S Signaalit ja järjestelmät 5 op. Pääassistentti Seppo Saastamoinen. S-posti: Puh E307B S.72.

Transkriptio

1 S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op Luennoisija Prof. Riu Jäni S-posi: riu.jani@.fi Puh E9 Pääassiseni Seppo Saasamoinen S-posi: seppo.saasamoinen@.fi Puh E37B S.7. Miä äsiellään? signaalien ja järjeselmien perusäsieiä signaali- ja järjeselmäanalyysin perusmeneelmiä Signaalimuunnose, signaalien aajuusesiys Signaalien suodaaminen lineaarisilla alipääsö- ja aisanpääsösuodaimilla Näyeenoo signaalien moduloini Missä ällaisia ieoja arviaan? eleroniiajärjeselmissä ieoliiennejärjeselmissä signaaliäsielyssä miauseniiassa sääöeniiassa auoaroiusessa radiomääriysessä (paiannus) jne S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio

2 Alusava luenoaiaaulu Sisälö ja aiaaulu o.. lo 8 S4 Johdano, signaali ja niiden funioesiyse, signaaliavaruus i 6.. lo 4 6 S4 Fourier - sarja o 8.. lo 8 - S4 Fourier - muunnos ja sen ominaisuude e 4.. lo 8 - S Erioissignaalien Fourier - muunnose, näyeenoo o 5.. lo 8 - S4 Disreei Fourier - muunnos i.. lo 4-6 S4 Lineaarise järjeselmä o.. lo 8 - S4 Lineaarisen järjeselmien analyysi i 7.. lo 4-6 S4 Lineaarinen suodaus o 9.. lo 8 - S Epälineaarise järjeselmä, vanisoini i 4.. lo 4-6 S4 Saunnaissignaali e 5.. lo 8 - S Saunnaissignaali lineaarisissa järjeselmissä i.. lo 4-6 S4 Modulaaio o 3.. lo 4-6 S4 EI LUENOJA, KS. LASKUHARJOIUKSE! S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 3 Alusava harjoiusaiaaulu Sisälö ja aiaaulu e 7.. lo 8 - S Lasuharjoius o 8.. lo 4-6 S Lasuharjoius i 3.. lo 4-6 S4 Lasuharjoius o 5.. lo 4-6 S Lasuharjoius e.. lo 8 - S Lasuharjoius 3 o.. lo 4-6 S Lasuharjoius 3 e 8.. lo 8 - S Lasuharjoius 4 o 9.. lo 4-6 S Lasuharjoius 4 e.. lo 8 - S Lasuharjoius 5 o 3.. lo 8 - S4 Lasuharjoius 6 o 3.. lo 4-6 S Exralasuharjoius, urssin eraus, asi esimerieniä S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 4

3 Kirjallisuus Vaadiu irjallisuus S-G Häggman: Signaali ja järjeselmä, opinomonisee Luenoalvo Suosielava irjallisuus: A.B.Carlson: Communicaions sysems. An inroducion o signals and noise in elecrical communicaion. 4h ed. Mc Graw-Hill, 768s. Luvu -9 (ei sisällä DF:ä eiä FF:ä) S.Hayin: Communicaion sysems. 4h ed. Wiley, 8s. L.Balmer: Signals and sysems, an inroducion, nd ediion, Prenice Hall 997, 55s. Luvu -6, 8-9 (ei sisällä modulaaioia) E. C. Ifeachor: Digial Signal Processign A pracical approach, 993, 76s. Luvu ja 4. (vain DF, FF ja disreei onvoluuio) S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 5 Kalvojen värioodi eoriaa Kaavan joho Esimeri Lisämaeriaalia S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 6 3

4 Lueno Signaali Jauva- ja disreeiaiaise seä -ampliudise signaali Jasollise ja jasooma signaali eho- ja energiasignaali Signaaliavaruus Signaalien sisäulo Signaalien normi, esimääräinen eho ja energia Kanafunio S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 7 Signaali Signaali on ajan, paian ai minä ahansa riippumaoman muuujan muana vaiheleva suure. Kurssilla esiyään Aiasignaaleihin s() aajuussignaaleihin S(f) s().4 S(f) f S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 8 4

5 Signaali Signaali voi olla Reaalinen s () Komplesinen s () = s() + is () I Q Esim. Moduloiu signaali ( π ) ( π ) s () = v()cos f + v ()sin f I c Q c iπ fc iπ fc {( I Q ) } { l } s () = Re v() + iv () e = Re s() e s () = v () + iv () l I Q Evivaleni alipääsösignaali Moduloiu signaali S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 9 Signaali Ysidimensioinen (ysianavainen) s() Monidimensioinen (monianavainen) s() s() n s() = sn () Esim. Ajoneuvon ila aajuusmuliplesoiu signaali x() Paia s() = v()cos ( π f ) + v()cos ( π f) s() = v() Nopeus f >> f a () v () s() = Kiihyvyys Veori esiys v() S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 5

6 Signaali Jauva-aiainen Signaali on määriely aiina ajanheinä Disreei-aiainen Signaali on määriely vain ieyinä ajanheinä ai ieyille näyeille S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio Signaali Jauva-ampliudinen Signaalin ampliudi s() voi saada aiia ampliudiarvoja ei-numeroiuvasa jouosa A s() A A Esim. signaalin ampliudi voi saada minä ahansa arvon reaaliluujen jouosa Disreeiampliudinen Signaalin ampliudiarvo on rajoieu numeroiuvaan jouoon B s () s, s, s,... { } Esim. 8 biin vanisoinnilla voidaan esiää 8 = 56 signaaliasoa. S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 6

7 Signaali JAKUVA-AIKAINEN I x() DISKREEIAIKAINEN II x() JAKUVA- AMPLIUDINEN DISKREEI- AMPLIUDINEN III x() IV x() S.-G. Häggman, S-7. Luenomonisee, 5 S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 3 Aiarajoiamaon > : s( + ) Signaali Aiarajoieu, pulssisignaali: Signaali saa nollasa poieavia arvoja ainoasaan ieyllä aiavälillä (, ) s() =, < > - / / S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 4 7

8 Jasollinen (periodinen) Signaali Jasonaia Ampliudi Jasoon (aperiodinen) - / / Ominaisaajuus f =/ S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 5 Signaali Deerminisinen Signaalin ampliudiarvo s() unneaan euäeen aiilla ajan arvoilla Saunnainen (soasinen) Saunnaisen signaalin äyäyymisä ulevaisuudessa ei voida arasi ennusaa. Voidaan vain esiää odennäöisyys sille, eä ampliudi on jollain ampliudivälillä ( ) Pr s( ) s = F( s; ) s() s() % S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 6 8

9 Signaalin eho Jänniesignaalin heelliseho u () i () = u () R R ehon uluus vasusessa P = ui = u R () ()() () Jos uorma sisälää reaiivisia omponeneja, niin vasaava yhälö saadaan näennäiseholle S () = s () Mielivalaiselle signaalille s(): P() / s() S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 7 Signaalin energia ja eho Signaalin energia Signaali on energiasignaali, jos Kesimääräinen eho Signaali on ehosignaali, jos Normi s() Aiaesiarvo s() = s() d S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 8 9

10 Pulssisignaali <, s () = muuoin Energia Signaalin energia ja eho E = lim s( ) d = s( ) d < Kesimääräinen eho P = lim s( ) d = lim s( ) d = Pulssisignaali on energiasignaali Pulssisignaali ei ole ehosignaali S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 9 Aselsignaali, s () = < Energia Signaalin energia ja eho E = lim s( ) d = lim d = Aselsignaali ei ole energiasignaali Kesimääräinen eho P = lim s( ) d lim d d = + = lim = Aselsignaali on ehosignaali S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio

11 Signaalin energia ja eho Ysiöpulssi Signaali on ehosignaali Signaali ja 3 ova energiasignaaleia S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio Jasollisen signaalin eho Jasollisen signaalin esimääräinen eho missä v() on signaali, jolle päee Jasollinen signaali on ehosignaali Kesimääräisen ehon lasemisesi riiää, eä arasellaan yhä jasoa - / / S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio

12 Sinimuooinen signaali Sinimuooinen signaali (esim. vaihojännie) v () = Acos( ω+ φ ) A Ampliudi ω+ φ Vaiheulma radiaaneina (π 8 ) φ Vaihesiirymä φ< jäö (lag), φ> joho (lead) ω Ominaisulmaaajuus (rad/s) Ominaisaajuus (Hz) Jasonaia S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 3 Sinimuooinen signaali ( ω φ ) v () = Acos A v() cos(πω ) φ/ω S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 4

13 Sinimuooinen signaali Sinimuooisen signaalin eho S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 5 Signaalin eho Sinimuooinen signaali A π P= v() d cos φ d = + ( ) cos x dx = sin( x) cos cos( ) 4 ix ix i x ix ( x) = ( e + e ) = ( e + + e ) = ( + x ) 4π A 4π A P= cos d sin + + φ = + + φ 4π S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 6 3

14 Signaalin eho Sinimuooinen signaali A 4π 4 sin π sin A P = + + φ + φ = 4π = ( φ ± π) = ( φ) ( φ ± π) = ( φ) cos cos sin sin osa π on jason piuus S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 7 Eulerin eoreema Osoiinesiys Osoiin Im ω Osoiin pyörii aajuudella f = π Re S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 8 4

15 Viivasperi Sinimuooinen signaali voidaan esiää ahden osoiimen summana Im Im Re Re Ampliudisperi Vaihesperi S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 9 Sisäulo Kahden energiasignaalin välinen sisäulo Komplesionjugaai = signaalien ulon alue S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 3 5

16 Sisäulon ominaisuusia Sisäulo ( s() s() ) = ( s() s() ) ( as() s() ) = a( s() s() ) ( s() as() ) = a ( s() s() ) ( s () + s () s () ) = ( s () s () ) + ( s () s () ) S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 3 Sisäulo Signaalin energia (indusuoiu normi) Orogonaalisuus ja oronormaalisuus Orogonaalisuus Oronormaalisuus s () s () s () s () + - = S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 3 6

17 Sisäulo Kahden jasollisen signaalin sisäulo, un molempien signaalien jasonaia on (ai on niiden jasonaiojen moniera) Kesimääräinen eho (indusoiu normi) Orogonaalisuus ja oronormaalisuus Orogonaalisuus Oronormaalisuus S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 33 Sisäulo arasellaan aha signaalia π v () = Acos π + v() = Acos m m ( ) v () v () = / S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 34 v()/a m=3 Jos sinimuooisen signaalien aajuude f ova monieroja, niin signaalien sisäulo on. Signaali ova esenään orogonaalisia. 7

18 Oronormaalise signaali iedonsiirrossa Määriellään asi oronormaalia signaalia Pv = ( v() v() ) = Esim Pv = ( v() v() ) = v() = cos( ω) ( v v() = sin( ω () v() ) = ) Oloon I ja I asi informaaiosymbolia (esim. + ai -) Muodoseaan läheeävä signaali s() s () = Iv () + Iv () Kohinaomassa apausessa vasaanoimessa informaaiosymboli saadaan raaisua läheeesä s() äyäen sisäuloa ( s () v() ) = I s () v() = I ( ) S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 35 Signaaliavaruus Signaaliavaruus on normillinen avaruus, jona normi on sisäulon indusoima = ( ) = s() s() s() lim s() d s() = ( s() s() ) = s() d Energiasignaalille ehosignaalille Signaaliavaruus muisuaa veoriavaruua, mua veorien sijaan avaruuden elemeni ova signaaleia (funioia) S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 36 8

19 Signaaliavaruus Määriellään K lineaarisesi riippumaona anafunioa φ () φ (), =,, K wφ () = jos ja vain jos w =, =,, K Kanafunio viriävä K-dimensioisen signaaliavaruuden, jona elemeni voidaan esiää anafunioiden lineaariombinaaiona K x() = cφ() = S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 37 Signaaliavaruus Kana on orogonaalinen, jos >, = l ( φ() φl() ) =, l ja oronormaalinen, jos ( φ() φl() ) = = l l S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 38 9

20 Signaaliavaruus Signaalin s() approsimoini oronormaalin annan {φ ()} avulla S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 39 Signaaliavaruus Approsimoidaan signaalia s() oronormaalin annan {φ ()} avulla s() c () ˆ φ s() Valiaan painoeroime {c } sien, eä erosignaalin s () = s() sˆ () normin neliö (energia / eho signaaliyypisä riippuen) minimoiuu min { } s ( ) c Normi voidaan lausua sisäulon avulla s () = s() cφ() = s() cφ() s() cφ() = s () s () cφ() cφ() s () + cφ() S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 4

21 arasellaan normia Signaaliavaruus = φ = l φ φ l Kana on oronormaali, joen = l ( φ() φl() ) = l ja = φ = sˆ( ) c () c ( ) sˆ( ) c () c c () () S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 4 Signaaliavaruus arasellaan summaa s () cφ() cφ() s () ( () φ ()) ( φ () ()) = c s c s ( () φ ()) ( () φ ()) = c s c s ( s() s() ) = ( s() s() ) ( as() s() ) = a ( s() s() ) ( s() as() ) = a ( s() s() ) ( s() + s() s3() ) = ( s() s3() ) + ( s() s3() ) S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 4

22 Signaaliavaruus Erosuureen normi voidaan ny irjoiaa muooon s () = s () cφ () = ( φ ) ( φ ) = s() c s () () c s () () + c c Keroime ova omplesiluuja c =c re, +ic im,, joen minimi voidaan raaisa reaali- ja omplesiosan suheen derivaaan nollaohdisa d s () = dcre, d s () = dc im, S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 43 Signaaliavaruus Derivaaan nollaoha: s () = s () ( cre, icim, )( s () φ () ) ( cre, + icre, )( s () φ () ) + ( cre, + cim, ) d dc re, d dc re, ( φ ) ( φ ) s () = s () () s () () + c = re, ( φ ) ( φ ) s () = i s() () i s() () + c = im, cre, = ( s() φ () ) + ( s() φ () ) i ci m, = ( s () φ() ) ( s () φ() ) c = c + ic = s() φ () ( ) re, im, ( () φ() ) c = s Kyseessä on aio minimi, osa d dc d s () = >, s () = > dc re, im, z = z + iz z = z reizim zre = z+ z i zim = zz ( ) ( ) S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 44 re im

23 ( ) Signaaliavaruus Kun c = s() φ (), virheen normisi ulee K = φ = K K ( φ ) ( φ ) = = s () s () c () = s() c s() () c s() () + c s () s() c äsä voidaan johaa Besselin epäyhälö = = = + s () s() c s() c s() s() c S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 45 Signaaliavaruus Energiasignaali E = s() s sˆ E = s ˆ( ) = c s = s E E c Jos E s = Parsevalin eoreema E s = c ehosignaali P = s sˆ s() P = sˆ( ) = c s = s P P c Jos P s = Parsevalin eoreema Ps = c S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 46 3

24 Fourierin esponeisarja Jasollinen signaali s() s()=s(+ ) Oronormaali ana π φ () = exp i =...,,,,,,... = ( () φ() ) = () () ()exp φ = π c s s d s d ähän palaaan seuraavalla luennolla Kannan muodosaa erisuuniin ja eri aajuusilla pyörivä osoiime Im f = Re S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 47 Walsh-funio Pulssisignaali aiavälillä (,) K-dimensioinen orogonaali ana φ () = W () W () = muuoin Sovellusia: - anavoinioodaus CDMAjärjeselmässä - uvion unnisus ja uvanäsiely - p W n+ p() = Wn + + ( ) Wn 4 4 Esim. K=4 =: n=,p= =: n=,p= =3: n=,p= =4: n=,p= W () W () W () - W () 3 S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 48 4

25 Muia oronormaaleia anafunioia Laguerren funio L (), [,), =,,, φ() = exp L() exp( ) d L () = ( exp ( ) )! d ( + ) L ( ) = (+ ) L ( ) L ( ) + Kvanimeaniia: Schrödingerin yhälön raaisu Hermien funio H (), (,), =,,, exp φ() = H() n! π H () = exp d exp H () = H () H () d ( ) ( ) ( ( )) + Fysiia, ilasoiede Legendren funio P (), [-,], =,,, φ() = + P() d P () = ( )! d ( + ) P ( ) = (+ ) P ( ) P ( ) + Poeniaalieoria (sähömagneismi, virausdynamiia, ähiiede, ): Laplacen yhälö raraisu sebysevin (Chebyshevin) funio C (), [-,], =,,, 4 ( ) C ( ) = π φ () = ( ) = π C () = C () C (), C ( ),,... 4 C() =, C() = Approsimaaioeoria (inerpoloini) S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 49 S.-G. Häggman, S-7. Luenomonisee, 5 Hermien polynomeihin perusuva anafunio Legendren polynomeihin perusuva anafunio.5 n=4 n= n= n= n= n=5 -.5 n= n= šebyshevin polynomeihin perusuva anafunio.5. n=3 n=4 n= n= n= n=4 n= n=5 n= Laguerren polynomeihin perusuva anafunio n=.5 n= n=4 -. n=5 n= n=3 n=5 -.5S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK -.5 ieoliiennelaboraorio

26 Gram-Schmid proseduuri Muodoseaan orogonaali ana K:sa lineaarisesi riippumaomasa signaalisa { g () } g() φ () = g() c = g () φ (), l =,,.. ( ) l l φ() = g() clφl(), =,3,... K l= φ () φ () = φ () Normalisoidaan muodoseun signaalin energia /eho φ = g ( g ) φ φ Se osa signaalisa g (), joa voidaan seliää lineaariombinaaiona anafunioisa φ l (), l=,,..,- φ g g ( g φ) φ S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 5 Gram-Schmid proseduuri arasellaan signaaleia {g ()} g () g () g () g4( ) g () = g () + g () E = g () = g () d E = E =, E = E = 3 S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 5 6

27 Gram-Schmid proseduuri Oronormaali anafunio (signaali) φ () φ () φ () 3 Signaalijouo {g ()} sisälsi vain olme lineaarisesi riippumaona signaalia, joen anafunioiain on vain olme S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 53 Gram-Schmid proseduuri Signaalien esiäminen annan avulla g () = φ () g () = φ () g () = φ () + φ () 3 3 g () = φ () + φ () 4 3 Veori esiys φ φ φ 3 g =, g =, g3 =, g4 = g g 3 g3 4 g3 E =, E = =, E = = 3, E = = 3 S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 54 7