Derivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2

Transkriptio

1 MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07. Oletetaan että vektorikenttä E E E E : R R on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva E C R. Näytä että E E. Derivaatat lasketaan komponenteittain esimerkiksi E E E E. Muistetaan operaattorit x div curl ja x x i j x k. Kun tässä operoidaan skalaariope- raattorilla vektorikenttään niin tarkoitetaan että operoidaan komponenteittain vektorikentän komponenttifunktioihin. Todistus. Komponenteittain laskemalla saadaan E E E E E E E x x x E x E x x E E E E E E E E. E E E E E E x x x x E x x x E x E E E E x x E x E x E E E E. Jatkoa edelliseen tehtävään Näytä että E E E.

2 MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07 Todistus. Tehtävää hyödyntämällä saadaan laskettua E E E E E E E x x x x E E E E x x x x E E E E x x x x E E E E x x x x E E x E E E x x E E x E E E E x x E E x E x E E } {{ } 0 E }{{} 0 E } {{ } 0 E E E E x x x E E x x E E E x x x E E E E E E E E E E E E E E x x x x x E E E E x x x E E E E E E. x x E. Osoita että ρ J. Ohje: Näytä että u 0 kaikille funktioille u : R R u C R.

3 MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07 Osoitetaan ensin ohjeen väite: olkoon F : R R kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva. Silloin F F F F F F F F F F F F F F F F F F F 0 koska osittaisderivaatat kommutoivat. Maxwellin ensimmäisestä ja neljännestä yhtälöstä seuraa nyt että ρ tε 0 E ε 0 t E µ 0 B J missä viimeinen vaihe seuraa tehtävän ohjeesta. µ 0 B J J 4. Oletetaan että f C R on mielivaltainen funktio E fx ct 0 0 ja B a Näytä että funktiot E ja B ovat aaltoyhtälön u c u 0 ratkaisuja. b Näytä että funktiot E ja B ovat Maxwellin yhtälöiden rakaisuja vain jos f on vakiofunktio. Tästä voidaan päätellä että kaikki aaltoyhtälön ratkaisut eivät ole Maxwellin yhtälöiden ratkaisuja. a Todistus. B on triviaalisti ratkaisu koska nollafunktio on aaltoyhtälön ratkaisu ja derivaatat toimivat komponenteittain. Samasta syystä myös E:n toinen ja kolmas komponenttifunktio toteuttavat aaltoyhtälön. Pitää siis vielä osoittaa että E:n ensimmäinen komponenttifunktio ux y z t fx ct on aaltoyhtälön ratkaisu. Ketjusäännön avulla saadaan t u cf x ct x u f x ct y u 0 yu 0 z u 0 zu 0. t u c f x ct xu f x ct

4 MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07 Näiden avulla voidaan laskea t u c u t u c xu c f x ct c f x ct 0. b Todistus. Oletetaan että B ja E ovat Maxwellin yhtälöiden ratkaisuja. Silloin Maxwellin neljännestä yhtälöstä seuraa t E c B 0. Erityisesti kun tarkastellaan E:n ensimmäistä komponenttifunktiota tämä tarkoittaa että 0 t fx ct cf x ct. Koska c 0 ja viimeinen yhtälö pätee kaikilla x t niin nähdään että f 0 kaikkialla eli f on vakiofunktio. 5. Oletetaan että E B : R R R ovat aaltoyhtälön u c u 0 ratkaisuja ja että E B C R R; R. a Näytä että Ej x k j k ja E vastaavat väitteet funktiolle B. b Näytä että E B E ratkaisuja. ovat aaltoyhtälön ratkaisuja ja päättele c B ja B E ovat aaltoyhtälön a Todistus. Koska oletusten nojalla jokainen komponenttifunktio E j on aaltoyhtälön ratkaisu niin E j c E j 0. Koska E j on kolme kertaa jatkuvasti derivoituva saadaan derivoimalla ylläolevaa yhtälöä x k :n suhteen että 0 E j x k c E j Ej c Ej x k x k eli Ej x k on aaltoyhtälön ratkaisu. Samalla tavalla nähdään derivoimalla yhtälöä ajan suhteen että myös E on aaltoyhtälön ratkaisu. Vastaavat väitteet pätevät myös B:lle sillä oletukset ovat identtiset. 4

5 MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07 b Todistus. Huomataan ensin että aaltoyhtälö on lineaarinen: jos u ja v ovat aaltoyhtälön ratkaisuja ja a b R niin au bv c au bv a u c u b v c v a 0 b 0 0 eli myös au bv on aaltoyhtälön ratkaisu. Koska funktiot E B E lineaari- c B ja B Ej E ovat funktioden x k Ej Bj kombinaatioita yhtälön lineaarisuus ja a-kohta todistaa väitteen. x k Bj 6. Jatkoa edelliseen tehtävään E a Oletetaan että E B c B ja B E ovat kaikki nollia kun t 0. Päättele sama tulos näiden funktioiden aikaderivaatoille. Ohje: u 0 kaikille funktioille u : R R u C R. b Näytä että E ja B toteuttavat Maxwellin yhtälöt käyttämällä seuraavaa tietoa: aaltoyhtälön ratkaisu on yksikäsitteinen annetulla alkuarvoilla ts. kun u t0 ja u t0 on annettu. Tästä voidaan päätellä että Maxwellin yhtälöt voidaan ratkaista aaltoyhtälön avulla. a Todistus. Koska osittaisderivaatat kommutoivat niin t E t0 t E t0. Koska divergenssin määritelmässä esiintyvät ainoastaan paikkaderivaattoja niin oikea puoli riippu ainoastaan funktion t E arvoista hetkellä t 0. Oletusten nojalla kun t 0 joten saadaan siis t E c B t E t0 c B t0 0 missä viimeinen vaihe seuraa ohjeesta. Vastaavalla tavalla nähdään että t B t0 0. Merkitään nyt F t E c B. Koska E on aaltoyhtälön ratkaisu niin t F t E c t B c E t B. 5

6 MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07 Lauseke t B t0 riippuu ainoastaan funktion t B arvioista ajanhetkellä t 0 ja t B E kun t 0 joten saadaan t F t0 c E E t0 c E t0 0. Tässä käytettiin tehtävää ja oletus E t0 0. Vastaavasti nähdään että t t B E t0. b Todistus. Tehtävän 5b nojalla funktiot E B ja funktioiden t Ec B ja t B E komponenttifunktiot ovat kaikki aaltoyhtälön ratkaisuja. Lisäksi nämä funktiot toteuttavat alkuarvot u t0 0 ja t u t0 0. Toisaalta myös nolla-funktiolla on nämä samat ominaisuudet. Koska tiedetään että ratkaisu annetuilla alkuarvoilla on yksikäsitteinen saadaan että funktiot E B ja funktioiden t E c B ja t B E komponenttifunktiot ovat kaikki nollafunktioita. Mutta tämä tarkoittaa täsmälleen että E ja B toteuttavat Maxwellin yhtälöt. 6