8. Avoimen kuvauksen lause
|
|
- Otto Heikkinen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen kuvauksen pisteittäin Määritelmä. Olkoon X ja Y ovat topologia avaruuksia, f : X Y kuvaus sekä a X. Tällöin sanomme, että f on avoin pisteessä a, jos f(u) on pisteen f(a) ympäristö aina, kun U on pisteen a ympäristö Esimerkki. a) Jos X ja Y ovat metrisiä avaruuksia, niin f on avoin pisteessä a joss jokaista r > 0 vastaa sellainen r > 0, että B(f(a), r ) f(b(a, r)). b) Kuvaus f : R R, f(x) = x ei ole avoin nollassa, sillä f( ε, ε) = [0, ε), mikä ei ole pisteen 0 = f(0) ympäristö. c) Projektio P : R 2 R, P (x, y) = x, on avoin jokaisessa tason R 2 pisteessä. d) Kuvaus T : R 2 R 2, T (x, y) = (x, 0), ei ole avoin missään pisteessä; itse asiassa T (R 2 ) = R {0} ei sisällä yhtään avointa joukkoa. e) Olkoon X = (R, τ 1 ), missä τ 1 on tavallinen euklidinen topologia ja Y = (R, τ 2 ), missä τ 2 on diskreetti topologia. Tällöin identtinen kuvaus id : X Y on avoin jokaisessa R:n pisteessä. Kuten jatkuvien kuvausten tapauksessa, avoimet kuvauksetkin voidaan määritellä globaalisti. Esitämmekin seuraavaksi globaalin määritelmän avoimelle kuvaukselle, joka liittyy läheisesti pisteittäiseen määritelmään kuten pian huomaamme Määritelmä. Jos X ja Y ovat topologisia avaruuksia, niin kuvaus f : X Y on avoin, jos f(u) on avoin avaruudessa Y aina, kun U on avoin avaruudessa X. Nyt voimmekin välittömästi yhdistää nämä kaksi käsitettä. On hyvä huomata, että tulos on täysin analoginen vastaavan yhteyden pisteittäisen ja globaalin jatkuvuuden kanssa Lause. Kuvaus f : X Y on avoin jos ja vain jos f on avoin jokaisessa pisteessä a X. Todistus. Oletetaan, että f on avoin, ja olkoon x X ja V on pisteen x ympäristö. Tällöin löytyy sellainen avoin joukko U, että x U V, joten oletuksen 13 tulkitsemme tässä, että V on pisteen x ympäristö, jos löytyy sellainen avoin joukko U, että x U V
2 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 117 nojalla f(u) on avoin ja koska f(x) f(u) f(v ), niin f(v ) on pisteen f(x) ympäristö. Kääntäen, jos U X on avoin ja x U sen mielivaltainen piste, niin f(u) on pisteen f(x) ympäristö. Siispä löytyy sellainen avoin joukko V Y, että f(x) V f(u). Erityisesti siis f(x) on joukon f(u) sisäpiste. Koska tämä on voimassa jokaisella x U, niin jokainen piste f(x) f(u) on joukon f(u) sisäpiste. Siispä f(u) on avoin Huomautus. Jatkuva kuvaus ei aina ole avoin, kuten Esimerkin 8.2 kohta b) osoittaa. Myöskään avoin kuvaus ei ole aina jatkuva; katso saman Esimerkin 8.2 kohta e). Kuinka avoimen kuvauksen käsite toimii lineaaristen kuvausten yhteydessä? Seuraava tulos näyttää, että lineaarisille kuvauksille avoimuus jo yhdessä pisteessä takaa avoimuuden joka pisteessä. (Vrt. Lause 2.26 sivulla 22) 8.6. Lause. Olkoot E ja F normiavaruuksia ja T : E F lineaarinen. Tällöin T on avoin kuvaus jos ja vain jos T on avoin pisteessä 0. Todistus. Tämä suunta seuraa suoraan Lauseesta 8.4. Oletetaan, että T on avoin pisteessä 0. Olkoon x E ja r > 0. Silloin löytyy sellainen r > 0, että T (B( 0, r)) B( 0, r ). Täten T (B(x, r)) = T (x + B( 0, r)) = T x + T (B( 0, r)) T x + B( 0, r ) = B(T x, r ), eli T on avoin myös pisteessä x. Lauseen 8.4 nojalla T on avoin. Havaitsemme, että jos E ja F ovat normiavaruuksia ja T : E F on avoin lineaarikuvaus, niin T on surjektio. (HT 11/2006). Tämä havainto tarkoittaa, että topologinen lisäoletus (avoimuus) implikoi algebrallisen tiedon (surjektiivisuus). Tavoitteenamme on nyt osoittaa, että Banachin avaruuksien jatkuville lineaarikuvauksille T myös kääteinen väite pätee: surjektiivisuudesta (joka on pelkkä algebrallinen ehto) seuraa, että T on avoin (joka on topologinen ehto!) Ennen kuin todistamme tämän väitteen, muotoilemme tuloksen tarkasti. Seuraava lause on peräisin Stefan Banachilta ( ) Lause (Avoimen kuvauksen lause). Jos E ja F ovat Banachin avaruuksia ja T L (E, F ) on surjektio, niin silloin T on avoin kuvaus. Kuten tasaisen rajoituksen periaatteen kanssa, ennen kuin ryhdymme todistamaan väitettä, tarkastelemme hieman väitteen seurauksia.
3 118 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8.8. Seuraus. Jos T on jatkuva lineaarinen bijektio Banachin avaruudesta E Banachin avaruuteen F, niin T on homeomorfismi. Todistus. Lauseen 8.7 nojalla T on avoin kuvaus, joten T (U) on avoin avaruudessa F aina, kun U on avoin avaruudessa E. Jos V F on avoin, niin T 1 (V ) on avoin, koska T on oletuksen mukaan jatkuva. Siis T on homeomorfismi. (Kts. Topologia I, 12.2) 8.9. Esimerkki. Olkoot x x 1 ja x x 2 normeja vektoriavaruudessa E ja x 2 β x 1 kaikilla x E, missä β > 0. Tällöin identtinen kuvaus (E, 1 ) (E, 2 ) on jatkuva lineaarinen bijektio. Jos sekä (E, 1 ) että (E, 2 ) ovat Banachin avaruuksia, niin identtinen kuvaus on Lauseen 8.7 nojalla homeomorfismi, joten normit 1 ja 2 ovat ekvivalentteja. Toisin sanoen on olemassa sellainen α > 0, että α x 1 x 2 β x 1, kun x E. (Katso Lause 2.10 sivulla 12). Erikoistapauksena tarkastelemme avaruudessa C = C([0, 1], R) normeja x x = sup x(t), x x 1 = 0 t x(t) dt. Tällöin x 1 x, kun x C, joten identtinen kuvaus id : (C, ) (C, 1 ) on jatkuva lineaarinen bijektio. Mutta tiedämme, että normit 1 ja eivät ole ekvivalentteja. Voidaan siis päätellä, että 1. identtinen kuvaus id : (C, ) (C, 1 ) ei ole avoin kuvaus, sillä se on jatkuva, mutta ei homeomorfismi. Siispä täydellisyys on olennainen avoimen kuvauksen lauseessa. 2. Tästä nähdään myös, että (C, 1 ) ei ole Banachin avaruus, sillä muuten avoimen kuvauksen lauseen nojalla id : (C, ) (C, 1 ) olisi homeomorfismi. Toinen konkreettisempi tapa nähdä, että (C, 1 ) ei ole Banachin avaruus on käytää Lemmaa 5.6, jonka nojalla (C, 1 ) on tiheä Banachin avaruudessa L 1 (0, 1). Jos (C, 1 ) olisi Banachin avaruus, niin se olisi Lauseen 3.13 sivulla 29 nojalla suljettu avaruudessa L 1 (0, 1), mutta tiheyden nojalla tällöin olisi C(0, 1) = L 1 (0, 1), mikä osoittaa ristiriidan. Nyt olemme valmiita aloittamaan avoimen kuvauksen lauseen todistamisen. Tarvitsemme ensin tärkeän aputuloksen, jonka todistamiseen tarvitsemme Bairen lausetta. Ennen kuin ryhdymme tämän apulauseen todistukseen, toteamme, että A+B A + B, aina kun A ja B ovat normiavaruuden E osajoukkoja.
4 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 119 Tämän havaitsemiseen valitsemme x A, y B ja ε > 0. Tällöin on olemassa sellaiset x 0 A ja y 0 B, että x x 0 < ε 2 ja y y 0 < ε 2, joten (x + y) (x 0 + y 0 ) x x 0 + y y 0 < ε. Siispä x + y A + B. Huomattakoon, että sisältyvyys voi olla aito (Harjoitustehtävä) Lemma. Olkoon E normiavaruus, F Banachin avaruus ja T lineaarinen surjektio E F. Jos V on jokin pisteen 0 E ympäristö avaruudessa E, niin T (V ) on pisteen 0 F ympäristö avaruudessa F. Todistus. Koska V on pisteen 0 E ympäristö, on olemassa sellainen B = B( 0, r), että B + B V. Jos y F, niin y = T x jollakin x E, koska oletimme, että T on surjektio. Valitaan sellainen n N, että x < nr, eli x nb. Siis y T (nb) = nt (B) nt (B). Koska y F on mielivaltainen, olemme siis osoittaneet, että F = nt (B). n=1 Tässä nt (B) = nt (B), sillä kuvaus x nx on homeomorfismi F F. Koska F on Banachin avaruus, voimme soveltaa Bairen lausetta, Seurauksen 7.2 muodossa: Siis ainakin yksi suljetuista joukoista nt (B) sisältää avoimen pallon. Merkitsemme jatkossa selvyyden vuoksi avaruuden F palloja notaatiolla B F. Jos nyt B F (x 0, ρ 0 ) nt B, niin B F ( x 0 n, ρ 0 n ) = 1 n B F (x 0, ρ 0 ) T (B), eli myös joukko T (B) sisältää avoimen pallon. Merkitään x = 1 n x 0 ja ρ = ρ 0 /n, jolloin siis B F (x, ρ) T (B). Lisäksi pätee, että x T (B). Nimittäin jos x T (B), niin löytyy sellainen approksimoiva jono (y n ) T (B), että x = lim y n. Nyt y n T (B) = T (B( 0, r)) = y n T (B) = x = lim( y n ) T (B). Tämän avulla saamme, että B F ( 0, ρ) = x + B F (x, ρ) T (B) + T (B) T (B) + T (B) = T (B + B) T (V ).
5 120 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Siis T (V ) on 0 F ympäristöavaruudessa F. Avoimen kuvauksen lauseen todistus: Osoitamme, että T on avoin pisteessä 0. Huomautamme, että Lemma 8.10 osoittaa melkein tämän, kunhan vain voisimme korvata joukon T (V ) joukolla T (V ). Todistus perustuukin tämän osoittamiseen. Olkoon r > 0, r 0 = 1 2 r ja r k = 2 k r 0, kun k N. Siis r k > 0 ja r 0 = r k. k=1 Lemman 8.10 nojalla löydämme luvut s k > 0, joille B F ( 0, s k ) T (B E ( 0, r k )), k N. Jos y T (B E ( 0, r k )), niin y T r k 0 ja siksi lim s k = 0. k Väitämme, että B F ( 0, s 0 ) T (B E ( 0, r)). Tätä varten olkoon y F ja y < s 0. Siispä y T (B E ( 0, r 0 )). Löytyy siis x 0 B E ( 0, r 0 ), jolle y T x 0 < s 1 eli y T x 0 B F ( 0, s 1 ) T (B E ( 0, r 1 )). Vastaavasti jatkamalla havaitsemme, että on olemassa sellainen x 1 B E ( 0, r 1 ), että y T x 0 T x 1 < s2, eli (y T x 0 T x 1 ) B F ( 0, s 2 ) T (B E ( 0, r k )). Induktioaskel: jos x k B E ( 0, r k ), 0 k n 1, ja n 1 y T x k B F ( 0, s n ) T (B E ( 0, r n )), niin on olemassa sellainen x n B E ( 0, r n ), että n y T x k < s n+1. Saamme siten konstruoitua jonon (x n ) n=1 avaruudessa E, jolle x k < r k kaikilla k N ja x k < r k = 2r 0 = r <,
6 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 121 eli sarja x k on normisuppeneva avaruudessa E. Koska oletimme, että E on täydellinen, niin Lauseen 3.22 sivulla 33 nojalla tiedämme, että sarja x k suppenee avaruudessa E. Merkitsemme tätä rajaa x = x k. Tällöin x x k < r 0 + r k = 2r 0 = r, joten x B E ( 0, r). Koska edelleen n n y T x k = y T x k < sn+1 0, kun n, niin y = lim n T ( n ) ( x k = T k=1 lim n n ) x k = T x. Olemme siis osoittanee seuraavan: Jos y F ja y < s 0, niin y = T x, missä x E ja x < r. Toisin sanoen, T (B E ( 0, r)) B F ( 0, s 0 ). Koska r > 0 oli mielivaltaisesti valittu, on siis T avoin kuvaus pisteessä 0, joten T on Lauseen 8.6 nojalla avoin kuvaus Huomautus. Avoimen kuvauksen lause voidaan formuloida myös seuraavalla yhtäpitävällä tavalla: Jos E ja F ovat Banachin avaruuksia ja T L (E, F ) on surjektio, niin on olemassa sellainen M <, että jokaista y F kohti on olemassa x E, jolle T x = y ja x M y. Todistus. Avoimen kuvauksen lauseen nojalla löytyy sellainen B F ( 0, 1/M) T (B E ( 0, 1)) jollakin M <. Jos nyt y F, niin y ŷ = M y B F ( 0, 1/M) ja siten ŷ = T x, missä x < 1 eli y = T (M y x) =: T x, ja x = M y x M y Seuraus. Olkoot E ja F Banachin avaruuksia ja T L (G, F ) jatkuva lineaarinen injektio. Tällöin kuva-avaruus T (E) on avaruuden F suljettu aliavaruus jos ja vain jos löytyy sellainen β > 0, että (8.13) T x β x jokaisella x E.
7 122 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Huomautus. Jos yllä oleva ehto (8.13) pätee, sanomme että T on alhaalta rajoitettu. Todistus. Oletetaan, että T (E) on suljettu. Koska T (E) F on Banachin avaruuden suljettu aliavaruus, niin se on myös Banachin avaruus (Lause 3.13 sivulla 29). Nyt siis T : E T (E) on jatkuva bijektio, joten väite seuraa suoraan avoimen kuvauksen lauseesta (kun käytetään edellisen sivun muotoilua). Jos ehto (8.13) pätee, niin β x T x α x jokaisella x E, koska T on myös jatkuva. Siispä T : E T (E) on lineaarinen isomorfismi ja Lauseen 6.13 sivulla 102 nojalla T (E) on täydellinen. Nyt Lause 3.13 sivulla 29 mukaan T (E) on suljettu. Huomautus. Yleensä jatkuva lineaarinen injektio T L (G, F ) ei ole alhaalta rajoitettu. Esimerkiksi operaattori T : l 2 l 2, T (x k ) = ( 1 k x k), kun (x k ) l 2, on jatkuva lineaarinen injektio. Mutta joten T ei ole alhaalta rajoitettu. T (0, 0,..., 1, 0,... ) 2 = 1 k 0, Sovellus Fourier-analyysiin Muistamme, että jos f L 2 (0, 2π), niin sen Fourier-kertoimet ( f(k)) k l 2 (Z) Besselin epäyhtälön nojalla. Kääntäen, Riesz Fisherin lauseen mukaan, jos (a k ) k l 2, niin on olemassa f L 2 (0, 2π), jolle Tästä herää seuraavat kysymykset: f(k) = a k jokaisella k Z. 1. Onko L 1 -funktioille olemassa vastaava jonoavaruus X, jolle ( ˆf(k)) k X kaikilla f L 1 (0, 2π)? 2. Onko Riesz Fischerin lauseella vastinetta avaruudessa L 1? Ensimmäiseen kysymykseen saadaan valoa nk. Riemann Lebesguen lemmasta: Lause (Riemann Lebesguen lemma). Jos f L 1 (0, 2π), niin ( f(n)) n c 0 (Z). Todistus. HT 12/2006.
8 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 123 Siis X = c 0 (Z) kelpaa hyvin vastaukseksi kysymykseen 1. Seuraavaksi vastataan kysymykseen 2. eli tarkastellaan onko Riemann Lebesguen lemman 8.14 käänteinen tulos voimassa (eli onko kysymykseen 2. vastaus myönteinen). Avoimen kuvauksen lauseen avulla osoitamme, että käänteinen tulos ei ole voimassa Lause. Kuvaus T : f ( ˆf(n)) n on jatkuva lineaarinen injektio avaruudelta L 1 (0, 2π) avaruuteen c 0 (Z). Kuva-avaruus T (L 1 (0, 2π)) on tiheä avaruudessa c 0 (Z), mutta T ei ole surjektio. Todistus. Selvästi T on lineaarinen. Edellisen lauseen todistus näyttää, että T on jatkuva kuvaus T : L 1 c 0 ja T (2π) 1. (Itse asiassa: T = (2π) 1, sillä jos f(t) 1 kun t [0, 2π], niin f 1 = 2π ja T f = 1, koska f(0) = 1 ja f(k) = 0, kun k 0). Näytetään seuraavaksi, että T on injektio. On siis osoitettava, että jos T f = 0, eli f(n) = 0 kaikilla n Z, niin itse asiassa f = 0. Oletamme siis, että T f = 0, joten 2π m (8.16) f(t) g(t) dt = 0, aina kun g = a k e ikt, 0 k= m eli aina kun g on trigonometrinen polynomi. Lauseen 5.4 sivulla 76 ja Lebesguen dominoidun suppenemisen lauseen avulla kaava (8.16) pätee myös kaikilla g C(0, 2π) (mieti yksityiskohdat tarkasti). Jos nyt A [0, 2π] on mitallinen joukko, niin Lauseen 5.6 sivulla 78 todistuksen nojalla löytyy sellainen jono (g n ) n C(0, 2π), että g n (t) 1 t [0, 2π], n N ja lim g n (t) = n χ A (t) m.k. t [0, 2π]. Soveltamalla taas Lebesguen dominoidun suppenemisen lausetta, niin saamme, että kaava (8.16) pätee myös funktioille g = χ A. Olkoon nyt f L 1 (0, 2π) positiivinen funktio eli f 0. Olkoon n > 0 ja olkoon A n = { t [0, 2π] : f(t) > 1/n }. Joukko A on mitallinen joukko, sillä f on mitallinen funktio. Nyt soveltamalla kaavaa (8.16) joukon A n karakteristiseen funktioon χ An, jolloin havaitaan että 0 = 2π 0 f(t)χ An (t) dt 1 n m(a). Siispä m(a n ) = 0 jokaisella n N, joten päättelemme, että myös joukon A = A n mitta m(a) = 0. Koska A = { t [0, 2π] : f(t) 1/n } = { t [0, 2π] : f(t) > 0 }, n=1
9 124 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI niin olemme osoittaneet, että 0 f(t) 0 m.k t [0, 2π], joten f(t) = 0 m.k. t [0, 2π]. Olkoon nyt f L 1 (0, 2π) mielivaltainen. Tällöin funktio f voidaan esittää muodossa f = (u + u ) + i(v + v ), u +, u, v +, v 0. Edellisen päättelyn nojalla u + = u = v + = v = 0 melkein kaikkialla, joten f(t) = 0 m.k. t [0, 2π]. Olemme siis osoittaneet, että Ker (T ) = {0} ja T on injektio. Kuva T (L 1 ) on tiheä: Olkoon (a k ) k c 00 (Z) c 0 (Z) äärellinen jono, ts. a k = 0, kun k > m (jollakin m N). Tällöin trigonometrinen polynomi on L 1 -funktio, ja P (n) = 1 2π m k= m P (t) = m k= m { 2π a k e ikt e int dt = 0 a k e ikt a k, jos n = m, m + 1,..., m 0, jos n > m Siis T P = ( P (k)) k = (a k ) k, joten päättelemme, että c 00 (Z) T (L 1 ). Koska äärelliset jonot c 00 ovat tiheässä avaruudessa c 0 (Z), joten kuva T (L 1 ) on tiheä avaruudessa c 0 (Z). Lopuksi osoitamme, että T (L 1 ) c 0 (Z) eli T ei ole surjektio. Jos T olisi surjektio, eli T (L 1 ) = c 0, niin silloin T : L 1 c 0 olisi bijektio. Tällöin avoimen kuvauksen lauseen nojalla T olisi isomorfismi, joten erityisesti (8.17) T f β f 1 jokaisella f L 1 (0, 2π). Toisaalta tiedämme, että Dirichlet n ydin D n (x) L 1 (0, 2π) jokaisella n N ja lisäksi ( D n (k)) = 1. Toisaalta Lauseen 7.9 sivulla 112 todistuksessa osoitimme (kaava (7.12)), että D n 1. Tämä johtaa ristiriitaan arvion (8.17) kanssa, joten T ei ole surjektio. Esitämme vielä suljetun kuvaajan lauseen (Lause 8.20 alla), joka on avoimen kuvauksen lauseen sovellus (itse asiassa sen yhtäpitävä versio). Tämän keskeisen tuloksen avulla voidaan usein helpommin todistaa, että annettu lineaarikuvaus on jatkuva Määritelmä. Kuvauksen f : X Y kuvaaja on joukko G(f) = { (x, f(x)) X Y : x X } X Y.
10 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 Jos E ja F ovat normiavaruuksia, niin varustetaan seuraavassa E F normilla (x, y) = x + y, (x, y) E F. Tällöin (E F, ) on Banachin avaruus, jos E ja F ovat Banachin avaruuksia (tarkista!). Seuraavaksi yleinen topologinen tieto: Lause. Olkoon E ja F normiavaruuksia sekä f : X Y jatkuva kuvaus. Tällöin funktion f kuvaaja G(f) E F on suljettu joukko. Todistus. Jos (x, y) G(f) E F, niin jokaisella n N on olemassa sellainen jono (x n, y n ) G(f), että (x n, y n ) (x, y) E F 0, kun n. Määritelmän nojalla (x n, y n ) G(f) tarkoittaa, että y n = f(x n ) kaikilla n N. Lisäksi x n x (x n, y n ) (x, y) E F 0, kun n, joten lisäksi x n x avaruudessa E. Koska oletimme, että f on jatkuva, niin f(x n ) f(x) avaruudessa F. Toisaalta f(x n ) = y n ja vastaavasti kuin jonolle (x n ) voidaan osoittaa, että f(x n ) = y n y avaruudessa F, joten raja-arvon yksikäsitteisyyden nojalla y = f(x) eli (x, y) = (x, f(x)) G(f). Siispä G(f) on suljettu avaruudessa E F. Huomautus. Jos T : E F on lineaarinen, niin sen kuvaaja G(T ) on avaruuden E F vektorialiavaruus. Jos E ja F on Banachin avaruuksia, niin edellisen lauseen nojalla ja sitä edeltäneen huomautuksen nojalla G(T ) on myös Banachin avaruus. Suljetun kuvaajan lause kertoo, että käänteinen tulos pätee lineaarikuvauksille T : E F, missä E, F ovat Banachin avaruuksia Lause (Suljetun kuvaajan lause). Olkoot E ja F Banachin avaruuksia, ja T : E F sellainen lineaarikuvaus, että kuvaaja G(T ) = { (x, T x) : x E } E F on suljettu joukko. Tällöin T on jatkuva, eli T L (E, F ). Todistus. Koska E F on Banachin avaruus ja kuvaaja G = G(T ) on suljettu vektorialiavaruus, niin G on Banachin avaruus Lauseen 3.12 sivulla 29 nojalla. Määritellään kuvaus ψ : G(T ) E asettamalla ψ ( (x, T x) ) = x, (x, T x) G(T ).
11 126 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI Koska kuvaus T on lineaarinen, niin ψ lineaarinen. Lisäksi ψ on bijektio, sillä selvästi ψ on surjektio ja ψ on myös injektio, sillä Lisäksi ψ on rajoitettu, sillä ψ ( (x, T x) ) = 0 = x = 0 = (x, T x) = ( 0, 0). ψ ( (x, T x) ) = x x + T x = (x, T x), (x, T x) G(T ). Siispä ψ on jatkuva lineaarinen bijektio G(T ) E. Nyt avoimen kuvauksen lauseen 8.7 (tai sen muotoilun Seuraus 8.8) nojalla myös käänteiskuvaus ψ 1 on jatkuva, joten ψ on homeomorfismi. Nyt Seurauksen 6.11 sivulla 102 nojalla on olemassa vakio sellainen β > 0, että β (x, T x) ψ ( (x, T x) ) = x kaikilla (x, T x) G(T ). Tämän avulla saadaan arvio β T x β( x + T x ) = β (x, T x) x kaikilla x E. Siis T x (1/β) x, joten T on jatkuva Huomautus. Edellisessä lauseessa lineaarisuus on oleellinen oletus, sillä on olemassa epäjatkuva (ja epälineaarinen) f : R R, jonka kuvaaja G(f) R R on suljettu (Harjoitustehtävä) Huomautus. Suljetun kuvaajan lause antaa uuden laskennallisen menetelmän lineaarisen kuvauksen T jatkuvuuden toteamiseen. Lauseen nojalla riittää osoittaa, että G(T ) = G(T ), mikä on yhtäpitävää sen kanssa, että jos jokaisella x E seuraava ehto toteutuu: } x n x avaruudessa E (*) = y = T x. T x n y avaruudessa F Seuraavassa tarkastellaan tyypillistä suljetun kuvaajan lauseen sovelluta Esimerkki. Olkoon (a ij ) i,j ääretön matriisi, joka toteuttaa ehdot: (1) Matriisi (a ij ) on rajoitettu, eli M := sup i,j a ij <. (2) Jos s = (s j ) l 1 on mielivaltainen jono, niin (t i ) l 1, kun t i = a ij s j j=1 kaikilla i N.
12 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 127 Ehto (2) sanoo, että matriisi (a ij ) määrittelee lineaarikuvauksen A : l 1 l 1, jolle ( ) As = a ij s j, kun s = (s j ) l 1. j=1 Intuitiivisesti tämä voidaan ajatella seuraavasti: a 11 a 12 a s 1 a As = 21 a 22 a s 2 a 31 a 32 a s 3, s = (s j) l i Harjoitustehtävänä (HT 12/2006) osoitamme, että A on jatkuva käyttämällä suljetun kuvauksen lausetta.
8. Avoimen kuvauksen lause
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotSeuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
Lisätiedot6. Lineaariset operaattorit
96 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että Fourier-sarjat suppenevat L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla 80). Osoitimme myös, että kun f on jatkuva ja
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna
Lisätiedotf(k)e ikx = lim S n (f; x) kaikilla x?
102 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että jos f L 2, niin vastaavan Fourier-sarjan osasummat suppenevat kohti f:ää L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla
LisätiedotHarjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 4.1. Viime kerralta. Esimerkki lokaalikonveksin avaruuden osajoukosta, joka
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotMääritelmä 2.5. Lause 2.6.
Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
LisätiedotLebesguen mitta ja integraali
Lebesguen mitta ja integraali Olkoon m Lebesguen mitta R n :ssä. R 1 :ssä vastaa pituutta, R 2 :ssa pinta-alaa, R 3 :ssa tilavuutta. Mitallinen joukko E R n = joukko jolla on järkevästi määrätty mitta
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
LisätiedotBijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
LisätiedotAnalyysin peruslause
LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta
Lisätiedote int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotLUKU 6. Mitalliset funktiot
LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotMetriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00
1 Metriset avaruudet Erno Kauranen 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1. Sisätulo ja normiavaruus................................................. 3 2. Metrinen avaruus........................................................
LisätiedotU β T. (1) U β T. (2) {,X} T. (3)
1.1 a) Joukkoperhe T = α I T α P(X) on topologia. Todistus. Osoitetaan, että topologian määritelmän 1.1 ehdot (1), (2) ja (3) toteutuvat. Ehtoa (1) varten olkoon {U β β J} T. Pitää osoittaa, että U β T.
Lisätiedot2. Normi ja normiavaruus
8 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 2. Normi ja normiavaruus Olkoon E vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) skalaarikuntana K = R tai K = C. Kurssilla Lineaarialgebra I määriteltiin vain R-kertoimiset vektoriavaruudet,
LisätiedotKantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen
Kantavektorien kuvavektorit määräävät lineaarikuvauksen Lause 18 Oletetaan, että V ja W ovat vektoriavaruuksia. Oletetaan lisäksi, että ( v 1,..., v n ) on avaruuden V kanta ja w 1,..., w n W. Tällöin
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7 2. Normi ja normiavaruus Olkoon E vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) skalaarikuntana K = R tai K = C. Kurssilla Lineaarialgebra I määriteltiin vain R-kertoimiset vektoriavaruudet,
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan
Lisätiedot4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit
STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 45 4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit Lähestymme nyt jo kovaa vauhtia hetkeä, jolloin voimme aloittaa stokastisen integroinnin. Ennen sitä käymme vielä läpi yhtä
LisätiedotTopologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus
Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus 1. (5:7) Olkoon E normiavaruus, I = [0, 1] ja f, g : I E jatkuvia. Osoita, että yhtälön h(s, t) = (1 t)f(s) + tg(s) määrittelemä kuvaus h : I 2 E on
LisätiedotKompaktisuus ja filtterit
Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L
Lisätiedotd ) m d (I n ) = 2 d n d. Koska tämä pätee kaikilla
MAT21007 Mitta ja integraali Harjoitus 2 viikko 25.3-29.3 2019) Palauta mieleen: monisteen luku 0; Topologia I) avaruuden d euklidinen etäisyys, avoimet kuulat ja joukot. Ohjausta laskuharjoitusten tekoon:
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotMetriset avaruudet 2017
Metriset avaruudet 2017 Jouni Parkkonen Merkintöjä N = {0, 1, 2,... } luonnolliset luvut #(A) N { } joukon A alkioiden lukumäärä A B = {a A : a / B} joukkojen A ja B erotus. A B on joukkojen A ja B erillinen
Lisätiedotf(x) sin k x dx, c k = 1
f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N,
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4 (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, i=1 A i = R 1, ja f : R 1 R 1 ei ole jatkuva. Lause
Lisätiedot14. Juurikunnat Määritelmä ja olemassaolo.
14. Juurikunnat Mielivaltaisella polynomilla ei välttämättä ole juuria tarkasteltavassa kunnassa. Tässä luvussa tutkitaan sellaisia algebrallisia laajennoksia, jotka saadaan lisäämällä polynomeille juuria.
LisätiedotMetriset avaruudet 2017
Metriset avaruudet 2017 Jouni Parkkonen Lukijalle Nämä ovat muistiinpanoni metristen avaruuksien kurssille syyslukukaudella 2017. Kurssi on johdatus metristen avaruuksien teoriaan. Peruskäsitteiden (metriikka,
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
Lisätiedot4. Hilbertin avaruudet
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 51 4. Hilbertin avaruudet Hilbertin avaruudet ovat ääretönulotteisista normiavaruuksista ominaisuuksiltaan kaikkein lähinnä kotiavaruutta R n tai C n. Tästä syystä niiden
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 9
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 9 (1) Avaruuden X osajoukko A on G δ -joukko, jos se on numeroituva leikkaus avoimista joukoista ja F σ -joukko, jos se on numeroituva yhdiste suljetuista joukoista. Osoita,
LisätiedotLaskutoimitusten operaattorinormeista
Laskutoimitusten operaattorinormeista Rami Luisto 27. tammikuuta 2012 Tiivistelmä Tässä kirjoitelmassa määrittelemme vektoriavaruuksien väliselle lineaarikuvaukselle normin ja laskemme sen eksplisiittisesti
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
LisätiedotJohdatus matemaattiseen päättelyyn
Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotLuku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a
Lisätiedot5. Fourier-sarjat. f(x) e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. f(x) e inx dx = f(n)
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 73 5. Fourier-sarjat Fourier esitti vuonna 1822 lämmönjohtamista koskevien tutkimusten yhteydessä kuuluisan menetelmänsä esittää mielivaltainen -jaksollinen funktio kehitelmänä
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotReaalianalyysin perusteita
Reaalianalyysin perusteita Heikki Orelma 16. marraskuuta 2008 Sisältö 1 Johdanto 3 2 Mitallisuus 3 3 Yksinkertaiset funktiot 6 4 Mitat ja integrointi 7 5 Kompleksisten funktioiden integrointi 10 6 Nolla-mittaisten
LisätiedotJoukot metrisissä avaruuksissa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotMetriset avaruudet ja Topologia
Metriset avaruudet ja Topologia 1.0 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.5-1.0 Jouni Parkkonen Luentoja Jyväskylän yliopistossa syksyllä 2018 Sisältö I Metriset avaruudet 5 1 Metriset avaruudet 7 1.1 Määritelmä ja
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSI 2017
FUNKTIONAALIANALYYSI 2017 JOUNI PARKKONEN Nämä ovat muistiinpanoni funktionaalianalyysin kurssille kevätlukukaudella 2017. Tekstiä ei ole luettu äärimmäisen huolella puhtaaksi eikä sitä ole viilattu julkaisemista
LisätiedotKarteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21
säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1
LisätiedotRatkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta
LisätiedotJohdanto Lassi Kurittu
Johdanto Tämä luentomoniste on kirjoitettu syksyn 2012 topologian kurssin jälkimmäisen osan luentomateriaaliksi. Kurssin ensimmäisellä puoliskolla käsiteltiin metrisiä avaruuksia, mutta nyt siirrytään
LisätiedotJohdatus topologiaan (4 op)
180305 Johdatus topologiaan (4 op) Kevät 2009 1. Alkusanat Sana topologia on johdettu kreikan kielen sanoista topos ja logos, jotka merkitsevät paikkaa ja tietoa. Jo 1700-luvun alussa käytettiin latinan
LisätiedotCantorin joukko LUKU 8
LUKU 8 Cantorin joukko 8.. Cantorin 3 -joukko Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, = (, 2). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 3 3, ja
LisätiedotJohdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen
Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen 1. Väite: Funktio f : [, ) [1, ), missä on bijektio. f(x) = x + 4x + 5, Todistus: Luentomateriaalissa todistettujen
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus 2, malliratkaisut
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka tutuksi Harjoitus, malliratkaisut 1.-5.9.009 1. Muodosta joukot A B, A B ja A\B sekä laske niiden alkioiden lukumäärät (mikäli kyseessä on äärellinen
LisätiedotMetriset avaruudet ja Topologia
Metriset avaruudet ja Topologia 1.0 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.5-1.0 Jouni Parkkonen Luentoja Jyväskylän yliopistossa syksyllä 2018 Sisältö I Metriset avaruudet 7 1 Metriset avaruudet 9 1.1 Määritelmä ja
LisätiedotRatkaisu: Ensimmäinen suunta. Olkoon f : R n R m jatkuva eli kaikilla ε > 0 on olemassa sellainen δ > 0, että. kun x a < δ. Nyt kaikilla j = 1,...
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2017 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotukset 11 Osoita, että vektorifunktio f = (f 1,, f m ): R n R m, on jatkuva, jos ja vain jos jokainen komponenttifunktio
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotMetriset avaruudet ja Topologia
Metriset avaruudet ja Topologia 1.0 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.5-1.0 Jouni Parkkonen Luentoja Jyväskylän yliopistossa syksyllä 2017 Sisältö I Metriset avaruudet 5 1 Metriset avaruudet 7 1.1 Määritelmä ja
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
Lisätiedot1 Tensoriavaruuksista..
1 Tensoriavaruuksista.. Käydään läpi kirjan (1) sivut 126-133. 19.02.2007 Palautetaaieleen viime kerran tärkeä määritelmä: (kirja, Määr. 5.12). Määritelmä 1.1 Olkoon T vektoriavaruus ja Φ : V 1 V 2 V m
LisätiedotOnko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?
Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
LisätiedotKanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
LisätiedotMääritelmä Olkoon T i L (V i, W i ), 1 i m. Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L (V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m )
Määritelmä 519 Olkoon T i L V i, W i, 1 i m Yksikäsitteisen lineaarikuvauksen h L V 1 V 2 V m, W 1 W 2 W m h v 1 v 2 v m T 1 v 1 T 2 v 2 T m v m 514 sanotaan olevan kuvausten T 1,, T m indusoima ja sitä
Lisätiedot9. Dualiteetti. Todistus. Väite seuraa suoraan Lauseesta 6.6, koska skalaarikunta K on täydellinen.
128 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 9. Dualiteetti Jos E on vektoriavaruus, niin merkintä E = L(E, K) tarkoittaa avaruuden E algebrallista duaalia. Duaalin E ovat avaruuden E lineaarisia muotoja. Jos
LisätiedotTopologisten avaruuksien metristyvyys. Toni Annala
Topologisten avaruuksien metristyvyys Toni Annala Sisältö 1 Johdanto 2 2 Topologiset avaruudet 3 3 Erotteluaksioomat 8 4 Metristyvät avaruudet 13 5 Metristyvyys 17 1 Luku 1 Johdanto Topologia on matematiikan
Lisätiedotb) Olkoon G vähintään kaksi solmua sisältävä puu. Sallitaan verkon G olevan
Tehtävä 7 : 1 a) Olkoon G jokin epäyhtenäinen verkko. Tällöin väittämä V (G) 2 pätee jo epäyhtenäisyyden nojalla. Jokaisella joukolla X on ehto X 0 voimassa, joten ehdot A < 0 ja F < 0 toteuttavilla joukoilla
LisätiedotTopologian demotehtäviä
Topologian demotehtäviä 31.10.2012 1.1 Olkoon X joukko ja {T α } α I epätyhjä (eli I ) perhe X:n topologioita. Ovatko joukot T α P(X) ja/tai T α P(X) α I välttämättä X:n topologioita? Tässä on ehkä syytä
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotEsko Turunen MAT Algebra1(s)
Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
Lisätiedot[E : F ]=[E : K][K : F ].
ALGEBRA II 35 Lause 4.4 (Astelukulause). Olkoot E/K/Fäärellisiä kuntalaajennuksia. Silloin [E : F ]=[E : K][K : F ]. Todistus. Olkoon {α 1,...,α n } kanta laajennukselle E/K ja {β 1,...,β m } kanta laajennukselle
Lisätiedot= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120
Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen
LisätiedotKuinka määritellään 2 3?
Kuinka määritellään 2 3? y Nyt 3 = 1,7320508.... Luvut 3 2 x x 3 2 x 2 1 = 2, 2 1,7 3,2490, 2 1,73 3,3173, 2 1,732 3,3219,... ovat hyvin määriteltyjä koska näihin tarvitaan vain rationaalilukupotenssin
LisätiedotPäättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1
Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon
LisätiedotMatriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?
Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi
Lisätiedot1 Reaaliset lukujonot
Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot
LisätiedotReaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13
Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen
Lisätiedot5. Fourier-sarjat. f(x)e inx dx. c n (cos(nx) + i sin(nx)), n= N. 2π f(x)e inx dx = 1 2π. k= N. e inx, n Z. 2π f(x)e inx dx = 1 (f e n ) 2π
78 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 5. Fourier-sarjat Fourier esitti vuonna 1822 lämmönjohtamista koskevien tutkimusten yhteydessä kuuluisan menetelmänsä esittää mielivaltainen -jaksollinen funktio kehitelmänä
LisätiedotSarjoja ja analyyttisiä funktioita
3B Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B a Etsi funktiolle z z 5 potenssisarjaesitys kiekossa B0, 5. b Etsi funktiolle z z potenssisarjaesitys kiekossa, jonka keskipiste on z 0 4. Mikä on tämän potenssisarjan
LisätiedotDerivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
LisätiedotTAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö TOPOLOGIA
TAMPEREEN YLIOPISTO Informaatiotieteiden yksikkö TOPOLOGIA Arttu Ojanperä (Eero Hyryn luentojen mukaan) 2013 Sisältö 1 Johdanto 4 1 Jatkuvat kuvaukset........................ 4 2 Avoimet joukot..........................
Lisätiedot