Luento 11. tietoverkkotekniikan laitos
|
|
|
- Timo Halttunen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Lueno Lueno Sokasise signaali ja prosessi II. Sokasise prosessi Pruju Saionaarisuus, ergodisuus Auo ja risikorrelaaio ehospekri.3 Kohinan suodaaminen Sokasinen raja arvo ja derivaaa Winer Khinchin eoreema.3 Kohina Valkoinen ja värillinen kohina, kohinan suodaaminen ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op
2 . Sokasise prosessi ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op
3 Sokasise prosessi Sokasinen prosessi on joukko saunnaismuuujia X (, ),,, joa indeksoi reaaliarvoinen parameri (yleensä aika) Indeksijoukkoa kusuaan prosessin parameriavaruudeksi. Jokainen yksiäinen saunnaismuuuja on kuvaus oosavaruudesa reaali- (ai kompleksi-) asoon. Alkeisapausa vasaavaa paramerisoiua joukkoa kusuaan saunnaisluvun X () realisaaioksi/rajekoriksi/poluksi. Usein käyeään laiskaa noaaioa ja samaiseaan sokasinen prosessi sen realisaaioon. ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op
4 Sokasise prosessi ila-avaruus (sae-space) on X() :n mahdollisen lukujen joukko. (vr. saunnaisluvun oosavaruus) ila-avaruus on diskreei, jos ilojen lukumäärä on rajallinen ai numeroiuva Diskreeiilainen/Diskreeiaikainen prosessi/sekvenssi/keju(chain) X ( ),,,,... k ila-avaruus on jakuva, jos aikaindeksi kuuluu einumeroiuvaan jakuvaan joukkoon Jakuvailainen/Jakuva-aikainen prosessi 0 X (), (0, ] ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op
5 Sokasise prosessi ilasollise ominaisuude ova ajan funkioia Kerymäfunkio X ; Pr ( ) F x X x iheysfunkio d f X x FX x dx ; ; ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op
6 Sokasise prosessi Odousarvo Auokorrelaaio Risikorrelaaio ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op * X X (, ) E X( ) X ( ) x x f x, x,, dx dx xy x() E X() xfx( x,) dx, * X Y (, ) E X( ) Y ( ) xyf x, y;, dxdy, Auokovarianssi * C (, ) EX( ) EX( ) X( ) EX( ) (, ) x x Risikovarianssi * Cxy (, ) EX( ) EX( ) Y( ) EY( ) xy (, ) x y
7 Sokasise prosessi Kaksi sokasisa eivä korreloi, jos * * (, ) E X( ) Y ( ) E X( ) E Y ( ) ( ) ( ) xy x y Cov xy (, ) 0 Kaksi sokasisa prosessia ova orogonaalisia, jos xy (, ) 0 Jos sokasisen prosessien välillä on lineaarinen riippuvuussuhde y() ax() b (, ) a (, ) b ( ) xy x Cov (, ) Korrelaaiokerroin xy (, ) (, ) yy (, ) ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op
8 Saionäärise prosessi Saionaarisuus (wide sense saionariy): ilasollise ominaisuude ajasa riippumaomia. () mx E X xp x dx * * (, ) E X( ) X ( ) E X( ) X ( ) ( ), Ergodisuus: ilasollise ominaisuude voidaan määrää yksiäisesä realisaaiosa. => Aikakeskiarvo vasaa oleusarvoa. lim xd ( ) EX( ) m X X X X 0, Sokasisen prosessin iheysfunkio saadaan eri ajan hekille määrielyjen odennäköisyysiheyksien ulona. ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op Riippumaomuus (independency): var X ( ), E ( ) E ( ) ( ) E ( ) x *
9 Saionäärise prosessi Saionäärisen ergodisen sokasisen signaalin keskimääräinen eho * lim x ( ) d Exx ( ) ( ) (0) ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op
10 Saionäärinen sokasinen prosessi Keskihajona = 4 4 Ampliude Oleusarvo = ime -4 PDF ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op
11 Valkoinen kohina arkasellaan saionaarisa normaalijakauunua prosessia. ällöin N(0, ) Kohinan keskimääräinen eho ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op x () px() e x ( ) x ( ) * (, ) E x( ) x ( ) x( ) x( ) e dx( ) dx( ), x ( ) x ( ) * ( ) E x( ) x ( ) x( ) x( ) e dx( ) dx( ) P E X() (0)
12 Sokasise prosessi Esimerkki: Valkoisen kohinan aikakeskiarvo x () zd () E x ( ) E z ( ) d0 ( ) E xx ( ) ( ) E z ( ) z ( ) dd,, ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op dd d z ()~ N 0, 0 muuoin ( )
13 Auokorrelaaio Saionaarise prosessi * * (, ) E x ( ) x ( ) E x ( ) x ( ), jos prosessi on saionaarinen auokorrelaaio ei riipu ajasa vaan ainoasaan arkaseluajanhekien välisä * (, ) E x( ) x ( ) Ergodisuus: ilasollise ominaisuude voidaan määrää yksiäisesä realisaaiosa. => Aikakeskiarvo vasaa oleusarvoa. lim xd ( ) Ex ( ) m Ergodisen signaalin keskimääräinen eho ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op * lim x ( ) d Exx ( ) ( ) (0) x 3
14 Sokasisen prosessin ehospekri Saionaarisen sokasisen prosessin korrelaaiofunkion Fourier muunnos xy i f f e d ( ) ( ) i f f xy e d ( ) ( ) x:n ehospekri x:n ja y:n risiehospekri Kääneismuunnos xy ( ) ( f ) e ( ) ( f ) e xy i f i f df df x:n auokorrelaaio x:n ja y:n risikorrelaaio ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 4
15 Sokasisen prosessin ehospekri Reaaliselle prosessille x () auokorrelaaio on symmerinen ja reaalinen ehospekri on symmerinen, reaalinen ja einegaiivinen ( f) ( f) ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 5
16 Valkoinen kohina ( ) ( f ) f Valkoisen kohinan energia on asajakauunu kaikille aajuuksille. ( ) ( ) ( f) f ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 6
17 ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op Esimerkki Esimerkki: Valkoisen kohinan aikakeskiarvo x () zd () E x ( ) E z ( ) d0 ( ) E xx ( ) ( ) E z ( ) z ( ) dd,, dd d 0 muuoin ( ) - 7
18 Esimerkki Keskiarvoiseun kohinan auokorrelaaiofunkio ( ) Fourier muunnos 0 Kolmiopulssi aikaasossa s () Fourier muunnos A 0 S( f ) Asinc f = ehospekri ( f) sinc f Spekriiheys 4 S( f) A sinc f ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 8
19 Esimerkki Kolmiopulssi A - s () A 0 Kolmiopulssin aikaderivaaa A/ ( ) rec d A A rec s d - -A rec 0 ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 9
20 Esimerkki Fourier muunneaan aikaderivaaa ( ) rec d A A rec s d FArec Asinc f i f F s( ) e S( f) d F s( ) Asinc f e Asinc f e d iasinc f sin f i f i f s():n Fourier-muunnos saadaan ny inegroimiskeinon avulla d iasinc f sin f i f d i f S( f) F s( ) Asinc f F... s( ) d... dn S( f) n i f n kpl ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 0
21 Orogonaali prosessi Jos kaksi sokasisa prosessia x ja y ova orogonaaleja 0 ( ) 0 xy xy f ällöin prosessille z x y päee zz yy ( f ) ( f) ( f) zz yy ( f ) ( f ) zz ( f ) yy ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op
22 ehävä Signaalin s() ehospekri on S(f) =rec(f) Signaaliin summauuu Valkoisa kohinaa z(), jonka ehospekri on (f)= kaikilla f Mikä on summasignaalin y()=s()+z() ehospekri? ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op
23 . Kohinan suodaaminen ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op
24 Sokasinen raja-arvo Sokasinen prosessi on jakuva lähes kaikilla realisaaioilla (almos all oucomes), jos lim x( ) x( ) 0 Pr lim ( ) ( ) 0 0 x x Sokasinen prosessi on jakuva odousarvon mielessä (mean sense, m.s.) jos lim 0 E x( ) x( ) 0 ällöin myös Ex lim ( ) ( ) 0 E x ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 4
25 Sokasinen raja-arvo arkasellaan saionaarisa sokasisa prosessia jonka auokorrelaaio funkio on jakuva lim ( ) ( ) 0 Prosessi on m.s. jakuva jos sen auokorrelaaiofunkio on jakuva 0 lim E x( ) x( ) 0 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , 0 E x x E x E x x E x ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 5
26 Sokasinen derivaaa Derivaaa voidaan määriellään m.s. jakuvalle prosessille dx() x( ) x() x'( ) lim 0 0 d Risikorrelaaio x ( ) x ( ) (, ) Ex'( ) x( ) E x( ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) (, ) (, ) d d ' E Risikorrelaaio x ( ) x ( ) ' (, ) Ex( ) x'( ) Ex( ) x ( ) x ( ) x ( ) x ( ) (, ) (, ) d E d (, ) (, ) ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 6
27 Auokorrelaaio Sokasinen derivaaa x( ) x( ) x( ) x'( ) x( ) x'( ) (, ) E x'( ) E ' ' (, ) (, ) d d (, ) (, ) ' ' ' d dd Saionäärisen prosessin apauksessa d ( ) (, ) ( ) ' ' ' ' dd d d ( ) ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 7
28 Inegraali m.s. olemassa, jos Oleusarvo. Momeni s x() d Sokasinen inegraali E s x( k ) 0, 0 k 0 E s E x() d () d x E s E x( ) x( ) d d (, ) d d ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 8
29 Sokasisen prosessin ehospekri Prosessi auokorrelaaio - ehospekri x () x() ( f) ( f) f ax() a a f d d x() f d d f n n d d x() n n f d d f xe e f f n i fc i fc () c ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 9
30 Sokasisen prosessin ehospekri ehospekrin ulkina i f ( ) ( f) e df * Ex( ) x ( ) (0) ( ) ( ) f df E x Wiener-Khinchin eoreema ehospekrin pina-ala vasaa signaalin keskimääräinen ehoa ( f ) f 0 Signaalin :aajuisen komponenin keskimääräinen eho f 0 f 0 f ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 30
31 Saunnaissignaali lineaarisessa järjeselmässä x() h() y() h( ) x d h() x() Risikorrelaaio yx * * Ey() x( ) Ey(' ) x (') * E h( ) x( ' ) x ( ') d * h( ) E x( ' ) x ( ') d h( ) ( ) d h( ) ( ) Lineaarinen syseemi konvoluuioinegraali ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 3
32 Saunnaissignaali lineaarisessa järjeselmässä Auokorrelaaio yy * * Ey( ) y ( ) Ey( ) y ( ) * * E y() h ( ) x (' ) d * * h ( ) E y( ) x ( ' ) d * h yx d h ( ) ( ) ( ) ( ) yx ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 3
33 Suodaimen ehospekri Konvoluuioa -asossa vasaa kerolasku -asossa, joen ( f ) H ( f) ( f) yx * yy ( f ) H ( f) yx ( f) f ( f) H( f) ( f) yy Wiener-Khinchine eoreema ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 33
34 Kohinan suodaaminen ( f ) H ( f ) yy ( f ) ( f ) H ( f) ( f) yy ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 34
35 Sokasise differeniaaliyhälö arkasellaan differeniaaliyhälöä n k n k d d a y() bk x() k d k k k0 d k0 missä x() on jokin sokasinen prosessi, jonka ehospekri on ( f ) Rakaisaan differeniaaliyhälön impulssivaseen Fourier muunnos x() () n m k k ak i f Y( f) bk i f X( f) Fourier muunneaan ise k0 k0 differeniaaliyhälö m k bk i f Y( f) k 0 H( f) n X( f) impulssin apauksessa. X( f) k a i f ehospekri k 0 k bk i f bk i f k0 k0 yy ( f ) H ( f) ( f) ( f) n k a i f a i f n ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op m k k0 k0 k m k Aalo-yliopiso k ieoliikenne- ja ieoverkkoekniikan k laios 35
36 .3 Kohina ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 36
37 Valkoinen kohina ( ) ( f ) f Valkoisen kohinan energia on asajakauunu kaikille aajuuksille. ( ) ( ) ( f) f ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 37
38 Värillinen kohina Värillisä kohinaa saadaan suodaamalla valkoisa kohinaa ( f ) yy ( f) H( f) x() H(f) y() H ( f ) ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 38
39 Värillinen kohina hp://en.wikipedia.org/wiki/colors_of_noise ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 39
40 Esimerkki. RC-suodain in () ~ i () R u C u () ou d i () C uou () d u () Ri() u () in ou Impulssivase d h () () h () d RC i fh ( f ) H ( f ) RC H( f) RC i f RC ehospekri H( f) d u () ou u in() u ou () d RC i frc i frc frc ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 40
41 Esimerkki. RC-suodain Lähösignaaliin muodosuu jännieläheen muodosamasa signaalisa ja ermisesä kohinasa u () e() x() in E x() 0 e () Ucos f U E( f) f f f f Ulosulo muodosuu kahdesa signaalisa * * ou () ( ) ( ) ( ) ( ) () () u e h d x h d y z y ( f ) N0 U ee( f ) E( f) 4 f f f f z 0 0 ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 4
42 Esimerkki. RC-suodain Ulosulosignaalin auokorrelaaio * * Ez y Ez Ey * * Ey z Ey Ez ( ) ( ) ( ) ( ) 0 zy ( ) ( ) ( ) ( ) 0 yz * E z() E x( ) h ( ) d uu yy zu zy zz yy zz Risiermi menevä nollaan, koska signaali y ja z orogonaalise Ulosulon ehospekri ( f) H( f) E( f) ( f) uu H( f0) f f0 f f0 N0 H( f ) 4 ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 4
43 RC-suodain RC-Suodaimen lähösignaalin ehospekri 0 Hyöysignaali -0-0 SNR Kohina ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 43
44 Signaali-kohina suhde arkasellaan kanaaajuisen signaalin x() siiroa addiiivinen Gaussinen (AWGN) kanavan yli Signaalin kaisanleveys on B x Signaalin eho on P x =A (A sini-muooisen signaalin ampliudi) Kanavan vaimennus on /L Signaaliin x() summauuu valkoisa kohinaa z(), jonka ehoiheys on N 0 =k W/Hz, lämpöila Kelvineninä, k Bolzmannin vakio ( ) x() z() + + g x L g Rx r() ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 44
45 Signaali-kohina suhde Vasaanoeu signaali grxgx r () x () grxz () L Signaalikohinasuhde: grxg x E x() g g g L SNR L L E g z() grx N0B N0B Rx Rx x x A A Vahvisin vasaanoimessa vaikuaa sekä signaaliin, eä kohinaan ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 45
46 ehospekriä ( f ) H( f) ( f) yy Spekraalifakoroini vasaa kaksi erilaisa prosessia. oisessa suodaimena on H( f) ja oisessa H * ( f ). Molemmilla on sama ilasollise ominaisuude. Esimerkki yy ( f) ( f) f H( f) h ( ) e i f ( ) ( ) i f * H f h e Sabiili IIR (Infinie Impulse Response) suodin Epäsabiili IIR suodin ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 46
47 Esimerkki Spekri ja auokorrelaaio a ( f ) ( ) uu f a uu e a Sokasinen prosessi jonka spekri on uu ( f ) voidaan ulkia suodaeuksi (värilliseksi) kohinaksi yy ( f) H f a H ( f) h( ) ae a i f a ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 47
48 Diskreeiaikaisen prosessin ehospekri arkasellaan prosessia x() Ik k k missä on jokin diskreeiaikainen sokasinen prosessi I k x () I k k k E IlIlk k Ex() x( ) 0 muuoin k II k Ex() x( ) 0 muuoin ( ) ( ) i f ( ) i fk f e d II k e k Diskreei Fourier muunnos ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 48
49 Moduloiu biisekvenssi I k Voidaan ulkia konvoluuioksi ehospekri x() Ik k k g ( k) s () Ig ( k) k Diskreein sekvenssin moduloini s () xg() I k g d I g( k) k ( f ) G( f) ( f) ss k k k k ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 49
50 Lähein Lineaarinen ampliudi modulaaio I k g() cos f c h () s () g () rec 0 0 muuoin Kanavoinisuodain G( f) sinc ( f) ss ( f ) H ( f ) G( f fc ) G( f fc ) II ( f) Jos symboli Ik oisisaan riippumaomia saunnaismuuujia, ( f ) Jos kanavoinisuodaina ei käyeä II H( f) ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 50
51 Kaisarajoieu kanava Pulssimuooisen moduloinimeneelmien ongelmana on niiden spekrin leveys, eli naapurikaisalle vuoavan ehon suuri määrä. Kaisan rajoiamiseksi käyeään kanavoini suodaimia. Kohina z () Modulaaori s() Kanavoinisuodin h() Kanava Kanavoinisuodin h*(-) r () Demodulaaori f X( f) S( f) H( f) f rr X( f) H( f) zz ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä 5 op 5
52 Minimivarianssisääö Lineaarinen regulaaori Prosessihäiriö z () Säädin C(f) u () Prosessi G(f) y () yy ( f) zz ( f) C( f) G( f) Neliöllinen sääövirhe Minimivarianssisääö min (0) C( G) CC( G) yy Ey () yy (0) Prosessin G sabiloivien säädinen joukko C( f) G( f) i f ELEC-A700 CG ( Signaali ) C( fja ): järjeselmä 5 eop df Aalo-yliopiso ieoliikenne- ja C( f) G( f) ieoverkkoekniikan laios 5
Luento 11. Stationaariset prosessit
Lueno Soasisen prosessin ehosperi Saunnaissignaalin suodaus 5..7 Saionaarise prosessi Auoorrelaaio φ * * (, ) ( ) ( ) ( ) ( ), { } { } jos prosessi on saionaarinen auoorrelaaio ei riipu ajasa vaan ainoasaan
Luento 11. Stationaariset prosessit
Lueno Soasisen prosessin ehosperi Signaalin suodaus Kaisarajoieu anava 5..6 Saionaarise prosessi Auoorrelaaio φ * * (, ) ( ), { } { } jos prosessi on saionaarinen auoorrelaaio ei riipu ajasa vaan ainoasaan
S Signaalit ja järjestelmät Tentti
S-7. Signaali ja järjeselmä eni..6 Vasaa ehävään, ehävisä 7 oeaan huomioon neljä parhaien suorieua ehävää.. Vasaa lyhyesi seuraaviin osaehäviin, käyä arviaessa kuvaa. a) Mikä kaksi ehoa kanaunkioiden φ
Luento 2. Järjestelmät aika-alueessa Konvoluutio-integraali. tietoverkkotekniikan laitos
Lueno 2 Järjeselmä aika-alueessa Konvoluuio-inegraali Lueno 2 Lueno 2 Järjeselmä aika alueessa; Konvoluuio inegraali 2.1 Järjeselmien perusominaisuude Oppenheim 1.5. 1.6 Muisillise ja muisioma järjeselmä
( ) ( ) 2. Esitä oheisen RC-ylipäästösuotimesta, RC-alipäästösuotimesta ja erotuspiiristä koostuvan lineaarisen järjestelmän:
ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS 3 Sivu /8. arkasellaan oheisa järjeselmää bg x Yksikköviive + zbg z bg z d a) Määriä järjeselmän siirofunkio H Y = X b) Määriä järjeselmän
( ) ( ) x t. 2. Esitä kuvassa annetun signaalin x(t) yhtälö aikaalueessa. Laske signaalin Fourier-muunnos ja hahmottele amplitudispektri.
ELEC-A7 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS Sivu 1/11 1. Johda anneun pulssin Fourier-muunnos ja hahmoele ampliudispekri. Käyä esim. derivoinieoreemaa, ja älä unohda 1. derivaaan epäjakuvuuskohia!
2. Systeemi- ja signaalimallit
2. Syseemi- ja signaalimalli Malliyyppejä: maemaainen malli: muuujien välise suhee kuvau maemaaisesi yhälöin lohkokaaviomalli: syseemin oiminojen looginen jako lohkoihin, joiden välisiä vuorovaikuuksia
Systeemimallit: sisältö
Syseemimalli: sisälö Malliyypi ja muuuja Inpu-oupu -kuvaus ja ilayhälömalli, ila Linearisoini Jakuva-aikaisen lineaarisen järjeselmän siirofunkio, sabiilisuus Laplace-muunnos Diskreeiaikaisen lineaarisen
Luento 9. Epälineaarisuus
Lueno 9 Epälineaarisuus 8..6 Epälineaarisuus Tarkasellaan passiivisa epälineaarisa komponenia u() y() f( ) Taylor-sarjakehielmä 3 y f( x) + f '( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) +...! 3! 4!
a) Ortogonaalinen, koska kantafunktioiden energia 1
S-7.060 Signaali ja järjeselmä Teni 14.5.001 1. Vasaa lyhyesi seuraaviin saehäviin, käyä arviaessa kuvaa. a) Mikä minaisuuksisa rgnaalinen ja rnrmaalinen kuvaa paremmin Furier-sarjaa ja miksi? b) Esiä
Luento 4. Fourier-muunnos
Lueno 4 Erikoissignaalien Fourier-muunnokse Näyeenoo 4..6 Fourier-muunnos Fourier-muunnos Kääneismuunnos Diricle n edo Fourier muunuvalle energiasignaalille I: Signaali on iseisesi inegroiuva v ( d< II:
b) Ei ole. Todistus samaan tyyliin kuin edellinen. Olkoon C > 0 ja valitaan x = 2C sekä y = 0. Tällöin pätee f(x) f(y)
Maemaiikan ja ilasoieeen osaso/hy Differeniaaliyhälö II Laskuharjoius 1 malli Kevä 19 Tehävä 1. Ovako seuraava funkio Lipschiz-jakuvia reaaliakselilla: a) f(x) = x 1/3, b) f(x) = x, c) f(x) = x? a) Ei
Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta Sivu 1/5
S-72. Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse, syksy 28 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Sivu /5 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Konvoluuion avulla saadaan laskeua aika-alueessa järjeselmän lähösignaali,
TKK Tietoliikennelaboratorio Seppo Saastamoinen Sivu 1/5 Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta
KK ieoliikennelaboraorio 7.2.27 Seppo Saasamoinen Sivu /5 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Konvoluuion avulla saadaan laskeua aika-alueessa järjeselmän lähösignaali, kun ulosignaali ja järjeselmän
9. Epäoleelliset integraalit; integraalin derivointi parametrin suhteen. (x + y)e x y dxdy. e (ax+by)2 da. xy 2 r 4 da; r = x 2 + y 2. b) A.
9. Epäoleellise inegraali; inegraalin derivoini paramerin suheen 9.. Epäoleellise aso- ja avaruusinegraali 27. Olkoon = {(x, y) x, y }. Osoia hajaanuminen ai laske arvo epäoleelliselle asoinegraalille
Luento 9. Epälineaarisuus
Lueno 9 Epälineaarisuus 9..7 Epälineaarisuus Tarkasellaan passiivisa epälineaarisa komponenia u() y() f( ) Taylor-sarjakehielmä 3 y f( x) + f '( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) +...! 3! 4!
Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 12 Stokastisista prosesseista
Rahoiusriski ja johdannaise Mai Esola lueno Sokasisisa prosesseisa . Markov ominaisuus Markov -prosessi on sokasinen prosessi, missä ainoasaan muuujan viimeinen havaino on relevani muuujan seuraavaa arvoa
SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 2. Tietoliikennetekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa 3
SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 2 Tieoliikenneekniikka I 521359A Kari Kärkkäinen Osa 3 Konvoluuio ja kerolasku ajassa ja aajuudessa Kanaaajuussignaali baseband sanomasignaali sellaisenaan ilman modulaaioa Kaisanpääsösignaali
KYNNYSILMIÖ JA SILTÄ VÄLTTYMINEN KYNNYKSEN SIIRTOA (LAAJENNUSTA) HYVÄKSI KÄYTTÄEN
YYSILMIÖ J SILÄ VÄLYMIE YYSE SIIRO LJEUS HYVÄSI ÄYÄE ieoliikenneekniikka I 559 ari ärkkäinen Osa 5 4 MILLOI? Milloin ja missä kynnysilmiö esiinyy? un vasaanoimen ulon SR siis esi-ilmaisusuodaimen lähdössä
5. Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä
1 MAT-145 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen eknillinen yliopiso Riso Silvennoinen Kevä 21 5. Vakiokeroiminen lineaarinen normaaliryhmä Todeaan ensin ilman odisuksia (ulos on syvällinen) rakaisujen olemassaoloa
x v1 y v2, missä x ja y ovat kokonaislukuja.
Digiaalinen videonkäsiel Harjoius, vasaukse ehäviin 4-0 Tehävä 4. Emämariisi a: V A 0 V B 0 Hila saadaan kanavekorien (=emämariisin sarakkee) avulla. Kunkin piseen paikka hilassa on kokonaisluvulla kerroujen
YKSISIVUKAISTAMODULAATIO (SSB)
YKSISIVUKAISTAODULAATIO SSB ien kaisaa voi sääsää verrauna DSB- a A-modulaaioihin? ikä on Hilber-munnin? 5357A Tieoliikenneekniikka I Osa 9 Kari Kärkkäinen Kevä 05 YKSISIVUKAISTAODULAATION IDEA DSB & A-inormaaio
ELEC-A7200 Signaalit ja järjestelmät 5 op
Luennoisija Prof. Riku Jäni Pääassiseni Seppo Saasamoinen S-posi: riku.jani@aalo.fi Puh. 5 597 8588 E9 Vasaanoo ma klo 9- S-posi: seppo.saasamoinen@aalo.fi Puh. 5 365 376 hps://noppa.aalo.fi/noppa/kurssi/elec-a7/eusivu
järjestelmät Luento 4
DEE- Lineaarise järjeselmä Lueno 4 Lineaarise järjeselmä Riso Mionen 3.7.4 Lueno 3 - Recap Lineaarisen differenssiyhälöiden raaiseminen Impulssivaseen äsie Impulssivase ja onvoluuiosumma Lineaarise järjeselmä
joka on separoituva yhtälö, jolla ei ole reaalisia triviaaliratkaisuja. Ratkaistaan: z z(x) dx =
HY / Maemaiikan ja ilasoieeen laios Differeniaalihälö I kevä 09 Harjois 4 Rakaisehdoksia. Rakaise differeniaalihälö = (x + + Rakais: Tehdään differeniaalihälöön lineaarinen mnnos z(x = x + (x + jolloin
Luento 3. Fourier-sarja
Fourier-muuos Rayleigh eoreema Spekriiheys Lueo 3 4..7 Fourier-sarja Fourier-sarja avulla pysyii esiämää jaksollie sigaali, joka jaksoaika o. Fourier-sarja Fourier-kompoei Eäpä aperiodise sigaali, joilla
Tietoliikennesignaalit
ieoliikennesignaali 1 ieoliikenne inormaaion siiroa sähköisiä signaaleja käyäen. Signaali vaiheleva jännie ms., jonka vaiheluun on sisällyey inormaaioa. Signaalin ominaisuuksia voi ukia a aikaasossa ime
Diskreetillä puolella impulssi oli yksinkertainen lukujono:
DEE-00 ineaarise järjeselmä Harjoius 5, rakaisuehdoukse [johdano impulssivaseeseen] Jakuva-aikaisen järjeselmän impulssivase on vasaavanlainen järjeselmäyökalu kuin diskreeillä puolellakin: impulssivase
Silloin voidaan suoraan kirjoittaa spektrin yhtälö käyttämällä hyväksi suorakulmaisen pulssin Fouriermuunnosta sekä viiveen vaikutusta: ( ) (
TT/TV Inegraalimuunnokse Fourier-muunnos, ehäviä : Vasauksia Meropolia/. Koivumäki v(. Määriä oheisen signaalin Fourier-muunnos. Vinkki: Superposiio, viive. Voidaan sovelaa superposiioperiaaea, koska signaalin
w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
Luento 3. Fourier-sarja
Fourier muuos Rayleigh eoreema Spekriiheys Lueo 3 4..6 Fourier-sarja Fourier-sarja avulla pysyii esiämää jaksollie sigaali, joka jaksoaika o. Fourier-sarja Fourier-kompoei Eäpä aperiodise sigaali, joilla
y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
3 SIGNAALIN SUODATUS 3.1 SYSTEEMIN VASTE AIKATASOSSA
S I G N A A L I T E O R I A, O S A I I I TL98Z SIGNAALITEORIA, OSA III 44 3 Signaalin suodaus...44 3. Sysmin vas aikaasossa... 44 3. Kausaalisuus a sabiilisuus... 46 3.3 Vas aauusasossa... 46 3.4 Ampliudivas
W dt dt t J.
DEE-11 Piirianalyysi Harjoius 1 / viikko 3.1 RC-auon akku (8.4 V, 17 mah) on ladau äyeen. Kuinka suuri osa akun energiasa kuluu ensimmäisen 5 min aikana, kun oleeaan mooorin kuluavan vakiovirran 5 A? Oleeaan
Systeemimallit: sisältö
Syseemimalli: sisälö Malliyypi ja muuuja Inpu-oupu -uvaus ja ilayhälömalli, ila Linearisoini Jauva-aiaisen lineaarisen järjeselmän siirofunio, sabiilisuus Laplace-muunnos Disreeiaiaisen lineaarisen järjeselmän
Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 13 Black-Scholes malli optioiden hinnoille
Rahoiusriski ja johannaise Mai Esola lueno 3 Black-choles malli opioien hinnoille . Ion lemma Japanilainen maemaaikko Kiyoshi Iō oisi seuraavana esieävän lemman vuonna 95 arikkelissaan: On sochasic ifferenial
2. Taloudessa käytettyjä yksinkertaisia ennustemalleja. ja tarkasteltavaa muuttujan arvoa hetkellä t kirjaimella y t
Tilasollinen ennusaminen Seppo Pynnönen Tilasoieeen professori, Meneelmäieeiden laios, Vaasan yliopiso. Tausaa Tulevaisuuden ennusaminen on ehkä yksi luoneenomaisimpia piireiä ihmiselle. On ilmeisesi aina
DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 4, ratkaisuehdotukset
D-00 ineaarise järjeselmä Harjoius 4, rakaisuehdoukse nnen kuin mennään ämän harjoiuksen aihepiireihin, käydään läpi yksi huomionarvoinen juu. Piirianalyysin juuri suorianee opiskelija saaava ihmeellä,
a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0
6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun
Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1
1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin
y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
Mat Matematiikan peruskurssi K2
Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,
Tehtävä I. Vaihtoehtotehtävät.
Kem-9.7 Prosessiauomaaion perusee Teni 5.9.5 TÄMÄ PAPERI TÄYTYY EHDOTTOMASTI PALAUTTAA TENTIN MUKANA NIMI: (OS: ) OPINTOKIRJA: VIERAILULUENNOT KUUNNELTU: VALV. LASK: Tehävä I. Vaihoehoehävä. Oikea vasaus
6.4 Variaatiolaskennan oletusten rajoitukset. 6.5 Eulerin yhtälön ratkaisuiden erikoistapauksia
6.4 Variaaiolaskennan oleusen rajoiukse Sivu ss. 27 31 läheien Kirk, ss. 13 143] ja KS, Ch. 5] pohjala Lähökoha oli: jos J:llä on eksremaali (), niin J:n variaaio δj( (), δ()) ():ä pikin on nolla. 1. Välämäön
A-osio. Ei laskinta! Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä vain kaksi joihin vastaat!
MAA Koe 7..03 A-osio. Ei laskina! Valise seuraavisa kolmesa ehäväsä vain kaksi joihin vasaa! A. a) Mikä on funkion f(x) määrieljoukko, jos f( x) x b) Muua ulomuooon: 4a 8a 4 A. a) Rakaise hälö: x 4x b)
4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Kaksiulotteiset todennäköisyysjakaumat
3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T
3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista
Suodatus ja näytteistys, kertaus
ELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät Luento 6: Kantataajuusvastaanotin AWGN-kanavassa II: Signaaliavaruuden vastaanotin a Olav Tirkkonen Aalto, Tietoliikenne- ja tietoverkkotekniikan laitos a [10.6.3-10.6.6;
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Juuri 13 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. K1. A: III, B: I, C: II ja IV.
Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 Keraus K. A: III, B: I, C: II ja IV Kuvaaja: I II III IV Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 K. a) lim ( ) Nimiäjä ( ) o aia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2006) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja
Dynaaminen optimointi ja ehdollisten vaateiden menetelmä
Dynaaminen opimoini ja ehdollisen vaaeiden meneelmä Meneelmien keskinäinen yheys S yseemianalyysin Laboraorio Esielmä 10 - Peni Säynäjoki Opimoiniopin seminaari - Syksy 2000 / 1 Meneelmien yhäläisyyksiä
KANTOAALTOMODULOIDUN KAISTANPÄÄSTÖSIGNAALIN (BANDPASS) JA KANTATAAJUISEN (BASEBAND) SIGNAALIN AMPLITUDISPEKTRIT
KANOAALOMODULOIDUN KAISANPÄÄSÖSINAALIN BANDPASS JA KANAAAJUISEN BASEBAND SINAALIN AMPLIUDISPEKRI 536A ieoliienneeniia II Osa 5 Kari Käräinen Sysy 05 EHOIHEYSSPEKRI & KAISANLEVEYS Edellä arasellu modulaaio
Tasaantumisilmiöt eli transientit
uku 12 Tasaanumisilmiö eli ransieni 12.1 Kelan kykeminen asajännieeseen Kappaleessa 11.2 kykeiin reaalinen kela asajännieeseen ja ukiiin energian varasoiumisa kelan magneeikenään. Tilanne on esiey uudelleen
Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A0207 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 12.2, 2018, arvosteluperusteet
ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (CHEM) MS-A27 Hakula/Vuojamo Kurssitentti, 2.2, 28, arvosteluperusteet T Moniosaisten tehtävien osien painoarvo on sama ellei muuta ole erikseen osoitettu. Kokeessa
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekunta/Osasto Fakultet/Sektion Faculty
HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekuna/Osaso Fakule/Sekion Faculy Laios Insiuion Deparmen Maemaais-luonnonieeellinen Tekijä Förfaare Auhor Miriam Hägele Työn nimi
Mallivastaukset KA5-kurssin laskareihin, kevät 2009
Mallivasaukse KA5-kurssin laskareihin, kevä 2009 Harjoiukse 2 (viikko 6) Tehävä 1 Sovelleaan luenokalvojen sivulla 46 anneua kaavaa: A A Y Y K α ( 1 α ) 0,025 0,5 0,03 0,5 0,01 0,005 K Siis kysyy Solowin
ELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät
ELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät Laskuharjoitus 8 - ratkaisut 1. Tehtävässä on taustalla ajatus kantoaaltomodulaatiosta, jossa on I- ja Q-haarat, ja joka voidaan kuvata kompleksiarvoisena kantataajuussignaalina.
spektri taajuus f c f c W f c f c + W
Kaistanpäästösignaalit Monet digitaaliset tiedonsiirtosignaalit ovat keskittyneet jonkin tietyn kantoaaltotaajuuden f c ympäristöön siten, että signaali omaa merkittäviä taajuuskomponetteja vain kaistalla
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
ẍ(t) q(t)x(t) = f(t) 0 1 z(t) +.
Diffrniaaliyhälö II, harjoius 3, 8 228, rakaisu JL, kuusi sivua a On muunnava linaarinn oisn kraluvun diffrniaaliyhälö ẍ qx f yhäpiäväksi nsimmäisn kraluvun linaarisksi kahdn skalaariyhälön sysmiksi Rak
9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
f x dx y dy t dt f x y t dx dy dt O , (4b) . (4c) f f x = ja x (4d)
Tehävä 1. Oleeaan, eä on käössä jakuva kuva, jossa (,, ) keroo harmaasävn arvon paikassa (, ) ajanhekenä. Dnaaminen kuva voidaan esiää Talor sarjana: d d d d d d O ( +, +, + ) = (,, ) + + + + ( ). (4a)
0 3 y4 dy = 3 y. 15x 2 ydx = 15. f Y (y) = 5y 4 1{0 y 1}.
HY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 18 Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsar I 1. Satunnaismuuttujilla X Y on tkuva yhteiskauma yhteistiheysfunktiolla f
Analyysi I (sivuaineopiskelijoille)
Analyysi I (sivuaineopiskelijoille) Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2017 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentoruudut 19 1 of 18 Kahden muuttujan funktioista
YKSISIVUKAISTAMODULAATIO (SSB)
YKSISIVUKISTODULTIO SSB Tieoliikenneekniikka I 5359 Kari Kärkkäinen Osa 6 0 Yksisivukaisamodulaaion idea DSB:ssa inormaaio on redundanisesi kaheen keraan, s. LSB & USB. Toisen kaisan läheys riiää, olloin
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x
2. Suoraviivainen liike
. Suoraviivainen liike . Siirymä, keskinopeus ja keskivauhi Aika: unnus, yksikkö: sekuni s Suoraviivaisessa liikkeessä kappaleen asema (paikka) ilmoieaan suoralla olevan piseen paikkakoordinaain (unnus
Osa 11. Differen-aaliyhtälöt
Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Differen-aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk-on derivaa
y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
Johda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.
/ Raaisu Aihee: Avaisaa: Momeiemäfuio Sauaismuuujie muuose ja iide jaauma Kovergessiäsiee ja raja-arvolausee Biomijaauma, Espoeijaauma, Geomerie jaauma, Jaaumaovergessi, Jauva asaie jaauma, Kolmiojaauma,
12. Luento. Modulaatio
Analoginen modulaaio Digiaalinen modulaaio. Lueno 5..6 Modulaaio Modulaaiossa siirreään moduloivan signaalin spekri moduloidun signaalin aajuusalueelle, joko sien eä spekrin muoo säilyy lineaarisessa modulaaiossa,
a) Miksi signaalin jaksollisuus on tärkeä ominaisuus? Miten jaksollisuus vaikuttaa signaalin taajuussisältöön?
L53, Sinaalioria J. Laiinn..5 E3SN, E3SN5Z Väliko, rakaisu Vasaa lyhysi suraaviin kysymyksiin. 6p a Miksi sinaalin aksollisuus on ärkä ominaisuus? Min aksollisuus vaikuaa sinaalin aauussisälöön? b Miä
12. Luento. Modulaatio
Analoginen modulaaio Digiaalinen modulaaio. Lueno..7 Modulaaio Modulaaiossa siirreään moduloivan signaalin spekri kanoaallon aajuusalueelle, joko sien eä spekrin muoo säilyy lineaarisessa modulaaiossa,
Luento 7 Järjestelmien ylläpito
Luno 7 Järjslmin ylläpio Ahi Salo Tknillinn korkakoulu PL, 5 TKK Järjslmin ylläpidosa Priaallisia vaihohoja Uusiminn rplacmn Ennalahkäisvä huolo mainnanc Korjaaminn rpair ❶ Uusiminn Vioiun komponni korvaaan
MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II
MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät 17 1. Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( k ) + 5 k, b) k 1 x 5 dx, e) ( ln(k + 1) k ), c) k 1 cos(πx) dx, f) k e x dx, 1 k e k k kx dx.. Olkoon
Mittaustekniikan perusteet, piirianalyysin kertausta
Miausekniikan perusee, piirianalyysin kerausa. Ohmin laki: =, ai = Z ( = ännie, = resisanssi, Z = impedanssi, = vira). Kompleksiluvu Kompleksilukua arviaan elekroniikassa analysoiaessa piireä, oka sisälävä
Dierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
12. ARKISIA SOVELLUKSIA
MAA. Arkiia ovellukia. ARKISIA SOVELLUKSIA Oleeaan, eä kappale liikkuu ykiuloeia raaa, eimerkiki -akelia pikin. Kappaleen nopeuden vekoriluonne riiää oaa vauhdin eumerkin avulla huomioon, ja on ehkä arkoiukenmukaiina
Pienimmän neliösumman menetelmä
Pienimmän neliösumman menetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Funktion sovitus Datapisteet (x 1,...,x n ) Annettu data y i = f(x i )+η i, missä f(x) on tuntematon funktio ja η i mittaukseen
SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SG-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 21.3.2006 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle
SATE2140 Dynaaminen kenttäteoria syksy /7 Laskuharjoitus 4 / Sähkömagneettiset aaltojen polarisoituminen
SATE14 Dnaainen kenäeoia sks 16 1 /7 Laskuhajoius 4 / Sähköagneeise aalojen polaisoiuinen Tehävä 1. Vapaassa ilassa väähelevän piseläheen aiheuaan palloaallon sähkökenän voiakkuus on A V E, sincos k e.
( ) 5 t. ( ) 20 dt ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) / ( ) du ( t ) dt
SMG-500 Verolasennan numeerise meneelmä Ehdouse harjoiusen 4 raaisuisi Haeaan ensin ehävän analyyinen raaisu: dx 0 0 0 0 dx 00e = 0 = 00e 00 x = e + = 5e + alueho: x(0 = 0 0 x 0 = 5e + = 0 = 5 0 0 0 5
Matematiikka B1 - avoin yliopisto
28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan
Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia, 2. harjoitus, kevät Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d
Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia,. harjoitus, kevät 016 1. Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d dx ): (a) y + xy = xe x, (b) (1 + x ) y xy = (1 + x ), (c) y sin x y = 1 cos
Havaitsevan tähtitieteen peruskurssi I. Datan käsittely. Jyri Lehtinen. kevät Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos
Datan käsittely Helsingin yliopisto, Fysiikan laitos kevät 2013 3. Datan käsittely Luennon sisältö: Havaintovirheet tähtitieteessä Korrelaatio Funktion sovitus Aikasarja-analyysi 3.1 Havaintovirheet Satunnaiset
Työ 2: 1) Sähkönkulutuksen ennustaminen SARIMAX-mallin avulla 2) Sähkön hankinnan optimointi
Ma-2.3132 Syseemianalyysilaboraorio I Työ 2: 1) Sähkönkuluuksen ennusaminen SARIMAX-mallin avulla 2) Sähkön hankinnan opimoini 1 yö 2 Aikasarjamalli erään yriyksen sähkönkuluukselle SARIMAX-malli: kausivaihelu,
SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 5.5.2008 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle
SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SG-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 24.4.2006 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle
Numeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys
Taustaa KOMPLEKSILUVUT, VÄRÄHTELIJÄT JA RADIOSIGNAALIT. Jukka Talvitie, Toni Levanen & Mikko Valkama TTY / Tietoliikennetekniikka
IMA- Exurso: Kompleksluvu ja radosgnaal / KOMPLEKSILUVUT, VÄRÄHTELIJÄT JA RADIOSIGNAALIT Tausaa IMA- Exurso: Kompleksluvu ja radosgnaal / Kakk langaon vesnä ja radoeolkenne (makapuhelme, WLAN, ylesrado
ANALOGISEN VÄRITELEVISION RAKENNE JA TOIMINTA
ANALOGISEN VÄRITELEVISION RAKENNE JA TOIMINTA Tieoliikenneekniikka I 521359A Kari Kärkkäinen Osa 8 1 23 Videosignaalin VSB-odulaaio analogisessa TV-järj. Värielevision videosignaalin siirrossa käyeään
SGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe
SGN-100 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe 6.4.010 Sivuilla 1- on. Älä vastaa siihen, jos et ollut ensimmäisessä välikokeessa. Tentin kysymykset ovat sivuilla 3-4. Vastaa vain jompaan kumpaan kokeeseen,
Kojemeteorologia. Sami Haapanala syksy Fysiikan laitos, Ilmakehätieteiden osasto
Kojemeeorologia Sami Haapaala syksy 03 Fysiika laios, Ilmakehäieeide osaso Mialaieide dyaamise omiaisuude Dyaamise uusluvu määriävä mie mialaie käyäyyy syöeide muuuessa Apua käyeää differeiaaliyhälöiä,
Johdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
Mittaus- ja säätölaitteet IRIS, IRIS-S ja IRIS-M
Miaus- ja sääölaiee IRIS, IRIS-S ja IRIS-M KANSIO 4 VÄLI ESITE Lapinleimu Miaus- ja sääölaiee IRIS, IRIS-S ja IRIS-M IRIS, IRIS-S Rakenne IRIS muodosuu runko-osasa, sääösäleisä, sääömuerisa ai sääökahvasa
DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 3, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset
DEE- ineaarise järjeselmä Harjoius 3, harjoiusenpiäjille arkoieu rakaisuehdoukse Ennen kuin mennään ämän harjoiuksen aihepiireihin, käydään läpi yksi huomionarvoinen juu Piirianalyysin juuri suorianee
Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat
Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja jakaumat KE (2014) 1 Moniulotteiset satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat >> Kaksiulotteiset
VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia
8/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 8: Yhen vapausaseen paovärähely, ransieniuormiusia JOHDANTO c m x () Kuva. Syseemi. Transieniuormiusella aroieaan uormiusheräeä, joa aiheuaa syseemiin lyhyaiaisen liieilan.