802646S LUKUTEORIA B (5op) Tapani Matala-aho

Transkriptio

1 802646S LUKUTEORIA B (5op) Tapani Matala-aho 8. tammikuuta 206

2 Sisältö Johdanto 3 2 Merkintöjä 4 3 Aritmeettiset funktiot 4 3. Valikoituja aritmeettisia funktioita Potenssifunktiot Kertoma Konvoluution identiteetti Eulerin funktio Möbiuksen funktio Tekijäfunktiot Alkutekijäfunktiot Liouvillen funktio Tuloksia Eulerin funktio Möbiuksen funktio Konvoluutiotulo Möbiuksen inversio ja muita sovelluksia Mangoldtin funktio Multiplikatiiviset funktiot Sovelluksia Eräs Möbius-inversion yleistys Derivaatta Bellin sarjat Formaalit sarjat

3 4.2 Bellin sarjat (mod p) Sovelluksia Analyyttisen lukuteorian alkeita Työkaluja Aritmeettisten funktioiden keskiarvoja Tekijäfunktion keskiarvo/tekijäongelma Tekijäfunktion σ(n) keskiarvo Eulerin funktion keskiarvo Möbiuksen funktion keskiarvo Dirichlet n sarjat Formaalit Dirichlet n sarjat Suppenevat Dirichlet n sarjat Riemannin ζ-funktio Formaalista suppenevaan Eulerin tulot Alkulukulause 5 7. Kohti Alkulukulauseen todistusta Vielä zeta-funktiosta 52 2

4 Johdanto LUKUTEORIA, NUMBER THEORY, THÉORIE DES NOMBRES S LUKUTEORIA B (Matematiikan syventävä 5op) Tapani Matala-aho LÄHTEITÄ: T. M. Apostol: Introduction to Analytic Number Theory Pentti Haukkanen: Lukuteoriaa G.H. Hardy E.M. Wright: An Introduction to the Theory of Numbers. K. H. Rosen: Elementary number theory and its applications. Number Theory Web 3

5 2 Merkintöjä Olkoon R-ykkösellinen rengas. Määritelmä 2.. Joukko R = {yksiköt} = {u R u R : uu = } = (2.) on renkaan R yksikköryhmä. Jos R = K-kunta, niin K = K {0}. 3 Aritmeettiset funktiot Olkoon B = ja R kommutatiivinen ykkösellinen rengas. Tällöin kuvaukset f : B R (3.) muodostavat kommutatiivisen ykkösellisen renkaan (F(B, R), +, ), missä (f + g)(x) = f(x) + g(x), x B (3.2) (f g)(x) = f(x)g(x), x B (3.3) määrittelevät kuvausten normaalit yhteenlaskun ja kertolaskun. Lisäksi voidaan määritellä skalaarilla r R kertominen (r f)(x) = rf(x), x B, (3.4) jolloin saadaan algebra-rakenne. Täten sanotaankin, että F(B, R) on funktioalgebra. 4

6 Määritelmä 3.. Kuvaukset f : Z + C (3.5) ovat aritmeettisia funktioita ja A = F(Z +, C) on aritmeettisten funktioiden joukko. 3. Valikoituja aritmeettisia funktioita Olkoon seuraavassa α C ja luvun n Z + alkutekijäkehitelmä. n = p a p a k k, p i P 3.. Potenssifunktiot Määritelmä 3.2. Erityisesti N α (n) = n α n Z +. (3.6) N(n) = n n Z + ; (3.7) N 0 (n) = I(n) = n Z +. (3.8) 3..2 Kertoma Määritelmä 3.3. n n! = k n Z +. (3.9) 5

7 3..3 Konvoluution identiteetti Määritelmä 3.4. e(n) =, jos n = ; = n 0, jos n 2. (3.0) 3..4 Eulerin funktio Määritelmä 3.5. φ(n) = #{k Z + k n, k n} n Z +. (3.) 3..5 Möbiuksen funktio Määritelmä 3.6., jos n = ; μ(n) = ( ) k, jos a =... = a k = ; (3.2) 0, muutoin; 3..6 Tekijäfunktiot Määritelmä 3.7. Tekijäfunktiot σ α (n) = d n d α. (3.3) Tekijäsumma σ(n) = d n d. (3.4) Tekijäfunktio d(n) = σ 0 (n) = d n. (3.5) 6

8 3..7 Alkutekijäfunktiot Määritelmä 3.8. Radikaali jos n = ; rad(n) = p jos n 2; p n (3.6) Pikku omega Iso omega 0 jos n = ; ω(n) = jos n 2; p n 0 jos n = ; Ω(n) = k a j jos n 2; j= (3.7) (3.8) 3..8 Liouvillen funktio Määritelmä 3.9. λ(n) = ( ) Ω(n). (3.9) 3.2 Tuloksia 3.2. Eulerin funktio φ(n) = #{k Z + k n, k n} n Z +. (3.20) Lause 3.. φ(mn) = φ(m)φ(n), M N. (3.2) Todistus: Algebra I. 7

9 Lause 3.2. φ(p m ) = p m ( p ) = pm p m, p P, m Z +, (3.22) Laskarit: tehtävä 3. Lause 3.3. φ(n) = n ( ) eli (3.23) p p n φ(n) = p a... p a k k ( p ) ( p k ) (3.24) Lause 3.4. φ(d) = N(n) n Z +. (3.25) d n Tod: Merkitään F (n) = d n φ(d). (3.26) Aluksi saadaan F () =. (3.27) Olkoon p k P Z+. Lasketaan F (p k ) = φ(d) = d p k φ(d) = d=p m,0 m k φ() + φ(p) + φ(p 2 ) φ(p k ) = + p + p 2 p + p 3 p p k p k 2 + p k p k = p k. (3.28) Eli F (p k ) = p k. (3.29) 8

10 Olkoon seuraavaksi n m. Määrätään F (nm) = φ(d) = d nm d d 2 nm Toisaalta F (n)f (m) = φ(d ) φ(d 2 ) = d n d 2 m φ(d d 2 ), d n, d 2 m (3.30) Siten Vielä d,d 2 φ(d )φ(d 2 ) = d d 2 nm φ(d d 2 ). (3.3) F (nm) = F (n)f (m) n m. (3.32) F (n) = F (p a p a k k ) = (3.33) F (p a ) F (p a k k ) = pa p a k k = n. (3.34) Möbiuksen funktio, jos n = ; μ(n) = ( ) k, jos a =... = a k = ; (3.35) Huomaa, että 0, muutoin; μ(n) = 0, b 2 n, b Z 2. (3.36) Eli Möbiuksen funktio on nolla, jos n:llä on neliötekijä jos n:llä on alkuluvun neliö tekijänä eli μ(n) = 0, p 2 i n, p i P. (3.37) 9

11 Lause 3.5. μ(d) = e(n) n Z +. (3.38) d n Todistus: Lasketaan μ(d) = μ() + μ(p ) μ(p k )+ d n μ(p p 2 ) μ(p k p k ) μ(p p 2 p k p k ) = (3.39) + ( ) k ( ) + ( ) k ( ) ( ) k ( ) k = (3.40) k, k = 0; ( ) k = 0 k = (3.4) 0, k., n = ; = = e(n). (3.42) 0, n Konvoluutiotulo Määritellään vielä yksi laskutoimitus aritmeettisten funktioiden algebraan. Määritelmä 3.0. Konvoluutio- eli Dirichlet n tulo. Olkoot f, g A jolloin asetetaan (f g)(n) = f(a)g(b) n Z +. (3.43) ab=n ESIM: Olkoon n = 2. Tällöin summataan kaikien tekijäparien (a, b) = (, 2), (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2), (2, ) (3.44) 0

12 yli, joten (f g)(2) = ab=2 f(a)g(b) = f()g(2)+ f(2)g(6) + f(3)g(4) + f(4)g(3) + f(6)g(2) + f(2)g(). (3.45) Lause 3.6. Olkoot f, g, h A. Tällöin f g A; (3.46) f (g h) = (f g) h; (3.47) f g = g f; (3.48) Jos f() = 0, niin on olemassa sellainen g A, että e f = f e = f; (3.49) f g = g f = e. (3.50) Todistus. (3.46). Määritelmän (3.96) nojalla f g : Z + C. (3.5) (3.47). Lasketaan (f (g h))(n) = ad=n f(a)(g h)(d) = (3.52) f(a) g(b)h(c) = (3.53) ad=n bc=d

13 f(a)g(b)h(c) = (3.54) abc=n ec=n( ab=e f(a)g(b))h(c) = (3.55) (f g)(e)h(c) = ((f g) h)(n). (3.56) ec=n (3.48). Harjoitus. (3.49). Laskemalla saadaan (e f)(n) = ab=n e(a)f(b) = (3.50). Olkoon f() = 0 ja e()f(n) + e(a)f(b) = f(n) n Z +. (3.57) a 2,ab=n g() = f() (f g)() = e(). (3.58) Olkoon sitten n Z 2. Tehdään induktio-oletus, että funktio g, jolle pätee ja Seraavaksi pitäisi olla g(k) k n (3.59) (f g)(k) = e(k) k n. (3.60) (f g)(n) = e(n) ab=n f(a)g(b) = 0 (3.6) ( ) g(n) = f(a)g(b). f() ab=n,b n 2

14 Asetetaan siis ( ) g(n) = f(a)g(b), (3.62) f() ab=n,b n joka on hyvin määritelty induktio-oletuksen (3.59) nojalla. Tällöin saadaan (f g)(n) = ab=n f(a)g(b) = f()g(n) + f(a)g(b) = (3.63) ab=n,b n Nyt kaavan (3.62) nojalla ( (f g)(n) = f() f() ab=n,b n ) f(a)g(b) (3.64) + f(a)g(b) = 0. (3.65) ab=n,b n Siten induktiolla (3.50) kunnossa. Ominaisuuksien (3.46), (3.47), (3.48), (3.49) nojalla (A, ) on kommutatiivinen monoidi. Edelleen (A, +, ) (3.66) on kommutatiivinen ykkösellinen rengas. Olkoon A 0 = {f A f() = 0}. (3.67) Lause 3.7. Tällöin ominaisuuksien ( ) nojalla (A 0, ) (3.68) on kommutatiivinen ryhmä. 3

15 3.3. Möbiuksen inversio ja muita sovelluksia Suoraan määritelmästä saadaan seuraavat esitysmuodot konvoluutiotulolle. (f g)(n) = d n f(d)g( n d ) = d n f( n d )g(d) n Z+. (3.69) Erikoistapauksesa, missä g = I (vakiofunktio I(n) = ), saadaan (f I)(n) = d n f(d) = d n f( n d ) n Z+. (3.70) Soveltamalla tuloksia (3.38) ja (3.70) saadaan (μ I)(n) = d n μ(d) = e(n) n Z +, (3.7) josta μ I = e μ = I I = μ. (3.72) Lause 3.8. Möbiuksen inversio. Olkoot f, g A, tällöin f(n) = d n g(d) (3.73) g(n) = d n ( n ) μ(d)f d (3.74) aina, kun n Z +. Todistus. Lausekkeesta (3.73) saadaan f = g I g = I f = μ f, (3.75) josta saadaan (3.74). Vastaavasti Vice Versa. Lause 3.9. φ(n) = bc=n μ(b)n(c), n Z +. (3.76) eli φ(n) = d n μ(d) n d = d n μ( n d )d, n Z+. (3.77) 4

16 Todistus. Tuloksien (3.25) ja (3.70) nojalla (φ I)(n) = d n φ(d) = N(n) n Z + (3.78) eli φ I = N φ = I N = μ N. (3.79) Tästä φ(n) = (μ N)(n) = d n μ(d) n d n Z +. (3.80) Lause 3.0. Olkoon k N. Tällöin σ k = N k I. (3.8) Todistus. Määritelmän mukaan σ k (n) = d n d k = d n ( n ) N k (d)i = d (N k I)(n) n Z +. (3.82) Seurauksia: d = I I, σ = N I = φ d, N = σ μ. (3.83) Todistetaan laskareissa Mangoldtin funktio Määritelmä 3.. log p, jos n p Z+, p P; Λ(n) = 0, muutoin; (3.84) 5

17 Esim. Λ() = 0, Λ(2) = log 2, Λ(3) = log 3, Λ(4) = log 2, Λ(5) = log 5, Λ(6) = log, Λ(7) = log 7, Λ(8) = log 2, Lause 3.. Olkoon n Z +. Tällöin Λ(9) = log 3, Λ(0) = log. (3.85) log n = d n Λ(d). (3.86) Todistus. Tapaus n = selvä. Olkoon sitten n Z 2. Toisaalta log n = Λ(d) = d n k a i log p i. (3.87) i= k a i Λ(p a i i ) = (3.88) i= r= Siten (3.86) kunnossa. k a i log(p i ) = i= r= k a i log(p i ). (3.89) i= Lause 3.2. Olkoon n Z +. Tällöin Λ(n) = d n μ(d) log(d). (3.90) Todistus. Yhtälön (3.86) nojalla log = Λ I Λ = μ log, (3.9) josta Λ(n) = d n μ(d) log( n d ) = (3.92) 6

18 log n d n μ(d) d n μ(d) log(d) = d n μ(d) log(d). (3.93) 3.4 Multiplikatiiviset funktiot Useat aritmeettiset funktiot säilyttävät kokonaislukujen kertolaskurakennetta osittain tai kokonaan. Tällöin kyseessä ovat multiplikatiiviset tai täydellisesti multiplikatiiviset funktiot. Määritelmä 3.2. Olkoon f A {0}. Jos f(mn) = f(m)f(n) m, n Z + m n, (3.94) niin f on multiplikatiivinen funktio. Asetetaan tällöin M = {f A {0} f(mn) = f(m)f(n) Edelleen, jos f A {0} ja m, n Z + m n}. (3.95) f(mn) = f(m)f(n) m, n Z +, (3.96) niin f on täydellisesti multiplikatiivinen funktio. Asetetaan vielä C = {f A {0} f(mn) = f(m)f(n) m, n Z + }. (3.97) Lause 3.3. f M f() = ; (3.98) f, g M f g M; (3.99) 7

19 f g, g M f M; (3.00) f M f M; (3.0) (M, ) (A 0, ) (3.02) eli multiplikatiiviset funktiot muodostavat aritmeettisten funktioiden aliryhmän. Todistus. (3.98): Koska f = 0, niin sellainen b Z +, että 0 = f(b) = f(b ) = f(b)f() f() =. (3.03) (3.99): Olkoon m n. Laskemalla (f g)(mn) = d mn f(d)g( mn d ) = (3.04) a m,b n,a b f(ab)g( mn ab ) = (3.05) f(a)f(b)g( m a )g(n b ) = (3.06) a m b n f(a)g( m a ) a m b n f(b)g( n ) = (f g)(m)(f g)(n). (3.07) b (3.00): Tehdään vastaoletus, että f / M. Tällöin sellaiset m n, että f(mn) = f(m)f(n) (3.08) ja mn pienin mahdollinen. Aluksi tapaus mn = m = n = f() = f()f() (3.09) 8

20 Ristiriita, koska f g M. f() = (f g)() = f()g() = f() =. (3.0) Olkoon, sitten mn 2. Tällöin laskemalla (f g)(mn) = d mn f(d)g( mn d ) = (3.) a m,b n,a b a m,b n,a b,ab<mn f(ab)g( mn ) + f(mn)g() = (3.2) ab f(a)f(b)g( m a )g(n ) f(m)f(n) + f(mn) = (3.3) b (f g)(m)(f g)(n) f(m)f(n) + f(mn) (3.4) Yhtälöistä (3.), (3.4) ja (3.08) saadaan (f g)(mn) (f g)(m)(f g)(n) = Ristiriita! Joten f M. (3.0): Nyt f M. Koska e M, niin f(m)f(n) + f(mn) = 0. (3.5) e = f f M. (3.00) f M. (3.6) (3.02): Kohtien (3.99) ja (3.0) nojalla M on ryhmän A 0 aliryhmä. ESIM. φ, μ M, φ, μ C. (3.7) 9

21 e, I, N k, λ C. (3.8) f, g M fg, f/g M. (3.9) Lause 3.4. C M A 0. (3.20) Lause 3.5. Olkoon f() =. Tällöin aina, kun n = k i= f M f( f C f( p a i i Z +. Olkoon f M, tällöin k i= k i= p a i p a i i ) = k i= f(p a i i ); (3.2) k i ) = f(p i ) a i (3.22) i= f C f(p a ) = f(p) a (3.23) aina, kun n = p a p Z+, p P. Todistus. (3.2): " "Suoraan määritelmästä induktiolla. Aluksi p a p a 2 2 f(p a p a 2 2 ) = f(p a )f(p a 2 2 ). (3.24) " "Olkoot Tällöin f(mn) = f( m = k i= p a i i k i= l j= p a i i n = q b j i= l j= q b j j. (3.25) k l j ) = f(p a i i ) f(q b j j ) = j= 20

22 k f( i= p a i i )f( l j= Kohtien (3.22) ja (3.23) todistukset: Laskarit. Lause 3.6. Olkoon f M, tällöin q b j j ) = f(m)f(n). (3.26) f C f = μ f. (3.27) Todistus. " ". Laskemalla ((μ f) f)(n) = d n μ(d)f(d)f( n d ) = (3.28) f(n) d n μ(d) = f(n)e(n) = e(n). (3.29) " ". Olkoon f = μ f. Siten (μ f) f = e, josta e(p a ) = ((μ f) f)(p a ) = d p a μ(d)f(d)f( n d ) = (3.30) a μ(p j )f(p j )f(p a j ) (3.3) j=0 0 = μ()f()f(p a ) + μ(p)f(p)f(p a ) (3.32) f(p a ) = f(p)f(p a ) =... = f(p) a. (3.33) Koska f M, niin kohdan (3.23) nojalla f C. ESIM: N C N = μ N. (3.34) 2

23 Lause 3.7. Olkoon h M, tällöin μ(d)h(d) = ( h(p)). (3.35) p n d n Todistus. Merkitään g(n) = d n μ(d)h(d). (3.36) Osoitetaan aluksi, että g M, laskemalla (kuten kohdassa (3.99)) g(mn) = μ(ab)h(ab) = (3.37) a m,b n,a b μ(a)h(a) μ(b)h(b) = g(m)g(n). (3.38) a m b n Olkoon seuraavassa p a p Z+, p P, jolloin g(p a ) = μ(d)h(d) = μ()h() + μ(p)h(p) = h(p). (3.39) d p a Käytettäen tulosta (3.2) saadaan g( k k i ) = ( h(p i )). (3.40) p a i i= i= 3.4. Sovelluksia Laskarit tehtävä 7: φ (n) = d n dμ(d). (3.4) Tuloksen (3.4) nojalla φ (n) = d n μ(d)h(d), h(d) = d, (3.42) joten (3.35) antaa φ (n) = p n ( p). (3.43) 22

24 Kerrataan tässä, että ( ) ω(n) = ( ) k, jos ω(n) = Ω(n); μ(n) = 0, jos ω(n) = Ω(n); (3.44) ja kun λ(n) = ( ) Ω(n) = ( ) k j= a j (3.45) n = p a p a k k, p i P. (3.46) Edelleen 2 a i a i ; n = a l : 2 a l ; (3.47) eli n on kokonaisluvun neliö täsmälleen silloin, kun kaikki alkuesityksen (3.46) eksponentit ovat parillisia. Määritellään vielä funktio δ seuraavasti, jos m = = l 2 ; δ (m) = 0, jos m = = l 2. (3.48) Lause 3.8. ja λ(d) = δ (n) (3.49) d n λ = μ 2. (3.50) Todistus. Merkitään g(n) = d n λ(d) g = λ I g M (3.5) 23

25 Olkoon taas p a p Z+, p P, jolloin g(p a ) = d p a λ(d) = λ() + λ(p) λ(p a ) = jos 2 a; + ( ) + ( ) ( ) a = 0 jos 2 a; (3.52) Koska g M, niin ) Olkoon n =. Tällöin g(n) = k i= g(p a i i ). (3.53) g(p a i ) = i g(n) =. (3.54) 2) Olkoon n =. Tällöin a l : 2 a l g(p a l ) = 0 g(n) = 0. (3.55) (3.50): Koska λ C, niin Lauseen 3.6 nojalla λ = μ λ. (3.56) Seuraavaksi, jos μ(n) = 0 μ(n)λ(n) = 0 μ(n)λ(n) = μ(n) 2 ; (3.57) ja jos μ(n) = 0 ω(n) = Ω(n) λ(n) = ( ) ω(n) = μ(n) μ(n)λ(n) = μ(n) 2. (3.58) 24

26 LISÄÄ SOVELLUKSIA: Todistetaan Lauseet 2.4 ja 2.5 käyttäen konvoluutiotuloa Lauseen 3.8 tapaan. Lauseen 2.5. Uusi todistus: Merkitään V (n) = d n μ(d) V = μ I M. (3.59) Lasketaan vielä V (p a ) = μ() + μ(p) μ(p a ) (3.60), a = 0 = = = 0, a (3.6) Tuloksen (3.2) nojalla V (n) = V ( k i=, n = = 0, n 2 Lauseen 2.4. Uusi todistus: Merkitään p a i i ) = k i= V (p a i i ) (3.62) = e(n). (3.63) G(n) = d n φ(d) G = φ I M. (3.64) Lasketaan vielä Tuloksen (3.2) nojalla G(n) = G( G(p a ) = φ() + φ(p) φ(p a ) = p a. (3.65) k i= p a i k k i ) = G(p a i i ) = p a i i = n = N(n). (3.66) i= i= 25

27 Harjoitus 2. Aluksi tuloksen (3.66) nojalla φ I = N φ = μ N (3.67) n p n ( ) = p d n μ(d) n d (3.68) p n ( ) = p d n μ(d) d. (3.69) 3.5 Eräs Möbius-inversion yleistys Olkoon n Z + ja jolloin käytetään merkintöjä n F (n) = f Välittömästi saadaan, että F, F A. Lause 3.9. Todistus: Aluksi, jos k n, niin f : [0, ] C, (3.70) ( ) k, F = f n k n ( ) k. (3.7) n F = μ F, F = I F. (3.72) k n = a, a d, a d, d n, (3.73) d missä a/d on murtoluvun k/n supistettu esitys. Siten F (n) = d n d ( a f = (3.74) d) a=,a d F (d) = (F I)(n). (3.75) d n Sovellus: 26

28 Lause n μ(n) = e i2πk/n, n Z +. (3.76),k n Todistus: Olkoon E(x) = e i2πx ja F (n) = n E ( ) k, F = E n k n ( ) k n n Z +. (3.77) Geometrisen sarjan summalla n n, jos a = ; a k = (3.78) a an, jos a =. a ja eksponenttifunktion laskusäännöillä saadaan n ( ) k n ( ) k E = E = (3.79) n n Siispä, jos n = ; 0, jos n 2; = e(n). (3.80) F (n) = e(n) F = μ F = μ e = μ. (3.8) 3.6 Derivaatta Logaritmifunktion rajoitus positiivisiin kokonaislukuihin log : Z + C (3.82) on aritmeettinen funktio eli log A. Määritelmä 3.3. Aritmeettisen funktion f derivaatta f on aritmeettinen funktio f (n) = f(n) log n n Z +. (3.83) 27

29 Huom: Jos f A, niin f A. ESIM: e (n) = e(n) log n = 0 n Z +. (3.84) I (n) = I(n) log n = log n n Z +. (3.85) Lause 3.2. Olkoot f, g A, tällöin Λ I = I (3.86) f = f log 2 ; (3.87) (f + g) = f + g ; (3.88) (f g) = f g + f g ; (3.89) Todistus laskareissa. (f ) = f (f f), f() = 0. (3.90) Lause Selbergin identiteetti. Olkoon n Z +, tällöin Λ(n) log n + d n Λ(d)Λ( n d ) = d n μ(d) log 2 ( n ). (3.9) d Todistus. Derivoidaan yhtälöä (3.86) puolittain, jolloin I = Λ I + Λ I = Λ I + Λ Λ I (3.92) I μ = Λ + Λ Λ Λ + Λ Λ = μ (log) 2. (3.93) 28

30 . VÄLIKOE-ALUE TÄHÄN ASTI. 4 Bellin sarjat Bellin sarjat ovat aritmeettisiin funktioihin liittyviä formaalisia sarjoja. 4. Formaalit sarjat Katso tarkemmin Lukuteoria I. Esim. Olkoon a C, tällöin saadaan Formaali Geometrinen sarja a n T n = n=0 at. (4.) 4.2 Bellin sarjat (mod p) Määritelmä 4.. Olkoot f A ja p P. Asettamalla f p (T ) = f(p n )T n (4.2) n=0 saadaan aritmeettisen funktion f Bellin sarja (mod p). Huomaa, että formaalien sarjojen identtisyyden nojalla saadaan Bellin sarjojen identtisyys: f p (T ) = g p (T ) f(p k ) = g(p k ) k N. (4.3) Edelleen Lause 4.. Olkoot f, g M, tällöin f = g f p (T ) = g p (T ) p P. (4.4) 29

31 Todistus. Olkoon f = g. Tällöin f(p k ) = g(p k ) k, p f p (T ) = g p (T ) p. (4.5) Olkoot sitten f p (T ) = g p (T ) p. Tästä f(p k ) = g(p k ) k, p (4.6) k k f(p a i i ) = g(p a i i ). (4.7) i= i= Koska f, g M, niin tuloksen (3.2) avulla f( k i= p a i i ) = g( k i= p a i i ) (4.8) f(n) = g(n) n Z + f = g. (4.9) Lause 4.2. Jos f C, niin f p (T ) = f(p)t. (4.0) Todistus. Lasketaan määritelmästä lähtien ja käytetään tuloksia (3.23) ja (4.), jolloin saadaan f p (T ) = f(p n )T n = n=0 f(p) n T n = n=0 ESIMERKKEJÄ: Lauseen 4.2 avulla saadaan f(p)t. (4.) N k p (T ) = p k T k N. (4.2) I p (T ) = T. (4.3) 30

32 λ p (T ) = + T. (4.4) e p (T ) = T 0 =. (4.5) Ja suoraan laskemalla μ p (T ) = T. (4.6) φ p (T ) = T pt. (4.7) (σ k ) p (T ) = T p k T. (4.8) Lause 4.3. Olkoot f, g A ja p P, tällöin (f g) p (T ) = f p (T )g p (T ). (4.9) Todistus. Määrätään sarjojen tulo f p (T )g p (T ) = f(p r )T r k=0 r+s=k r=0 s=0 g(p s )T s = (4.20) ( ) f(p r )g(p s ) T k = (4.2) f(a)g(b) T k = (4.22) k=0 ab=p k (f g)(p k )T k = (f g) p (T ). (4.23) k=0 3

33 4.2. Sovelluksia A. Todistetaan uudella tavalla Lauseen (3.5) tulos μ(d) = e(n) n Z +. (4.24) d n Käytetään summalle merkintää V (n) = d n μ(d) V = μ I. (4.25) Soveltamalla tulosta (4.9) saadaan V p (T ) = μ p (T )I p (T ) = e p (T ) p P, (4.26) missä V, e M, joten Lauseen 4. nojalla V = e d n μ(d) = e(n). (4.27) Ei tarvittu kombinatoriikkaa-vaan Teoria jyllää.. B. Vastaavasti saadaan Lauseen 3.4 tulos φ(d) = N(n) n Z +. (4.28) d n C. Todistetaan vielä (4.8) käyttäen tuloksia (3.8) ja (4.2) seuraavasti σ k = N k I (σ k ) p (T ) = (N k ) p (T )I p (T ) = T p k T. (4.29) Edelleen, suoritetaan yhtälössä (4.29) osamurtoihinjako, jolloin (σ k ) p (T ) = ( p k p k p k T ) = (4.30) T 32

34 ( p k p k n=0 (p k T ) n ) T n = (4.3) n=0 Toisaalta (σ k ) p (T ) = n=0 n=0 (p k ) n+ T n. (4.32) p k σ k (p n )T n σ k (p n ) = (pk ) n+. (4.33) p k 5 Analyyttisen lukuteorian alkeita 5. Työkaluja log = ln Neperin logaritmi, siis log e =. Olkoot seuraavissa määritelmissä g, f : R R reaaliarvoisia funktioita, joiden määrittelyalueet ovat M g, M f. Määritelmä 5.. Asymptoottisesti sama: f(x) g(x) lim x f(x) g(x) =. (5.) Harmooninen sarja esiintyy Eulerin gamman lausekeessa H n = n k (5.2) γ = lim n (H n log n) = (5.3) 33

35 Tuloksesta (5.3) saadaan sillä lim n Yleisemmin pätee, jos niin f(x) g(x). H n log n, (5.4) H n log n = lim H n log n + = γ + =. (5.5) n log n h(x) f(x) = g(x) + h(x), lim x g(x) Määritelmä 5.2. O-symboli, O = "iso oo": Olkoon g(x) > 0 aina, kun x M g. on olemassa sellaiset vakiot B, C R +, että Asetetaan vielä = 0, (5.6) f(x) = O(g(x)) (5.7) f(x) Cg(x), x M f M g, x B. (5.8) f(x) O(g(x)) f(x) h(x) = O(g(x)); (5.9) f(x) = h(x) + O(g(x)) f(x) h(x) = O(g(x)) (5.0) ja v(x)o(g(x)) = O(v(x)g(x)), v(x) > 0 x B. (5.) HUOM: Merkintä f(x) = O(g(x)) (5.2) on hieman harhaanjohtava, sillä tarkkaan ottaen pitäisi kirjoittaa f(x) O(g(x)) = {f(x) f(x) Cg(x)}. (5.3) Mutta (5.2) on sujuvampi käyttää kuin (5.3) ja siten vakiinnuttanut asemansa. 34

36 Lause 5.. Olkoon g(x) > 0 aina, kun x M g. Tällöin f(x) < M x B f = O(). (5.4) f g f = O(g). (5.5) f g = O() f = O(g). (5.6) lim f(x) x g(x) < f = O(g). (5.7) f + f 2 = O max{o( f ), O( f 2 )} (5.8) f f 2 = O( f )O( f 2 ). (5.9) f + f 2 = O(g) f = O(g), f 2 = O(g) f f 2 = O(g 2 ) (5.20) ESIM. a) b) n 2 + 2n 3 5 = O(n 4 ). (5.2) (n + 8 log n)(0n log n + 7n 2 ) = O(n) O(n 2 ) = O(n 3 ). (5.22) Määritelmä 5.3. Riemannin zeta-funktio ζ(s) = k, s s R >; (5.23) ζ(s) = lim x ( k x ) x s, 0 < s <. (5.24) ks s 35

37 Lause 5.2. Olkoon x, tällöin k x k x k = log x + γ + O ( ). (5.25) x x s = ks s + ζ(s) + O(x s ), 0 < s <, s >. (5.26) k x k>x k s = O(x s ), s >. (5.27) k a = xa+ a + + O(xa ), a 0. (5.28) ζ(2) = Todistukseen tarvitaan seuraava tulos. k 2 = π2 6. (5.29) Lause 5.3. Eulerin summauskaava. Olkoon 0 < y < x ja oletetaan, että funktiolla f : [y, x] R on jatkuva derivaatta f välillä [y, x]. Tällöin y<k x f(k) = x y f(t)dt + x y (t t )f (t)dt+ Todistus: Ei vaadita. f(x)( x x) f(y)( y y). (5.30) Mutta huomaa, että (5.30) tarkentaa sarjojen integraalitestiä. 36

38 Todistetaan Lauseen 5.2 kohta (5.25): Valitaan Eulerin summauskaavassa (5.30) f(t) = /t ja y =, jolloin missä I(x) = x x k x x k = + dt t (t t ) x x dt + t 2 x + log x + I(x) + O t t dt t 2 t t t 2 dt = = (5.3) ( ), (5.32) x x t t t 2 dt + C. (5.33) Toinen integraali antaa vakion C. Arvioidaan ensimmäistä integraalia Siten 0 < x t t dt t 2 I(x) = O joka edelleen syötetään kohtaan (5.32), josta k x k n k x dt t 2 = x. (5.34) ( ) + C, (5.35) x = log x + C + + O Lasketaan vielä vakio C + ottamalla raja-arvo ( ) lim log n = lim n k n ( ). (5.36) x ( C + + O ( )) n (5.37) = C + C + = γ. (5.38) Erityisesti saadaan k n k = log n + γ + O ( ), (5.39) n 37

39 joka tarkentaa tulosta (5.3). Tässä log n + γ (5.40) on päätermi ja on virhetermi. Arvioi tarkemmin virhetermiä: Laskarit. O ( ) n (5.4) 5.2 Aritmeettisten funktioiden keskiarvoja Olkoon a(n) aritmeettinen funktio, jolloin asetetaan A(x) = a(k). (5.42) k x Usein tutkitaan summafunktiota A(x) ja välillä [, x] olevaa keskiarvoa A(x) x = k x x a(k) (5.43) suurilla x:n arvoilla Tekijäfunktion keskiarvo/tekijäongelma Tekijäfunktion summafunktiolle pätee Lause 5.4. D(x) = k x d(k) = x log x + (2γ )x + O(x /2 ). (5.44) Välittömästi saadaan keskiarvolle arvio d(k) D(x) k x = = log x + 2γ + O(x /2 ). (5.45) x x 38

40 Edelleen saadaan asymptoottinen tulos D(x) x log x. (5.46) Tekijäongelma eli Divisor problem: Paina yhtälön (5.44) virhetermin eksponenttia /2 mahdollisimman alas. Tiedetään, että Inf /4 ja paras tunnettu on 2/37 (969). Lauseen 5.4 todistus. Määritelmän nojalla Tässä k = ad x ja siten D(x) = D(x) = k x a,d x, ad x KUVA: Piirrä a d-koordinaatisto. d(k) = k x =. (5.47) d k d x a x/d. (5.48) Summassa (5.48) jokaisella d:n arvolla lasketaan a-akselin suuntaisella janalla olevat pisteet d-akselin suuntaiselta suoralta a = hyperbelille ad = x. Niinpä D(x) = x x d d, (5.49) joten tuloksen (5.25) nojalla d x D(x) = x(log x + γ + O d x ( ) ) = (5.50) x x log x + γx + O() = x log x + O(x). (5.5) Tämä tulos ei vielä riitä. Parempi saadaaan, kun jaetaan alue suoralla d = a symmetrisiin osiin. Suora d = a leikkaa hyperbelin kohdassa a = d = x. Lasketaan janalla d = a olevat pisteet hyperbelille asti, joita on x. (5.52) 39

41 Edelleen valitaan suoran ja hyperbelin alapuoliset pisteet, joita on d x ( x d ) d, (5.53) sillä jokaisella d:n arvolla d x lasketaan a-akselin suuntaisella janalla suoran d = a ja hyperbelin ad = x välillä olevat pisteet, niin että suoralla olevia pisteitä ei oteta mukaan mutta hyperbelillä olevat otetaan. Kaiken kaikkiaan saadaan D(x) = x + 2 x + 2 d x d x ( x d x d 2 d x ) d = (5.54) d. (5.55) Aluksi yhtälön (5.55) viimeiseen termiin sovelletaan aritmeettisen sarjan summaa seuraavasti. Olkoon x = x δ, 0 δ <, (5.56) jolloin 2 d x d = x 2 + x = x + ( 2δ) x + δ 2 δ. (5.57) Nyt toiseen termiin sovelletaan taas tulosta (5.25), joten D(x) x δ + 2x(log x + γ + O( )) x/2 x + (2δ ) x δ 2 + δ = (5.58) x log x + (2γ )x + O(x /2 ). (5.59) 40

42 5.2.2 Tekijäfunktion σ(n) keskiarvo Lause 5.5. Σ (x) = k x σ(k) = π2 2 x2 + O(x log x). (5.60) Σ (x) x = π2 x + O(log x). (5.6) 2 Σ (x) x π2 x. (5.62) 2 Todistus. Määritelmän nojalla Tässä k = ad x ja siten Σ (x) = Σ (x) = k x a,d x, ad x d x x 2 2 σ(k) = k x a = a. (5.63) a k d x a x/d a = (5.64) ( x 2 x + 2 d ) (5.65) d d x d 2 + x 2 d x d. (5.66) Sovelletaan nyt tuloksia (5.25) ja (5.26), jolloin saadaan ( ) Σ (x) = x2 x ζ(2) + O(x 2 ) + (5.67) x (log x + γ + O( x ) 2 ) = (5.68) x 2 + x2 ζ(2) + O()+ (5.69) 2 4

43 x 2 log x + x γ + O() = (5.70) 2 ζ(2) 2 x2 + γ x log x + x + O() = (5.7) 2 2 π 2 2 x2 + O(x log x). (5.72) Eulerin funktion keskiarvo Lause 5.6. Σ φ (x) = k x φ(k) = 3 π 2 x2 + O(x log x). (5.73) Σ φ (x) x = 3 x + O(log x). (5.74) π2 Σ φ (x) x 3 x. (5.75) π2 Todistus. Tuloksen (3.77) nojalla Tässä k = ad x ja siten Σ φ (x) = Σ φ (x) = k x a,d x, ad x d x d x μ(d) 2 μ(d) 2 φ(k) = k x μ(d)a = ( x d x d 2 + x d μ(d) k d. (5.76) d k μ(d) a x/d a = (5.77) ) = (5.78) ( (x ) ) 2 d δ x d + d δ d = (5.79) 42

44 d x μ(d) 2 ( x d) 2 + d x μ(d) 2 (( 2δ d ) x ) d + δ2d δ d = (5.80) x 2 2 d x μ(d) d 2 + d x ( ( x ) O + O() d) (5.8) sillä μ(d) ja 0 δ d <. Ensimmäiseen summaan käytetään tulosta (5.85) ja toiseen jälleen kerran tulosta (5.25), jolloin saadaan Σ φ (x) = x2 2 ( 6 π 2 + O ( )) + O(x log x) + O(x) = (5.82) x Aputulos: Tuloksen (6.50) nojalla 3 π 2 x2 + O(x log x). (5.83) k x μ(k) k 2 = 6 π 2 k>x μ(k) k 2 = (5.84) ( ) 6 π + O = 6 ( ) 2 k 2 π + O. (5.85) 2 x k>x Möbiuksen funktion keskiarvo Triviaalisti saadaan ja vähemmän triviaalisti Σ μ (x) = k x μ(k) = O(x). (5.86) Σ μ (x) = μ(k) = O(x /2 ). (5.87) k x 43

45 6 Dirichlet n sarjat 6. Formaalit Dirichlet n sarjat Määritelmä 6.. Olkoon s = σ + it C. Olkoon f A aritmeettinen funktio, jolloin asetetaan F (s) = f(k). (6.) ks Sarja F (s) on Dirichlet n sarja. Käytetään vielä merkintää D kaikkien Dirichlet n sarjojen joukolle. Tarkastellaan aluksi formaaleja Dirichlet n sarjoja, joille määritellään identtisyys, yhteenlasku ja kertolasku seuraavasti. Määritelmä 6.2. Olkoon s = σ + it C annettu ja olkoot F (s) = Asetetaan identtisyys f(k) k s, G(s) = g(k) k s D(s). (6.2) summa ja tulo F (s) = G(s) f(k) = g(k) k Z + ; (6.3) F (s) + G(s) = F (s) G(s) = f(k) + g(k) k s ; (6.4) (f g)(k) k s. (6.5) Lause 6.. (D(s), +, ) on kommutatiivinen ykkösellinen rengas, missä nollaalkio on ja ykkös-alkio on 0(k) k s, 0(k) = 0 k Z+ ; (6.6) e(k). (6.7) ks 44

46 Käytetään merkintöjä 0 = 0(s) = = (s) = 0(k) k s D(s); (6.8) e(k) k s D(s). (6.9) Koska niin käytetään merkintöjä f(k) k s f (k) k s = e(k) k s =, (6.0) F (s) = f (k) k s = F (s) ; (6.) Edelleen, Dirichlet n sarjan derivaatta on G(s) F (s) = G(s) F (s). (6.2) F (s) = f(k) log k k s. (6.3) Olkoon ζ(s) = k s D(s) (6.4) Riemannin zeta-funktion formaali sarja-esitys ja merkitään vielä Lause 6.2. M(s) = μ(k) k s D(s). (6.5) μ(k) k s = ζ(s) ; (6.6) φ(k) k s = ζ(s ) ; (6.7) ζ(s) 45

47 λ(k) k s = ζ(2s) ζ(s) ; (6.8) σ a (k) k s = ζ(s)ζ(s a); (6.9) d(k) k s = ζ(s) 2 ; (6.20) Λ(k) k s = ζ (s) ζ(s). (6.2) Huom: Lauseen 6.2 identiteetit ovat formaaleja, joista saa lukujen välisiä identiteettejä kunhan kaikkien kyseissä yhtälössä esiintyvien sarjojen suppeneminen on yhtäaikaista. Todistus: (6.6): Lasketaan ζ(s) M(s) = I(k) k s μ(k) k s = (6.22) (I μ)(k) k s = (6.7): Käytetään tulosta (3.76), jolloin φ(k) k s = μ(k) k s e(k) k s =. (6.23) (μ N)(k) k s = (6.24) k = (6.25) ks M(s) ζ(s ) = ζ(s ). (6.26) ζ(s) 46

48 (6.8): Käytetään nyt tulosta (3.49), jolloin λ(k) k s = μ(k) k s M(s) (6.9): Tässä tuloksen (3.8) nojalla (μ δ )(k) k s = (6.27) δ (k) k s = (6.28) δ (l 2 ) l 2s = (6.29) ζ(2s). (6.30) ζ(s) σ a (k) k s = (I N a )(k) k s = (6.3) k k a = (6.32) s ks ζ(s) ζ(s a). (6.33) (6.2): Tässä tuloksen (3.86) nojalla Λ(k) k s = μ(k) k s (μ log())(k) k s = (6.34) log(k) k s = (6.35) ζ(s) ( ζ (s)). (6.36) 47

49 6.2 Suppenevat Dirichlet n sarjat Olkoon s = σ + it C ja k Z +. Tutkitaan potensiin k s päähaaraa. Aluksi k s = e s log k = e σ log k e it log k = k σ e it log k, (6.37) joten k s = k σ. (6.38) Määritellään kompleksitasoon (oikeanpuoleiset) avoimet ja suljetut puolitasot σ > a, σ a; a R. (6.39) Koska σ a k a k σ, (6.40) niin Lause 6.3. Jos sarja f(k) k s f(k) k a. (6.4) F (s) = f(k) k s (6.42) suppenee itseisesti, kun s = a + it, niin F (s) suppenee itseisesti puolitasossa σ a Riemannin ζ-funktio Riemannin sarja ζ(s) = k s (6.43) suppenee itseisesti puolitasossa σ > ja hajaantuu, kun s = + it. Määritelmä 6.3. Sarja ζ(s) = määrittelee Riemannin zeta-funktion, kun σ >. k s (6.44) 48

50 6.3 Formaalista suppenevaan Jotta formaalien sarjojen identiteetit saataisiin siirtää suppenevien sarjojen puolelle, niin tarvitaan formaalien ja suppenevien sarjojen tuloille yhteys. Olkoot ja F (s) = f(k) k s, G(s) = H(s) = F (s) G(s) = g(k) k s D(s) (6.45) (f g)(k) k s D(s). (6.46) Tällöin evaluaatiohomomorfismin (antaa arvon sarjalle) avulla voidaan osoittaa seuraava tulos. (Todistus sivuutetaan.) Lause 6.4. Jos F (s), G(s) ja H(s) suppenevat itseisesti puolitasossa σ a, niin F (s)g(s) = H(s) s = σ + it C, σ a. (6.47) Sovellus: Koska ζ(s) M(s) = (6.48) niin sarjojen arvoille saadaan ζ(s)m(s) = s = σ + it C, σ >. (6.49) Erityisesti saadaan M(2) = μ(k) k 2 = ζ(2) = 6 π 2. (6.50) Edelleen saadaan seuraava yksikäsitteisyystulos (vastaten Taylorin sarjojen tulosta, katso Lang: Complex Analysis). Lause 6.5. Olkoot F (s) ja G(s) itseisesti suppenevia Dirichlet n sarjoja puolitasossa σ a. Olkoon vielä F (s j ) = G(s j ) s j = σ j + it j, #(s j ) =, (6.5) 49

51 missä Tällöin σ j, (6.52) f(k) = g(k) k Z +. (6.53) 6.4 Eulerin tulot Lause 6.6. Olkoon f M, tällöin f(k) = + f(p) + f(p p P( 2 ) +...) (6.54) ja jos f C, niin Tuloksien ja nojalla saadaan f(k) = f(p). (6.55) p P f M f M (6.56) N s f C f C, (6.57) N s Lause 6.7. Olkoon f M, tällöin f(k) = ( + f(p) + f(p2 ) +...) (6.58) k s p s p 2s p P ja jos f C, niin SEURAUKSIA: ζ(s) = f(k) k s = p P. (6.59) f(p)p s k =, σ >. (6.60) s p s p P M(s) = μ(k) k s = ( p s ), σ >. (6.6) p P 50

52 7 Alkulukulause Määritelmä 7.. Alkulukufunktio π(x) = #{p P x } (7.) Lause 7.. Olkoon π(n) n log n. (7.2) P = {p = 2, p 2 = 3, p 3 = 5,...} (7.3) eli p n on n:s alkuluku. Lause 7.2. p n n log n. (7.4) Voidaan todistaa, että Lauseet 7. ja 7.2 ovat yhtäpitäviä. Edelleen voidaan todistaa efektiiviset arviot Lause 7.3. Lause 7.4. n 6 log n < π(n) < 6 n log n. (7.5) 6 n log n < p n < 2(n log n + n log(2/e)). (7.6) Tuloksen (7.6) avulla saadaan välttömästi 30 n k log k n p k 6 n k log k, (7.7) josta edelleen ja n p P p = (7.8) ( n ) = O, (7.9) p k k log k 5

53 7. Kohti Alkulukulauseen todistusta Tuloksesta M() = μ(k) k jonka todistus on haastava, seuraa Alkulukulause. = 0, (7.0) 8 Vielä zeta-funktiosta Tulos ζ(s) = 2 s ( ) k+ k s (8.) antaa ζ-funktion analyyttisen (meromorfisen) jatkeen puolitasoon σ > 0. Edelleen, funktionaaliyhtälön ζ(s) = χ(s)ζ( s), χ(s) = 2 s π s sin(sπ/2)γ( s), (8.2) avulla ζ-funktio voidaan laajentaa analyyttisesti (meromorfisesti) koko kompleksitasoon. Nollakohdat: A) Triviaalit ovat 2Z + ; ζ( 2) = ζ( 4) = ζ( 6) =... = 0. (8.3) B) Kaikille muille pätee: 0 < σ <. (8.4) C) Riemannin hypoteesi: ζ(σ + it) = 0, 0 < σ < σ = 2. (8.5) LOPPU. 52