Matematiikan tukikurssi

Transkriptio

1 Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja suppenee. Jos tämä summa ei ole olemassa, sarja hajaantuu. Sarja hajaantuu esimerkiksi silloin, kun yllä oleva summa on ääretön eli Näin käy esimerkiksi sarjoille a k =. k= n = ja n = On suoraan selvää, että näistä sarjoista ylemmän summa on ääretön. Yllättävämpää on, että myös alemman sarjan summa on ääretön. Näin on siis siitäkin huolimatta, että sarjan n:s summattava termi /n lähestyy nollaa kun n kasvaa rajatta. Tässä vaiheessa kannattaa siis huomata, että se että sarjan n:s termi a n lähestyy nollaa ei takaa sarjan suppenemista. Alla käytän sarjan termien indekseinä kirjainta n kun taas yllä tämä indeksi oli k (laskuharjoituksissa tapahtuu sama vaihto). Tällä indeksillä ei ole varsinaisesti mitään merkitystä. Merkintä n korostaa sitä, että tähän n:n paikalle laitetaan luonnollisia lukuja.

2 Aiemmin tutkittiin geometrisia sarjoja aq k = a + aq + aq 2 + aq 3... k=0 Tällainen geometrinen sarja suppenee aina silloin, kun suhdeluku q on yhden ja miinus yhden välissä eli < q <. Täten esimerkiksi sarja k= ( ) k 2 = ( ) ( ) ( ) suppenee. Geometrisen sarjan summa on a/( q) eli yllä (2/3)/( 2/3) = (2/3)/(/3) = 2. On vielä syytä huomata, että jos mikä tahansa sarja leikataan jostain kohdasta poikki siten, että lasketaan ainoastaan j:n ensimmäisen termin summa a n = a + a a j + a j niin tämä summa on aina äärellisenä olemassa, koska siinä on summattavana äärellinen määrä termejä. Tästä seuraa, että sarjan hajaantuminen tai suppeneminen riippuu ainoastaan sen hännästä eli loppusummasta a j + a j+ + a j Tästä seuraa, että esimerkiksi sarja n=j n = j + j hajaantuu riippumatta siitä, kuinka suuri luku j:ksi valitaan. 2 Majorantti- ja minoranttiperiaate Tässä vaiheessa on hyvä määritellä sarjojen suppeneminen tarkemmin kuin että summa k= a k on olemassa. Ajatellaan nyt jäsenten osasummia eli n:n ensimmäisen termin summaa S n = n a i = a + a a n. i= 2

3 Esimerkiksi sarjan n ensimmäiset osasummat ovat S = S 2 = + 2 S 3 = Nyt saadaan sarjojen suppenemiselle ja hajaantumiselle tarkka määritelmä: Määritelmä. Olkoon a i = a + a i= sarja. Merkitään S n :llä sen n:ttä osasummaa. Eli esimerkiksi S = a S 2 = a + a 2 S 3 = a + a 2 + a 3 S 4 = a + a 2 + a 3 + a 4 ja niin edelleen. Muodostetaan näistä osasummista S, S 2, S 3,... jono (S, S 2, S 3,... ). Nyt sarja a i = a + a 2 + a i= suppenee jos sen osasummien jono suppenee ja hajaantuu jos sen osasummien jono hajaantuu. Esimerkki. Sarja i = i= hajaantuu, sillä sen osasummien jono on muotoa (, 3, 6, 0... ) eikä selvästi lähesty mitään tiettyä reaalilukua, joten sarja hajaantuu. Esimerkki 2. Sarja i= ( ) i = suppenee, sillä sen osasummien jono on muotoa (, 3, 7,... ) ja lähestyy lukua

4 Huomaa kuitenkin, että osasummien kirjoittaminen kuten yllä ei ole todistus suppenemisesta. Näistä osasummista on kuitenkin se hyöty, että niiden avulla saadaan pääteltyä yksi kriteeri sarjojen suppenemiselle. Ensinnä oletetaan, että meillä on sarja, jonka termit ovat positiivisia eli a i > 0 kaikilla i. Tästä seuraa se, että osasummat (S, S 2, S 3,... ) muodostavat kasvavan jonon, koska S j S j = a j. Keskeinen lause tällaisille kasvaville jonoille on, että kasvava jono suppenee jos se on ylhäältä rajoitettu. Osasummien kohdalla tämä tarkoittaa seuraavaa: Lause. Osasummien jono (S, S 2, S 3,... ) suppenee, jos. Nämä osasummat muodostavat kasvavan jonon eli jos kaikki termit a i ovat positiivisia. 2. Tämä osasummien jono on ylhäältä rajoitettu eli on olemassa luku M siten että S n < M eli jokainen osasumma on aina alle M:n. Osasummien jonon suppeneminen tarkoittaa, että summa a n on äärellisenä olemassa. Täten yllä oleva lause antaa riittävät ehdot sarjan suppenemiselle. Esimerkki 3. Sarjan n:s osasumma on n= n < < n Eli osasummat ovat ylhäältä rajoitettuja: S n on aina pienempi kuin 3. Koska lisäksi sarjan termit n! ovat positiivisia, niin sarja suppenee lauseen nojalla. Tässä vaiheessa on syytä palauttaa mieleen, että sarja n hajaantuu ja että geometriset sarjat k=0 aqk suppenevat, kun < q <. Näiden avulla voimme osoittaa useiden muiden sarjojen suppenemisen tai hajaantumisen vertailemalla näitä sarjoja sellaisiin sarjoihin, joiden tiedämme suppenevan tai hajaantuvan. n! Tarkastellaan esimerkiksi sarjaa 3 n + 4

5 Tehtävänä on nyt osoittaa tämän sarjan suppeneminen. Kuinka edetä? Ensinnä pitää huomata, että tämän sarjan termit ovat positiivisia, joten sarjan osasummat muodostavat kasvavan jonon. Toisaalta pitää huomata, että vaikka tämä sarja ei itse asiassa ole geometrinen sarja, niin se muistuttaa aika paljon geometrista sarjaa 3. n Kirjoitetaan nämä kaksi sarjaa allekkain: Huomataan, että pakolla S j = 3 n + = = n n + < koska sarjojen jokaiselle termille pätee Tässä sarja on sarjan 3 n majoranttisarja. Täten sar- 3 n + suppenee majoranttiperiaatteen nojalla. Tätä periaatetta voi ja 3 n + 3 n + < 3 n. 3 < n 3 n = 2, soveltaa sarjoille, joiden termit a n ovat positiivisia ja joille löydetään suppeneva majoranttisarja (suurempi sarja). Tarkka matemaattinen perustelu tälle periaatteelle perustuu siihen, että osasummien jono on ylhäältä rajoitettu ja kasvava:. Sarjan 3 n + yleinen termi on positiivinen, joten tämän sarjan osasummat S j muodostavat kasvavan 3 n + jonon. 2. Osasummat ovat ylhäältä rajoitettuja: S j = 3 n + < 3 < /2. n 5

6 3. Täten sarja suppenee, koska sen osasummat muodostavat kasvavan, ylhäältä rajoitetun jonon. Harjoitus. Todista vastaavalla tekniikalla, että sarja suppenee. 2 n + Majoranttiperiaatteessa siis etsittiin positiivistermiselle sarjalle suppeneva, osasummiltaan suurempi sarja. Kun tällainen sarja löytyi, voitiin vedota siihen että alkuperäisen sarjan osasummat muodostavat kasvavan, rajoitetun jonon, jolloin tämä sarja suppenee. Minoranttiperiaatteen avulla puolestaan yritetään todistaa että jokin sarja a n hajaantuu. Tämä periaate on tavallaan majoranttiperiaatteen peilikuva, sillä nyt pyritään löytämään sarjaa a n pienempi sarja, joka hajaantuu. Idea avautuu esimerkin kautta Esimerkki 4. Osoita, että sarja hajaantuu. n Ratkaisu. Sarjan n:s termi on >. Toisaalta sarja n n hajaantuu. Täten n n < n Eli sarja hajaantuu, koska sillä on hajaantuva minoranttisarja n. Jos tehtävänä on todistaa jonkin positiivistermisen sarjan suppeneminen, niin usein majoranttiperiaate auttaa: etsitään majoranttisarja, joka on. jokaiselta termiltään suurempi kuin tehtävän sarja ja 2. jonka tiedetään suppenevan. 6

7 Näissä tehtävissä hankaluutena on usein löytää tämä suppeneva majoranttisarja. Hyvä idea on tällöin katsoa muistuttaako tehtävän sarja jotain tunnettu sarjaa, kuten geometrista sarjaa. Tämän jälkeen osoitetaan, että sarjan jokainen termi on pienempi kuin tämän majoranttisarjan vastaava termi. Tämä taas tapahtuu esimerkiksi osoittamalla että tämän sarjan osoittaja on pienempi kuin majoranttisarjan osoittaja ja/tai että tämän sarjan nimittäjä on suurempi kuin majoranttisarjan nimittäjä. Huomaa että majoranttiperiaatetta käytettäessä saadaan ainoastaan tieto, että sarja suppenee. Tällä tavalla ei saada kuitenkaan tietoa siitä, mikä tämä summa on. Minoranttiperiaatetta käytettäessä puolestaan on syytä tarkkailla, muistuttaako tehtävän sarja mitään tiettyä sarjaa joka hajaantuu. Jos muistuttaa, niin on osoitettava että tämän sarjan jokainen termi on suurempi kuin minoranttisarjan vastaava termi. Tämä tapahtuu esimerkiksi osoittamalla, että tämän jokaisen termin osoittaja on suurempi tai nimittäjä on pienempi kuin minoranttisarjassa. 3 Osamäärätesti Osamäärätesti perustuu kahteen ideaan:. Geometrinen sarja suppenee, jos < q <. Jos positiivistermiselle sarjalle löydetään suppeneva geometrinen majoranttisarja, niin tämä sarja suppenee. 2. Sarjan suppeneminen määräytyy ainoastaan loppusumman a n = a j + a j n=j perusteella (koska ensimmäisen (j ):den termin summa on äärellinen). Jos tälle loppusummalle löydetään suppenevat majoranttisarja, niin koko sarja suppenee. Tutkitaan nyt positiivistermistä sarjaa a n, jolle pätee a n+ lim = q <. n a n Eli tämän sarjan termien suhde lähestyy jotain lukua q <, kun n kasvaa rajatta. Oleellista on, että tämä luku q on alle yhden. Tästä seuraa, että 7

8 jostain termistä a N lähtien suhde a N+ on pakolla alle yhden. Täten voidaan valita jokin ykköstä pienempi (mutta q:ta suurempi) luku c, siten että a N suhde a N+ on jostain termistä lähtien alle luvun c. Verrataan tämän sarjan a N loppusummaa geometriseen sarjaan jonka yleinen termi on Ac n : a n = a N + a N+ + a N+2 + a N n=n Ac n = A + Ac + Ac 2 + Ac n=0 Nyt tämän alle olevan geometrisen sarjan summa on Ac/( c), mikä on äärellinen koska c on alle yhden. Tästä geometrisesta sarjasta saadaan yllä olevalle loppusummalle majoranttisarja:. Aina voidaan valita tarpeeksi suuri luku A siten, että A > a N. 2. Koska a N+ /a N < c, niin a N+ < ca N < ca. Täten tuon suppenevan geometrisen sarjan jokainen termi on suurempi kuin summan n=n a n vastaava termi. Täten tämä geometrinen sarja on tuon loppusumman majoranttisarja. Tässä tuli todistettua seuraava tulos: Lause 2. Oletetaan, että positiivistermiselle sarjalle a lim n+ n a n = q <. Tällöin sarja suppenee majoranttiperiaatteen nojalla. a n pätee, että Tulos johtuu siitä, että sarjan loppusummalle on mahdollista löytää geometrinen majoranttisarja, jonka suhdeluku c on jossain yhden ja q:n välissä. Koska loppusumman häntä määrää sen suppenemisen, niin tämä toimii. Kun a testataan osamäärän raja-arvoa lim n+ n a n, tehdään osamäärätesti. Jos a tämä raja arvo lim n+ n a n on alle yhden, sarja suppenee. Jos se on yli yhden, sarja hajaantuu. Jos se on tasan yksi, osamäärätesti ei kerro suppeneeko vai hajaantuuko sarja. Esimerkki 5. Testaa, suppeneeko vai hajaantuuko sarja ( ) n n. 7 8

9 Ratkaisu. Lasketaan osamäärän raja-arvo: ( a n+ (n + ) n+ lim = lim 7) n a n n n ( ) n 7 ( ) ( ) n + = lim = n n 7 Täten sarja suppenee osamäärätestin nojalla. Harjoitus 2. Osoita osamäärätestin avulla, että sarja suppenee. n 00 ( 3 4 ) n ( ) < 7 4 Itseinen suppeneminen Sarja a n suppenee itseisesti jos sarja a n suppenee eli jos sarjan termien itseisarvoista muodostuva sarja suppenee. Usein on helpompi todeta sarjan itseisarvoista muodostuvan sarjan suppeneminen. Tästä on hyötyä suppenemista tutkittaessa, sillä itseinen suppeneminen implikoi suppenemista Lause 3. Jos sarja suppenee itseisesti, se suppenee. Eli jos a n suppenee, niin myös a n suppenee. Esimerkki 6. Sarja ( ) n = suppenee itseisesti, sillä sarja ( ) n = suppenee. 9