Luento 4 Jaksollisten signaalien Fourier-sarjaesitys 4.1 Fourier-sarja 4.2 Viivaspektri, tehospektri

Transkriptio

1 Luento 4 Luento 4 Jaksollisten signaalien Fourier-sarjaesitys 9 Oppenheim 3.3, Fourier-sarja Kompleksi F-sarja F-sinisarja Sinc-funktio 4. Viivaspektri, tehospektri Viivaspektri Parsevalin teoreema 4.3 F-sarjan ominaisuuksia, F-sarjan katkaiseminen ja suodatus F-sarjan ominaisuudet Oppenheim 3.5 F-sarjan suppeneminen, Gibbsin korvat Jaksollisen signaalin suodatus Oppenheim 3.8 1

2 Jean Baptiste Joseph Fourier ( ) Ranskalainen matemaatikko ja fyysikko. Loi pohjan Fourier-sarjoille ja muunnoksille teoksessaan héorie analytique de la chaleur (Analyyttinen lämpöteoria) ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op

3 4.1 Fourier-sarja

4 ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 4

5 Jaksolliset signaalit Jaksollinen (periodinen) Jaksonaika - / / Perusjakso t Ominaistaajuus f =1/ Signaalin ominaisuuksien tarkastelemiseksi riittää kun keskitytään yhden jakson pituiseen aikaväliin. Valitaan yksinkertaisuuden vuoksi tarkasteluväliksi / t / ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 5

6 Jaksolliset signaalit Kahden jaksollisen signaalin sisätulo, kun molempien signaalien jaksonaika on (tai on niiden jaksonaikojen monikerta) Keskimääräinen teho * * xt (), yt ()? xty () () tdt< xty () () tdt xt () 1 P < < x() t dt,, ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 6

7 Eksponentiaalinen Fourier-sarja: Ortonormaali kanta arkastellaan osoitinsignaaleja 1 iο k εk ( t) < exp t k <...,,,, 1,,1,,... Osoittimen ε k (t) pyörimistaajuus k=: Hz asavirtakomponentti (DC) k=1: 1/ Perustaajuus (1. harmoninen taajuus) k>1: k/ k. Harmoninen taajuus Osoittimet muodostavat ortonormaalin kannan Im ε k () t Re ε (), t ε () t k l 1 < k k < l l ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 7

8 Eksponentiaalinen Fourier-sarja: Ortonormaali kanta Osoitetaan, että 1 k < l εk(), t εl() t < k l arkastellaan ensin tapausta k=l 1 ο i k i οl εk( t), εl( t) < exp t exp t dt, k l,,, ( 1 iο k l 1 iο 1 < exp t dt exp t dt 1dt 1 < < <,,, ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 8

9 Eksponentiaalinen Fourier-sarja: Ortonormaali kanta arkastellaan nyt tapausta k l ( exp iο k l( ( exp iο k l( ((, ( ο k, l( sinc k l( k, l( ( 1 ο i k i οl εk( t), εl( t) < exp t exp t dt, k l,,, ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op ( 1 iο k, l 1 iο k, l < exp t dt exp t < iο k, l( 1 <,,,, iο k l sin < <, < ο sin 1 i, ix, ix x( < e, e ( sinc x( < sin ο x( ο x 9

10 SINC-funktio sinc( x) < sin οx( οx Nollakohdat Raja-arvo sin ο x( sinc( x) < < ο x x < 1,,,3, ϑ sin οx sin ( οx( cos ( limx lim x ο οx ο < x < limx < < 1 οx οx ο ο x Hôpital s rule ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 1

11 Eksponentiaalinen Fourier-sarja i) ii) arkastellaan jaksollista funktiota v(t)=v(t+m ), m=,-1,,1, joka täyttää ehdot 1 P < v() t dt ;, δ vt δ vt δ lim ( ), (, ) (Neliöintegroituva/ehosignaali) äärellisessä määrässä pisteitä välillä / t / jälkimmäinen ehto rajoittaa signaalin epäjatkuvuuskohtien määrän äärelliseksi: t ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 11

12 Eksponentiaalinen Fourier-sarja Signaali, joka täyttää ehdot i) ja ii) voidaan esittää ortogonaalisen kannan avulla 1 οk vt () < vt (), εk() t εk() t < vt (), εk() t exp i t k<, k<, Exponentiaalinen Fourier-sarja οk v() t < vkεk() t < vk exp i t k<, k<, Fourier-kertoimet 1 1 * 1 k < (), εk() < () εk () < ()exp,,, οk v vt t vt tdt vt i t dt ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 1

13 Eksponentiaalinen Fourier-sarja On periodinen οk v( t) < vk exp i t < v( t m), m ϒ k<, ästä seuraa, että jaksollisen signaalin perusjaksolle laskettu Fourier sarja on voimassa kaikilla t:n arvoilla. οk οk οk v( t m) < vk exp i t m( < vk exp i t exp i m k<, k<, οk < vk exp i t < vt () k<, Im ο k exp i m < exp iο km( < 1 ο Re ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 13

14 Exponentiaalinen Fourier sarja Fourier-kertoimet ovat kompleksisia suureita: vastaavat perustaajuuden f =1/ harmoonisia taajuuksia asavirtakomponentti k= vastaa signaalin keskimääräistä amplitudia ζ v ζ v Im k argζ vk < arctan Re k ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 14

15 rigonometrinen Fourier-sarja Reaaliselle signaalille Käytetään tätä ominaisuutta hyväksi: Hermiittinen symmetria (k>) {v k } {v k } (k<) rigonometrinen Fourier-sarja ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 15

16 Fourier kosini- ja sinisarja Fourier-kertoimet 1 οk vk < v( t)exp i t dt,, 1 οk οk < v( t) cos t isin t k iαk,, <,, ( sin (, ix e < cos x, i x α k k 1 οk < v( t) cos t dt, 1 οk < v( t) sin t dt, ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 16

17 Fourier kosini- ja sinisarja Fourier sini- ja kosinisarja Kun v(t) on reaalinen: v < α ( v < v < i *, k k k k Nyt voidaan kirjoittaa οk v( t) < vk exp i t < k<, v 1,v, οk οk < k, iαk( exp i t k iαk( exp, i t k< 1 οk οk < k cos t αksin t k< 1 v -1,v -, (, i exp ix i exp(, ix) < exp i, exp(, ) < sin( x) ix( ix ( ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 17

18 Fourier kosini- ja sinisarja arkastellaan reaalista signaalia v(t) Jos pinta-ala signaalin yli on nolla, = (α = reaaliselle signaalille) Parillinen signaali v(-t)=v(t) => α k = sini-sarja häviää Pariton signaali v(-t)=-v(t) => k = kosini-sarja häviää Puoliaalto symmetrinen: v(-t)=-v( /-t) Parilliset harmoniset häviävät n =, α n =, n=,1,, ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 18

19 Esimerkki 1 Olkoon Fourier-sarjan kertoimet Huomataan, että v(t) Joten kertoimet voidaan kirjoittaa muotoon ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 19

20 Esimerkki 1 Ratkaistaan ensin integraali sin(ο l) Yllä olevaa hyödyntäen saadaan A exp iε( k < 1 A < exp, iε( k <, 1 otherwise Amplitudispektri: v k Vaihespektri: arg{v k } ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op

21 4. Viivaspektri, tehospektri

22 Viivaspektri Eulerin teoreema Osoitin exp( iϖ t) Im Re Osoitin pyörii taajuudella f ϖ < ο ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op

23 Viivaspektri Sinimuotoinen signaali voidaan esittää kahden osoittimen summana Im Im Re Re Amplitudispektri Vaihespektri ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 3

24 Viivaspektri Reaalinen jaksollinen signaali voidaan esittää summana kosinisignaaleja οk οk v( t) < vkexp i t < v vk cos t argζ vk k<, k<, Viiva spektri: Amplitudi spektri: v k Vaihespektri: arg{v k } v v v1 v1 v,argζ v argζ v 1, f, f f f,argζ v 1, f, f f f argζ v ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 4

25 Parsevalin teoreema Signaalin keskimääräinen teho / 1 P < v() t dt < v, / k<, k - - ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 5

26 ehospektri v v 1 v ehospektrin kertoimet, määrittävät miten signaalin keskimääräinen teho on jakautunut eri taajuuksille. ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 6

27 ehtävä Jaksollisen signaalin tehospektri on Mikä on signaalin keskimääräinen teho? Mitä taajuuksia signaali sisältää, jos sen jaksonaika =1s? ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 7

28 Esimerkki Signaali, jossa on DC-komponentti Keksimääräinen teho Huomaa, että Joten tehon lauseke voidaan viedä muotoon Osoittautuu, että ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 8

29 Esimerkki Ratkaistaan signaalin Fourier-sarjan kertoimet: Vakion viivaspektri Huomaa, että k < 1,,, 3, ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op sinc( k) < 1 k < ϑ 9

30 Esimerkki Sinisignaalin viivaspektri johdettiin aiemmin Signaalin v(t) viivaspektri saadaan summana Amplitudispektri: v k Vaihespektri: arg{v k } V V1 exp iε( k < 1 V exp iε( 1 muutoin 1 <, k <, ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 3

31 Esimerkki Ratkaistaan signaalin teho Parsevalin teoreeman mukaan / 1 P < v() t dt < v, / joten, nyt k<, k P < vk < v, v v < V V V < V V k<, 4 4 ulos on sama kuin suoraan tehon määritelmästä johdettu., 1 1,, ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 31

32 Esimerkki 3 Pulssijono (esim. pulssitutkan tuottama kantataajuinen signaali) σ σ< Signaalilla on DC-komponentti (pulssin pinta-ala on Aσ) Signaali on parillinen (sinisarja häviää) v k = k σ 1 οk 1 οk vk < v( t)exp t dt Acos t dt, < σ,, ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 3

33 Esimerkki 3 Integroimalla saadaan σ 1 οk 1 οk vk < v( t)exp i t dt Acos t dt, < σ,, A 1 οk σ οk σ < sin sin οk,, οσ k οσ k sin sin σ σ σ < A < A < A sinc k k σ ο οk 1 cos( ax) dx < sin( ax) a x( sin, <, sin( x) ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 33

34 Esimerkki 3 Amplitudispektri. σ/=. k=-1:1; x=.; %x=au/ <1 A=1;.15.1 v k for n=1:length(k) v(n)=a*x*sinc(k(n)*x); end;.5 bar(k,v,.1) xlabel('k') ylabel('v_k') title(['\tau/=' numstr(x)]) hold on t=-1:.1:1; plot(t,a*x*sinc(x*t)) axis([ x/4 x]) hold off v k k σ/= k ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 34

35 Esimerkki 4 Kanttiaalto (esim. digitaalinen kellosignaali) +1-1 Signaalin DC-komponentti on ( =) Signaali on pariton, joten kosinisarja häviää ( k = k=1,,3 ) v k <, iα k Signaali on myös puoliaaltosymmetrinen, joten parilliset harmoniset katoavat α n <, n <,1,,3,... ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 35

36 Esimerkki 4 Lasketaan sinisarjan kertoimet 1 οk αk < v( t)sin t dt, 1 οk 1 οk <, sin t dt sin t dt,, Eksponentti Fourier sarjan kertoimiksi tulee tällöin ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 1 1 οk 1 1 οk <,, cos t cos t οk, k ο 1 1 οk 1 1 οk < 1, cos,, cos, 1 οk οk k parillinen 1 1, cos οk( <, cos οk( ( < < οk οk k pariton οk vk 1 <, iαk 1 <, i, vk < οk 1 sin( ax) dx <, cos( ax) a 36

37 Esimerkki 4 ehospektri 4/ο v 1 v 3 v 5 k Vaihespektri ο/ -ο/ k ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 37

38 Esimerkki 5: Mittaus vs teoria Signaaligeneraattori, skooppi ja spektri analysaattori ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 38

39 Esimerkki 5: Mittaus vs teoria Signaaligeneraattorin tuottama kanttiaalto ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 39

40 Esimerkki 5: Mittaus vs teoria Spekrtianalysaattorin tuottama tulos vs teorian ennustama tulos -3.9 db eorian ennustamat arvot ovat erittäin lähellä mittatuja arvoja! db db -.8 db -3. dḇ 4.7 db-6. db eoriaa voi käyttää varmisutaakseen siitä, että mittalaitteet on oikein kalibroitu! -7.4 db -8.5 db ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 4

41 4.3 F-sarjan ominaisuuksia, F- sarjan katkaiseminen ja suodatus

42 Fourier-sarjan ominaisuuksia ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 4

43 Katkaistu Fourier-sarja arkastellaan approksimaatiota Jos v(t) täyttää ehdot i) ja ii) i) ii) 1 P < v() t dt ;, lim δ vt ( δ), vt (, δ) äärellisessä määrässä pisteitä t välillä / t / niin erosignaalin keskimääräinen teho menee nollaan ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 43

44 Gibbsin Ilmiö Jos signaali on epäjatkuva amplitudinen, niin askelmaisessa muutoskohdassa on noin 9% ylitys riippumatta N:n suuruudesta N= -.5 N= ime ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 44

45 Esimerkki 5 Pulssijono σ σ< 1 οk σ σ vk < v( t)exp i t dt A sinc k, < vt () < vt ˆ() <, k iο t ve k k<, K k iο t ve k K k<, ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 45

46 Esimerkki 5 Approksimaatio 1. 1 σ/=. K= K=; k=-k/:k/; =1; x=.; %x=au/ <1 A=1; for n=1:length(k) v(n)=a*x*sinc(k(n)*x); end; v(t) t t=-*:.1:*; vhat=; for n=1:length(k) vhat=vhat+v(n)*exp(i**pi*k(n)/*t); end; plot(t,vhat) xlabel('t') ylabel('v(t)') title(['\tau/=' numstr(x) ' K=' numstr(k)]) v(t) σ/=. K= t ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 46

47 Katkaistu Fourier-sarja ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 47

48 Muita kurssin aiheeseen liittyviä apletteja ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 48

49 Jaksollisen signaalin suodattaminen arjastellaan jaksollista signaalia v(t), jonka jaksonaika on. Signaali voidaan esittää F-sarjana: ο k v( t) < vk exp i t k<, Signaali kulkee lineaarisen järjestelmän läpi, jonka impulssivaste on h(t) Määritellään, iο ft H ( f ) h() t e dt? (Impulssivasteen Fourier-muunnos), Järjestelmän lähtösignaali on ο w() t < h() t v() t < vkh k e k<, ο kt ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 49

50 Jaksollisen signaalin suodattaminen odistus οk h() t v() t < h( σ) vk exp i t, σ( dσ k, <, οk οk < vk exp i t h( σ)exp, i σ dσ k<,, οk οk < vk exp i t H k<, ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 5

51 Esimerkki 6 Ajetaan vaihtojännitettä RC suodattimen läpi ο A οk A οk x( t) < Acos < exp, i t exp i t Suodattimen impulssivaste, t e t ht () < t;, t, iο ft 1 1 iarctan H( f) < e e dt < < e ο i f 1 f 1 ο ( ο f ( ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 51

52 Esimerkki 6 Suodattimen lähtösignaali A ο ο y( t) < cos t arctan ο 1 RC suodatin siis vaimentaa signaalia ja muuttaa sen vaihetta, mutta taajuus säilyy muuttumattomana. ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 5

53 Esimerkki 7: Himmennin Himmennintä käytetään valonlähteiden kirkkauden säätöön. yristorihimmennin leikkaa kunkin puoliaallon alkuosaa Säätämällä tätä aikaa voidaan säätää valonlähteelle menevää tehoa σ /= 1 ms 1 s(t) V=1 V v(t) = ms 53

54 Esimerkki 7: Himmennin Syöttöjännite ο v( t) < Acos Katkaisusignaali σ t, k, st ( ) 1 rect <, k<, σ 54

55 Syöttöjännite ο v( t) < Acos A k, 1, 1 vk < muuten Katkaisusignaali Esimerkki 7: Himmennin ζ σ t, k, st ( ) 1 < ζ, rect qt () k<, σ rt () 55

56 Esimerkki 7 Pulssijono r(t) σ σ σ σ, iο / r k < sinc k e Ks. Esimerkki 5 DC komponentti q(t) q k 1 k < < k Huomataan, että pulssijonon ominaistaajuus on kaksinkertainen vaihtojännitteeseen nähden. s k sk 1 q, r k < <, rk k < ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op st () < se k k<, οk i t 56

57 Esimerkki 7 Kahden jaksollisen signaalin tulo (kun jakson aika on sama) l k( οk οl ο i t i t i t k l k l k<, l<, k<, l<, y() t < s() t v() t < s e ve < s ve muuttujan vaihto n=k+l => l=n-k οk l n i t ο i t ο i t k l k n, k k<, l<, n<, k<, yt () < stvt () () < se ve < sv e 31 3 y < sv < vs n k n, k k n, k k<, k<, (Diskreetti konvoluutio) y n ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 57

58 Esimerkki 7 Himmentimen lähtösignaalin F-sarjan kertoimet y < v s < v s vs s n k n, k, 1 n 1 1 n, 1 k <, k sk 1 q, r k < < <, rk k ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät 5 op 58