Juuri 13 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. K1. A: III, B: I, C: II ja IV.
|
|
|
- Laura Ranta
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey Keraus K. A: III, B: I, C: II ja IV Kuvaaja: I II III IV
2 Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey K. a) lim ( ) Nimiäjä ( ) o aia posiiivie ja lähesyy lukua, ku. Tällöi o aia egaiivie ja se arvo pieeee rajaa. ( ) b) Ku oikeala, o posiiivie ja lähesyy arvoa. Tällöi. Ku vasemmala, o egaiivie ja lähesyy arvoa. Tällöi. Fukiolla ei siis ole epäoleellisa rajaarvoa kohdassa =.
3 Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey c) Ku muuuja arvo kasvaa rajaa, myös arvo kasvaa rajaa ja fukio arvo lähesyy lukua. Ku muuuja arvo pieeee rajaa, arvo lähesyy ollaa ja fukio arvo lähesyy lukua. K. a) 5 (5 ) (5 )(5 ) (5 ) (5 5) 5 5 (5) b) Ku 5+, osoiaja lähesyy lukua 5 ja imiäjä 5 lukua posiiivisia arvoja saade. Niipä. 5 5 Ku 5, osoiaja lähesyy lukua 5 ja imiäjä 5 lukua egaiivisia arvoja saade. Niipä. 5 5 Fukiolla ei ole raja-arvoa, eikä epäoleellisa raja-arvoa kohdassa = 5.
4 Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey c) Ku 5, osoiaja lähesyy lukua 5 ja imiäjä ( 5) lukua posiiivisia arvoja saade. Niipä. 5 ( 5) d) lim f ( ) lim ( ) lim f ( ) lim ( ) Fukiolla ei ole raja-arvoa, eikä epäoleellisa raja-arvoa kohdassa = 5.
5 Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey K4. a) ( ) b) ( ) 5 ( 5 ) 5 c) ( ) ( )
6 Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey d) 4 ( ) 4 e e e e e 4 e e e e ( ) e e K5. a) lim lim lim lim lim ( ) b) lim lim lim lim lim ( )
7 Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey c) ( )( ) lim ( ) lim lim lim lim K6. a) b) c) ( ) 5 4 (5 4 ) ( ) ( )
8 Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey K7. Määrieää lukujoo raja-arvo. a 6 a a 5 Lukujoo jokaise jäsee eäisyys raja-arvosa o vähemmä kui sadasosa luvusa = 5 alkae. K8. a) a = ( ) + a = ( ) + = a = ( ) + = a = ( ) + = Lukujoossa vuoroeleva luvu ja, joe lukujoo ei suppee vaa hajaauu. b) a =, ku Lukujoo jäsee kasvava rajaa, ku kasvaa rajaa, joe lukujoo hajaauu.
9 Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey c) cos Ku kasvaa rajaa lähesyy lukua ja sie cos lähesyy lukua a cos =. Sie lauseke ole raja-arvoa. cos pieeee rajaa, eikä lukujoolla ei K9. a) b) e e e ( e ) e π > e, joe e. Tällöi ( e ) ee, ku kasvaa rajaa. a si a si sisi a si si si Lukujoo äyäisi oleva geomerie lukujoo. Lukujoossa a a = si ja q = si si si. a si Geomerie lukujoo suppeee, ku < q. Epäyhälö < si oeuuu kaikilla muilla : arvoilla, paisi ku si =, eli ku. Lukujoo suppeee, ku.
10 Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey K. a) Suhdeluku q 6. Koska < q <, lukujoo suppeee. a S 4 q b) Suhdeluku q 8. Koska < q <, lukujoo suppeee. 6 a S q ( ) c) Suhdeluku q. Koska < q <, lukujoo suppeee. a S 5 5 q ( ) 5 K. a) Sarja o geomerie sarja, joka suhdeluku q = e ja a = π. Koska e < π, q ja sarja suppeee. ( e ) e e e b),777 =,7 +,7 +,7 + = (...) 4 6 Sarja o geomerie sarja, jossa a = 7 ja q =. 7 S
11 Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey K. a) Sarja o geomerie sarja, jossa q = ( + ) ja a =. Sarja suppeee, ku < ( + ) <, eli ku < + <, eli < <. b) Ku sarja suppeee, S. ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) Sekä =,9... eä =,77... kuuluva välille < <, jolla arkaselava sarja suppeee. Niipä yhälö rakaisu o = ai =. K. a) Sarja o geomerie sarja, joka suhdeluku q = 4. sarja hajaauu. Koska q >, b) a = + ( ) = a = + ( ) = a = + ( ) = Lukujoossa vaiheleva luvu ja. Koska yheelaskeavie lukuje joolla ei ole raja-arvoa, sarja hajaauu. c). Koska lim a, sarja hajaauu. a
12 Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey K4. a) d lim d lim d lim/ lim lim( / ) b) Fukio 5 ( ) o rajoiamao pääepisee = läheisyydessä. 5 4 d lim d lim ( ) d lim ( ) 5 5 / ( ) ( ) 4 lim / lim( ) ( ) 4( ) 4 ( ) c) ( ) ( ) lim ( ) lim / / ( ) d lim d lim ( ) d lim( ) ( )
13 Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey K5. Piirreää kuva. Määrieää -akseli leikkauspise. ( ) Kuvaaja ei leikkaa -akselia ja o ( )d., joe aluee pia-ala ( )d lim ( )d Pia-ala o l. lim /(l() l( )) lim l / lim(l l) lim(l ) l l
14 Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey K6. Tilavuus o 4 lim ( ) dlim 4 ( ) d lim d lim / lim / lim ( ) ( ) K7. a) Koska f() =, ii g() =. Arvoa g() ei voi määriää, sillä ei iedeä kohaa, jossa f saa arvo. Koska f() =, ii g() =. b) f(g()) = g(f(4)) = 4 K8. a) f() =, joka peruseella g() =. Koska f( ) =, ii g() =. Vasaavasi, koska f( ) =, ii g( ) =. b)
15 Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey K9. Fukiolla o kääeisfukio, jos se o moooie. Fukio f o määriely, ku + 4, eli ku ja derivoiuva, ku >. f( ) (4) 4 Derivaaa o posiiivie, ku >, joe fukio f o kasvava ja sie sillä o kääeisfukio. y 4 y ja y 4 y 4 y 4 y Kääeisfukio o f ( ). Fukio f määrielyjoukko o. Fukio f arvojoukko o [, [, sillä f( ) =, f o kasvava ja jakuva, ja lim f( ) lim 4. Kääeisfukio f määrielyjoukko o fukio f arvojoukko ja arvojoukko fukio f määrielyjoukko [, [.
16 Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey K. a) f(, ) = + = 6 + = 5 Pise (,, 5) ei ole fukio kuvaajalla, koska f(, ) 5. b) D ( y) y Dy ( y) f (,) f (,) y c) f(, y) = 4, eli y + = 4 y = Esimerkiksi pise (, ) oeuaa yhälö. K. a) y = y = + y = Fukio saa arvo ympyrä + y = piseissä. b) D ( y ) Dy ( y ) y f (4,) 48 f (4,) y
17 Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey K. f(, y) = + y Tasa-arvokäyrille + y = c y = + c Tasa-arvokäyrä ova ylöspäi aukeavia paraabelejä, esimerkiksi y = + (c = ) y = + (c = ) ja y = + (c = ).
18 Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey Kokoavia ehäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) lim f ( ) b) lim f ( ) 5 c) lim f( ) f() (agei kulmakerroi kohdassa = ) d) e) f ( ) f() lim ei ole olemassa, sillä erousosamäärä oispuoleise raja-arvo ova erisuure. f ( ) f(9) lim ei ole olemassa, sillä fukio f ei ole kohdassa = 9 9 jakuva eikä siksi voi myöskää olla derivoiuva. 9 f) f( ) f() lim (agei kulmakerroi kohdassa = ). a) f(, ) = = 4 5 = Pise (,, ) ei ole fukio f kuvaajalla, koska f(, ). b) D ( y 4 y 5) y D ( y4y5) 4 y f (4, ) 4 ( ) 8 5 f (4, ) y
19 Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey a) Sarja o lukuje lopuo summa ja lukujoo o joo lukuja. b) Lukujoo suppeee, ku se yleisellä jäseellä o äärellie raja-arvo. Sarja suppeee, ku se osasummalla o äärellie raja-arvo. Suppeeva lukujoo o esimerkiksi geomerie lukujoo,,,... eli a ( ). Tällöi lim a. Suppeeva sarja o esimerkiksi..., joka o geomerie sarja, jossa a = ja q =. Koska < q <, sarja suppeee ja summa o c) Epäoleellie iegraali suppeee, jos se määrielyssä käyeävillä määräyillä iegraalilla o äärellie raja-arvo. / / d lim d lim ( ) lim ( ) lim( ) Iegraali ei suppee. 4. a) ( ) e e e e ( ) e e e e b) e e
20 Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey a) b) a! ( )... ( )! ( ) ( ) ( )... ( )( ) ( ) ( )( ) a ( ) ( ) ( )
21 Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey ( ) a 4 Ku, + > ja 4. Koska erous a o egaiivie, a < kaikille ermeille. a ( ) a ( ) ( ) ()( ) ( )( ) ( 44) ( )( ) 8 4 ( )( ) Ku, a + a >, joe a + > a kaikille ermeille. ( ) a ( ) 7. S l l l... l l 4 l l l l 4... l( ) l l l( ) ll( ) l( ) l( ) Sarja ei suppee.
22 Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey f ( ) ae,ku, ku Tulee olla f(), joe a. Lisäksi ulee olla f ( )d. f ( )d d ae d limae d a a lim / ae lim( ae ae ) lim( a a) a a e f ( ) e, ku, ku Ku <, kerymä o. Ku, s s s s s e d / e e e e e Kerymäfukio o, F( ). e,. PX ( ) F ( ) ( e ) e, ku.
23 Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey a) Fukio g o jakuva kohdassa =, jos g() = f() = g() lim g( ). lim g( ) lim( f ( ) ) f ( ) 5 Fukio g o jakuva kohdassa =. Fukio g o derivoiuva kohdassa =, jos raja-arvo o olemassa. g ( ) g() lim g( ) g() f( ) f() f( ) lim lim lim lim f ( ) Fukio f raja-arvo olemassaolosa kohdassa = ei iedeä miää, joe fukio g derivoiuvuudesa kohdassa = ei voida saoa miää. b) g() = f() = f ( ) 5 lim g( ) lim( f ( ) ) Fukio g o jakuva kohdassa =. g ( ) g() f( ) f() lim lim f( ) a koha lim lim f( ) Fukio g o derivoiuva kohdassa =.
24 Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey Tiedeää, eä + a + a + =. Koska sarja o geomerie, a voidaa kirjoiaa a a... qq.... q q q q q q 9 99 lg a lg a lg a... lg a lglg qlg q... lg q lg qlg qlg q... 99lg q lg q (... 99) Summa o arimeeie summa, jossa o 99 jäseä lg a lg a lg a... lg a lg q (... 99) lg (lg9 lg) 495 (lg9 ) (lg )
25 Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey APUVÄLINEET SALLITTU. a) aika viikossa edey maka (m). viikko. viikko,95. viikko,95,95 =,95. viikko,95 Maka muodosava geomerise lukujoo, jossa a = ja q =,95. Esimmäise puole vuode aikaa kaiveu maka: +,95 +,95 + +,95 5 6,95 47,9...,95 Roboi o edey oi 5 meriä. b) Sarja +,95 +,95 + o geomerie sarja, joka suppeee, koska < q <. Tällöi S.,95 Tueli piuus lähesyy lukua m. c),95,95 6,95,5,95,5,95,5 log,5,5...,95 Roboila meee kaivamisee 4 viikkoa.
26 Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey Fukio f o jakuva väleillä < ja >. Tarkasellaa jakuvuua kohdassa =. f () lim f( ) lim ( a 4 ) a lim f ( ) lim ( ) Fukio o jakuva kohdassa =, ku a 4 9 a 9 a 9 4,ku f ( ) 9 9.,ku Fukio f o derivoiuva väleillä < ja >. Tarkasellaa derivoiuvuua kohdassa =. 4 f( ) f() lim lim 9 9 lim 9 9 lim lim ( ) f( ) f() ( ) lim lim lim lim lim ( )( ) 6 9 Erousosamäärällä o raja-arvo kohdassa =, joe fukio f o derivoiuva kohdassa =. Fukio f o derivoiuva kaikkialla.
27 Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey lim lim lim ( ) lim ( 4 ) 9 9. a) Pääely o virheellie: lukujoo suppeemisesa ei voi pääellä sarja suppeemisa. Pääely o epäosi. Jos sarja suppeee, lim a. Ny lim a lim( ). b) Pääely o virheellie: fukio kasvavuus ja jakuvuus eivä riiä akaamaa, eä fukio olisi kerymäfukio. Joa fukio f voisi olla sauaismuuuja kerymäfukio, ulee olla f(). Koska f() = e = e >, f ei voi olla kerymäfukio. c) Pääely o oikei: Rajaa kasvava fukio f arvo o suurempi kui josaki muuuja arvosa c alkae. Niipä ällaiselle fukiolle päee c f ( )d lim f ( )d lim f ( )d f ( )d c c c lim f ( )dd lim f ( )d( c). c Fukio epäoleellise iegraali hajaaumise voi odea myös laskemalla: d lim d lim/ lim( ) lim( ).
28 Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey , 4,ku 4 f ( ),ku 4,ku f ( )d f ( )d f ( )d f ( )d 4 d 4 d d 4 4 lim d d lim d lim lim / / / 5 lim ( ) ( ( )) lim( ) 5 5 ( ) ( ) 5 6 5
29 Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey a) f () lim Fukio f o jakuva kohdassa =. f ( ) f () lim lim lim lim lim ( ) lim lim lim lim ( ) ( ) ( ) lim lim lim ( ) ( ) ( ) Fukio f ei ole derivoiuva kohdassa =. b) Fukioa f ei ole määriely kohdassa =, joe se jakuvuua ja derivoiuvuua ei voida arkasella ässä kohdassa. 6. a) f() = l + +, > f () = + Ku >, f () >, joe f o kasvava ja sillä o kääeisfukio. b) f() = l + + = l + = Huomaaa, eä ku =, l + = + =. Koska f() =, g() =. g() f ()
30 Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey c) Kääeisfukio g kuvaaja saadaa peilaamalla fukio f kuvaaja suora y = suhee. Kuvaaja leikkaava siksi oisesa piseissä, joissa e leikkaava suora y =. Esiää e fukio f kuvaajalla oleva pisee, joide ja y koordiaai ova sama, eli rakaisaa yhälö f() =. l + + = l = = e = e Piseessä (, ). e e d) Kuvaajie välie kulma o sama kui leikkauspiseesee piirreyje ageie välie kulma. Tageie välie kulma saadaa laskeua kulmakeroimie eli derivaaa arvoje avulla. f( ) e e g( ) e f ( ) e e k k a kk e a e ( e ) e 59,89... Kuvaajie välie kulma o 59,9.
31 Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey Poikkileikkauskäyrä yhälö o f(, ) = f (,) e f (,) e e e e e. Tagei o asossa y =, joe se y-akseli suuaie kompoei eli kaavekori j kerroi o. Tagei kulmakerroi ilmoiaa, kuika paljo z-koordiaai e muuuu, ku -koordiaai kasvaa yhdellä. Eräs suuavekori o i k. e 8. a) b), f( ),, 4 C, f ( ) D, E, 4 Koska f() =, C =. Fukio ulee olla jakuva kohdassa =, joe lim f ( ) lim f( ) f () f () D lim f ( ) D lim f ( ) D D Fukio f ulee olla jakuva kohdassa =.
32 Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey lim f ( ) lim f( ) f () f () lim f ( ) 4 E f lim ( ) 4E E, f( ),, 4 c) Suuri ja piei arvo saavueaa derivaaa ollakohdissa ai väli pääepiseissä. f() = f(4) = Derivaaa ollakohda ova = ja =. f() = Suuri arvo o ja piei.
33 Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey Sarja cos k o geomerie sarja, jossa a = cos = cos ja k suhdeluku q = cos. Ku π, < cos < ja sarja suppeee, joe se summa o reaaliluku kaikissa määrielyjouko piseissä. k Tällöi cos cos. k cos f( ) cos, π, cos Ku π + π, ii cos. Sie lim f( ) lim cos. ππ ππ cos ( ) Näissä piseissä fukiolla f siis o raja-arvo, ja fukio voidaa laajeaa äissä piseissä jakuvaksi määrielemällä se arvoksi. lim f( ) lim cos π π cos Ku π, ii cos. Sie. Näissä piseissä fukiolla f ei ole raja-arvoa, eikä fukioa f siksi voida laajeaa äissä piseissä edes jakuvaksi fukioksi. Fukioa ei voida laajeaa derivoiuvaksi koko :ssa.
34 Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey a) Valiaa esimerkiksi a =, =,,, Tällöi a ja f( a ) si si π. a kaikilla b) Valiaa esimerkiksi a,,,,... Tällöi ja si( ) si( ) si a jokaiselle siifukio jaksollisuude peruseella. Niipä f ( a ) si( ) si si. a
b) Ei ole. Todistus samaan tyyliin kuin edellinen. Olkoon C > 0 ja valitaan x = 2C sekä y = 0. Tällöin pätee f(x) f(y)
Maemaiikan ja ilasoieeen osaso/hy Differeniaaliyhälö II Laskuharjoius 1 malli Kevä 19 Tehävä 1. Ovako seuraava funkio Lipschiz-jakuvia reaaliakselilla: a) f(x) = x 1/3, b) f(x) = x, c) f(x) = x? a) Ei
Johda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.
/ Raaisu Aihee: Avaisaa: Momeiemäfuio Sauaismuuujie muuose ja iide jaauma Kovergessiäsiee ja raja-arvolausee Biomijaauma, Espoeijaauma, Geomerie jaauma, Jaaumaovergessi, Jauva asaie jaauma, Kolmiojaauma,
MAA8. HARJOITUSTEHTÄVIEN RATKAISUJA
MAA8. HARJOITUSTEHTÄVIEN RATKAISUJA. a log, sillä b log c log (, sillä, sillä... Nii miä?. a log b log 0. b logk k k k ±, joisa k + k vai kelpaa kaaluvuksi. 0. a logk y logk logk + logk y logk + logk y
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.4 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vasausen piireiden, sisälöjen ja piseiysen luonnehdina ei sido ylioppilasukinolauakunnan arvoselua. Lopullisessa arvoselussa
9. Epäoleelliset integraalit; integraalin derivointi parametrin suhteen. (x + y)e x y dxdy. e (ax+by)2 da. xy 2 r 4 da; r = x 2 + y 2. b) A.
9. Epäoleellise inegraali; inegraalin derivoini paramerin suheen 9.. Epäoleellise aso- ja avaruusinegraali 27. Olkoon = {(x, y) x, y }. Osoia hajaanuminen ai laske arvo epäoleelliselle asoinegraalille
2. Matemaattinen malli ja funktio 179. a) f (-2) = -2 (-2) = = -6 b) f (-2) = 2 (-2) 2 - (-2) = (-8) + 7 = = 23
LISÄTEHTÄVÄT. Maemaainen malli ja funkio 9. a) f (-) = - (-) + = - + = -6 b) f (-) = (-) - (-) + = - (-8) + = 8 + 8 + = 80. a) f ( ) = + f ( ) = 0 + = 0 ( ) = ± = ± = ai = Vasaus: = - ai = b) + = + = 0
Laudatur 13. Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi MAA 13. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Opettajan aineisto
Laudatur Differetiaali- ja itegraalilaskea jatkokurssi MAA Tarmo Hautajärvi Jukka Otteli Leea Walli-Jaakkola Opettaja aieisto Helsigissä Kustausosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirja tehtävii... Kokeita...7
( ) ( ) 2. Esitä oheisen RC-ylipäästösuotimesta, RC-alipäästösuotimesta ja erotuspiiristä koostuvan lineaarisen järjestelmän:
ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS 3 Sivu /8. arkasellaan oheisa järjeselmää bg x Yksikköviive + zbg z bg z d a) Määriä järjeselmän siirofunkio H Y = X b) Määriä järjeselmän
( ) ( ) x t. 2. Esitä kuvassa annetun signaalin x(t) yhtälö aikaalueessa. Laske signaalin Fourier-muunnos ja hahmottele amplitudispektri.
ELEC-A7 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS Sivu 1/11 1. Johda anneun pulssin Fourier-muunnos ja hahmoele ampliudispekri. Käyä esim. derivoinieoreemaa, ja älä unohda 1. derivaaan epäjakuvuuskohia!
3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p
MAA9 Koe.5.0 Jussi Tyi Tee koseptii pisteytysruudukko! Muista kirjata imesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää!. a) Ratkaise yhtälö si x. Ilmoita vastaus radiaaeia! b) Määritä paljoko o cos. Ilmoita tarkka
MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku
Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto
Kojemeeorologia Sami Haapaala syksy 03 Fysiika laios, Ilmakehäieeide osaso Mialaieide dyaamise omiaisuude Dyaamise uusluvu määriävä mie mialaie käyäyyy syöeide muuuessa Apua käyeää differeiaaliyhälöiä,
Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims
75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva
Huomaa, että aika tulee ilmoittaa SI-yksikössä, eli sekunteina (1 h = 3600 s).
DEE- Piirianalyysi Ykkösharkan ehävien rakaisuehdoukse. askeaan ensin, kuinka paljon äyeen ladaussa akussa on energiaa. Tämä saadaan laskeua ehäväpaperissa anneujen akun ieojen 8.4 V ja 7 mah avulla. 8.4
RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan
RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa
DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 4, ratkaisuehdotukset
D-00 ineaarise järjeselmä Harjoius 4, rakaisuehdoukse nnen kuin mennään ämän harjoiuksen aihepiireihin, käydään läpi yksi huomionarvoinen juu. Piirianalyysin juuri suorianee opiskelija saaava ihmeellä,
1. Todista/Prove (b) Lause 2.4. käyttäen Lausetta 2.3./by using Theorem b 1 ; 1 b + 1 ; 1 b 1 1
KETJUMURTOLUVUT Harjoiuksia 209. Todisa/Prove Lause 2.2. käyäen Lausea 2.3./by using Theorem 2.3. Lause 2.4. käyäen Lausea 2.3./by using Theorem 2.3. 2. Määrää Canorin kehielmä luvuille 0,, 2, 3, 4, 5,
A-osio. Ei laskinta! Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä vain kaksi joihin vastaat!
MAA Koe 7..03 A-osio. Ei laskina! Valise seuraavisa kolmesa ehäväsä vain kaksi joihin vasaa! A. a) Mikä on funkion f(x) määrieljoukko, jos f( x) x b) Muua ulomuooon: 4a 8a 4 A. a) Rakaise hälö: x 4x b)
W dt dt t J.
DEE-11 Piirianalyysi Harjoius 1 / viikko 3.1 RC-auon akku (8.4 V, 17 mah) on ladau äyeen. Kuinka suuri osa akun energiasa kuluu ensimmäisen 5 min aikana, kun oleeaan mooorin kuluavan vakiovirran 5 A? Oleeaan
Diskreetillä puolella impulssi oli yksinkertainen lukujono:
DEE-00 ineaarise järjeselmä Harjoius 5, rakaisuehdoukse [johdano impulssivaseeseen] Jakuva-aikaisen järjeselmän impulssivase on vasaavanlainen järjeselmäyökalu kuin diskreeillä puolellakin: impulssivase
MATA172 Sami Yrjänheikki Harjoitus Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki!
MATA17 Sami Yrjäheikki Harjoitus 7 1.1.018 Tehtävä 1 Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki! (a) Jokaie jatkuva fuktio f : R R o tasaisesti jatkuva. (b) Jokaie jatkuva fuktio f : [0, 1[ R
(x) (tasaisesti suppeneva sarja)
6.3 MATEMAATTISET OPERAATIOT SARJOIE Jos srjss o äärellie äärä erejä, void derivoii i iegroii suori huole ereiäi. Ääreöä srj puksess ereiäi operoii o slliu, jos srj suppeee sisesi. Esi. Trksell ääreöä
x v1 y v2, missä x ja y ovat kokonaislukuja.
Digiaalinen videonkäsiel Harjoius, vasaukse ehäviin 4-0 Tehävä 4. Emämariisi a: V A 0 V B 0 Hila saadaan kanavekorien (=emämariisin sarakkee) avulla. Kunkin piseen paikka hilassa on kokonaisluvulla kerroujen
2 avulla. Derivaatta on nolla, kun. g( 3) = ( 3) 2 ( 3) 5 ( 3) + 6 ( 3) = 72 > 0. x =
TAMMI PYRAMIDI NUMEERISIA JA ALGEBRALLISIA MENETELMIÄ PARITTOMAT RATKAISUT 7 Tiedosto vai hekilökohtaisee käyttöö. Kaikelaie sisällö kopioiti kielletty. a) g( ) = 5 + 6 Koska g o eljäe astee polyomi, ii
Lineaaristen järjestelmien teoriaa II
Lieaarise järjeselmie eoriaa II Ohjaavuus Tarkkailavuus havaiavuus Lisää sabiilisuudesa Tilaesimoii, Kalma-suodi TKK/Syseemiaalyysi laboraorio Mielekiioisia kysymyksiä Oko syseemi rakeeelaa sellaie, eä
Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Mite opit parhaite? Valmistaudu pitkä- tai lyhye matematiika kirjoituksii ilmaiseksi Mafyetti-ohjelmalla! Harjoittelu tehdää aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat
5. Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä
1 MAT-145 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen eknillinen yliopiso Riso Silvennoinen Kevä 21 5. Vakiokeroiminen lineaarinen normaaliryhmä Todeaan ensin ilman odisuksia (ulos on syvällinen) rakaisujen olemassaoloa
KULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN SPEKTRIN LASKEMINEN
KULMMODULOITUJEN SIGNLIEN SPEKTRIN LSKEMINEN 1 (3) (3) Spekri laskeie siisaoalle Kulaoduloidu sigaali spekri johaie o yöläsä epälieaarisuudesa johue (epälieaarise aalyysi ova yleesä hakalia). Se voidaa
6 Integraali ja derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 9 6 Inegrli j deriv 6. Inegrli ylärjns funkion. Olkoon Määriä kun () [, ], (b) ], 3]., kun [, ],, kun ], 3]. f() d, [, 3],. Osoi, eä jos funkio f on Riemnn-inegroiuv
Dynaaminen optimointi ja ehdollisten vaateiden menetelmä
Dynaaminen opimoini ja ehdollisen vaaeiden meneelmä Meneelmien keskinäinen yheys S yseemianalyysin Laboraorio Esielmä 10 - Peni Säynäjoki Opimoiniopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Meneelmien yhäläisyyksiä
Systeemimallit: sisältö
Syseemimalli: sisälö Malliyypi ja muuuja Inpu-oupu -kuvaus ja ilayhälömalli, ila Linearisoini Jakuva-aikaisen lineaarisen järjeselmän siirofunkio, sabiilisuus Laplace-muunnos Diskreeiaikaisen lineaarisen
Kertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Aalyysi I Harjoitus 5. 0. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia ( sivua) (Rami Luisto) Laskuharjoituksista saa pistettä, jos laskettu vähitää 50 tehtävää; 3 pistettä,
lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.
Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös
2.3.1. Aritmeettinen jono
.3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo
VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia
8/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 8: Yhen vapausaseen paovärähely, ransieniuormiusia JOHDANTO c m x () Kuva. Syseemi. Transieniuormiusella aroieaan uormiusheräeä, joa aiheuaa syseemiin lyhyaiaisen liieilan.
KYNNYSILMIÖ JA SILTÄ VÄLTTYMINEN KYNNYKSEN SIIRTOA (LAAJENNUSTA) HYVÄKSI KÄYTTÄEN
YYSILMIÖ J SILÄ VÄLYMIE YYSE SIIRO LJEUS HYVÄSI ÄYÄE ieoliikenneekniikka I 559 ari ärkkäinen Osa 5 4 MILLOI? Milloin ja missä kynnysilmiö esiinyy? un vasaanoimen ulon SR siis esi-ilmaisusuodaimen lähdössä
Puolijohdekomponenttien perusteet A Ratkaisut 2, Kevät 2017
OY/PJKOMP R 017 Puolijohdekomoeie erusee 571A Rakaisu, Kevä 017 1. Massavaikuuslai mukaisesi eemmisö- ja vähemmisövarauksekuljeajie ulo o vakio i, joka riiuu uolijohdemaeriaalisa ja lämöilasa. Kuvasa 1
z = Amplitudi = itseisarvo ja vaihe = argumentti (arg). arg Piirretään vielä amplitudi- ja vaihespektri:
Määriä suraavi komplksiluku/siaali ampliudi- a vaiharvo. Piirrä b-kohdassa ampliudi a vaih aauud fukioa ampliudi- a vaihspkri. 6p 8 a z 7, z 8 a z. { } b z cos. Ampliudi isisarvo a vaih arumi ar. a z 7
DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 3, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset
DEE- ineaarise järjeselmä Harjoius 3, harjoiusenpiäjille arkoieu rakaisuehdoukse Ennen kuin mennään ämän harjoiuksen aihepiireihin, käydään läpi yksi huomionarvoinen juu Piirianalyysin juuri suorianee
Tasaantumisilmiöt eli transientit
uku 12 Tasaanumisilmiö eli ransieni 12.1 Kelan kykeminen asajännieeseen Kappaleessa 11.2 kykeiin reaalinen kela asajännieeseen ja ukiiin energian varasoiumisa kelan magneeikenään. Tilanne on esiey uudelleen
3 Lukujonot matemaattisena mallina
3 Lukujoot matemaattisea mallia 3. Aritmeettie ja geometrie joo 64. a) Lukujoo o aritmeettie joo, joka yleie jäse o a 3 ( ) 4 34 4 4 b) Lukujoo o geometrie joo, joka yleie jäse o c) Lukujoo o geometrie
xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x)
BM20A580 Differetiaalilasketa ja sovellukset Harjoitus 3, Syksy 206. Laske seuraavat itegraalit si(4t + )dt (b) x(x 2 + 00) 000 dx (c) x exp(ix )dx 2. Mitä o y, ku (x ) 2 + y 2 = 2 2, etäpä y? Vastaukset
2. Suoraviivainen liike
. Suoraviivainen liike . Siirymä, keskinopeus ja keskivauhi Aika: unnus, yksikkö: sekuni s Suoraviivaisessa liikkeessä kappaleen asema (paikka) ilmoieaan suoralla olevan piseen paikkakoordinaain (unnus
Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 3B
Tilastollie päättely II, kevät 7 Harjoitus 3B Heikki Korpela 3. maaliskuuta 7 Tehtävä. Jatkoa harjoitukse B tehtävii -3. Oletetaa, että x i c kaikilla i, ku c > o vakio. Näytä, että ˆβ, T ja T ovat tarketuvia.
XII RADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA
II ADIOAKTIIVISUUSMITTAUSTEN TILASTOMATEMATIIKKAA Laskenaaajuus akiivisuus Määrieäessä radioakiivisen näyeen akiivisuua (A) uloksena saadaan käyeyn miausyseemin anama laskenaaajuus (). = [II.I] jossa =
Copyright Isto Jokinen MATEMATIIKKA. Matematiikkaa pintakäsittelijöille Ongelmanratkaisu Isto Jokinen 2017
AEAKKA aeaiikkaa piakäsielijöille Ogelarakaisu so Jokie 207 SSÄLÖ. aeaaise ogelie rakaisu laskukaaoilla 2. ekijäyhälö 3. Laskukaaoje yhdisäie 4. Yhälöide uodosaie aeaaisee ogelaa Käyöoikeus opeuksessa
Tehtävien ratkaisut
Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta
TKK Tietoliikennelaboratorio Seppo Saastamoinen Sivu 1/5 Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta
KK ieoliikennelaboraorio 7.2.27 Seppo Saasamoinen Sivu /5 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Konvoluuion avulla saadaan laskeua aika-alueessa järjeselmän lähösignaali, kun ulosignaali ja järjeselmän
Kertaustehtävien ratkaisut
Rakaiuia Nämä Derivaaa -kurin kerauehävien ja -arjojen rakaiu peruuva oppikirjan ieoihin ja meneelmiin. Kuakin ehävää on yleenä vain yki rakaiu, mikä ei kuienkaan arkoia iä, eä rakaiu olii ainoa ai ede
Ratkaise tehtävä 1 ilman teknisiä apuvälineitä! 1. a) Yhdistä oikea funktio oikeaan kuvaajaan. (2p)
Matematiikan TESTI 3, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/07 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT
Luento 4. Fourier-muunnos
Lueno 4 Erikoissignaalien Fourier-muunnokse Näyeenoo 4..6 Fourier-muunnos Fourier-muunnos Kääneismuunnos Diricle n edo Fourier muunuvalle energiasignaalille I: Signaali on iseisesi inegroiuva v ( d< II:
7.1. Suurimman uskottavuuden estimointimenetelmä: Johdanto
Ma-1.361 Tilasollie pääely 7. Suurimma uskoavuude meeelmä ja asympooie eoria Tilasollie pääely 7. Suurimma uskoavuude meeelmä ja asympooie eoria 7.1. Suurimma uskoavuude esimoiimeeelmä: Johdao Aikasarja,
1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1
Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +
Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta Sivu 1/5
S-72. Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse, syksy 28 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Sivu /5 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Konvoluuion avulla saadaan laskeua aika-alueessa järjeselmän lähösignaali,
Analyysi A. Harjoitustehtäviä lukuun 1 / kevät 2018
Aalyysi A Harjoitustehtäviä lukuu / kevät 208 Ellei toisi maiita, tehtävissä esiityvät muuttujat ja vakiot ovat mielivaltaisia reaalilukuja.. Aa joki ylä- ja alaraja joukoille { x R x 2 + x 6 ja B = {
Sini- ja kosinifunktio
Sini- ja kosinifunktio Trigonometriset funktio voidaan määritellä muun muassa potenssisarjana tai yksikköympyrän avulla. Yksikköympyrään pohjautuvassa määritelmässä sini- ja kosinifunktion muuttujana pidetään
2.2 Monotoniset jonot
Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (
Tietoliikennesignaalit
ieoliikennesignaali 1 ieoliikenne inormaaion siiroa sähköisiä signaaleja käyäen. Signaali vaiheleva jännie ms., jonka vaiheluun on sisällyey inormaaioa. Signaalin ominaisuuksia voi ukia a aikaasossa ime
Silloin voidaan suoraan kirjoittaa spektrin yhtälö käyttämällä hyväksi suorakulmaisen pulssin Fouriermuunnosta sekä viiveen vaikutusta: ( ) (
TT/TV Inegraalimuunnokse Fourier-muunnos, ehäviä : Vasauksia Meropolia/. Koivumäki v(. Määriä oheisen signaalin Fourier-muunnos. Vinkki: Superposiio, viive. Voidaan sovelaa superposiioperiaaea, koska signaalin
( ) 5 t. ( ) 20 dt ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) / ( ) du ( t ) dt
SMG-500 Verolasennan numeerise meneelmä Ehdouse harjoiusen 4 raaisuisi Haeaan ensin ehävän analyyinen raaisu: dx 0 0 0 0 dx 00e = 0 = 00e 00 x = e + = 5e + alueho: x(0 = 0 0 x 0 = 5e + = 0 = 5 0 0 0 5
MAT-02450 Fourier n menetelmät. Merja Laaksonen, TTY 2014
MAT-45 Fourier n meneelmä Merja Laaksonen, TTY 4..4 Sisälö Johano 3. Peruskäsieiä................................... 4.. Parillinen ja parion funkio....................... 7.. Heavisien funkio............................
Luento 3. Fourier-sarja
Fourier muuos Rayleigh eoreema Spekriiheys Lueo 3 4..6 Fourier-sarja Fourier-sarja avulla pysyii esiämää jaksollie sigaali, joka jaksoaika o. Fourier-sarja Fourier-kompoei Eäpä aperiodise sigaali, joilla
Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman
YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA
YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Normaalijäits N N Leikkausjäits Q Q KAKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Lerakee STRE SS CONTOURS OF SE 4.4483 8.8966 4.345 65.793 7.4 48.69 9.38 33.586 373.35 Ma 45.4 At Node 438 Mi.9
12. ARKISIA SOVELLUKSIA
MAA. Arkiia ovellukia. ARKISIA SOVELLUKSIA Oleeaan, eä kappale liikkuu ykiuloeia raaa, eimerkiki -akelia pikin. Kappaleen nopeuden vekoriluonne riiää oaa vauhdin eumerkin avulla huomioon, ja on ehkä arkoiukenmukaiina
Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 13 Black-Scholes malli optioiden hinnoille
Rahoiusriski ja johannaise Mai Esola lueno 3 Black-choles malli opioien hinnoille . Ion lemma Japanilainen maemaaikko Kiyoshi Iō oisi seuraavana esieävän lemman vuonna 95 arikkelissaan: On sochasic ifferenial
Matemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia
f x dx y dy t dt f x y t dx dy dt O , (4b) . (4c) f f x = ja x (4d)
Tehävä 1. Oleeaan, eä on käössä jakuva kuva, jossa (,, ) keroo harmaasävn arvon paikassa (, ) ajanhekenä. Dnaaminen kuva voidaan esiää Talor sarjana: d d d d d d O ( +, +, + ) = (,, ) + + + + ( ). (4a)
1 Eksponenttifunktion määritelmä
Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella
VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 14: Yhden vapausasteen vaimeneva pakkovärähtely, harmoninen kuormitusheräte
4/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 4: Yhden vaausaseen vaieneva akkvärähely, harninen kuriusheräe LIIKEYHTÄLÖN JOHTO JA RATKAISU Kuvassa n esiey visksisi vaienneun yhden vaausaseen harnisen akkvärähelijän erusalli.
b) Määritä/Laske (ei tarvitse tehdä määritelmän kautta). (2p)
Matematiikan TESTI, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT
Luento 3. Fourier-sarja
Fourier-muuos Rayleigh eoreema Spekriiheys Lueo 3 4..7 Fourier-sarja Fourier-sarja avulla pysyii esiämää jaksollie sigaali, joka jaksoaika o. Fourier-sarja Fourier-kompoei Eäpä aperiodise sigaali, joilla
joka on separoituva yhtälö, jolla ei ole reaalisia triviaaliratkaisuja. Ratkaistaan: z z(x) dx =
HY / Maemaiikan ja ilasoieeen laios Differeniaalihälö I kevä 09 Harjois 4 Rakaisehdoksia. Rakaise differeniaalihälö = (x + + Rakais: Tehdään differeniaalihälöön lineaarinen mnnos z(x = x + (x + jolloin
6.4 Variaatiolaskennan oletusten rajoitukset. 6.5 Eulerin yhtälön ratkaisuiden erikoistapauksia
6.4 Variaaiolaskennan oleusen rajoiukse Sivu ss. 27 31 läheien Kirk, ss. 13 143] ja KS, Ch. 5] pohjala Lähökoha oli: jos J:llä on eksremaali (), niin J:n variaaio δj( (), δ()) ():ä pikin on nolla. 1. Välämäön
117 = 27 + (11 1) d = 90 :10. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs jäsen on 99.
a = a+ ( ) d a = 7, a = 7, = 7 = 7 + ( ) d 0d = 90 :0 d = 9 Yhdeksäs termi a 9 = 7 + (9 ) 9 = 99 Vastaus: Yhdeksäs jäse o 99. 0. Aritmeettisesta lukujoosta tiedetää, että S =. Mikä o lukujoo 7. ja :s jäse?
Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009
Mallivasaukse KA5-kurssin laskareihin, kevä 2009 Harjoiukse 8 (viikko 14) Tehävä 1 LAD-käyrä siiryy ylöspäin. Ulkomaisen hinojen nousessa oman maan reaalinen vaihokurssi heikkenee 1 vaihoase vahvisuu IS-käyrä
JÄYKÄN KAPPALEEN TASOKINEMATIIKKA
JÄYKÄN KLEEN TSKINEMTIIKK TSLIIKKEEN LUKITTELU Liikkee yyppi Esimerkki ( Suoriiie rslio (b Käyräiiie rslio (c Roio (d Yleie soliike TRNSLTI Trslioss kikki pisee liikku smll ll eli kpplee liikeil uemisee
5 Differentiaalilaskentaa
5 Differentiaalilaskentaa 5.1 Raja-arvo Esimerkki 5.1. Rationaalifunktiota g(x) = x2 + x 2 x 1 ei ole määritelty nimittäjän nollakohdassa eli, kun x = 1. Funktio on kuitenkin määritelty kohdan x = 1 läheisyydessä.
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +
Matematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...
läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?
BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
Fourier n sarjan suppeneminen
Fourier sarja suppeemie Leevi Aala Matematiika pro gradu -tutkielma Jyväskylä yliopisto Matematiika ja tilastotietee laitos 7 Tiivistelmä: Leevi Aala, Fourier sarja suppeemie, matematiika pro gradu -tutkielma,
S Signaalit ja järjestelmät Tentti
S-7. Signaali ja järjeselmä eni..6 Vasaa ehävään, ehävisä 7 oeaan huomioon neljä parhaien suorieua ehävää.. Vasaa lyhyesi seuraaviin osaehäviin, käyä arviaessa kuvaa. a) Mikä kaksi ehoa kanaunkioiden φ
Mittaustekniikan perusteet, piirianalyysin kertausta
Miausekniikan perusee, piirianalyysin kerausa. Ohmin laki: =, ai = Z ( = ännie, = resisanssi, Z = impedanssi, = vira). Kompleksiluvu Kompleksilukua arviaan elekroniikassa analysoiaessa piireä, oka sisälävä
Matematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät
Matematiika tukikurssi Kertausta. välikokeesee Tehtävät Algebraa Tämä kappale sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Suurimpaa osaa tehtävistä löytyy ratkaisut lopusta. Syyä rusaasee tehtävämäärää o, että
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
2. Taloudessa käytettyjä yksinkertaisia ennustemalleja. ja tarkasteltavaa muuttujan arvoa hetkellä t kirjaimella y t
Tilasollinen ennusaminen Seppo Pynnönen Tilasoieeen professori, Meneelmäieeiden laios, Vaasan yliopiso. Tausaa Tulevaisuuden ennusaminen on ehkä yksi luoneenomaisimpia piireiä ihmiselle. On ilmeisesi aina
Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
Lisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x
MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.
Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja 1. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x + 1. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x
Matematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa
Kertaustehtävien ratkaisut
Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,
KULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN SPEKTRIN LASKEMINEN
1 KULMMODULOITUEN SIGNLIEN SPEKTRIN LSKEMINEN Mie laskea eroaa lieaarise odulaaioide apauksesa? Milä spekri äyää epälieaarise prosessi jälkee? 51357 Tieoliikeeekiikka I Osa 15 Kari Kärkkäie Kevä 015 SPEKTRIN
Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
Täydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
ja läpäisyaika lasketaan (esim) integraalilla (5.3.1), missä nyt reitti s on z-akselilla:
10 a) Valo opeus levyssä o vakio v 0 = c / 0, jote ajaksi matkalla L laskemme L t0 = = 0 L. v0 c b) Valo opeus levyssä riippuu z:sta: c c v ( z) = = ( z ) 0 (1 + 3az 3 ) ja läpäisyaika lasketaa (esim)