Sarjojen suppenemisesta

Transkriptio

1 TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008

2 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos MATTILA, TERHI: Sarjojen suppenemisesta Pro gradu -tutkielma, 40 s. Matematiikka Huhtikuu 008 Tiivistelmä Tässä tutkielmassa käsitellään reaalilukujonoja ja reaalilukusarjoja ja erityisesti niiden suppenemista. Luvussa lukujonolle ja lukujonon suppenemiselle annetaan määritelmät ja esitetään lukujonon suppenemiselle riittäviä ja välttämättömiä ehtoja. Tullaan myös todistamaan, että lukujono suppenee vain yhteen lukuun ja että jokainen suppeneva lukujono on rajoitettu. Lisäksi annetaan esimerkkejä sekä suppenevista että hajaantuvista lukujonoista. Päähuomio on reaalilukusarjojen tarkastelussa. Niitä käsitellään luvussa 3. Sarjalle ja sarjan suppenemiselle annetaan määritelmät. Sarjojen suppenemiselle todistetaan riittäviä ja välttämättömiä ehtoja. Erityisesti tarkastellaan suppenevien vaihtelevatermisten sarjojen termien itseisarvoista muodostuvien sarjojen suppenemista. Tällaisia suppenevia sarjoja kutsutaan itseisesti suppeneviksi, jos termien itseisarvoista muodostettu sarja suppenee. Vastaavasti niitä kutsutaan ehdollisesti suppeneviksi, jos termien itseisarvoista muodostettu sarja ei suppene. Tämän tutkielman päätuloksena tullaan osoittamaan, että ehdollisesti suppeneva sarja saadaan suppenemaan mihin tahansa haluttuun reaalilukuun. Lähdekirjallisuutena on pääasiassa käytetty Edward D. Gaughanin teosta Introduction to analysis.

3 Sisältö Johdanto Lukujonot. Lukujonot ja suppeneminen Cauchy-jonot Lukujonojen aritmeettisia operaatioita Osajonot ja monotoniset jonot Reaalilukusarjat 9 3. Sarjojen suppeneminen Itseisesti suppenevat sarjat Osamäärä- ja juuritesti Ehdollinen suppeneminen Sarjan termien uudelleenjärjestys Viitteet 40

4 Johdanto Tässä tutkielmassa päähuomio keskittyy reaalilukusarjoihin ja niiden suppenemis- ja hajaantumisehtojen tutkimiseen. Näitä asioita tutkitaan tarkemmin luvussa 3. Lukua 3 varten käsitellään ensin sarjoihin läheisesti liittyvien lukujonojen ominaisuuksia luvussa. Pykälässä. määritellään lukujono ja lukujonon suppeneminen ja todistetaan lukujonojen suppenemista koskevia ehtoja. Pykälä. keskittyy Cauchyn jonoihin sekä luvun ympäristön ja joukon kasautumispisteiden käsitteisiin. Pykälän.3 päähuomio keskittyy kahdesta lukujonosta aritmeettisilla operaatioilla muodostettujen uusien lukujonojen suppenemisen tarkastelemiseen. Pykälässä.4 tutkitaan lukujonojen suppenemista niiden osajonojen suppenemisen avulla. Lisäksi määritellään monotonisuuden käsite ja todistetaan, että rajoitetut monotoniset lukujonot ovat suppenevia. Pykälässä 3. määritellään ensin käsite sarja ja muita käsitteitä, jotka liittyvät olennaisesti sarjoihin. Lisäksi määritellään sarjan suppeneminen ja annetaan sarjan suppenemiselle välttämättömiä ehtoja ja esimerkkejä sekä suppenevista että hajaantuvista sarjoista. Pykälässä 3. määritellään itseisesti ja ehdollisesti suppenevat sarjat ja todistetaan lause, vertailuperiaate, jonka avulla voidaan tutkia suppeneeko tietty sarja itseisesti. Pykälässä 3.3 esitetään osamäärä- ja juuritestit, joiden avulla voidaan myös tutkia suppenevatko tarkasteltavat sarjat itseisesti vai hajaantuvatko ne. Pykälän 3.4 aiheena on vaihtelevatermisten sarjojen suppeneminen. Tässä pykälässä todistetaan vaihtelevatermisten sarjojen suppenemista koskeva tärkeä lause, Leibnizin lause. Lisäksi määritellään kahden sarjan Cauchyn tulon käsite ja todistetaan, että itseisesti suppenevan ja suppenevan sarjan Cauchyn tulolla muodostettu sarja suppenee. Pykälä 3.5 on tämän tutkielman kannalta oleellisin luku. Siinä tutkitaan sarjojen uudelleenjärjestämistä bijektioiden avulla. Ensin todistetaan lause, jonka mukaan itseisesti suppenevien sarjojen summa ei muutu, vaikka sarjat järjestettäisiin uudelleen. Pykälän 3.5 tärkein todistettava tulos on lause, jonka mukaan ehdollisesti suppenevan sarjan summaksi saadaan mikä tahansa reaaliluku uudelleenjärjestämällä sarja sopivasti. Ennen tätä lausetta esitetään lauseen todistuksen kannalta oleellinen määritelmä, joka jakaa sarjan ei-negatiiviset ja negatiiviset termit eri sarjoihin. Lukijalta edellytetään analyysin perusasioiden hallintaa, mm. ɛ-tekniikan ja itseisarvojen osaamista. Pääosin lähdekirjana on käytetty Gaughanin teosta Introduction to Analysis (ks. []). Lukujonot Tässä luvussa käsiteltäviä lukujonoja tarvitaan tarkasteltaessa myöhemmin reaalilukusarjoja. Tämä luku toimii siis pohjustuksena tutkielman varsinai-

5 selle aiheelle.. Lukujonot ja suppeneminen Sekä lukujonojen että sarjojen tapauksessa huomio kohdistuu lähinnä niiden suppenemisen ja hajaantumisen tarkasteluun. Aloitetaan tarkastelu antamalla lukujonolle määritelmä. Määritelmä. Lukujono on funktio, jonka määrittelyjoukkona on positiivisten kokonaislukujen joukko. Jos a on lukujono, niin kirjoitetaan a(n) = a n kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla n ja kirjoitetaan lukujono muodossa a = {a n }. Termiä a n kutsutaan lukujonon n. termiksi. Jos m n, niin a m ja a n katsotaan lukujonon eri termeiksi, vaikka olisikin a n = a m. Reaaliluvuista koostuvaa lukujonoa kutsutaan reaalilukujonoksi. Seuraavassa annetaan esimerkkejä reaalilukujonoista. Esimerkki. Lukujono, jonka n. termi on voidaan kirjoittaa n { } { = n, 4, 6, 8, } 0,... Lukujono, jonka n. termi on n voidaan kirjoittaa {n } = {, 4, 9, 6, 5,...} Seuraavaksi määritellään lukujonon suppeneminen, jonka ideaa tarkastellaan ensin seuraavassa. Lukujonon { } termit lähestyvät nollaa riittävän suurella n:n arvolla. Jos termien halutaan eroavan nollasta esimerkiksi n enintään 0.05:llä, niin selvästi kaikki lukujonon { } termit 0. alkaen n toteuttavat ehdon. Määritelmä. Lukujono {a n } suppenee reaalilukuun A eli lim n a n = A, jos ja vain jos jokaisella luvulla ɛ > 0 on olemassa sellainen positiivinen kokonaisluku N, että kaikilla luvuilla n N pätee a n A < ɛ. Lukua A, johon lukujono suppenee, kutsutaan lukujonon raja-arvoksi. Edellisessä määritelmässä on syytä huomata, että luvun N valinta voi riippua ensin valitusta luvusta ɛ. Lukujonon suppenemista voidaan tarkastella myös lukujonon termien infimumien ja supremumien avulla, ks. [, s.84-85]. Epäyhtälö a n A < ɛ voidaan ilmaista myös toisin. Jos a ja b ovat reaalilukuja ja ɛ > 0, niin a b < ɛ, jos ja vain jos b ɛ < a < b + ɛ. Samoin {a n } suppenee lukuun A, jos ja vain jos jokaisella luvulla ɛ > 0 on olemassa sellainen positiivinen kokonaisluku N, että A ɛ < a n < A + ɛ, kun n N. Seuraavassa määritellään termit suppeneva ja hajaantuva lukujono.

6 Määritelmä 3. Lukujono {a n } on suppeneva, jos ja vain jos on olemassa sellainen reaaliluku A, että {a n } suppenee lukuun A. Jos {a n } ei ole suppeneva, se on hajaantuva. Seuraavassa esimerkki sekä suppenevasta että hajaantuvasta lukujonosta. Esimerkki. Lukujono {a n } = { } n suppenee lukuun 0, sillä jos valitaan ɛ = 0.05, niin pätee a n 0 = 0 = n < ɛ, kun n. Samoin jos valitaan ɛ = , tällöin luvuksi N kelpaa n 00. Huomataan, että kaikilla luvuilla ɛ > 0 on olemassa luku N, jolla pätee < ɛ, kun n N. Itse asiassa tämä pätee, kun n N >. n ɛ Lukujono { } + ( ) n = {0,, 0,, 0...} saa vain arvoja 0 ja, mutta se ei suppene, koska ei ole olemassa raja-arvoa A, jolla pätisi yhtä aikaa sekä 0 A < ɛ että A < ɛ millä tahansa luvulla ɛ > 0. Seuraava määritelmä ja apulause tarvitaan todistettaessa lauseessa, että lukujono suppenee vain yhteen lukuun. Määritelmä 4. Reaalilukujen joukko Q on reaaliluvun x ympäristö, jos ja vain jos on olemassa sellainen ɛ > 0, että (x ɛ, x + ɛ) Q. Erityisesti kaikilla ɛ > 0, väli (x ɛ, x + ɛ) on luvun x ympäristö. Apulause. Lukujono {a n } suppenee lukuun A, jos ja vain jos jokainen luvun A ympäristö sisältää kaikki paitsi äärellisen määrän lukujonon termeistä. Todistus. Oletetaan, että {a n } suppenee lukuun A. Olkoon Q luvun A ympäristö. Silloin on olemassa ɛ > 0, jolla pätee (A ɛ, A + ɛ) Q. Koska {a n } suppenee lukuun A ja ɛ > 0, niin a n A < ɛ, kun n N. Toisin sanoen luvuille n N pätee A ɛ < a n < A+ɛ, joten a n (A ɛ, A+ɛ) Q. Näin ollen Q sisältää kaikki lukujonon termit, paitsi mahdollisesti joitakin termeistä a, a,..., a N, joten Q sisältää kaikki paitsi äärellisen määrän lukujonon termeistä. Oletetaan nyt, että jokainen luvun A ympäristö sisältää kaikki paitsi äärellisen määrän lukujonon {a n } termeistä. Valitaan ɛ > 0. Silloin Q = (A ɛ, A + ɛ) on luvun A ympäristö, joka sisältää kaikki paitsi äärellisen määrän lukujonon termeistä. Siis on olemassa sellainen äärellinen joukko S = {n, n, n 3,..., n r } positiivisia kokonaislukuja, että jos a n / Q, niin 3

7 n S. Olkoon N = (max S) +. Nyt, jos n N, niin n / S ja joukon S määritelmän perusteella a n Q, jolloin siis A ɛ < a n < A + ɛ tai yhtäpitävästi a n A < ɛ. On siis todistettu, että lukujono {a n } suppenee lukuun A, sillä a n A < ɛ, kun n N. Seuraavassa todistetaan, että lukujonon raja-arvo on yksikäsitteinen. Lause. Jos {a n } suppenee sekä lukuun L että lukuun M, niin L = M. Todistus. (Ks. [3, s ].) Tehdään vastaoletus, että L M, jolloin L M > 0. Koska oletuksena on, että lim a n = L, n lim a n = M n niin on olemassa sellaiset luvut K ja K, että kun n K, niin a n L < L M ja kun n K, niin a n M < L M. Tässä siis on valittu ɛ = L M. Nyt luvuille n max{k, K } pätee Kolmioepäyhtälön avulla saadaan a n L + a n M < L M. L M = (L a n ) + (a n M) L a n + a n M. Tämä on ristiriita, sillä nyt L M = L a n + a n M < L M. Siis vastaoletus L M on väärä ja väite L = M pätee. Seuraavassa tarkastellaan lukujonon suppenemista ja hajaantumista sen termien saamien arvojen perusteella. Esimerkiksi lukujono {n } ei suppene, sillä sen termit suurenevat rajatta. Lukujonon {a n } sanotaan olevan ylhäältä rajoitettu, jos ja vain jos on olemassa sellainen reaaliluku M, että a n M kaikilla kokonaisluvuilla n. Lukujono on vastaavasti alhaalta rajoitettu, jos ja vain jos on olemassa sellainen reaaliluku P, että P a n kaikilla kokonaisluvuilla n. Lukujono on rajoitettu, jos ja vain jos on olemassa sellaiset luvut P ja M, että P a n M kaikilla kokonaisluvuilla n. Yhtäpitävästi voidaan myös kirjoittaa, että lukujono on rajoitettu, jos ja vain jos on olemassa sellainen reaaliluku S, että a n S kaikilla kokonaisluvuilla n. Oletetaan nyt, että {a n } suppenee lukuun A. Jos valitaan luvulle A 4

8 jonkin ympäristö, niin lukujonon kaikki termit, äärellistä määrää termejä lukuunottamatta, kuuluuvat tähän ympäristöön. Erityisesti, jos valitaan luvun A ympäristöksi väli (A, A + ), niin on olemassa sellainen kokonaisluku N, että A < a n < A + kaikilla luvuilla n N. Siis kaikki lukujonon termit, lukuunottamatta mahdollisesti joitakin termeistä a, a, a 3,..., a N, on rajoitettu alhaalta luvulla A ja ylhäältä luvulla A +. Koska termit a, a, a 3,..., a N ovat reaalilukuja, niin myös näille luvuille on helppo löytää ala- ja ylärajat. Siis koko lukujonolle löydetään ylä- ja alarajat. Seuraava lause kertoo, että jokaiselle suppenevalle lukujonolle löydetään ylä- ja alarajat. Lause. Jos lukujono {a n } suppenee lukuun A, niin lukujono {a n } on rajoitettu. Todistus. Oletetaan, että {a n } suppenee lukuun A. Valitaan ɛ =. Tällöin on olemassa sellainen positiivinen kokonaisluku N, että A < a n < A +, kun n N. Olkoon joukko S = min{a, a, a 3,..., a N, A } ja olkoon joukko M = max{a, a, a 3,..., a N, A + }. Silloin kaikilla n pätee S a n M. Näin ollen {a n } on rajoitettu. Edellisen lauseen perusteella tiedetään siis, että lukujono, joka ei ole rajoitettu, ei voi olla myöskään suppeneva. Seuraavassa esimerkissä tutkitaan lukujonoa, jonka termit huomataan luvussa 3 olevan vastaavan sarjan osasummia. Esimerkki 3. Määritellään lukujono {a n } seuraavasti: a =, a = +, a 3 = + +,..., a 3 n = Tutkitaan, onko tämä lukujono 3 n suppeneva. Ryhmitellään lukujonon termit a n :n avulla. Tällöin saadaan a n = + ( ) ( ) ( n ) n > + ( ) ( ) ( ) n n = + ( ) ( ) ( ) n = + n 4 8 n. Näin ollen lukujono ei ole rajoitettu ja se ei siis suppene. Huomautus. Lukujonon osoittaminen suppenevaksi vaatii ensin mahdollisen raja-arvon arvaamista ja tämän arvellun raja-arvon todistamista oikeaksi. Monessa tapauksessa oikean raja-arvon löytäminen on hankalaa, mutta kun raja-arvo on löytynyt, lukujonon suppenemisen tähän lukuun osoittaminen voi olla varsin helppoa. Seuraavassa esimerkissä yritetään ensin arvata mahdollinen raja-arvo ja osoitetaan, että tämä todella on kyseisen lukujonon raja-arvo. 5

9 Esimerkki 4. Tarkastellaan lukujonoja { n } ja { + n }. Aiemmin on osoitettu, että lukujono { n } suppenee lukuun 0, joten arvattavasti { + n } suppenee lukuun. Todistetaan, että näin on. Valitaan ɛ > 0. Olkoon N mikä tahansa positiivinen kokonaisluku, joka on suurempi kuin. ɛ Silloin, kun n N,. Cauchy-jonot ( + ) n = n N < ɛ. Tässä pykälässä käsiteltävät Cauchyn jonot ovat sellaisia lukujonoja, joiden termit tietystä indeksistä alkaen ovat mielivaltaisen lähellä toisiaan. Annetaan Cauchyn lukujonolle tarkka määritelmä seuraavassa. Määritelmä 5. Lukujonoa sanotaan Cauchyn lukujonoksi, jos ja vain jos jokaisella luvulla ɛ > 0 on olemassa sellainen positiivinen kokonaisluku N, että a n a m < ɛ, kun m, n N. Oletetaan, että lukujono {a n } suppenee lukuun A. Silloin siis lukujonon termien täytyy lähestyä lukua A ja erityisesti, jos sekä a n että a m ovat lähellä A:ta, niin ne ovat myös lähellä toisiaan. Tämä pätee myös seuraavassa esimerkissä. Esimerkki 5. Tarkastellaan jälleen lukujonoa { + n }, joka suppenee lukuun. Valitaan ɛ > 0. Apulauseen perusteella on olemassa sellainen positiivinen kokonaisluku N, että ɛ < a n < +ɛ ja ɛ < a m < +ɛ, kun n, m N. Siis kaikilla n, m N pätee a n ( ɛ, +ɛ) ja a m ( ɛ, +ɛ). Joukko ( ɛ, + ɛ) on väli, jonka pituus on ɛ, joten a n a m < ɛ, kun n, m N. Edellisessä esimerkissä olisi luvun ɛ tilalle voitu valita myös ɛ, jolloin olisi saatu määritelmän mukainen muoto. Näin tehdään seuraavan lauseen todistuksessa. Lause 3. Jokainen suppeneva lukujono on Cauchyn lukujono. Todistus. Oletetaan, että lukujono {a n } suppenee lukuun A. Valitaan ɛ > 0. Silloin myös ɛ > 0. Tällöin on olemassa sellainen positiivinen kokonaisluku N, että a n A < ɛ, kun n N. Edelleen, jos n, m N, niin a n A < ɛ ja a m A < ɛ, joten a n a m = a n A + A a m a n A + A a m = a n A + a m A < ɛ + ɛ = ɛ. 6

10 Näin on todistettu, että suppeneva lukujono {a n } on Cauchyn lukujono. Edellisen lauseen perusteella siis tiedetään, että jos lukujono ei ole Cauchyn lukujono, se ei myöskään suppene. Seuraavassa todistetaan, että kaikki Cauchyn jonot ovat sekä ylhäältä että alhaalta rajoitettuja. Lause 4. Jokainen Cauchyn jono on rajoitettu. Todistus. Tarkastellaan Cauchyn jonoa {a n }. Valitaan ɛ =. Tällöin on olemassa sellainen positiivinen kokonaisluku N, että kaikilla luvuilla n, m N pätee a n a m <. Erityisesti pätee N N, joten kun n N, niin a N a n <. Siis toisin sanoen a N < a n < a N +. Kuten jo aiemmin on mainittu, termeille a, a..., a N on helppo löytää ylä- ja alarajat, joten kaikilla termeillä a n pätee M < a n < M, missä M = max{ a, a,..., a N, a N + }. Siis Cauchyn jono {a n } on rajoitettu. Seuraavassa määritellään käsite kasautumispiste, jota käytetään tarkasteltaessa Cauchyn jonojen suppenemista ja raja-arvoja. Määritelmä 6. Olkoon S joukko reaalilukuja. Reaaliluku A on joukon S kasautumispiste, jos ja vain jos jokainen A:n ympäristö sisältää äärettömän monta joukon S alkiota. Määritelmän mukaan luvun A ei tarvitse olla joukon S alkio ollakseen kasautumispiste. Näin ollen, jos A on joukon S kasautumispiste, niin jokaisen luvun A ympäristön on sisällettävä vähintään yksi joukon S piste, joka ei ole A. Toisaalta jos A ei ole joukon S kasautumispiste, niin jokin luvun A ympäristö sisältää vain äärellisen määrän joukon S alkioita. Tällöin on mahdollista löytää vielä pienempi luvun A ympäristö, joka ei sisällä ainuttakaan joukon S alkioita lukua A lukuunottamatta. Seuraava apulause muotoilee tämän. Apulause. Olkoon S joukko reaalilukuja. Silloin luku A on joukon S kasautumispiste, jos ja vain jos jokainen luvun A ympäristö sisältää luvusta A eroavan joukon S alkion. Seuraavassa esimerkki joukosta, jonka kasautumispiste ei ole joukon alkio. Esimerkki 6. Olkoon joukko S = { : n Z n +}. Tämä joukko on lukujonon { n } arvojoukko. Aiemmin on osoitettu, että lukujono { n } suppenee lukuun 0, joten jokainen luvun 0 ympäristö sisältää äärettömän määrän lukujonon termejä. Lisäksi kaikki lukujonon termit ovat erillisiä (siis kun m n, niin ), joten jokainen luvun 0 ympäristö sisältää äärettömän määrän m n joukon S alkioita. Siis 0 on joukon S kasautumispiste, vaikka 0 / S. 7

11 Huomautus. Suppenevan lukujonon raja-arvo ei ole aina lukujonon arvojoukon kasautumispiste. Tästä kertoo seuraava esimerkki. Esimerkki 7. Tarkastellaan lukujonoa {a n }, missä a n = kaikilla luvuilla n. Lukujono suppenee selvästi lukuun. Koska lukujono saa arvon kaikilla luvuilla n, luvun ympäristöt eivät sisällä yhtään luvusta eroavaa lukujonon arvojoukon alkiota, joten lukujonon arvojoukolla ei voi olla kasautumispistettä apulauseen perusteella. Kasautumispisteitä voi olla myös useita, kuten seuraava lause kertoo. Lause 5. Jokainen reaaliluku on rationaalilukujen joukon kasautumispiste. Jokainen reaaliluku on myös irrationaalilukujen joukon kasautumispiste. Todistus. Olkoon x mikä tahansa reaaliluku ja olkoon Q luvun x ympäristö. Siis on olemassa sellainen ɛ > 0, että (x ɛ, x+ɛ) Q. Lukujen x ja x+ɛ välissä on ääretön määrä rationaalilukuja, joten Q sisältää äärettömän määrän rationaalilukuja. Näin ollen x on rationaalilukujen joukon kasautumispiste. Todistus irrationaalilukujen joukon osalta on vastaava. Seuraava lause on erittäin käyttökelpoinen, sillä siinä annetaan riittävä ehto sille, että kyseessä olevalla joukolla on vähintään yksi kasautumispiste. Lause 6 (Bolzano Weierstrass). Jokaisella rajoitetulla äärettömällä joukolla reaalilukuja on vähintään yksi kasautumispiste. Todistus. Olkoon S rajoitettu ääretön joukko. Koska S on rajoitettu, on olemassa sellaiset reaaliluvut α ja β, että S [α, β]. Jos α on tämän välin keskipiste, niin ainakin toinen joukoista [α, α ] ja [α, β] sisältää äärettömän määrän joukon S alkioita. Valitaan näistä väli, jossa alkioita on ääretön määrä ja merkitään sitä [a, b ]. Jos α on tämän välin keskipiste, niin ainakin toinen väleistä [a, α ] ja [α, b ] sisältää äärettömän määrän joukon S alkioita. Valitaan näistä väleistä se, joka sisältää äärettömän määrän joukon S alkioita. Jatkamalla samalla tavalla saadaan jokaisella kokonaisluvulla n suljettu väli [a n, b n ], jolla on seuraavat ominaisuudet: (i) b n a n = n (β α), (ii) [a n, b n ] sisältää äärettömän määrän joukon S alkioita, (iii) [a n, b n ] [a n, b n ] [a, b ] [α, β]. Koska [a n, b n ] [α, β] kaikilla luvuilla n, niin joukko Q = {a n : n =,,...} on rajoitettu. Olkoon t = sup Q. Todistettaessa, että tämä luku t tulee olemaan haluttu kasautumispiste, riittää osoittaa, että luvun t jokainen ympäristö sisältää äärettömän monta joukon S pistettä. Olkoon P mikä tahansa luvun t ympäristö. Silloin on olemassa sellainen ɛ > 0, että (t ɛ, t + ɛ) P. Nyt t ɛ ei ole joukon Q yläraja, sillä t valittiin niin, että se on joukon Q pienin yläraja. Siis on olemassa sellainen positiivinen kokonaisluku n, että 8

12 t ɛ < a n t ja edelleen, jos m > n, niin edellä olevan konstruktion perusteella pätee t ɛ < a n a m t. Jokainen suljettu väli [a m, b m ] sisältää äärettömän monta joukon S alkiota, joten väite on todistettu, jos löytyy sellainen luku m, että t ɛ < a m < b m < t. Edellä on todettu, että t ɛ < a m t, kun m n, joten riittää, että valitaan riittävän suuri luku m siten, että pätee m n ja m (β α) < ɛ. (Huomattakoon, että luku m (β α) < ɛ on välin [a m, b m ] pituus.) Siis valitaan sellainen luku m n, että m (β α) < ɛ, jolloin pätee t ɛ < a m t b m = a m + m (β α) < t + ɛ. Tällöin [a m, b m ] P, joten P sisältää äärettömän määrän joukon S alkioita ja t on joukon S kasautumispiste. Huomautus. Edellisen lauseen todistuksen alussa olisi pitänyt osoittaa induktiolla, että lukujono {[a n, b n ]} voidaan rekursiivisesti määritellä niin kuin on tehty. Ks. tarkemmin [, s.4]. Aiemmin lauseessa 3 todettiin, että jokainen suppeneva lukujono on Cauchyn lukujono ja seuraavan lauseen perusteella tiedetään, että lukujono on Cauchyn lukujono, jos ja vain jos se on suppeneva. Lause 7. Jokainen Cauchyn jono on suppeneva. Todistus. Olkoon {a n } Cauchyn lukujono. Oletetaan ensin, että tämän lukujonon arvojoukko on äärellinen, olkoon se {s, s,..., s r }. Valitaan ɛ = min{ s i s j : i j, i, j =,..., r}. Cauchyn lukujonon määritelmän mukaan on olemassa sellainen positiivinen kokonaisluku N, että a n a m < ɛ, kun n, m N. Koska a n = s j ja a m = s k joillakin j, k {,..., r} ja ɛ valittiin lukujonon arvojoukon erillisten alkioiden pienimmäksi etäisyydeksi, niin a n = a m, kun n, m N. Siis lukujono on vakio pisteestä N lähtien, joten se suppenee. Oletetaan seuraavaksi, että Cauchyn lukujonon {a n } arvojoukko S on ääretön. Lauseen 4 mukaan S on rajoitettu ja edelleen lauseen 6 mukaan arvojoukolla S on kasautumispiste, merkitään sitä a:lla. Seuraavaksi todistamme, että {a n } suppenee lukuun a. Valitaan ɛ > 0. Koska (a ɛ, a + ɛ ) on luvun a ympäristö, se sisältää äärettömän määrän joukon S alkioita. Koska {a n } on Cauchyn lukujono, on olemassa sellainen positiivinen kokonaisluku N, että a n a m < ɛ, kun n, m N. Lisäksi, koska väli (a ɛ, a + ɛ ) sisältää äärettömän määrän arvojoukon S alkioita, toisin sanoen äärettömän määrän lukujonon {a n } termejä, niin tällöin on olemassa sellainen n 0 N, että a n0 (a ɛ, a + ɛ ). Nyt jos n n 0, niin a n a a n a n0 + a n0 a < ɛ + ɛ = ɛ. Siis {a n } suppenee lukuun a. 9

13 Seuraava lause antaa yhteyden joukon kasautumispisteen ja joukon alkiosta muodostuvan lukujonon suppenemisen välille. Lause 8. Olkoon E joukko reaalilukuja. Silloin x 0 on joukon E kasautumispiste, jos ja vain jos on olemassa lukujono {x n }, joka koostuu joukon E alkiosta x 0 eroavista alkioista siten, että {x n } suppenee lukuun x 0. Todistus. Olkoon x 0 joukon E kasautumispiste. Silloin jokaisella positiivisella kokonaisluvulla n on olemassa sellainen piste x n E, että 0 < x n x 0 <. n Edellä oleva on voimassa, sillä joukko (x 0, x n 0 + ) on x n 0:n ympäristö, joten apulauseen perusteella se sisältää joukon E pisteen, joka ei ole x 0. Riittää osoittaa, että {x n } suppenee lukuun x 0. Valitaan ɛ > 0. Tällöin on olemassa sellainen positiivinen kokonaisluku N, että < N. Näin ollen, ɛ kun n N, niin x n x 0 < n N ɛ. Siis {x n } suppenee lukuun x 0. Oletetaan nyt, että on olemassa lukujono {x n }, joka koostuu joukon E alkioista, joista yksikään ei ole x 0, ja että kyseinen lukujono suppenee lukuun x 0. Koska jokainen luvun x 0 ympäristö sisältää kaikki paitsi äärellisen määrän edellä määritellyn lukujonon termeistä, niin luvun x 0 jokaisen ympäristön täytyy sisältää vähintään yksi joukon E alkio, joka ei ole x 0. Tällöin x 0 on joukon E kasautumispiste apulauseen perusteella..3 Lukujonojen aritmeettisia operaatioita Tässä luvussa käsitellään kahden lukujonon summaa, erotusta, tuloa ja osamäärää ja näin muodostettujen uusien lukujonojen suppenemista. Osoitetaan ensi, että kahden Cauchyn jonon summasta muodostettu lukujono on myös Cauchyn jono. Oletetaan, että {a n } ja {b n } ovat Cauchyn lukujonoja. Tarkastellaan lukujonoa {a n + b n }. Koska lukujonot ovat Cauchyn lukujonoja, niin on olemassa sellainen luku N, että sekä a n a m < ɛ että b n b m < ɛ, kun n, m N. Tällöin (a n +b n ) (a m +b m ) = (a n a m )+(b n b m ) a n a m + b n b m < ɛ + ɛ = ɛ. Näin on osoitettu, että jos {a n } ja {b n } ovat Cauchyn lukujonoja, niin myös {a n + b n } on. Seuraava lause kertoo lukujonon {a n + b n } suppenemisen lisäksi myös sen raja-arvon. Lause 9. Jos {a n } suppenee lukuun A ja {b n } suppenee lukuun B, niin {a n + b n } suppenee lukuun A + B. 0

14 Todistus. Valitaan ɛ > 0. Tällöin on olemassa sellainen positiivinen kokonaisluku N, että a n A < ɛ, kun n N. Samoin on olemassa sellainen positiivinen kokonaisluku N, että b n B < ɛ, kun n N. Olkoon N = max{n, N }. Silloin, kun n N, niin (a n +b n ) (A+B) = (a n A)+(b n B) a n A + b n B < ɛ + ɛ = ɛ. Siis lukujono {a n + b n } suppenee lukuun A + B. Seuraavaksi todistetaan, että kahden suppenevan lukujonon tulo suppenee lukujonojen raja-arvojen tuloon. Lause 0. Jos {a n } suppenee lukuun A ja {b n } suppenee lukuun B, niin {a n b n } suppenee lukuun AB. Todistus. Valitaan ɛ > 0. Koska {a n } on suppeneva lukujono, niin se on lauseen mukaan se on rajoitettu, joten on olemassa sellainen reaaliluku M, että a n M kaikilla luvuilla n. Valitaan ɛ = ɛ B + M > 0. Tällöin on olemassa sellainen positiivinen kokonaisluku N, että a n A < ɛ, kun n N. Samoin on olemassa sellainen positiivinen kokonaisluku N, että b n B < ɛ, kun n N. Olkoon N = max{n, N }. Tällöin, kun n N, niin (a n b n ) (AB) = (a n b n a n B) + (a n B AB) a n b n B + B a n A M b n B + B a n A < Mɛ + B ɛ = ɛ. Siis {a n b n } suppenee lukuun AB. Edellisen lauseen perusteella tiedetään, että jos {a n } suppenee lukuun A ja α on reaaliluku, niin lukujono {αa n } suppenee lukuun αa n, sillä vakiolukujono {α} suppenee lukuun α. Erityisesti, jos α =, niin { a n } suppenee lukuun A. Tällöin lauseen 9 mukaan {a n b n } suppenee lukuun A B. Yleisemmin, jos α ja β ovat reaalilukuja, niin {αa n + βb n } suppenee lukuun αa + βb. Vaikka lukujonot {a n } ja {b n } eivät suppenisi, niin on mahdollista, että lukujonot {a n + b n } ja {a n b n } suppenevat. Tästä seuraavassa esimerkki.

15 Esimerkki 8. Tarkastellaan lukujonoja ja { + ( ) n { ( ) n } } = {0,, 0,, 0,...} = {0,, 0,, 0,...}. Kumpikaan näistä lukujonoista ei suppene, mutta lukujono suppenee. { + ( ) n + } ( ) ( )n = {0} Jakolaskun kanssa pitää huomioida muutamia seikkoja: Oletetaan, että {a n } suppenee lukuun A ja {b n } suppenee lukuun B. Lukujonoa { an b n } voidaan tarkastella vain jos B 0 ja b n 0 kaikilla luvuilla n. Tällöin voisi arvella lukujonon suppenevan lukuun A, kuten tullaan myöhemmin B osoittamaan. Aloitetaan tarkastelemalla lukujonon ja mahdollisen raja-arvon erotuksen itseisarvoa. Saadaan kolmioepäyhtälön avulla A B a n A b n B = a n B b n A b n B = a n B AB + AB b n A b n B a n A B + A B b n = a n A + A B b n. b n B b n B b n b n B Tässä tuloksessa a n A ja B b n saadaan ɛ:ia pienemmiksi, sillä {a n } suppenee lukuun A ja {b n } suppenee lukuun B. Vakio A ei aiheuta ongelmia, sillä oletettiin, että B 0. Ainoastaan tekijän b n B pitää olla rajoitettu niin, että b n 0. Seuraavassa apulauseessa todistetaan, että b n on alhaalta rajoitettu jollain positiivisella luvulla M. Apulause 3. Jos {b n } suppenee lukuun B 0, niin on olemassa sellainen positiivinen reaaliluku M ja sellainen positiivinen kokonaisluku N, että b n M, kun n N. Todistus. Koska B 0, niin ɛ = B > 0. Lukujonon suppenemisen perusteella on olemassa sellainen luku N, että b n B < ɛ, kun n N. Olkoon M = B. Tällöin, kun n N, niin kolmioepäyhtälön ja lukujen ɛ ja M valintojen perusteella b n = b n B + B B b n B B B = B = M.

16 Edellä olevan apulauseen avulla voidaan nyt todistaa, että { an b n } suppenee lukuun A B. Lause. Jos {a n } suppenee lukuun A ja {b n } suppenee lukuun B, missä B 0 ja b n 0 kaikilla luvuilla n, niin { } an b n suppenee lukuun A B. Todistus. Valitaan ɛ > 0. Apulauseen 3 mukaan on olemassa sellainen positiivinen reaaliluku M ja sellainen positiivinen kokonaisluku N, että b n M kaikilla n N. Voidaan valita ɛ = Mɛ + A B > 0. Tällöin on olemassa sellainen positiivinen kokonaisluku N, että kun n N, niin a n A < ɛ ja sellainen positiivinen kokonaisluku N 3, että kun n N 3, niin b n B < ɛ. Olkoon N = max{n, N, N 3 }. Kun n N, niin b n B < ɛ, a n A < ɛ ja b n M. Siis a n A b n B = a n B b n A b n B = a n B AB + AB b n A b n B a n A + A B b n b n b n B ( < ɛ b n + A ) [ ɛ + A ] = ɛ. B b n M B Näin on osoitettu, että { an b n } suppenee lukuun A B, kun B 0 ja b n 0 kaikilla luvuilla n. Seuraavassa esimerkissä sovelletaan lausetta. Esimerkki 9. Tarkastellaan lukujonoa { n 3 00n + n 58 n n + 69 }. Ensin voi näyttää siltä, että lausetta ei voi käyttää, sillä lukujonot {n 3 00n + n 58} ja {n n + 69} eivät ole rajoitettuja eivätkä siis suppene. Kyseiset lukujonot voidaan kuitenkin supistaa termillä n 3. Tällöin saadaan n 3 00n + n 58 n n + 69 = 00 n + n 58 n n + 69 n 3. 3

17 Lukujono { n } suppenee lukuun 0, sillä n 0 < ɛ, kun n > ɛ, joten lauseen 0 mukaan sekä { n } että { n 3 } suppenevat lukuun 0. Aiemmin on myös todettu, että {αa n + βb n } suppenee lukuun αa + βb, joten { 00 n + n 58 n 3 } suppenee lukuun (00)(0) (0) =. Samoin { + 65 n + 69 n 3 } suppenee lukuun +65(0)+69(0) =. Nyt käyttämällä lausetta saadaan, että { n 3 00n } { + n = + 58 } n n n 3 n n n n 3 suppenee lukuun. Oletetaan, että lukujono {a n } suppenee lukuun A ja lukujono {b n } suppenee lukuun B. Oletetaan lisäksi, että a n b n kaikilla luvuilla n. Seuraavassa lauseessa osoitetaan, että tällöin A B. Lause. Jos lukujono {a n } suppenee lukuun A, lukujono {b n } suppenee lukuun B ja a n b n kaikilla luvuilla n, niin A B. Todistus. Oletetaan, että lukujono {a n } suppenee lukuun A, lukujono {b n } suppenee lukuun B ja a n b n kaikilla luvuilla n. Tehdään vastaväite, että B < A. Tällöin ɛ = A B > 0. Lukujonojen suppenemisen perusteella on olemassa sellaiset luvut N ja N, että kun n N, niin A ɛ < a n < A + ɛ ja kun n N, niin B ɛ < b n < B + ɛ. Valitaan N max{n, N }. Nyt b N < B + ɛ = B + A B = A + B = A ɛ < a N b N. Tämä on ristiriita, sillä ei voi olla b N < b N. Siis vastaväite on väärä ja väite A B on oikea. Huomautus. Jos edellä olevassa lauseessa oletetaan, että a n < b n kaikilla n, niin ei silti välttämättä päde A < B. Esimerkiksi lukujonoilla { n } ja { n } pätee < kaikilla n, mutta molemmat lukujonot suppenevat n n lukuun 0. Seuraava lause kertoo, että suppenevan ja rajoitetun lukujonon tulo suppenee. Lause 3. Jos lukujono {a n } suppenee lukuun 0 ja lukujono {b n } on rajoitettu, niin lukujono {a n b n } suppenee lukuun 0. 4

18 Todistus. Olkoon M sellainen positiivinen luku, että b n M kaikilla luvuilla n. Valitaan ɛ > 0. Silloin ɛ = ɛ > 0. Koska lukujono {a M n} suppenee lukuun 0, niin on olemassa sellainen luku N, että a n = a n 0 < ɛ, kun n N. Näin ollen a n b n 0 = a n b n = a n b n a n M < ɛ M = ɛ. Näin on todistettu, että {a n b n } suppenee lukuun 0. Tässä esimerkissä tarkastellaan suppenevan lukujonon ja rajoitetun, mutta ei suppenevan lukujonon tulon muodostamaa lukujonoa. Esimerkki 0. Tarkastellaan lukujonoa { sin nπ n }. Jos tätä lukujonoa ajatellaan kahden lukujonon { n } ja {sin nπ } tulona, niin huomataan, että {sin nπ } ei suppene ja näin ollen lausetta 0 ei voi soveltaa. Lauseen 3 avulla tarkasteltavan lukujonon raja-arvo saadaan kuitenkin laskettua, sillä {sin nπ } on rajoitettu ja { n } suppenee lukuun 0, joten { } sin nπ n suppenee lukuun 0..4 Osajonot ja monotoniset jonot Kuten aiemmin on todettu, lukujono {a n } suppenee lukuun A, jos ja vain jos jokainen luvun A ympäristö sisältää kaikki paitsi äärellisen määrän lukujonon termeistä. Tämän perusteella on selvää, että äärellisen määrän lukujonon termeistä voi vaihtaa tai poistaa ilman, että se vaikuttaa lukujonon suppenemiseen tai raja-arvoon. Termejä poistamalla muodostettuja lukujonoja kutsutaan osajonoiksi ja niitä käsitellään tässä luvussa. Seuraavassa osajonon tarkka määritelmä. Määritelmä 7. Olkoon {a n } lukujono ja olkoon {n k } k= mikä tahansa sellainen positiivisten kokonaislukujen muodostama lukujono, että n < n < n Tällöin lukujonoa {a nk } k= kutsutaan lukujonon {a n } osajonoksi. Voidaan sanoa, että osajono muodostetaan poistamalla osa lukujonon termeistä ja nimeämällä jäljelle jääneet termit uudestaan muuttamatta kuitenkaan termien järjestystä. On myös huomattava, että jokainen lukujono on itsensä osajono. Seuraavassa esimerkkejä osajonoista. 5

19 Esimerkki. Lukujono{ k } k= on lukujonon { n } osajono, joka on muodostettu asettamalla n k = k. Lukujono { k } k= suppenee lukuun 0 esimerkin perusteella. Esimerkki. Tarkastellaan lukujonoa {a n } = { + ( ) n }. Esimerkissä on osoitettu, että tämä lukujono ei suppene. Koska jokainen lukujono on itsensä osajono, niin on olemassa tämän lukujonon osajono, joka ei suppene. Olkoon {n k } k= tämän lukujonon sellainen osajono, että n k = k jokaisella positiivisella kokonaisluvulla k. Tällöin a nk = kaikilla luvuilla k ja osajono {a nk } k= suppenee lukuun. Jos osajono valitaan siten, että n k = k kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla k, niin a nk = 0 kaikilla luvuilla k. Tämä osajono {a nk } k= suppenee siis lukuun 0. Edellisessä esimerkissä havaittiin, että jos alkuperäinen lukujono ei suppene, niin siitä muodostettu osajono voi hajaantua, tai sen kaksi eri osajonoa suppenevat eri lukuihin. Seuraava lause kertoo, että suppenevan lukujonon osajonoilla ei voi käydä näin. Lause 4. Lukujono suppenee, jos ja vain jos sen jokainen osajono suppenee. Lisäksi, jos jokainen osajono suppenee, niin ne suppenevat samaan lukuun. Todistus. Oletetaan ensin, että lukujonon jokainen osajono suppenee. Koska jokainen lukujono on itsensä osajono, niin lukujono suppenee oletuksen perusteella. Oletetaan sitten, että lukujono {a n } suppenee lukuun A. Olkoon {a nk } k= tämän lukujonon osajono. Osoitetaan, että osajono {a nk } k= suppenee lukuun A, jolloin väite on todistettu. Valitaan ɛ > 0. Koska {a n } suppenee lukuun A, niin on olemassa sellainen positiivinen kokonaisluku N, että a n A < ɛ, kun n N. Koska {a nk } k= on kyseessä olevan lukujonon osajono ja n < n < n 3 <..., niin k n k. Siis kun k N, niin n k N, joten a nk A < ɛ. Osajono {a nk } k= suppenee täten myös lukuun A. Suppenevan lukujonon jokainen osajono suppenee siis samaan lukuun kuin alkuperäinen lukujono. Seuraava lause käsittelee rajoitetun lukujonon suppenemista osajonojen avulla. Lause 5. Olkoon {x n } on rajoitettu lukujono. Jos sen kaikilla suppenevilla osajonoilla on sama raja-arvo, niin lukujono on suppeneva. Todistus. Sivuutetaan. 6

20 Edellä osajonon määritelmässä lukujono {n k } k= valittiin niin, että n < n < n Tällaista lukujonoa kutsutaan tietyllä nimellä, joka määritellään seuraavaksi. Määritelmä 8. Lukujono {a n } on kasvava, jos ja vain jos a n a n+ kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla n. Lukujono {a n } on vähenevä, jos ja vain jos a n a n+ kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla n. Lukujono on monotoninen, jos ja vain jos se on joko kasvava tai vähenevä. Huomattakoon, että rajoitetulla joukolla ei ole aina raja-arvoa. Seuraavan lauseen perusteella tiedetään kuitenkin, että jokaisella rajoitetulla monotonisella lukujonolla on raja-arvo. Lause 6. Monotoninen lukujono on suppeneva, jos ja vain jos se on rajoitettu. Todistus. Oletetaan, että {a n } on monotoninen lukujono, joka on rajoitettu. Oletetaan, että lukujono on kasvava. Oletuksen perusteella joukko {a n : n =,, 3,...} on rajoitettu, joten olkoon s = sup{a n : n =,, 3...}. Osoitetaan, että {a n } suppenee lukuun s. Valitaan ɛ > 0. Koska s on pienin joukon {a n : n =,, 3,...} yläraja, niin s ɛ ei ole yläraja, joten on olemassa sellainen n 0, että s ɛ < a n0. Nyt, kun n n 0, niin s ɛ < a n0 a n s < s + ɛ. Näin ollen lukujono {a n } suppenee lukuun s. Tapaus, jossa lukujono on vähenevä, valitaan s = inf{a n : n =,, 3,...}. Muuten todistus on vastaavanlainen kuin kasvavan lukujonon tapauksessa. Oletetaan, että monotoninen lukujono on suppeneva. Lauseen mukaan se on rajoitettu. Seuraavassa esimerkki monotonisesta lukujonosta, joka suppenee. Esimerkki 3. Olkoon {b n } lukujono, missä 0 < b <. Tällöin b n b n = b n ( b) > 0, joten lukujono on vähenevä. Lukujono on lauseen 6 perusteella suppeneva, jos voidaan osoittaa, että se on alhaalta rajoitettu, sillä vähenevä lukujono on selvästi ylhäältä rajoitettu. Helposti kuitenkin nähdään, että lukujono on alhaalta rajoitettu, sillä b n > 0 kaikilla luonnollisilla luvuilla n. Lukujono {b n } siis suppenee. Seuraavassa esimerkissä sovelletaan montaa tässä luvussa esiteltyä lausetta ja määritelmää. 7

21 Esimerkki 4. Tarkastellaan lukua 0 < c < ja lukujonoa { n c}. Kaikilla luvuilla n pätee n c n c = n c( n(n ) c) > 0 oletetuksen 0 < c < perusteella. Lukujono on siis kasvava ja 0 < n c < kaikilla luvuilla n. Lauseen 6 mukaan lukujono suppenee, olkoon sen rajaarvo L. Todistetaan seuraavaksi, että jos {a n } suppenee lukuun a ja a n 0 kaikilla n, niin { a n } suppenee lukuun a. Tätä tulosta tarvitaan jatkossa, kun etsitään lukujonon { n c} raja-arvoa. Voidaan kirjoittaa an a = a n a an + a, kun a > 0. Jos a > 0, niin riittävän suurella luvun n arvolla a n a n a a = an + a < ɛ an + a < ɛ K = ɛ, missä K on sellainen reaaliluku, että 0 < K < a n + a. Edellä oleva pätee, sillä tällainen luku K on olemassa, koska oletettiin, että a > 0, a n 0 kaikilla n ja {a n } suppenee lukuun a. Jos a = 0, niin a n a = a n = a n = a n a < ɛ = ɛ, kun n on riittävän suuri. On siis todistettu, että väite pätee kaikilla mahdollisilla raja-arvoilla a. Palataan sitten tarkastelemaan lukujonoa { n c}. Edellä todistetun aputuloksen mukaan siis lukujono { n c} suppenee lukuun L. Kuitenkin n c = n c ja { n c} on lukujonon { n c} alijono, joten n c suppenee lukuun L. Koska raja-arvo on yksikäsitteinen, niin L = L, joten L = 0 tai L =. Mutta oletettiin, että c > 0 ja todettiin, että lukujono { n c} on kasvava, joten L 0. Tällöin ainoa mahdollisuus on, että { n c} suppenee lukuun. Seuraavassa lauseessa tutkitaan lukujonon suppenemista vertaamalla lukujonojen termejä toisiinsa. Lause 7. (Ks. [3, s. 600].) Oletetaan, että a n < b n < c n, kun n K. Tällöin, jos sekä {a n } että {c n } suppenevat lukuun L, niin myös {b n } suppenee lukuun L. 8

22 Todistus. Sivuutetaan. Lause 8 seuraa lauseesta 7. Lause 8. (Ks. [3, s. 600].) Oletetaan, että b n c n, kun n K. Jos tällöin {c n } suppenee lukuun 0, niin myös {b n } suppenee lukuun 0. Todistus. Sivuutetaan. Seuraavassa esimerkissä sovelletaan lausetta 8. Esimerkki 5. (Ks. [3, s. 600].) Koska cos n, niin cos n n n. } sup- Aiemmin on osoitettu, että { n } suppenee lukuun 0, joten { cos n n penee lukuun 0. 3 Reaalilukusarjat Reaalilukuja voidaan tunnetusti laskea yhteen äärellinen määrä. Tässä luvussa tarkastellaan reaalilukujen päättymätöntä summaa a + a + a Tällaisia reaalilukujen äärettömän pituisia summasarjoja kutsutaan reaalilukusarjoiksi tai lyhyemmin sarjoiksi. 3. Sarjojen suppeneminen Tässä pykälässä tutkitaan erityisesti reaalilukusarjojen suppenemista, joka liittyy läheisesti lukujonojen suppenemiseen. Tässä pykälässä annetaan myös reaalilukusarjojen suppenemiselle riittäviä ehtoja. Tutkittaessa suppeneeko reaalilukusarja vai ei, tutkitaan sen osasummien muodostamien lukujonojen suppenemista. Aloitetaan tarkastelu reaalilukusarjan määritelmästä. Määritelmä 9. Reaalilukusarja, tai lyhyemmin sarja, on pari ({a n }, {S n } ), missä {a n } on reaalilukujono ja S n = n k= a k, missä n =,, 3,.... Lukua a n kutsutaan sarjan n. termiksi ja S n on sarjan n. osasumma. Seuraavassa esimerkkejä erään sarjan osasummista. Esimerkki 6. Sarjan n 9

23 osasummia: S = a =, S = S n = n k= k= k = + 4 = 3 4, k = n. Jatkossa sarjaa ({a n }, {S n } ) merkitään usein lyhyemmin a n tai a +a +a 3 + +a n +. Sarjan termien summaus voidaan myös aloittaa jostain muusta indeksistä kuin, sillä se ei vaikuta sarjan suppenemiseen. Sarjan suppeneminen määritellään seuraavanlaisesti. Määritelmä 0. Sarja ({a n }, {S n } ) suppenee, jos lukujono {S n } suppenee. Jos {S n } suppenee lukuun S, niin kirjoitetaan a n = S. Lukua S kutsutaan sarjan a n summaksi. Jos lukujono {S n } ei suppene, niin sanotaan, että sarja a n hajaantuu. Huomautus. Merkinnällä a n tarkoitetaan joskus itse sarjaa ja joskus reaalilukua, joka on sarjan osasummien muodostaman lukujonon raja-arvo (eli sarjan summa), kun sarja suppenee. Jos sarja ei suppene, niin a n ei tarkoita reaalilukua. Seuraavassa esimerkki sarjasta, joka suppenee. Esimerkki 7. Tarkastellaan sarjaa a n, missä a n = 0 kaikilla n N +. Silloin kun n N, niin S n = S N, joten lukujono {S n } suppenee lukuun S N = a + a + + a N. Tässä tapauksessa sarja on itse asiassa äärellinen summa. Jos a n > 0 kaikilla luvuilla n, niin {S n } on kasvava. Silloin, jos sarja a n suppenee, niin lukujonon {S n } täytyy olla rajoitettu. Edelleen S n+ = S n + a n+ kaikilla luvuilla n, joten, jotta {S n } olisi rajoitettu, täytyy termien a n lähestyä lukua 0 tarpeeksi nopeasti, kun n kasvaa. Seuraavat esimerkit kertovat, mitä tällä tarkoitetaan. Esimerkki 8. Tarkastellaan niin kutsuttua harmonista sarjaa Tämän sarjan n. osasumma on n. S n = n. 0

24 Lukujono {S n } ei ole rajoitettu esimerkin 3 perusteella, joten se ei suppene. Tällöin myöskään sarja ei suppene. Huomattakoon, että lukujono { n } suppenee lukuun 0, joten sarjan n. termi lähestyy nollaa, kun n n kasvaa, mutta ei tarpeeksi nopeasti. Esimerkki 9. Tarkastellaan nyt sarjaa Jokaisella luvulla n pätee sillä kaikilla luvuilla k n(n + ). S n = n(n + ) = n +, k(k + ) = k k +. Selvästi {S n } suppenee lukuun, joten n(n + ) =. Esimerkissä 9 sarjan n. termi suppeni lukuun 0 tarpeeksi nopeasti. Valitettavasti ei ole kuitenkaan olemassa mitään yleistä kriteeriä, jonka perusteella pystyy sanomaan sarjan n. termin perusteella suppeneeko sarja vai ei. Oletetaan nyt, että sarja a n suppenee. Tällöin myös osasummien lukujonon {S n } täytyy olla suppeneva. Edelleen, jos lukujono on suppeneva, niin se on Cauchyn lukujono lauseen 3 mukaan. Tämän perusteella voidaan esittää seuraava lause. Lause 9. Sarja a n suppenee, jos ja vain jos jokaisella luvulla ɛ > 0 on olemassa sellainen positiivinen kokonaisluku N, että kun n N ja p 0, niin a n + a n+ + + a n+p < ɛ. Todistus. Oletetaan, että sarja a n suppenee. Silloin sarjan osasummien lukujono {S n } suppenee, joten se on Cauchyn lukujono. Valitaan ɛ > 0. Nyt on olemassa sellainen kokonaisluku N, että S m S n < ɛ, kun m, n N. Edelleen, jos n N + ja p 0, niin n N ja n + p N, joten a n + a n+ + + a n+p = S n+p S n < ɛ. Oletetaan sitten, että kaikilla luvuilla ɛ > 0 on olemassa sellainen positiivinen kokonaisluku N, että kun n N ja p 0, niin a n + a n+ + + a n+p < ɛ.

25 Valitaan ɛ > 0. Valitaan r n N. Silloin sarjan a n osasummille S r ja S n pätee S r S n = a n+ + + a r < ɛ. On siis todistettu, että osasummien lukujono {S n } on Cauchyn lukujono, joten se suppenee lauseen 7 perusteella. Tällöin määritelmän 0 perusteella sarja a n suppenee. Tarkastellaan vielä hieman lauseen 9 sisältöä. Sarjan suppeneminen tai hajaantuminen ei riipu indeksistä, josta sarjan termien summaus aloitetaan. Toisin sanoen summaus n = alkaen voidaan yhtä hyvin muuttaa alkamaan jostain toisesta indeksistä n = p. Sarjan termeistä voidaan myös äärellinen määrä muuttaa niin, että se ei vaikuta sarjan suppenemiseen, joten vaikka sarja suppenee, niin sen osasummien raja-arvo voi vaihdella. Siis jos sarja a n suppenee ja k on positiivinen kokonaisluku, niin sarja n=k a n suppenee. Kun sarja a n suppenee, on lauseen 9 mukaan millä tahansa luvulla ɛ > 0 olemassa sellainen luku N, että kaikilla luvuilla p 0, mutta a N + a N+ + + a N+p < ɛ a N + a N+ + + a m = T m on suppenevan sarjan n=n a n m. osasumma (osasumman täytyy siis myös olla pienempi kuin ɛ), joten Tästä saadaan seuraava lause. a n < ɛ. n=n Lause 0. Jos sarja a n suppenee, niin lukujono {a n } suppenee lukuun 0. Todistus. Oletetaan, että sarja a n suppenee. Valitaan ɛ > 0. Lauseen 9 mukaan on olemassa sellainen luku N, että kun n N ja p 0, niin a n + a n+ + + a n+p < ɛ. Erityisesti, kun p = 0, niin a n < ɛ. Näin ollen määritelmän mukaan lukujono {a n } suppenee lukuun 0. Huomautus. Lauseen 0 mukaan sarja a n hajaantuu, jos lukujono {a n } ei suppene lukuun 0. Lauseen 0 perusteella ei voi kuitenkaan päätellä, että sarja a n suppenee, jos lukujono {a n } suppenee lukuun 0. Esimerkki 8 todistaa tämän.

26 Esitetään vielä esimerkki niin kutsutusta geometrisestä sarjasta ja tutkitaan sen suppenemista. Esimerkki 0. Sarjaa n=0 r n kutsutaan geometriseksi sarjaksi. Luvuilla n 0 pätee S n = + r + r + + r n = rn+ r, kun r. Lukujono {r n+ } suppenee lukuun 0, kun < r < (ks. tarkemmin [3, s. 607]). Lisäksi {r n+ } suppenee, jos r =, sillä lukujono on tällöin kaikilla n:n arvoilla. Selvästi nähdään, että r n+ kasvaa rajatta, kun r > ja n kasvaa rajatta. Lukujono ei suppene, kun r =, sillä tällöin lukujono saa vuorotellen arvoja 0 ja. Jos r =, niin S n = = n +, joten {S n } ei suppene. Edellä olevan perusteella sarja n=0 r n suppenee lukuun, kun r <, ja hajaantuu, kun r. r Seuraava lause helpottaa usein laskemista. Lause. Olkoot a n ja b n suppenevia sarjoja ja α ja β reaalilukuja. Silloin sarja (αa n + βb n ) suppenee ja Todistus. Sivuutetaan. (αa n + βb n ) = α a n + β b n. 3. Itseisesti suppenevat sarjat Aiemmin käsitellyissä esimerkeissä sarjat ovat olleet usein positiivitermisiä. Tässä pykälässä käsitellään sarjoja, jotka saavat vuorotellen negatiivisia ja positiivisia arvoja. Tällaisia sarjoja kutsutaan vaihtelevatermisiksi tai alternoiviksi sarjoiksi ja niiden suppenemista käsitellään seuraavaksi. Aloitetaan jälleen määritelmällä. Määritelmä. Sarja a n suppenee itseisesti, jos ja vain jos a n suppenee. Jos a n suppenee, mutta a n hajaantuu, niin a n suppenee ehdollisesti. Seuraavassa esimerkki ehdollisesti suppenevasta ja itseisesti suppenevasta sarjasta. Esimerkki. Aiemmin esimerkissä 8 todettiin, että sarja 3 n

27 ei suppene. Kuitenkin sarja ( ) n n suppenee, ks. tarkemmin [3, lause.4.3.]. Sarja ( ) n suppenee siis n ehdollisesti. Sarja ( ) n n(n + ) suppenee itseisesti, koska aiemmin esimerkissä 9 osoitettiin, että suppenee. n(n + ) Seuraavassa todistetaan, että jokainen itseisesti suppeneva sarja on suppeneva. Lause. Olkoon sarja a n itseisesti suppeneva. Silloin sarja a n suppenee. Todistus. Valitaan ɛ > 0. Koska sarja a n on itseisesti suppeneva, niin sarja a n suppenee. Tällöin on siis olemassa sellainen luku N, että kun n N ja p 0, niin a n + + a n+p < ɛ. Kolmioepäyhtälön perusteella a n + a n+ + + a n+p a n + + a n+p < ɛ, joten lauseen 9 mukaan sarja a n suppenee. Seuraavan lauseen avulla tietyn sarjan suppenemista tai hajaantumista voidaan tutkia vertaamalla sitä johonkin jo tunnettuun sarjaan. Vertailu pitää tehdä sarjoilla, joiden termit ovat ei-negatiivisia, joten vertailuperiaatteella saadaan tutkittua vain itseistä suppenemista. Lause 3 (Vertailuperiaate). Olkoot a n ja b n sarjoja ja olkoon b n 0 kaikilla luvuilla n. Tällöin, (i) jos sarja b n suppenee ja on olemassa sellainen luku N 0, että n N 0 a n b n, niin sarja a n suppenee itseisesti. (ii) jos sarja b n hajaantuu ja on olemassa sellainen N 0, että niin sarja a n hajaantuu. n N 0 b n a n, 4

28 Todistus. Oletetaan, että kohdan (i) oletukset ovat voimassa. Tällöin siis sarja b n suppenee ja on olemassa sellainen luku N 0, että kun n N 0, niin a n b n. Koska b n suppenee, niin kaikilla luvuilla ɛ > 0 on olemassa sellainen luku N, että kun n N ja p 0, niin b n + b n+ + + b n+p < ɛ lauseen 9 perusteella. (Termit b n 0, joten itseisarvot voidaan jättää pois.) Olkoon N = max{n, N 0 }. Tällöin, jos n N ja p 0, niin a n + + a n+p b n + b n+ + + b n+p < ɛ oletuksen n N 0 a n b n perusteella. Näin ollen sarja a n suppenee, joten a n suppenee itseisesti. Kohta (ii) voidaan todistaa kohdan (i) perusteella. Jos a n suppenee ja on olemassa sellainen N 0, että n N 0 b n = b n a n, niin tästä seuraa kohdan (i) perusteella, että b n suppenee, koska a n 0. Siis ehdon n N 0 b n a n ollessa voimassa a n ei voi olla suppeneva, jos b n hajaantuu. Siis kohta (ii) pätee. Esitetään nyt esimerkki itseisesti suppenevasta sarjasta. Esimerkki. Tarkastellaan sarjaa (n + ). Verrataan tätä jo aiemmin (esimerkissä 9) suppenevaksi todistettuun sarjaan n(n + ). Kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla n pätee selvästi (n + ) n(n + ), joten (n + ) n(n + ). Nyt lauseen 3 kohdan (i) mukaan (lausetta voidaan soveltaa, sillä ehto 0 pätee kaikilla positiivisilla luvuilla n) sarja n(n+) suppenee itseisesti, sillä sarja (n + ) n(n + ) 5

29 suppenee. Koska lisäksi 0 kaikilla luvuilla n, niin sarjan itseinen (n+) suppeneminen tarkoittaa samaa kuin sarjan suppeneminen. Seuraavan esimerkin sarja ei suppene itseisesti. Esimerkki 3. Tarkastellaan nyt sarjaa ( ) n n. Kaikilla positiivisilla kokonaisluvuilla n pätee ( ) n = n n n. Esimerkin 8 perusteella tiedetään, että harmoninen sarja hajaantuu. n Lisäksi > 0 kaikilla positiivisilla luvuilla n. Nyt lauseen 3 kohdan (ii) n mukaan sarja ( ) n ei suppene itseisesti. n 3.3 Osamäärä- ja juuritesti Tässä pykälässä esitellään testejä, joiden avulla sarjan tiedetään joko suppenevan tai hajaantuvan. Osamäärätestissä tarkastellaan sarjan peräkkäisten termien suhdetta. Jos tämä suhde on tarpeeksi suurella luvun n arvolla ykköstä pienempi, tiedetään sarja suppenevaksi. Juuritestillä pystytään usein tutkimaan vielä useampien sarjojen suppenemista, mutta sen käyttö on usein monimutkaisempaa. Nämä testit voidaan laajentaa myös kompleksilukutermisille sarjoille (ks.[, s. 93]). Todistetaan ensin osamäärätesti. Lause 4 (Osamäärätesti). Olkoon a n sarja, jonka termit ovat nollasta eroavia. Tällöin, (i) jos on olemassa sellainen reaaliluku q, että 0 < q < ja sellainen positiivinen kokonaisluku N, että a n+ n N a n q, niin a n suppenee itseisesti. (ii) Jos on olemassa sellainen positiivinen kokonaisluku N 0, että niin sarja a n hajaantuu. a n+ n N 0 a n, 6

30 Todistus. Oletetaan, että kohdan (i) oletukset ovat voimassa. Tällöin a N+ q a N, a N+ q a N+ q a n,. a N+r q r a N. Toisin sanoen, kun n N, niin a n q n a N q N. Koska 0 < q <, niin geometrinen sarja q n suppenee (ks. esim. 0) ja näin ollen sarja a N q N q n suppenee lauseen mukaan, sillä a N q N on vakio. Nyt lauseen 3 kohdan (i) oletukset ovat voimassa, joten a n suppenee itseisesti. Oletetaan, että kohdan (ii) oletukset ovat voimassa. Tällöin 0 < a n a n+, kun n N 0. Siis {a n } ei suppene lukuun 0, joten lauseen 0 perusteella sarja a n ei suppene. Seuraava lause on seurausta lauseesta 4. Lause 5. Olkoon a n sarja, jonka termit ovat nollasta eroavia ja oletetaan, että lukujono { } a n+ a n suppenee lukuun L. Tällöin, (i) jos L <, niin sarja a n suppenee itseisesti. (ii) jos L >, niin sarja a n hajaantuu. (iii) jos L =, niin sarja a n voi olla suppeneva tai hajaantuva. Todistus. Todistetaan kohdat (i) ja (ii) ja annetaan todistuksen jälkeen esimerkki sekä suppenevasta että hajaantuvasta sarjasta, joilla L =. (i)oletetaan, että L <. Tällöin L < L+ <. Koska { } a n+ a n suppenee lukuun L, niin on olemassa sellainen luku N, että a n+ n N a n < L +. Tällöin lauseen 4 mukaan sarja a n suppenee itseisesti. (ii) Jos L >, niin on olemassa sellainen luku N, että a n+ n N a n. Tällöin lauseen 4 perusteella sarja a n hajaantuu. 7