Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta.

Transkriptio

1 Väitelause Matematiikassa väitelauseet ovat usein muotoa: jos P on totta, niin Q on totta. Tässä P:tä kutsutaan oletukseksi ja Q:ta väitteeksi. Jos yllä oleva väitelause on totta, sanotaan, että P:stä seuraa Q tai että P on riittävä ehto Q:lle, ja merkitään P Q. Nuolta kutsutaan impikaationuoleksi. Merkintä P Q luetaan joko P:stä seuraa Q tai P implikoi Q:n. 1 / 15

2 Väitelause Esimerkki 1 Kirjoita seuraavien lauseiden oletukset ja väitteet näkyviin: 1 Jos ei sada, kävelen yliopistolle. 2 Jos x 0, niin x 0. 3 Jos n on parillinen luonnollinen luku, niin n 2 on parillinen luonnollinen luku. 4 Olkoot n ja m parittomia luonnollisia lukuja. Tällöin mn on pariton luonnollinen luku. 5 Kahden parillisen luonnollisen luvun tulo on parillinen 2 / 15

3 Esimerkki 1 1 Oletus: Ei sada. Väite: Kävelen yliopistolle. 2 Oletus: x 0. Väite: x 0. 3 Oletus: n on parillinen luonnollinen luku. Väite: n 2 on parillinen luonnollinen luku. 4 Oletus: n ja m parittomia luonnollisia lukuja. Väite: mn on pariton luonnollinen luku. 5 Oletus: m ja n ovat parillisia luonnollisia lukuja. Väite: mn on parillinen. 3 / 15

4 Kuinka osoitetaan, että väite ei ole totta? Väitelause P Q osoitetaan vääräksi keksimällä esimerkki, jossa oletus P pätee, mutta väite Q ei. Esimerkki 2 Osoita, että alla olevat väitelauseet eivät ole tosia. 1 Jos m on pariton luonnollinen luku, niin se on kolmella jaollinen. 2 Jos m ja n ovat negatiivisia kokonaislukuja, niin m n on negatiivinen kokonaisluku. 3 Jos x on irrationaaliluku, niin x x on irrationaaliluku. 4 / 15

5 Ratkaisu Esimerkkiin 2 1 Jos m on pariton luonnollinen luku, niin se on kolmella jaollinen. Ratkaisu. Luku 5 on pariton luonnollinen luku, sillä 5 = ja 2 N. Koska 5 = 3 5 3, missä 5 3 ei ole luonnollinen luku, pariton luku 5 ei ole jaollinen luvulla 3. Täten väite on epätosi. 2 Jos m ja n ovat negatiivisia kokonaislukuja, niin m n on negatiivinen kokonaisluku. Ratkaisu. Väite ei ole totta, sillä 1 ja 2 ovat negatiivisia kokonaislukuja, mutta 1 ( 2) = 1 on positiivinen kokonaisluku. 3 Jos x on irrationaaliluku, niin x x on irrationaaliluku. Ratkaisu. Väite ei ole totta, sillä 2 on irrationaaliluku, mutta x x = 2 2 = 2 ei ole irrationaaliluku. 5 / 15

6 Väitelauseen todistus kertoo, miksi ja miten väite seuraa oletuksista. Tarkastellaan seuraavaksi, miten väitelauseita todistetaan. Suorassa todistuksessa lähdetään liikkeelle oletuksesta ja edetään vaiheittain väitteeseen. Päättelyn jokainen välivaihe on pystyttävä perustelemaan ja käytettävät käsitteet on määriteltävä tarkasti. Perusteluissa käytetään oletusta, aiemmin todistettuja lauseita tai muita tunnettuja tosiasioita. 6 / 15

7 Esimerkki 3 Todista väite: jos n ja k ovat parittomia luonnollisia lukuja, niin n + k on parillinen. Oletus: n ja k ovat parittomia luonnollisia lukuja, ts. on olemassa sellaiset m N ja l N, että n = 2m + 1 ja k = 2l + 1. Väite: n + k on parillinen, ts. on olemassa sellainen p N, että n + k = 2p. Todistus. Tavoitteena on löytää oletusta käyttäen sellainen p N, että n + k = 2p. Oletuksen perusteella n + k = (2m + 1) + (2l + 1) = 2m + 2l + 2 = 2(m + l + 1), joten n + k = 2p, kun valitaan p = m + l + 1 N. Siis n + k on parillinen. 7 / 15

8 Huomautus Aika yleinen virhe on, että kun otetaan kaksi eri paritonta luonnollista lukua, niin merkitään molempia 2m + 1, m N. Tällöin edellisen esimerkin tapauksessa käsiteltäisiin parittoman luonnollisen luvun summaa vain itsensä kanssa. 8 / 15

9 Esimerkki 4 Todista väite: parillisen luonnollisen luvun n neliö n 2 on parillinen. Oletus: n on parillinen, ts. on olemassa sellainen k N, että n = 2k. Väite: n 2 on parillinen, ts. on olemassa sellainen l N, että n 2 = 2l. Todistus. Tavoitteena on löytää oletusta käyttäen sellainen l N, että n 2 = 2l. Oletuksesta saadaan n 2 = (2k) 2 = 4k 2 = 2(2k 2 ), joten valitsemalla l = 2k 2 = (2k)k N nähdään, että n 2 on parillinen. 9 / 15

10 Huomautus Seuraava taulukko ei kelpaa todistukseksi, sillä kaikkia parillisia lukuja ja niiden neliöitä ei ole mahdollista taulukoida: n n Esimerkiksi tällä tavalla voisi seuraavasti todistaa, että 2 2n + 1, n = 0,1,2,..., on alkuluku (mikä ei pidä paikkaansa kaikilla n N): = = 5, on alkuluku = = = 17 on alkuluku. 10 / 15

11 Huomautus Suorassa todistuksessa lähdetään liikkeelle oletuksesta ja päädytään väitteeseen. Päättelyssä voidaan käyttää oletusta ja tunnettuja tuloksia, väitettä ei saa käyttää. 11 / 15

12 Esimerkki 5 Todista seuraavat väitteet: 1 Jos a on luonnollinen luku ja a jakaa luvun yksi, niin a = 1. 2 Jos nollasta eroava luonnollinen luku a jakaa nollasta eroavan luonnollisen luvun b ja b jakaa luvun a, niin a = b. 12 / 15

13 Esimerkin 5 todistukset 1 Oletus: a on luonnollinen luku ja a jakaa luvun yksi. Väite: a = 1. Todistus. Koska a jakaa luvun 1, niin on olemassa sellainen luonnollinen luku k 1, että 1 = k a. Nyt a = 1 k eli a on luonnollinen luku vain silloin, kun k = 1. Täten a = 1. 2 Oletus: nollasta eroava luonnollinen luku a jakaa nollasta eroavan luonnollisen luvun b ja b jakaa luvun a. Väite: a = b. Todistus. Oletuksen nojalla on olemassa sellaiset luonnolliset luvut k ja l, että b = ka ja a = lb. Nyt b = k(lb) = (kl)b. Täten kl = 1 eli k ja l jakavat luvun 1. Näin ollen edellisen kohdan nojalla k = l = 1 eli a = b. 13 / 15

14 Esimerkki 6 Todista: Jos luonnollinen luku a jakaa luonnolliset luvut b ja c, niin a jakaa luvun b + c. Oletus: luonnollinen luku a jakaa luonnolliset luvut b ja c. Väite: a jakaa luvun b + c. Todistus. Oletuksen nojalla on olemassa sellaiset luonnolliset luvut k ja l, että b = ka ja c = la. Nyt b + c = ka + la = (k + l)a ja k + l N, niin a jakaa luvun b + c. 14 / 15

15 Esimerkki 7 Osoita, että tutkittaessa, onko luonnollinen luku n alkuluku, riittää testata sen jaollisuutta lukua n pienemmillä ja yhtäsuurilla alkuluvuilla. Oletus: n luonnollinen luku. Väite: Luvun n alkuluvuksi osoittamiseksi, riittää testata sen jaollisuutta lukua n pienemmillä ja yhtäsuurilla alkuluvuilla. Todistus. Väite on osoitettu oikeaksi, jos voidaan osoittaa, että jos luvulla n on sellainen tekijä k, että k > n, niin luvulla n on myös sellainen tekijä l, että l < n ja n = kl. Oletetaan nyt, että luvulla n on sellainen tekijä k, että k > n. Täten on olemassa sellainen luonnollinen luku l, että n = kl. Koska k > n, niin n = kl > n l. Näin ollen n > l eli l < n. 15 / 15