeimmistä työkaluista ja aritmeettisista funktioista paljastuu mielenkiintoisia piirteitä Dirichlet n konvoluution kautta. Esimerkki 1.4. Tarkastellaan funktioiden N k ja ζ Dirichlet n konvoluutiota. Muistetaan, että N k (n) = n k ja ζ(n) = 1. Täten määritelmän 1.2 mukaan (N k ζ)(n) = d n N k (d)ζ( n d ) = d n d k = σ k (n) kaikilla n Z +. Siis σ k = N k ζ ja näin ollen kaksi erillistä funktiojoukkoa σ k ja N α saadaan liitettyä toisiinsa Dirichlet n konvoluution avulla. 3 G. Lejeune Dirichlet ( ) oli saksalainen matemaatikko [8, s. 74]. 4

8 Toinen erittäin mielenkiintoinen esimerkki vastaavasta yhteydestä eri funktioiden välillä saadaan, kun tarkastellaan funktioiden φ ja ζ Dirichlet n konvoluutiota. Esimerkki 1.5. Voidaan osoittaa (katso esimerkiksi [1, s. 26]), että φ(d) = n kaikilla n Z +. (1) d n Kun muistetaan, että ζ(n) = 1 kaikilla n Z +, niin yhtälö (1) saadaan muotoon n = φ(d)ζ( n ) = (φ ζ)(n) d d n kaikilla n Z +. Siis φ ζ = N. Täten Dirichlet n konvoluutio liittää luontevasti toisiinsa nämäkin aritmeettiset funktiot. Dirichlet n konvoluutio on kommutatiivinen ja assosiatiivinen. Lisäksi se on distributiivinen yhteenlaskun suhteen. (Nämä säännöt ovat myös luonnollisesti voimassa aritmeettisten funktioiden tavallisille yhteen- ja kertolaskuille.) Lause 1.1. (Ks. [7, s. 3].) Jos f, g ja h ovat aritmeettisia funktioita, niin a) f g = g f, b) (f g) h = f (g h) ja c) f (g + h) = f g + f h. Todistus. Sivuutetaan. Todistus löytyy esimerkiksi McCarthyn teoksesta [7, s. 3]. Huomautus. Voidaan helposti todistaa induktiota käyttämällä, että lauseen 1.1 tulokset ovat yleistettävissä useamman funktion tapauksiin. Jos siis k Z + ja f, f 1,..., f k sekä g 1,..., g k ovat aritmeettisia funktioita, niin lausekkeeseen f 1 f k voidaan lisätä sulkuja haluttuihin väleihin ja lisäksi f (g g k ) = f g f g k. Esimerkki 1.6. (Vrt. tehtävä 1.60 McCarthyn teoksessa [7, s. 48].) Olkoot f ja g ovat aritmeettisia funktioita. Määritellään aritmeettiset funktiot F ja G siten, että F (n) = d n f(d) ja G(n) = d n g(d) kaikilla n Z +. 5

9 Täten siis F = f ζ ja G = g ζ. Nyt lauseen 1.1 mukaan Dirichlet n konvoluutio on assosiatiivinen ja kommutatiivinen ja täten g F = F g = f ζ g = f g ζ = f G. Jos siis määritellään F ja G kuten edellä, niin f(d)g( n d ) = g(d)f ( n d ) d n d n kaikilla aritmeettisilla funktioilla f ja g. Seuraava aritmeettinen funktio ei funktiona itsessään ole mitenkään kovin mielenkiintoinen, mutta se on Dirichlet n konvoluution kannalta erittäin oleellinen, joten se esitetään määritelmän muodossa. Määritelmä 1.3. (Vrt. [7, s. 4].) Määritellään aritmeettinen funktio δ siten, että { 1, jos n = 1 δ(n) = 0, jos n 1. Lause 1.2. (Ks. [2, s. 28].) Aritmeettinen funktio δ on ykkösfunktio Dirichlet n konvoluution suhteen. Eli jos f on aritmeettinen funktio, niin f δ = δ f = f. Todistus. Sivuutetaan. Todistus löytyy esimerkiksi Pentti Haukkasen luentomonisteesta [2, s. 28]. 1.3 Käänteisfunktiot Dirichlet n konvoluution suhteen Koska funktio δ on ykkösfunktio Dirichlet n konvoluution suhteen, niin on mielekästä tutkia millaiset funktiot ovat kääntyviä Dirichlet n konvoluution suhteen. Eli tutkitaan millaiselle funktiolle f on olemassa sellainen funktio g, että f g = g f = δ. Koska Dirichlet n konvoluutio on kommutatiivinen, riittää tarkastella funktioita g, jotka toteuttavat toisen ehdoista f g = δ tai g f = δ. Jos nyt on olemassa sellaiset funktiot g ja g, että f g = f g = δ, niin tällöin Dirichlet n konvoluution assosiatiivisuuden ja funktion g määrittelyn mukaan [7, s. 4] g = δ g = (g f) g = g (f g) = g δ = g. 6

10 Ehdon f g = δ toteuttava funktio g on siis yksikäsitteinen. Täten todetaan, että jos f on kääntyvä Dirichlet n konvoluution suhteen eli tällainen g on olemassa, niin funktiota g kutsutaan funktion f käänteisfunktioksi Dirichlet n konvoluution suhteen ja siitä käytetään merkintää f 1 [7, s. 4]. On selvää, että kaikilla aritmeettisilla funktioilla ei ole tällaista käänteisfunktiota Dirichlet n konvoluution suhteen. Jos ajatellaan esimerkiksi funktiota f(n) = 0 kaikilla n Z +, niin (f g)(1) = d 1 f(d)g( 1 d ) = 0 δ(1) kaikilla aritmeettisilla funktioilla g. Seuraava lause antaa välttämättömän ja riittävän ehdon sille, milloin aritmeettisella funktiolla on käänteisfunktio Dirichlet n konvoluution suhteen Lause 1.3. Aritmeettisella funktiolla f on käänteisfunktio Dirichlet n konvoluution suhteen, jos ja vain jos f(1) 0. Todistus.(Vrt. [7, s. 4].) Oletetaan ensin, että aritmeettisella funktiolla f on käänteisfunktio Dirichlet n konvoluution suhteen. Tällöin 1 = δ(1) = (f f 1 )(1) = d 1 f(d)f 1 ( 1 d ) = f(1)f 1 (1). Tulon nollasäännön mukaan tästä seuraa välittömästi, että f(1) 0. (Ja tietysti myös, että f 1 (1) 0. Onhan f 1 myös kääntyvä.) Oletetaan sitten, että f(1) 0. Olkoon n Z +. Määritellään funktio g rekursiivisesti siten, että g(1) = 1 f(1) ja g(n) = 1 f(1) d n d>1 f(d)g( n ) aina, kun n > 1. d Nyt (f g)(1) = d 1 f(d)g( n f(1) ) = f(1)g(1) = d f(1) = 1. 7

11 Jos taas n > 1, niin (f g)(n) = d n f(d)g( n d ) = f(1)g(n) + d n d>1 = f(1) f(1) d n d>1 f(d)g( n d ) f(d)g( n d ) + d n d>1 = f(d)g( n d ) d n d n d>1 d>1 = 0. f(d)g( n d ) f(d)g( n d ) Siis (f g)(n) = δ(n) kaikilla n Z +. Näin ollen g on funktion f käänteisfunktio Dirichlet n konvoluution suhteen. Huomautus. Todetaan vielä, että edellä esitetyssä todistuksessa johdettiin kaava aritmeettisen funktion f käänteisfunktiolle Dirichlet n konvoluution suhteen. Jos siis n Z +, niin f 1 (1) = 1 f(1) ja f 1 (n) = 1 f(1) d n d>1 f(d)f 1 ( n ) aina, kun n > 1. d Seuraus 1.1. Oletetaan, että f ja g ovat aritmeettisia funktioita ja h = f g. Tällöin h on kääntyvä Dirichlet n konvoluution suhteen, jos ja vain jos f ja g ovat kääntyviä Dirichlet n konvoluution suhteen. Lisäksi tällöin h 1 = f 1 g 1. Todistus. Oletetaan, että h on kääntyvä Dirichlet n konvoluution suhteen. Tällöin lauseen 1.3 mukaan h(1) 0. Siis (f g)(1) = d 1 f(d)g( n ) = f(1)g(1) 0. d Tulon nollasäännön mukaan tästä seuraa välittömästi, että f(1) 0 ja g(1) 0. Näin ollen lauseen 1.3 mukaan f ja g ovat kääntyviä Dirichlet n konvoluution suhteen. Jos taas oletetaan, että f(1) 0 ja g(1) 0, niin selvästi myös (f g)(1) = f(1)g(1) 0. Siis h(1) 0 ja täten h on kääntyvä. 8

12 Oletetaan vielä, että h on kääntyvä. On jo siis todistettu, että tällöin myös f ja g ovat kääntyviä. Nyt assosiatiivisuuden ja kommutatiivisuuden perusteella todetaan, että (f g) (f 1 g 1 ) = f g g 1 f 1 = f δ f 1 = f f 1 = δ. Siis h 1 = f 1 g 1. Huomautus. Olkoon k Z + ja olkoot f 1,..., f k aritmeettisia funktioita. On melko triviaalia, että jos h = f 1 f k, niin tällöin h on kääntyvä, jos ja vain jos f 1,..., f k ovat kääntyviä, ja lisäksi tällöin h 1 = f1 1 f 1 k kaikilla k Z +. Tämä tulos voidaan helposti todistaa induktiolla luvun k suhteen. Lauseen 1.3 perusteella voidaan todeta, että esimerkiksi Eulerin funktio φ on kääntyvä, sillä φ(1) 0. Myös kaikki funktiot σ k ja N α ovat kääntyviä. Tarkastellaan nyt yhtä näistä käänteisfunktioista. Esimerkki 1.7. (Vrt. [7, s. 5].) Funktio ζ on siis kääntyvä ja sen käänteisfunktiota Dirichlet n konvoluution suhteen kutsutaan Möbiuksen 4 funktioksi. Möbiuksen funktiosta käytetään vakiintunutta merkintää µ. Koska µ ζ = δ, Möbiuksen funktiolle saadaan seuraava määrittelevä ominaisuus. Jos n Z +, niin (µ ζ)(n) = µ(d)ζ( n d ) = { 1, jos n = 1 µ(d) = 0, jos n 1. d n d n Tästä lausekkeesta saadaan ratkaistua funktiolle µ arvoja seuraavasti. Jos n = 1, niin 1 = µ(d) = µ(1). d 1 Kun taas n on alkuluku p, 0 = d p µ(d) = µ(1) + µ(p) = 1 + µ(p), mistä seuraa, että µ(p) = 1. Jos taas α Z + ja α 2, niin µ(p α ) = 0. Tämä tulos seuraa induktiivisesti funktion µ arvoista µ(1) = 0 ja µ(p) = 1 sekä funktion µ määrittelevästä ominaisuudesta. Olkoon α = 2. Tällöin 0 = d p 2 µ(d) = µ(1) + µ(p) + µ(p 2 ) = µ(p 2 ) 4 August Ferdinand Möbius ( ) oli saksalainen matemaatikko. Möbius tunnettaan nykyään ehkä parhaiten keksimänsä yksipuolisen pinnan ansiosta. Tämä pinta tunnetaan nimellä Möbiuksen nauha [8, s. 252]. 9

13 eli µ(p α ) = 0, kun α = 2. Tehdään induktio-oletus, että µ(p α ) = 0, kun α = k 2. Nyt induktio-oletuksen mukaan 0 = d p k+1 µ(d) = µ(1) + µ(p) + + µ(p k ) + µ(p k+1 ) = µ(p k+1 ). Siis µ(p α ) = 0 aina, kun α Z + ja α 2. Nyt siis on määritetty funktion µ arvot, kun n = 1 tai n = p α, missä α Z +. Tarkemmin funktion µ arvoihin päästään käsiksi seuraavassa luvussa, kun määritellään aritmeettisen funktion multiplikatiivisuus. Jos yhdistetään aritmeettinen funktio g funktion ζ kanssa käyttämällä Dirichlet n konvoluutiota (vrt.esimerkki 1.6), niin saadaan funktio f, jonka ominaisuuksiin päästään nyt helposti käsiksi, jos funktion g ominaisuudet ovat tunnettuja. Toisaalta tämä toimii myös kääntäen. Jos funktion f ominaisuudet ovat tunnettuja ja f = g ζ, niin funktion g ominaisuuksiin päästään käsiksi Möbiuksen funktiota apuna käyttäen. Tämä tulos tunnetaan nimellä Möbiuksen käänteiskaava. Lause 1.4. Jos f ja g ovat aritmeettisia funktioita, niin f(n) = d n g(d), (2) jos ja vain jos g(n) = d n f(d)µ( n ). (3) d Todistus.(Vrt. [1, s. 32].) Olkoot f ja g aritmeettisia funktioita siten, että yhtälö (2) on voimassa. Toisin sanoen siis f = g ζ. Muistetaan, että ζ µ = µ ζ = δ. Suoritetaan Dirichlet n konvoluutio funktion µ ja yhtälön (2) molempien puolien kanssa. Näin saadaan assosiatiivisuuden perusteella yhtälö f µ = g, joka on sama kuin yhtälö (3). Jos taas oletamme, että yhtälö (3) on voimassa, niin suorittamalla Dirichlet n konvoluutio puolittain ζ-funktion kanssa saadaan yhtälö (3) muotoon g ζ = f, joka siis on sama kuin yhtälö (2). Esimerkki 1.8. (Ks. [7, s. 6].) Esimerkin 1.4 mukaan σ k (n) = d n N k (d). Täten Möbiuksen käänteiskaavan perusteella voidaan todeta, että n k = N k (n) = d n σ k (d)µ( n d ) kaikilla n Z +. 10

14 Möbiuksen käänteiskaavan avulla päästään käsiksi myös Eulerin funktion φ lausekkeeseen. Tämä funktiohan määriteltiin siten, että φ(n) = niiden kokonaislukujen x määrä, joille 1 x n ja (x, n) = 1 kaikilla n Z +. Tällaisten lukujen x löytäminen saattaa olla hyvinkin työlästä, mutta Möbiuksen käänteiskaavan avulla saadaan lauseke funktiolle φ, mikä helpottaa huomattavasti funktion φ arvon määrittämistä. Esimerkki 1.9. (Vrt. [7, s. 7].) Esimerkin 1.5 ja Dirichlet n konvoluution kommutatiivisuuden perusteella N(n) = n = d n φ(d) kaikilla n Z +. Möbiuksen käänteiskaavan perusteella tästä seuraa, että φ(n) = (N µ)(n) = d n N(d)µ( n d ) = d n dµ( n d ) kaikilla n Z +. Koska Möbiuksen funktion µ arvoja ei vielä tässä vaiheessa tunneta kovinkaan tarkasti, tämä kaava ei vielä anna kaikkia funktion φ arvoja, mutta sen arvot voidaan määrittää kaikille alkuluvuille ja näiden potensseille. Olkoot p alkuluku ja α Z +. Tällöin φ(p α ) = d p α dµ( pα d ). Tämä kaava sievenee muotoon ( φ(p α ) = p α µ(1) + p α 1 µ(p) = p α p α 1 = p α 1 1 ), p kun muistetaan, että µ(p α ) = 0 kaikilla α 2. Myös funktion φ arvot päästään määrittelemään tarkemmin seuraavassa luvussa, kun määritellään aritmeettisen funktion multiplikatiivisuus. Luvussa 1 esitellyt aritmeettiset funktiot ja niitä koskevat tulokset tulevat jatkossa olemaan edelleen tärkeässä asemassa ja funktioiden ominaisuuksiin tutustutaan lisää, kun saadaan enemmän välineitä niiden tutkimiseen. 11

15 2 Multiplikatiivisuus Tässä luvussa määritellään aritmeettisten funktioiden tutkimisen kannalta erittäin tärkeä funktion ominaisuus: multiplikatiivisuus. Funktiota, jolla tämä ominaisuus on, kutsutaan multiplikatiiviseksi funktioksi tai tällaisen funktion sanotaan olevan multiplikatiivinen. Lisäksi tässä luvussa tutustutaan multiplikatiivisten funktioiden ominaisuuksiin ja syvennetään tietoja ensimmäisessä luvussa esitellyistä funktioista. Tämän lisäksi määritellään käsite täydellisesti multiplikatiivinen funktio ja tutustutaan myös tällaisten funktioiden ominaisuuksiin. 2.1 Multiplikatiivisuuden määritelmä Määritelmä 2.1. (Ks. [7, s. 7].) Aritmeettinen funktio f on multiplikatiivinen, jos f(n) 0 jollain n Z + ja jos f(mn) = f(m)f(n) kaikilla m, n Z +, joilla (m, n) = 1. Multiplikatiiviset funktiot muodostavat tärkeän joukon aritmeettisia funktioita. Niillä on usein erittäin mielenkiintoisia ominaisuuksia ja näiden ominaisuuksien tutkimista helpottaa nimenomaan funktioiden multiplikatiivisuus. Täten ei ole yllättävää, että tunnetuimmat (ja täten myös tutkituimmat) aritmeettiset funktiot, kuten φ ja µ, ovat myös multiplikatiivisia. Esimerkki 2.1. (Vrt. [1, s. 33].) Olkoot m, n Z + ja olkoon (m, n) = 1. Tällöin N k (mn) = (mn) k = m k n k = N k (m)n k (n) kaikilla k Z. Lisäksi esimerkiksi N k (1) = 1 kaikilla k Z. Täten N k on multiplikatiivinen kaikilla k Z. Huomautus. Oletus (m, n) = 1 on sinällään tarpeeton edellisessä esimerkissä, mutta koska tutkittiin funktion multiplikatiivisuutta, niin oletus lisättiin, jotta määritelmän mukaiset ehdot täyttyisivät. Funktio N k on esimerkki täydellisesti multiplikatiivisesta funktiosta, joita käsitellään myöhemmin. Esimerkki 2.2. (Vrt. [1, s. 34].) Olkoot m ja n kuten edellisessä esimerkissä. Jos m = n = 1, niin δ(mn) = 1 = δ(m)δ(n), ja jos m 1 tai n 1, niin δ(mn) = 0 = δ(m)δ(n). 12

16 Siis ykkösfunktio δ on multiplikatiivinen. Jälleen huomataan, että oletus (m, n) = 1 on sinällään tarpeeton. 2.2 Multiplikatiivisten funktioiden ominaisuuksia Lause 2.1. Jos f on multiplikatiivinen funktio, niin f(1) = 1. Todistus.(Vrt. [1, s. 34].) Olkoon f multiplikatiivinen funktio. Tällöin määritelmän mukaan f ei ole identtisesti nolla eli on olemassa sellainen n Z +, että f(n) 0. Koska f on multiplikatiivinen ja (1, m) = 1 kaikilla m Z +, niin f(n) = f(n1) = f(n)f(1). Kun jaetaan yhtälö puolittain luvulla f(n), niin todetaan, että f(1) = 1. Esimerkki 2.3. (Ks. [1, s. 34].) Jos f ja g ovat multiplikatiivisia funktioita, niin lauseen 2.1 mukaan (fg)(1) = f(1)g(1) = 1. Siis fg ei ole identtisesti nolla. Jos m, n Z + ja (m, n) = 1, niin (fg)(mn) = f(mn)g(mn) = f(m)g(m)f(n)g(n) = (fg)(m)(fg)(n). Täten siis myös fg on multiplikatiivinen. Jos oletetaan, että g(n) 0 kaikilla n Z +, ja määritellään funktioiden f ja g osamäärä siten, että ( f f(n) )(n) = g g(n), niin voidaan todeta, että multiplikatiivisuus periytyy myös aritmeettisten funktioiden osamäärälle. Kuten jo aiemmin mainittiin, multiplikatiivisten funktioiden ominaisuuksien tutkimista helpottaa nimenomaan multiplikatiivisuusominaisuus eli se, että f(mn) = f(m)f(n) kaikilla m, n Z +, joilla (m, n) = 1. Tämän ominaisuuden ansiosta arvoon f(n) päästään luvun n alkulukutekijöiden kautta helpommin käsiksi kuin ei-multiplikatiivisilla funktioilla. Huomautus. Merkintä n = p P p n(p) = p n p n(p) 13

17 tarkoittaa luvun n kanonista esitystä, missä siis luku n(p) on alkulukua p vastaava eksponentti luvun n kanonisessa esityksessä. Huomataan, että jos n = 1, niin n(p) = 0 kaikilla p P. Todetaan edelleen, että jos n = 1, niin jälkimmäisessä tulomuodossa kyseessä on tyhjä tulo, joka määritellään yhtäsuureksi kuin 1. Lause 2.2. (Vrt. [7, s. 8].) Olkoon f aritmeettinen funktio. Tällöin f on multiplikatiivinen, jos ja vain jos f ei ole identtisesti nolla ja f(n) = p P f(p n(p) ) kaikilla n Z +. (4) Todistus. Olkoon f aritmeettinen funktio. Oletetaan, että f on multiplikatiivinen. Olkoon n Z +. Koska (p, q) = 1 kaikilla alkuluvuilla p q, niin täten f(n) = f( p n(p) ) = f(p n(p) ). p P p P Siis (4) on voimassa. Oletetaan sitten, että f ei ole identtisesti nolla ja että yhtälö (4) on voimassa. Olkoot m, n Z + ja olkoon m = p P p m(p) luvun m kanoninen esitys. Oletetaan, että (m, n) = 1. Jos siis n(p) 0, niin m(p) = 0. Huomataan, että (mn)(p) = m(p)+n(p). Mutta koska (m, n) = 1, niin m(p) + n(p) = m(p) tai m(p) + n(p) = n(p). Täten f(mn) = f( p P p mn(p) ) = p P f(p m(p)+n(p) ) = p P f(p m(p) ) p P f(p n(p) ). Nyt viimeisestä muodosta seuraa yhtälön (4) mukaan, että f(mn) = f(m)f(n). Siis f on multiplikatiivinen. Huomautus. Lauseen 2.1 perusteella yhtälö (4) lauseessa 2.2 voidaan esittää myös muodossa f(n) = f(p n(p) ), p n missä merkinnällä p n tarkoitetaan nimenomaan luvun n alkulukutekijöitä p. Sillä jos p n, niin n(p) = 0 ja tällöin f(p n(p) ) = 1 ja täten kyseinen alkuluku 14

18 ei vaikuta yhtälön (4) tulolausekkeeseen. Jos siis p n ainakin yhdellä p P, niin f(p n(p) ) = f(p n(p) ). p P p n Lisäksi jos n = 1, niin edellisen yhtälön vasen puoli on tyhjä tulo ja oikea puoli on lauseen 2.1 perusteella yhtäsuuri kuin 1. Siis edellinen yhtälö pitää paikkansa kaikilla n Z +. Lause 2.2 on tärkeä tulos tutkittaessa multiplikatiivisten funktioiden ominaisuuksia. Multiplikatiivisen funktion arvot määräytyvät täysin sen alkulukujen potensseilla saamien arvojen mukaan. Vaikka multiplikatiivisuusominaisuus f(mn) = f(m)f(n) edellyttää, että (m, n) = 1, voidaan tiettyjen hieman vastaavien ominaisuuksien osoittaa pitävän paikkansa luvuista m ja n riippumatta. Esimerkki 2.4. (Vrt. tehtävä 1.9 McCarthyn teoksessa [7, s. 30].) Osoitetaan, että aritmeettinen funktio f, jolla f(1) = 1, on multiplikatiivinen, jos ja vain jos f(m)f(n) = f((m, n))f([m, n]) kaikilla m, n Z +. (5) (Missä siis [m, n] tarkoittaa lukujen m ja n pienintä yhteistä jaettavaa.) Ratkaisu. Todetaan alkuun, että jos m, n Z + ja jos niiden kanoniset esitykset ovat m = p m(p) ja n = p n(p), p P p P niin vastaavasti lukujen (m, n) ja [m, n] kanoniset esitykset ovat (m, n) = p P p (m,n)(p) ja [m, n] = p P p [m,n](p), missä (m, n)(p) = min{m(p), n(p)} ja [m, n](p) = max{m(p), n(p)} kaikilla p P. Olkoon f aritmeettinen funktio siten, että f(1) = 1. Oletetaan, että f on multiplikatiivinen. Olkoot m, n Z +. Tällöin lauseen 2.2 mukaan f(m)f(n) = p P f(p m(p) ) p P f(p n(p) ) = p P f(p m(p) )f(p n(p) ). 15

19 Huomataan, että min{m(p), n(p)} = m(p), jos ja vain jos max{m(p), n(p)} = n(p) kaikilla p P. Täten f(m)f(n) = p P f(p min{m(p),n(p)} )f(p max{m(p),n(p)} ) Siis yhtälö (5) on voimassa. = p P f(p (m,n)(p) )f(p [m,n](p) ) = f(p (m,n)(p) ) f(p [m,n](p) ) p P p P = f((m, n))f([m, n]). Oletetaan sitten, että yhtälö (5) on voimassa. Olkoot m, n Z + siten, että (m, n) = 1. Tällöin [m, n] = mn. Tästä ja oletuksesta f(1) = 1 seuraa, että f(m)f(n) = f((m, n))f([m, n]) = f(1)f(mn) = f(mn). Siis f on multiplikatiivinen. Esimerkki 2.5. (Vrt. tehtävä 1.10 McCarthyn teoksessa [7, s. 31].) Olkoon f aritmeettinen funktio siten, että f(1) 0. Osoitetaan, että f on multiplikatiivinen, jos ja vain jos [m, n] f( [d, e] ) = f(m d )f(n e ) (6) kaikilla m, n Z + ja kaikilla luvun m tekijöillä d sekä luvun n tekijöillä e, joilla (d, e) = (m, n). Ratkaisu. Oletetaan, että f on multiplikatiivinen. Olkoot m, n Z + ja olkoon d luvun m tekijä ja e luvun n tekijä siten, että (d, e) = (m, n). Huomataan, että tällöin f( Tässä vaiheessa on hyvä todeta, että [m, n] n](m, n) ) = f([m, [d, e] [d, e](d, e) ) = f(mn de ). (d, e) = (m, n) p min{d(p),e(p)} = p P p P min{d(p), e(p)} = min{m(p), n(p)} kaikilla p P. p min{m(p),n(p)} Olkoon p mielivaltainen alkuluku. Osoitetaan, että jos min{m(p), n(p)} = m(p), niin m(p) = d(p). Olkoon min{m(p), n(p)} = m(p). Tällöin oletuksen 16

20 (d, e) = (m, n) mukaan myös min{d(p), e(p)} = m(p) ja oletuksen d m mukaan d(p) m(p). Siis d(p) min{d(p), e(p)}, missä selvästikin yhtäsuuruus on ainoa mahdollinen vaihtoehto. Siis d(p) = min{d(p), e(p)} = m(p). Vastaavasti voidaan osoittaa, että jos min{m(p), n(p)} = n(p), niin n(p) = e(p). Kun siis m(p) n(p), niin m(p) d(p) = 0. Ja kun n(p) m(p), niin n(p) e(p) = 0. Koska jompi kumpi ehdoista m(p) n(p) ja n(p) m(p) on varmasti voimassa ja koska m(p) d(p) 0 ja n(p) e(p) 0, niin min{m(p) d(p), n(p) e(p)} = 0. Edellisen tarkastelun perusteella voidaan todeta, että ( m d, n e ) = p P p min{m(p) d(p),n(p) e(p)} = p P p 0 = 1. Koska f on multiplikatiivinen, niin [m, n] f( [d, e] ) = f(mn de ) = f(m d n e ) = f(m d )f(n e ). Oletetaan sitten, että väitteen jälkimmäinen puolisko pitää paikkansa ja olkoot m, n Z + siten, että (m, n) = 1. Tällöin yhtälö (6) on voimassa kaikilla d m ja e n, joilla (d, e) = (m, n) = 1. Erityisesti yhtälö (6) on voimassa, kun d = e = 1. Koska (m, n) = 1, niin [m, n] = mn. Täten f(m)f(n) = f( m 1 )f(n 1 n] ) = f([m, ) = f([m, n]) = f(mn). [1, 1] Koska lisäksi oletuksen mukaan f(1) 0, niin f ei ole identtisesti nolla. Siis f on multiplikatiivinen Käänteisfunktion multiplikatiivisuus Todetaan, että lauseen 1.3 mukaan lauseesta 2.1 seuraa, että jokainen multiplikatiivinen funktio on kääntyvä Dirichlet n konvoluution suhteen. Huomautus. Lauseen 2.1 perusteella sivulla 8 esitetty käänteisfunktion kaava on hieman yksinkertaisempi multiplikatiivisilla funktioilla. Jos f on multiplikatiivinen, niin f 1 (1) = 1 ja f 1 (n) = d n d>1 f(d)f 1 ( n d ) kaikilla n Z +. Kaavasta seuraa välittömästi, että jos p P, niin f 1 (p) = f(p). 17

21 Kuten multiplikatiivisten funktioiden tulolle ja osamäärälle, multiplikatiivisuus on periytyvä ominaisuus myös sen käänteisfunktiolle Dirichlet n konvoluution suhteen. Lause 2.3. (Ks. [7, s. 8].) Jos aritmeettinen funktio f on multiplikatiivinen, niin f 1 on myös multiplikatiivinen. Todistus. Sivuutetaan. Todistus löytyy esimerkiksi McCarthyn teoksesta [7, s. 8]. Esimerkki 2.6. (Vrt. tehtävä 1.13 McCarthyn teoksessa [7, s. 31].) Olkoon f multiplikatiivinen funktio ja n Z +. Osoitetaan, että jos m n, m > 1 ja (m, n ) = 1, niin m f(d)f 1 ( n d ) = 0. d m Ratkaisu. Oletetaan, että m n, m > 1 ja (m, n ) = 1. Koska m n, on olemassa k Z + siten, että n = mk eli k = n. Tällöin (m, k) = 1 ja edelleen m m, k) = 1 kaikilla d m. Täten ( m d f(d)f 1 ( n d ) = d m d m f(d)f 1 ( mk d ) = f(d)f 1 ( m d k). d m Lauseen 2.3 mukaan f 1 on multiplikatiivinen ja täten kaikilla d m. Siis f 1 ( m d k) = f 1 ( m d )f 1 (k) f(d)f 1 ( n d ) = f(d)f 1 ( m d )f 1 (k) d m d m = f 1 (k) d m f(d)f 1 ( m d ) = f 1 (k)(f f 1 )(m) = f 1 (k)δ(m). Koska oletuksen mukaan m > 1, niin δ(m) = 0. Siis väite pitää paikkansa. 18

22 2.2.2 Möbiuksen funktion multiplikatiivisuus Koska esimerkin 2.1 mukaan funktio N k on multiplikatiivinen kaikilla k Z, niin erityisesti se on multiplikatiivinen silloin, kun k = 0. Siis zeta-funktio on multiplikatiivinen. Koska Möbiuksen funktio määriteltiin siten, että µ = ζ 1, niin lauseen 2.3 mukaan µ on multiplikatiivinen [7, s. 9]. Sivuilla 9 ja 10 todetaan, että µ(1) = 1 ja { 1, jos α = 1 µ(p α ) = 0, jos α > 1, kun p P ja α Z +. Täten lauseen 2.2 mukaan 1, jos n = 1 µ(n) = ( 1) t, jos n on t:n erisuuren alkuluvun tulo 0 muulloin. McCarthyn teoksessa [7, s. 10] µ määritellään kuten edellä ζ-funktion kautta. Funktion µ merkittävyyttä kuvastaa se, että useissa teksteissä (vrt. esimerkiksi [1, s. 24] tai [2, s. 31]) sen arvot määritellään suoraan. Esitetään seuraavaksi hieman esimerkkejä funktion µ ominaisuuksista. Esimerkki 2.7. Olkoon funktio f multiplikatiivinen. Tarkastellaan funktion µf arvoja. Esimerkin 2.3 mukaan µf on multiplikatiivinen. Edellä esitettyjen funktion µ arvojen perusteella 1, jos n = 1 (µf)(n) = ( 1) t f(p 1 ) f(p t ), jos n on t:n erisuuren alkuluvun tulo 0 muulloin. Esimerkki 2.8. (Vrt. tehtävä 1.8 McCarthyn teoksessa [7, s. 30].) Osoitetaan, että jos f on multiplikatiivinen, niin (µf ζ)(n) = d n µ(d)f(d) = p n (1 f(p)) kaikilla n Z +. Ratkaisu. Selvästi (µf ζ)(n) = d n µ(d)f(d) kaikilla n Z + ja kaikilla aritmeettisilla funktioilla f. Olkoon f multiplikatiivinen. Jos n = 1, niin µ(d)f(d) = µ(1)f(1) = 1 = (1 f(p)). d n p n 19

23 Osoitetaan sitten, että väite pätee, kun n > 1, soveltamalla induktiota luvun n alkulukutekijöiden lukumäärän suhteen. Olkoon n = p α. Nyt esimerkin 2.7 mukaan µ(d)f(d) = µ(1)f(1) + µ(p)f(p) = 1 f(p) = (1 f(p)). d p α p p α Olkoon p i P ja a i Z + kaikilla i Z +. Oletetaan, että väite pätee, kun n = p a 1 1 p a k k, missä k Z +. Olkoon n = p a 1 1 p a k k qa, missä q P, a Z + ja q p i kaikilla i {1,..., k}. Huomataan, että jos d n, niin (d, q) = 1. q a Täten (1 f(p)) = (1 f(q)) (1 f(p)) p n p p a 1 1 pa k k = (1 + µ(q)f(q)) µ(d)f(d) d n q a = µ(d)f(d) + µ(qd)f(qd). d n q a d n q a Viimeisen rivin ensimmäisessä summalausekkeessa kaikki tekijät d ovat muotoa d = p b 1 1 p b k k ja jälkimmäinen voidaan kirjoittaa esimerkin 2.7 mukaan uudestaan muodossa d n q a µ(qd)f(qd) + µ(q 2 d)f(q 2 d) + + µ(q a d)f(q a d) = d n q a 0<c a µ(dq c )f(dq c ). Täten p n (1 f(p)) = d n q a c=0 µ(dq c )f(dq c ) + d n q a 0<c a = µ(dq c )f(dq c ). d n q a 0 c a µ(dq c )f(dq c ) Merkitään dq c = e, missä d n ja 0 c a. Huomataan, että luku e käy läpi q a kaikki luvun n tekijät ja näin ollen (1 f(p)) = µ(e)f(e). p n e n Täten induktioperiaatteen mukaan alkuperäinen väite seuraa. 20

24 Jos nyt edellisessä esimerkissä f = µ, niin päädytään mielenkiintoiseen identiteettiin µ 2 (d) = (1 µ(p)) = 2 = 2 t, d n p n p n missä t on luvun n alkulukutekijöiden lukumäärä. Möbiuksen funktio µ tulee olemaan myös jatkossa erittäin tärkeä väline. Varsinkin kun tutkitaan täydellisesti multiplikatiivisten funktioiden ja totienttien ominaisuuksia Dirichlet n konvoluution multiplikatiivisuus Lause 2.4. (Ks. [1, s. 35].) Jos f ja g ovat multiplikatiivisia funktioita, niin f g on myös multiplikatiivinen. Todistus. Sivuutetaan. Todistus löytyy esimerkiksi Apostolin teoksesta [1, s. 35]. Huomautus. Lauseesta 2.4 seuraa välittömästi, että jos g 1,..., g k ovat multiplikatiivisia funktioita, niin f = g 1 g k on multiplikatiivinen funktio. Huomautus. Esimerkin 2.8 tulos olisi erittäin helppo todistaa käyttämällä hyväksi lausetta 2.4. (Vrt. [1, s. 37].) Nyt lauseista 2.3 ja 2.4 saadaan välittömästi seuraava tulos. Lause 2.5. (Ks. [1, s. 35].) Jos funktiot g ja f g ovat multiplikatiivisia, niin myös f on multiplikatiivinen. Todistus. Koska g on multiplikatiivinen, niin lauseen 2.3 mukaan myös g 1 on multiplikatiivinen. Ja koska f g on multiplikatiivinen, niin assosiatiivisuuden ja lauseen 2.4 mukaan (f g) g 1 = f δ = f on multiplikatiivinen. Esimerkki 2.9. (Vrt. [7, s. 10].) Kuten esimerkissä 1.4 todettiin, niin σ k = N k ζ. Täten lauseen 2.4 mukaan σ k on multiplikatiivinen. Olkoot k, α Z + ja olkoon p P. Tällöin σ k (p α ) = d p α d k = α (p j ) k = j=0 α (p k ) j. j=0 21

25 Nyt kun sovelletaan viimeiseen summalausekkeeseen geometrisen summan kaavaa, niin todetaan, että σ k (p α ) = p(α+1)k 1. p k 1 Täten funktion σ k multiplikatiivisuuden perusteella σ k (n) = p n p (n(p)+1)k 1 p k 1 kaikilla n Z +. Lisäksi todetaan, että σ 0 (p α ) = τ(p α ) = d p α 1 = α + 1 ja täten multiplikatiivisuuden perusteella σ 0 (n) = p n (n(p) + 1) kaikilla n Z +. Lause 2.6. Jos f ja g ovat multiplikatiivisia funktioita, niin (f µg)(n) = p n ( f(p n(p) ) f(p n(p) 1 )g(p) ) kaikilla n Z +. Todistus. Olkoot f ja g multiplikatiivisia funktioita ja olkoon n Z +. Esimerkin 2.3 ja lauseen 2.4 mukaan f µg on multiplikatiivinen. Täten lauseen 2.2 perusteella (f µg)(n) = p n (f µg)(p n(p) ). Tarkastellaan sitten lauseketta (f µg)(p n(p) ). Olkoon n(p) 1. Tällöin esimerkistä 2.7 seuraa, että Täten (f µg)(p n(p) ) = f(d)µg( pn(p) d ) = f(pn(p) ) f(p n(p) 1 )g(p). d p n(p) (f µg)(n) = p n ( f(p n(p) ) f(p n(p) 1 )g(p) ), jos n > 1. 22

26 Jos n = 1, niin edellisen yhtälön oikea puoli on tyhjä tulo eli yhtäsuuri kuin 1 ja lauseen 2.1 mukaan (f µg)(1) = 1. Siis (f µg)(n) = p n ( f(p n(p) ) f(p n(p) 1 )g(p) ) kaikilla n Z +. Huomataan, että esimerkki 2.8 on erikoistapaus lauseesta 2.6, josta saadaan myös muita mielenkiintoisia erikoistapauksia. Esimerkki Olkoon g multiplikatiivinen funktio ja f(n) = d n g(d) kaikilla n Z +. Siis f = g ζ. Tällöin, koska g ja ζ ovat multiplikatiivisia, lauseen 2.4 mukaan myös f on multiplikatiivinen. Nyt käyttämällä Möbiuksen käänteiskaavaa todetaan, että g = f µ = f µζ. Jos siis g on multiplikatiivinen ja f(n) = d n g(d) kaikilla n Z +, niin Möbiuksen käänteiskaavan ja edelleen lauseen 2.6 mukaan g(n) = p n ( f(p n(p) ) f(p n(p) 1 ) ) kaikilla n Z +. Esimerkki (Vrt. tehtävä 25. Apostolin teoksessa [1, s. 49].) Olkoon f multiplikatiivinen. Osoitetaan, että a) f 1 (n) = µ(n)f(n) = (µf)(n) kaikilla neliövapailla n Z + ja b) f 1 (p 2 ) = f(p) 2 f(p 2 ) kaikilla p P. Ratkaisu. a) Olkoon f multiplikatiivinen. Jos n = 1, niin (µf f)(1) = µ(1)f(1)f(1) = 1. Oletetaan, että n Z + on neliövapaa ja n > 1. Tällöin p n jollain p P. Koska f on multiplikatiivinen, niin lauseen 2.6 mukaan (f µf)(n) = p n (f(p n(p) ) f(p n(p) 1 )f(p)). 23

27 Koska n on neliövapaa, niin n(p) = 1 kaikilla p n. Täten (f µf)(n) = p n (f(p) f(1)f(p)) = p n (f(p) f(p)) = 0. Siis (µf f)(n) = δ(n) kaikilla neliövapailla n Z + f 1 (n) = µ(n)f(n) kaikilla neliövapailla n Z +. ja näin ollen b) Olkoon f multiplikatiivinen ja p P. Nyt f 1 (p 2 ) = d p 2 d>1 f(d)f 1 ( p2 d ) = (f(p)f 1 (p) + f(p 2 )f 1 (1)). Huomataan, että f 1 (p) = f(p). Täten f 1 (p 2 ) = ( f(p)f(p) + f(p 2 )) = f(p) 2 f(p 2 ). Huomautus. Esimerkin 2.11 a)-kohdan tulos on itse asiassa voimassa kaikilla n Z +, joilla n(p) = 1 ainakin yhdellä alkuluvulla p n Eulerin funktion multiplikatiivisuus Koska esimerkin 1.9 mukaan φ = N µ, niin Eulerin funktio on myös erikoistapaus lauseesta 2.6. Nyt saadaan viimein määritettyä yleinen lauseke funktion φ arvoille. Esimerkki (Vrt. [7, s. 11].) Lauseen 2.6 mukaan φ(n) = ( N(p n(p) ) N(p n(p) 1 ) ) p n = p n ( p n(p) p n(p) 1) = p n = n p n p n(p) (1 1 p ) ( 1 1 ) p kaikilla n Z +. 24

28 Huomautus. Funktion φ arvot voitaisiin määrittää myös käyttämättä lausetta 2.6. Koska φ = N µ, niin lauseen 2.4 mukaan φ on multiplikatiivinen. Täten arvot saataisiin määritettyä helposti, kun muistetaan (ks. esimerkki 1.9), että ( φ(p α ) = p α 1 1 ). p Eulerin funktio toteuttaa lukuisia identiteettejä. Esimerkki (Vrt. [1, s. 28] ja [8, s. 228].) Olkoot m, n Z +. Eulerin funktio φ toteuttaa seuraavat identiteetit. a) Eulerin funktion arvo φ(mn) = φ(m)φ(n) d, missä d = (m, n). φ(d) b) Jos m n, niin φ(m) φ(n). c) Eulerin funktion arvo φ(n) on parillinen, kun n 3. Lisäksi jos luvulla n on r erillistä paritonta alkulukutekijää, niin 2 r φ(n). d) Eulerin funktion arvo φ(n k ) = n k 1 φ(n) kaikilla k Z + Esimerkin 2.13 kohdat (a),(b) ja (d) todistetaan yleisen totientin tapauksessa luvussa 3 (katso lause 3.12 ja seurauslause 3.4 sekä lause 3.2) ja kohdan (c) todistus löytyy esimerkiksi Apostolin teoksesta [1, s. 28]. Esimerkki (Vrt. luvun 7.1 tehtävä 26 Rosenin teoksessa 5 [8, s. 229].) Osoitetaan, että jos kokonaisluku n > 6, niin φ(n) n. Ratkaisu. Olkoon n Z +. Oletetaan, että n > 6. Todetaan alkuun, että 1 = 1 = φ(1). Todetaan lisäksi, että n 4 n 4 1 n2 4 n n 2 n. (7) Olkoon p P ja α Z +. Jos n = p α > 6, niin luonnollisesti p α 4 ja tällöin tuloksen (7) perusteella pα pα 2 = 1 2 pα p α (1 1 p ) = φ(pα ). (8) Olkoon n = p P p n(p), 5 Rosenin teoksen alkuperäisessä tehtävässä väitetään, että n φ(n) kaikilla n Z +. Voidaan kuitenkin todeta, että 2 > 1 = φ(2) ja (6) > 2 = φ(6). 25

29 missä kaikille p P pätee, että n(p) = 0 tai p n(p) 4. Jos n(p) = 0, niin p n(p) = 1 = φ(p n(p) ). Täten multiplikatiivisuuden ja tuloksen (8) perusteella n = p n(p) = p P p P p n(p) φ(p n(p) ) = φ(n). (9) p P Huomataan, että jos n(p) 0, niin p n(p) 4 kaikilla p 5. Täten siis edellinen tulos on voimassa kaikilla n, joilla n(2) 1 ja n(3) 1. Tarkasteltavaksi jää siis tapaukset, joissa n(2) = 1, sekä tapaukset, joissa n(3) = 1. 1) Olkoot n(2) = 1 ja n(3) = 0. Jos nyt p n ja p 2, niin p 5. Kun n 4, niin tuloksen (7) mukaan 2n n 2. Olkoon p 5. Tällöin tietysti myös p α 4 ja näin ollen 2pα pα 2 < 4 5 pα p α (1 1 p ) = pα (1 1 p )2(1 1 2 ) = φ(2pα ). (10) Koska n > 6, niin luku n voidaan kirjoittaa nyt muodossa n = 2q n(q) m = 2q n(q) p P p m(p), missä q P, n(q) 1, q 5 ja m(2) = m(3) = m(q) = 0. Nyt m täyttää tuloksen (9) ehdot. Siis m φ(m) ja tuloksen (10) mukaan 2q n(q) φ(2q n(q) ). Täten multiplikatiivisuuden perusteella n = 2q n(q) m φ(2q n(q) )φ(m) = φ(n). (11) 2) Olkoot n(2) = 1 ja n(3) = a 2. Huomataan, että 2 3a = 2 3 a < 2 3 a = 2 3 a 2. (12) Koska a 2 2a a 2 2a 2 a a 1 a 2, niin tuloksen (12) mukaan 2 3a < 2 3 a 1 = 3 a 2 3 = 3a (1 1 3 ) = φ(3a ) = φ(2)φ(3 a ) = φ(2 3 a ). Koska n > 6, niin luku n voidaan kirjoittaa nyt muodossa n = 2 3 α m = 2 3 α p P p m(p), 26

30 missä a 2 ja m(2) = m(3) = 0. Huomataan, että m täyttää tuloksen (9) ehdot ja tällöin edellä esitetyn sekä multiplikatiivisuuden perusteella n = 2 3a m = 2 3 a m φ(2 3 a )φ(m) = φ(n). (13) 3) Olkoot n(3) = 1 ja n(2) 1. Todetaan, että 3 < 2 = φ(3). Koska n > 6, niin luku n voidaan kirjoittaa nyt muodossa n = 3m = 3 p P p m(p), missä m(3) = 0, m(2) 1 ja m(p) 1 ainakin yhdellä p P. Tällöin m täyttää tuloksen (9) ehdot ja täten multiplikatiivisuuden perusteella n = 3m = 3 m φ(3)φ(m) = φ(n). (14) 4) Olkoot n(2) = n(3) = 1. Koska n > 6, niin luku n voidaan kirjoittaa nyt muodossa n = 2 3m = 2 3 p P p m(p), missä m(2) = m(3) = 0 ja m(p) 1 ainakin yhdellä p P. Täten luku 2m täyttää tuloksen (11) ehdot ja näin ollen 2m φ(2m). Edelleen multiplikatiivisuuden ja edellisen kohdan mukaan mukaan n = 3 2m φ(3)φ(2m) = φ(n). (15) Tuloksista (9), (11), (13), (14) ja (15) seuraa, että väite pitää paikkansa kaikilla n > 6. (Tosiasiassa todistuksessa todetaan myös, että väite pitää paikkansa, kun n = 1, n = 3, n = 4 ja n = 5.) Määritelmä 2.2. (Kts. [2, s. 41].) Olkoot k, n Z +. Jordanin 6 funktio J k määritellään kaavalla J k (n) = {(a 1,..., a k ) : 1 a 1,..., a k n, syt(a 1,..., a k, n) = 1}. Huomautus. Todetaan, että J 1 = φ. Lause 2.7. (Ks. [2, s. 41].) Jordanin funktio toteuttaa kaavan J k = N k µ. 6 Marie Ennemond Camille Jordan ( ) oli ranskalainen matemaatikko [12]. 27

31 Todistus.(Todistuksen rakenne noudattelee Pentti Haukkasen monisteessa [2, s. 41] esitettyä tapauksen k = 1 todistusta.) Olkoot k, n Z +. Jordanin funktion määritelmästä seuraa, että J k (n) = n n a 1 =1 a 2 =1 n δ(syt(a 1,..., a k, n)). a k =1 Koska µ ζ = δ, yhtälö voidaan kirjoittaa uudestaan muodossa J k (n) = n n a 1 =1 a 2 =1 n a k =1 d syt(a 1,...,a k,n) µ(d). Nyt d syt(a 1,..., a k, n), jos ja vain jos d syt(a 1,..., a k 1, n) ja d a k. Täten kahden viimeisen summalausekkeen summausjärjestys voidaan vaihtaa siten, että n n n n J k (n) = µ(d) 1. (16) a 1 =1 a 2 =1 a k 1 =1 d syt(a 1,...,a k 1,n) a k =1 d a k Olkoot m, a Z + ja olkoon 1 a m. Oletetaan, että d m eli m = bd, missä b Z +. Tällöin m 1 = {1d, 2d,..., bd} = b = m d. a=1 d a Täten yhtälö (16) saadaan muotoon J k (n) = n n a 1 =1 a 2 =1 n a k 1 =1 d syt(a 1,...,a k 1,n) µ(d) n d. Taas voidaan todeta, että d syt(a 1,..., a k 1, n), jos ja vain jos d syt(a 1,..., a k 2, n) ja d a k 1. Kahden viimeisen summalausekkeen summausjärjestys voidaan siis vaihtaa kuten aiemmin ja näin todetaan, että J k (n) = = n n a 1 =1 a 2 =1 n n a 1 =1 a 2 =1 n a k 2 =1 d syt(a 1,...,a k 2,n) n a k 2 =1 d syt(a 1,...,a k 2,n) µ(d) n d n a k 1 =1 d a k 1 ( n ) 2 µ(d). d 1 28

32 = n k p n Jatkaen kuten edellä yhtälö saadaan lopulta muotoon J k (n) = n = d n = d n a 1 =1 d (a 1,n) ( n ) k 1 µ(d) d ( n ) k 1 n µ(d) 1 d ( n ) k µ(d) d = (µ N k )(n). a 1 =1 d a 1 Nyt µ N k = N k µ ja näin ollen väite on todistettu. Täten siis J k on multiplikatiivinen funktio kaikilla k Z +. Seuraus 2.1. (Vrt. [7, s ].) Olkoon k Z +. Tällöin J k (n) = n (1 k 1p ) kaikilla n Z k +. p n Todistus. Olkoon k Z +. Nyt lauseen 2.7 mukaan J k = N k µ ja täten lauseen 2.6 mukaan J k (n) = ( N k (p n(p) ) N k (p n(p) 1 ) ) p n = ( p n(p)k p (n(p) 1)k) p n (p n(p)k (1 1p ) ) k = p n (1 1p k ) kaikilla n Z +. Jordanin funktio, kuten Eulerin funktio, toteuttaa lukuisia identiteettejä, joihin päästää helposti käsiksi käyttämällä lausetta 2.7. Voidaan esimerkiksi todeta, että koska J k = N k µ, niin Möbiuksen käänteiskaavan mukaan N k = J k ζ. Eli n k = J k (d). d n 29

33 Esitetään vielä muutama esimerkki siitä, kuinka lauseen 2.6 avulla saadaan muodostettua lausekkeita funktioille, joita saadaan kun yhdistellään edellä esiteltyjä funktioita. Esimerkki Aloitetaan tutkimalla funktiota N k µf, missä k Z ja f on multiplikatiivinen funktio. Lauseen 2.6 mukaan (N k µf)(n) = ( p n(p)k p (n(p) 1)k f(p) ) = p ( (n(p) 1)k p k f(p) ) p n p n kaikilla n Z +. Jos k = 0, niin ollaan esimerkin 2.8 tilanteessa. Huomataan, että edellä esitetyn perusteella { 1, kun n = 1 (N k µn k )(n) = 0, n > 1. Siis (N k ) 1 = µn k. (Tämä tulos pätee yleisesti kaikille täydellisesti multiplikatiivisille funktioille, kuten myöhemmin todetaan kappaleessa ) Määritellään aritmeettinen funktio γ siten, että γ(n) = p n p. Huomataan, että jos n = 1, niin p n p on tyhjä tulo ja täten γ(1) = 1. Oletetaan, että u Z +. Olkoon f = J u. Seurauslauseen 2.1 mukaan J u (p) = p u 1 kaikilla p P. Täten (N u µj u )(n) = p n p (n(p) 1)u (p u p u + 1) = p n p (n(p) 1)u = p n p n(p) 1 u kaikilla n Z +. Huomataan, että viimeisellä rivillä p n(p) 1 = pn(p) p ( ) u ( ) u (N u p n µj u )(n) = pn(p) n p n p = γ(n) ja täten kaikilla n Z +. 30

34 Tarkastellaan vielä tapaus f = µ. Nyt (N k µ 2 )(n) = p ( (n(p) 1)k p k µ(p) ) p n = ( ) p n(p) k ( p k + 1 ) p p n ( ) k n = σ k (p) γ(n) p n ( ) k n = σ k (γ(n)) γ(n) = N k (n) (γ(n)) σ k(γ(n)). k Huomautus. Olkoon k Z +. Esimerkin 2.15 perusteella (N k ) 1 = µn k. Seurauslauseen 1.1, lauseen 2.7 ja esimerkin 2.8 mukaan J 1 k (n) = (µ 1 (N k ) 1 )(n) = (ζ µn k )(n) = ( ) 1 p k p n kaikilla n Z +. Erityisesti φ 1 (n) = p n (1 p) kaikilla n Z +. Esimerkki (Jatkoa esimerkkiin 2.15.) Tutkitaan funktiota J k µf, missä k Z + ja f on multiplikatiivinen funktio. Lauseen 2.6 perusteella voidaan todeta, että (J k µf)(n) = ( Jk (p n(p) ) J k (p n(p) 1 )f(p) ) p n kaikilla n Z +. Jos n(p) = 1, niin J k (p n(p) ) J k (p n(p) 1 )f(p) = p k 1 f(p). Jos taas n(p) > 1, niin seurauslauseen 2.1 mukaan J k (p n(p) ) J k (p n(p) 1 )f(p) = p n(p)k (1 1 p ) k p(n(p) 1)k (1 1 p )f(p) k = p (n(p) 1)k (1 1 p k )(pk f(p)). 31

35 Täten (J k µf)(n) = p n n(p)=1 (p k 1 f(p)) p n n(p)>1 kaikilla n Z +. Olkoon f = J k. Huomataan, että tällöin p k 1 f(p) = p k 1 p k + 1 = 0. p (n(p) 1)k (1 1 p k )(pk f(p)) Jos siis n(p) = 1 jollain p n, niin (J k µj k )(n) = 0. (Tämähän tulikin jo todettua esimerkissä 2.11.) Jos taas n(p) > 1 kaikilla p n, niin (J k µj k )(n) = p n p (n(p) 1)k (1 1 p k )(pk p k + 1) = p n p (n(p) 1)k (1 1 p k ) Siis p n(p) k = (1 1 p p ) k p n p n ( ) k n = (1 1 γ(n) p ) k p n = J k(n) γ(n). k (J k µj k )(n) = { Jk (n), γ(n) k jos n = 1 tai n(p) > 1 kaikilla p n 0 muulloin. Huomautus. Funktio γ tulee olemaan esillä vielä jatkossa. Huomataan myös, että sekin on multiplikatiivinen funktio. 2.3 Täydellisesti multiplikatiiviset funktiot Multiplikatiivisia funktioita tutkittaessa täytyy aina muistaa, että jos funktiota ei sen paremmin tunneta, niin multiplikatiivisuusominaisuuden ei voida olettaa olevan voimassa kaikilla m, n Z +. Tutkielmassa on kuitenkin jo törmätty funktioihin, joilla tämä ominaisuus on voimassa riippumatta siitä millaisia positiivisia kokonaislukuja m ja n ovat. Tällaisia funktioita kutsutaan täydellisesti multiplikatiivisiksi funktioiksi. 32

36 Määritelmä 2.3. (Ks. [7, s. 16].) Aritmeettinen funktio f on täydellisesti multiplikatiivinen, jos f(n) 0 jollain n Z + ja f(mn) = f(m)f(n) kaikilla m, n Z +. Esimerkki Kuten jo aiemmin todettiin, niin N k (mn) = N k (m)n k (n) kaikilla m, n Z + ja kaikilla k Z. Siis N k on täydellisesti multiplikatiivinen kaikilla k Z. Huomautus. Koska täydellisesti multiplikatiiviset funktiot ovat myös multiplikatiivisia, niin kaikki pykälässä 2.2 esitellyt tulokset ovat luonnollisesti voimassa myös täydellisesti multiplikatiivisille funktioille. Täytyy kuitenkin muistaa, että pykälän 2.2 tuloksissa sanaa multiplikatiivinen ei voi automaattisesti korvata sanoilla täydellisesti multiplikatiivinen. Esimerkiksi kahden täydellisesti multiplikatiivisen funktion Dirichlet n konvoluutio ei välttämättä ole täydellisesti multiplikatiivinen [1, s. 35]. Esimerkki Todetaan, että σ = N ζ. Näin ollen σ on kahden täydellisesti multiplikatiivisen funktion Dirichlet n konvoluutio. Funktio σ ei kuitenkaan ole täydellisesti multiplikatiivinen, sillä esimerkiksi σ(2)σ(2) = 9 7 = σ(4) Täydellisesti multiplikatiivisten funktioiden karakterisointeja ja ominaisuuksia I Täydellisesti multiplikatiivisille funktioille on olemassa lukuisia karakterisointeja eli välttämättömiä ja riittäviä ehtoja sille, että aritmeettinen funktio f on täydellisesti multiplikatiivinen. Jatkossa esitellään muutamia näistä karakterisoinnesta. Lisäksi tutkitaan hieman täydellisesti multiplikatiivisten funktioiden ominaisuuksia. Kahden täydellisesti multiplikatiivisen funktion f ja g tulo f g ja osamäärä f/g ovat täydellisesti multiplikatiivisia, aivan kuten kahden multiplikatiivisen funktion tulo ja osamäärä ovat multiplikatiivisia (vrt. esimerkki 2.3 ja [1, s. 34]). Täydellisesti multiplikatiivisen funktion f arvoon f(n) päästään kokonaisluvun n alkulukutekijöiden kautta vielä helpommin käsiksi kuin multiplikatiivisilla funktioilla. Lause 2.8. (Vrt. [1, s. 34].) Aritmeettinen funktio f on täydellisesti multiplikatiivinen, jos ja vain jos se on multiplikatiivinen ja f(p α ) = f(p) α kaikilla p P ja α Z +. 33