( ) ( ) 2. Esitä oheisen RC-ylipäästösuotimesta, RC-alipäästösuotimesta ja erotuspiiristä koostuvan lineaarisen järjestelmän:

Transkriptio

1 ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS 3 Sivu /8. arkasellaan oheisa järjeselmää bg x Yksikköviive + zbg z bg z d a) Määriä järjeselmän siirofunkio H Y = X b) Määriä järjeselmän vase suorakaidepulssille x ( ) = τ, >> τ ja << τ. τ = rec. Piirrä myös lähösignaali y(), kun τ. Esiä oheisen RC-ylipääsösuoimesa, RC-alipääsösuoimesa ja erouspiirisä koosuvan lineaarisen järjeselmän: a) siirofunkio b) ampliudifunkio c) vaihefunkio Hbg f = + j π f xbg + jπf H bg f = + jπf 3. Ideaalisen Gaussin alipääsösuodaimen (joa käyeään GSM-järjeselmässä) ampliudifunkio on A f = H f = e jossa B = 00kHz f B a) Kuinka suuri on suodaimen pääsökaisa, jos pääsökaisalla ampliudivaihelu saa olla korkeinaan 3 db. b) Millä aajuudella alkaa suodaimen esokaisa, jos esokaisalla vaadiaan vähinään 60 db:n vaimennus ampliudifunkion huippuarvoon verrauna.

2 ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS 3 Sivu /8. arkasellaan oheisa järjeselmää bg x Yksikköviive + zbg z bg z d a) Määriä järjeselmän siirofunkio H Y = X c) Määriä järjeselmän vase suorakaidepulssille x ( ) = τ, >> τ ja << τ. Esimerkkirakaisu, ehävä. a) Kuvasa voidaan suoraan pääellä ulosulon yhälö τ = rec.piirrä myös lähösignaali y(), kun τ y ( ) = x ( ) x ( ) d () Iseasiassa kaavassa ulisi inegroinnin aikana käyää muuujan paikalla ns. yhjää muuujaa, mua ehävän hahmoamiseksi näin ei ole ehy. Fourier-muunneaan lähdön yhälö ja käyeään hyväksi seuraavia muunnoksen ominaisuuksia: Inegroinikeino: ( ) F X f X f x u du = () jπ f jω j f0 Aikasiiro: x ( ) X e π 0 F (3) Ny voidaan kirjoiaa yhälön () Fourier-muunnos jω Y = X X e jω jω (4) jossa ω = π f. Siirofunkio H = Y X saadaan rakaisua yhälösä (4) jω j j j e ω ω ω H = ( e ) = e e jω jω

3 ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS 3 Sivu 3/8 j = e ω sinc f (5) ( ) Kaavan 5 johdannossa on siis exponeniermi hajoieu osiin, joa loppuulokseksi saadaan sinc-funkio. b) Ensin määrieään järjeselmän impulssivase, joka on siirofunkion kääneismuunnos. ämän jälkeen laskeaan suorakaidepulssin vase konvoluuion avulla. Kääneismuunnoksen määriämiseksi arvisemme seuraava Fourier-muunnoksen ominaisuude. F Suorakaidepulssin muunnos: rec sinc ( f) (6) j f0 Aikasiiro: a-kohdassa rakaisiin siirofunkio j 0 F x X f e π (7) = sinc f (8) H f e ω Ylläolevan peruseella saadaan kääneismuunnos (eli impulssivase) ( ) h rec = (9) erni / ulee kaavasa 6 eli Fourier-muunnosparia voi keroa ai jakaa samalla suureella. Vase saadaan laskeua heräeen ja impulssivaseen konvoluuiona τ y ( ) h ( ) x ( ) rec rec = = τ (0) Laskeaan konvoluuio eri :n arvoilla. Jos = τ, niin kysymyksessä on kahden yhä pikän suorakaidepulssin konvoluuio. Konvoluuioinegraali on siis v ( ) w( ) = v ( ) w( ) d () Kuen aikaisemmissa laskuissa on esiey, graafinen esiys auaa hahmoamaan inegroiniraja. Eri :n arvoilla oinen pulssi liukuu oisen yli -alueessa. Inegroiniraja määräyyvä siiä missä pulssi ova päällekkäin.

4 ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS 3 Sivu 4/8 0 < < : τ Konvoluuioinegraaliksi ulee d =. 0 0 < τ < : τ Inegraaliksi ulee ny + τ d = =. τ ämä siis alueessa 0 < τ <, eli kun = τ, päee ulos alueella > ja <. Eli apauksessa = τ saadaan seuraavanlainen vase

5 ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS 3 Sivu 5/8 Seuraavaksi ukiaan apausa τ <<. ällöin arkaselualueia on kolme: Ensimmäinen alue 0 < < τ : τ Konvoluuioinegraaliksi ulee d =. 0 oinen alue τ < < : τ Konvoluuioinegraaliksi ulee Kolmas alue < < + τ : τ τ d = τ Ny saadaan konvoluuioinegraaliksi τ + τ d = Näin ollen vaseeksi y() saadaan allaolevan kuvan mukainen signaali τ Kun τ >>, vaihava ja τ paikkaa keskenään.

6 ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS 3 Sivu 6/8. Esiä oheisen RC-ylipääsösuoimesa, RC-alipääsösuoimesa ja erouspiirisä koosuvan lineaarisen järjeselmän: a) siirofunkio, b) ampliudifunkio ja c) vaihefunkio Esimerkkirakaisu, ehävä. Kaksi rinnankykeyä järjeselmää voidaan lausua järjeselmien summana Hbg f H bg f H bg + H bg f f Näinollen ehävän järjeselmän siirofunkioksi saadaan H jπf jπf = = + jπ f + jπ f + jπf () joka on vasaus a-kohdan kysymykseen. b) Ampliudifunkio on siirofunkion iseisarvo + 4π f A = H = = + 4π f () Kyseessä on ns. all pass filer eli kaikki aajuude pääsevä vaimenumaa suodaimen läpi. Kerauksen vuoksi kompleksiluvun iseisarvon laskeminen eli c) Vaihefunkio saadaan siirofunkion vaihekulmasa ± a ± jb = a + b. { } ( ) Im H φ = arcan (3) Re H f { } H jπ f 4π f j4π f = = + jπ f + 4π f (4)

7 ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS 3 Sivu 7/8 4π f 4π f φ = arcan (5) Esimerkin järjeselmää käyeään mm. yleisradio-fm-läheimissä, jossa korjaaan läheimin osissa synyneiä vaihe- ja kulkuaikavirheiä, kyseessä on siis ns. kulkuaikakorjain. 3. Ideaalisen Gaussin alipääsösuodaimen ampliudifunkio on f B A f = H f = e, jossa B = 00 khz a) Kuinka suuri on suodaimen pääsökaisa, jos pääsökaisalla ampliudivaihelu saa olla korkeinaan 3 db. b) Millä aajuudella alkaa suodaimen esokaisa, jos esokaisalla vaadiaan vähinään 60 db:n vaimennus ampliudifunkion huippuarvoon verrauna. Esimerkkirakaisu, ehävä 3. Suodaimen ampliudivase on anneu eli f B A f = H f = e, () jossa B = 00 khz Kun kysymyksessä ova ampliudi, laskeaan desibeli kaavalla A A[ db] = 0log A () Kaava siis keroo kuinka paljon desibeleinä ampliudi A on suurempi kuin ampliudi A. ehävän apauksessa esiään aajuua, missä ampliudi on pudonnu 3 db. Eli voidaan kirjoiaa ( 3dB ) A( 0) A f 0log = 3dB [Huomaaa 0log, koska kyse on ampluudeisa (voleisa)] (3) ja saadaan ( db ) 3 f3db 0 B A f3 = 0 = e (4) Ny voidaan rakaisa 3 0 f3db = B ln 0 = 83. khz (5)

8 ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS 3 Sivu 8/8 Samalla meneelmällä saadaan myös rakaisuksi aajuus, jossa vaimennus on nollaaajuueen verrauna 60 db f60db = B ln 0 = khz (6) Alla oleva kuva esiää suodaimen ampliudifunkion kuvaajan Abg f 3dB y()f 60dB 60 f 83. khz 377. khz Esimerkin mukainen suodain löyyy siis GSM-makapuhelinjärjeselmisä, joissa läheeävä kanimainen biijono suodaeaan Gaussin suodaimella.