SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA OSA 1
|
|
- Reino Korhonen
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 1 SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA OSA 1 Millainen on signaalin spektri ja miten se lasketaan?
2 SIGNAALIEN JA SPEKTRIN PERUSKÄSITTEITÄ 2 Spektri taajuuden funktiona on kompleksiarvoinen funktio, jonka graafinen esittäminen edellyttää 3D-kuvaajaa. Kompleksinen spektri jaetaan kahdeksi osakuvaajaksi sen esittämiseksi helpommin 2D-kuvaajina: Kompleksisen vektorin pituus Amplitudispektri Kompleksisen vektorin vaihekulma Vaihespektri Tehotiheysspektri [W/Hz] kuvaa tehon jakautumista taajuuden yli sen taajuusintegraali on kokonaislähetysteho. Fourier-laskenta riippuu signaalin perustyypistä: Tehosignaali Fourier-sarja Energiasignaali Fourier-muunnos Fourier-sarjat kehitti ranskalainen matemaatikko ja fyysikko Jean-Baptiste Joseph Fourier ( ) alkujaan lämmönsiirtoteorian ja värähtelyanalyysin tarpeita varten v
3 ENERGIASIGNAALI VS. TEHOSIGNAALI 3 Energiasignaaleilla on äärellinen energia, eli ne ovat eräänlaisia kertailmioitä, tyypillisesti äärellisen kestoisia signaaleja. Tehosignaaleilla on ääretön energia, mutta äärellinen keskimääräinen teho. E = lim T T T x( t) 2 dt = x( t) dt, P x( t) x(t) on energiasignaali, jos ja vain jos < E <, siten että P =. x(t) on tehosignaali, jos ja vain jos < P <, mikä merkitsee, että E =. Lisäksi luokitellaan: Deterministinen tai satunnainen (stokastinen) signaali Periodinen (T ) tai aperiodinen signaali. 2 = T lim 1 2T T T 2 dt
4 ENERGIASIGNAALI VS. TEHOSIGNAALI 4 Tehosignaali Deterministinen Periodinen signaali Energiasignaali Deterministinen Jaksoton/aperiodinen signaali (kertailmiö) Tehosignaali Satunnainen/stokastinen Kohinallakin on joku keskimääräinen teho joka on satunnaismuuttujan varianssi
5 KOSINISIGNAALIN OMINAISUUDET 5 Tietoliikenneteoriassa käytetään yleensä kosinifunktiota erilaisten analog. ja digit. modulaatioiden kantoaaltona. Sinin ja kosinin vaihe-ero 9 astetta. e ± jω t = t cos( ωt) ± j sin( ω )
6 KOSINISIGNAALIN OMINAISUUDET 6 Eulerin kaavan sovellus: = cos( Reaalinen signaali kompleksilukujen avulla esitettynä
7 POSITIIVINEN JA NEGATIIVINEN TAAJUUS 7 Positiivinen taajuusvektori Negatiivinen taajuusvektori Syntyy diskreetti viivaspektri Spektrin 1-p 2-p kuvauksessa: Amplitudiarvot puolittuvat Vaihearvot säilyvät sellaisenaan positiivisilla taajuuksilla ja kerrotaan luvulla -1 negatiivisilla taajuuksilla, sillä vaihespektri on aina pariton funktio (symmetrinen suoran y = x suhteen).
8 REAALINEN FUNKTIO exp( 2πt) 8 1 Function exp(-2*pii*t) Time axis [seconds]
9 REAALINEN FUNKTIO exp(+2πt) x 113 Function exp(+2*pii*t) Time axis [seconds]
10 KOMPLEKSINEN FUNKTIO exp( j2πt) 1 Function exp(-j*2*pii*t) (angular frequency = 1 rad/s) Imaginary axis Real axis Time axis [seconds]
11 KOMPLEKSINEN FUNKTIO exp(+j2πt) 11 Function exp(+j*2*pii*t) (angular frequency = 1 rad/s) Imaginary axis Real axis Time axis [seconds]
12 FOURIER-MUUNNOS JA JATKUVA SPEKTRI 12 Energiasignaalille x(t) sen spektri X(f) lasketaan Fouriermuunnoksen avulla (Z&T ss. 37-4). Integraalimuunnos on jatkuva-arvoinen kompleksinen taajuuden funktio, joka voidaan esittää amplitudi- ja vaihespektrin avulla: X X ( Fourier-käänteismuunnos: ( f f ) ) + j πft = F{ x( t)} = x( t) e 2 dt jθ ( f ) = X ( f ) e, θ ( f ) = X ( f ) x( t) + 1 = = j πft F { X ( f )} X ( f ) e 2 df
13 FOURIER-MUUNNOKSEN OMINAISUUDET (S) 13 Pariton funktio Parillinen funktio
14 ESIMERKKI FOURIER-MUUNNOKSESTA 14 sinc(x) = sin(πx)/(πx) Parillisen funktion x(t) amplitudispektri on aina puhtaasti reaalinen ja parillisen symmetrian omaava funktio, ja sen vaihespektri on aina parittoman symmetrian omaava funktio. Parittoman funktion x(t) amplitudispektri on aina puhtaasti imaginäärinen ja parillisen symmetrian omaava funktio, ja sen vaihespektri on aina parittoman symmetrian omaava funktio.
15 FOURIER-MUUNNOSPAREJA(S) 15
16 FOURIER- JA LAPLACE-MUUNNOKSEN ERO (S) 16 Molemmat ovat integraalimuunnoksia, jota käytetään lineaaristen järjestelmien analyysiin. L-m. sovelletaan piirianalyysissä mm. vaimeneva-amplitudisille transienttisignaaleille ja F-m. tietoliikennesignaalien analyysiin. Lineaaristen järjestelmien tuloilla ja lähdöillä ao. ehdot.
17 FOURIER-SARJAT JA VIIVASPEKTRI 17 Periodisesti toistuvilla tehosignaaleilla on äärellinen keskimääräinen teho ja ääretön energia (esim. kosini tai sini). Signaalilla on T -periodinen komponentti, joten spektrisisältö esitetään Fourier-sarjakehitelmän avulla. Fourier-muunnos on Fourier-sarjan erikoistapaus aperiodisille signaaleille, kun T ja f = 1/T Olkoon x(t) T -periodinen reaalinen tehosignaali (perustaajuus f = 1/T ) joka voidaan esittää Fourier-sarjan kertoimien avulla: x( t) 2 T = T + 2 a 2 [ a cos(2πnf t) + b sin(2πnf t ] + ) n n n= 1 an = x( t)cos(2πnf t) dt bn = T 2 2 T T + 2 T 2 x( t)sin(2πnf t) dt
18 FOURIER-SARJAT JA VIIVASPEKTRI 1 nf t [ e j nf t e j nf t ] + 2π 2π cos(2π ) = nf t [ e j nf t e j nf t ] + 2π 2π sin(2π ) = 2 j a x( t) = + n 2 Eulerin kaavalla: n n n + n= 1 n= 1 [ ] + j2πnf t [ ] j2πnf t a jb e + a jb e positiiviset taajuudet negatiiviset taajuudet 18 Kompleksiarvoiset kertoimet x n = a n ± jb n kuvaavat tehon jakautumista diskreeteille taajuuskomponenteille. Periodisesti toistuvan (periodi T ) signaalin kompleksinen tehospektri on diskreettiarvoinen viivaspektri esiintyen vain perustaajuuden f välein ns. harmoonisilla taajuuksilla.
19 FOURIER-SARJAT JA VIIVASPEKTRI 19 Kompleksisen kertoimen itseisarvo x n = a n ± jb n on sama kuin spektrissä kutakin taajuuskomponenttia vastaavan sinimuotoisen aallon amplitudi.
20 FOURIER-SARJAT JA VIIVASPEKTRI 2 Jos lasketaan esim. kosini- ja sinisignaalien spektrit, jää sarjaan vain kaksi termiä taajuuksille ±f. Muunlaisilla tehosignaaleilla on olemassa ääretön määrä sarjan termejä. x n Vain nämä komp. esiintyvät puhtaalla sini- tai kosini muotoisella signaalilla. -5f -4f -3f -2f -f f 2f 3f 4f 5f f
21 SININ JA KOSININ SPEKTRIT 21 Sinimuotoisen signaalin keskimääräinen teho = ½A 2 Sini on pariton reaalifunktio. Sen puhtaasti imaginäärinen spektri sijaitsee imag.- ja taajuusakselin muodostamassa tasossa. Ei reaalista Komponenttia. Nähdään: Viivaspektrissä vain 2 termiä (muilla periodisilla signaaleilla yleensä määrä). Eroa ilmenee vain vaihespektreissä (vaihe/viive-ero ei vaikuta tehon jakautumiseen taajuusalueessa). Kosini on parillinen reaalifunktio. Sen spektri on puhtaasti reaalinen. Spektri siis sijaitsee reaali- ja taajuusakselin muodostamassa tasossa. Sekä sinin että kosinin amplitudispektri on aina parillinen funktio.
22 NEGATIIVISET TAAJUUDET 22 e ± jω t cos( ω t) = cosω t ± j sinω t sin( ω t) = sin( ω t) = cos( ω t) Eräs tapa ymmärtää negatiiviset taajuudet on havainto, että sarjan termit e j n ω t ja e +j n ω t yhdessä muodostavat reaalisen sini- & kosini- signaalin taajuudella n ω. Matemaattisesti eksakstin sarja-analyysin vuoksi tarvitaan siis välttämättömät negatiiviset taajuudet. Vrt. fysiikan analyysissä hiukkanen & antihiukkanen ja niiden ominaisuudet (esim. varaus, spin). Muista myös kaava, jossa on kaikki matematiikalla pelaamiseen tarvittavat tärkeimmät palikat nätissä paketissa, ts. 1, +1,, e, π, j: 1 1
23 FOURIER-SARJOJA (S) 23
24 ESIMERKKI SAKARAPULSSIJONOLLE 24
25 SAKARAPULSSIJONON AMPLITUDISPEKTRI 25 Edellä nähtiin, että sakarapulssijonon spektriviivat esiintyvät vain parittomilla perustaajuuden harmoonisilla.
26 SAKARAPULSSIJONO FOURIER-SARJAN AVULLA Fourier-sarjan komponenteilla voidaan approksimoida mitä tahansa periodista signaalia. Alla kantataajuinen sakarapulssijono saadaan sarjan termien summana, kun n. Kukin harmoninen komponentti edustaa pyörivää osoitinta taajuudella n ω (erilaiset pyörimisnopeudet). Mitä pitempi osoitinvektori, sitä suurempi on ko. spektrikomponentin itseisarvo amplitudispektrissä. 26
27 SAKARAPULSSIJONO FOURIER-SARJAN AVULLA 27
28 SAKARAPULSSIJONO FOURIER-SARJAN AVULLA 28 Trigonometrisen Fouriersarjan katkaisusta aiheutuu ns. Gibbsin oskillaatioilmiö
29 PULSSIN KESTON JA TOISTOTAAJUUDEN VAIKUTUS 29
30 PULSSIN KESTON JA TOISTOTAAJUUDEN VAIKUTUS 3 Duty-cyclen τ/t pulssijonoja esiintyy elektroniikassa, tiedonsiirrossa ja tutkatekniikassa. Alla olevan viivaspektrin verhokäyrä on sinc-funktio: sinc(x) = sin(πx)/(πx)
31 PULSSIN KESTON JA TOISTOTAAJUUDEN VAIKUTUS 31
32 PULSSIN KESTON JA TOISTOTAAJUUDEN VAIKUTUS 32 Huomaa viivaspektrin mielenkiintoinen rajatapaus: Kun T ja f = 1/T, niin diskreetti amplitudispektri muuttuu jatkuvaksi funktioksi (energiasignaalin spektriksi). Muista: Energiasignaali jatkuva Fouriermuunnos Tehosignaali diskreetti Fouriersarjakehitelmä, jonka kertoimista tehon jakautuminen voidaan päätellä.
33 FOURIER-SARJOJA (S) 33
34 FOURIER-SARJOJA (S) 34
35 FOURIER-MUUNNOSPAREJA (S) 35
SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1
SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1 1 (26) Fourier-muunnos ja jatkuva spektri Spektri taajuuden funktiona on kompleksiarvoinen funktio, jonka esittäminen graafisesti edellyttää 3D-kuvaajan piirtämisen. Yleensä
LisätiedotTietoliikennesignaalit & spektri
Tietoliikennesignaalit & spektri 1 Tietoliikenne = informaation siirtoa sähköisiä signaaleja käyttäen. Signaali = vaihteleva jännite (tms.), jonka vaihteluun on sisällytetty informaatiota. Signaalin ominaisuuksia
LisätiedotSignaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa
Signaalit ja järjestelmät aika- ja taajuusalueissa Signaalit aika ja taajuusalueissa Muunnokset aika ja taajuusalueiden välillä Fourier sarja (jaksollinen signaali) Fourier muunnos (jaksoton signaali)
LisätiedotLuento 2. Jaksolliset signaalit
Luento Jaksollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspektri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio Jaksollinen (periodinen) Jaksolliset signaalit Jaksonaika - / / Perusjakso Amplitudi
LisätiedotSIGNAALITEORIAN KERTAUSTA OSA 2
1 SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA OSA 2 Miten spektri lasketaan moduloiduille ja näytteistetyille tietoliikennesignaaleille? KONVOLUUTIO JA KERTOLASKU 2 Kantataajuussignaali (baseband) = sanomasignaali ilman
LisätiedotJaksollisen signaalin spektri
Jaksollisen signaalin spektri LuK-tutkielma Topi Suviaro 2257699 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 215 Sisältö Johdanto 2 1 Jaksollisuudesta 2 2 Spektristä 3 2.1 Symmetrian vaikutuksesta
LisätiedotLuento 2. S Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikenne Laboratorio 1. Jean Baptiste Joseph Fourier ( )
Luento Jasollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspetri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio Jean Baptiste Joseph Fourier (768-83) Ransalainen matemaatio ja fyysio. Esitti Fourier-sarjat
LisätiedotLuento 4 Jaksollisten signaalien Fourier-sarjaesitys 4.1 Fourier-sarja 4.2 Viivaspektri, tehospektri
Luento 4 Luento 4 Jaksollisten signaalien Fourier-sarjaesitys 9 Oppenheim 3.3, 3.4 4.1 Fourier-sarja Kompleksi F-sarja F-sinisarja Sinc-funktio 4. Viivaspektri, tehospektri Viivaspektri Parsevalin teoreema
Lisätiedot1 Vastaa seuraaviin. b) Taajuusvasteen
Vastaa seuraaviin a) Miten määritetään digitaalisen suodattimen taajuusvaste sekä amplitudi- ja vaihespektri? Tässä riittää sanallinen kuvaus. b) Miten viivästys vaikuttaa signaalin amplitudi- ja vaihespektriin?
LisätiedotOsa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246
Osa VI Fourier analyysi A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 127 / 246 1 Johdanto 2 Fourier-sarja 3 Diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331
LisätiedotMat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008
Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys
LisätiedotTRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT
3.0.07 0 π TRIGONOMETRISTEN FUNKTIOIDEN KUVAAJAT π = π 3π π = π 5π 6π = 3π 7π TRIGONOMETRISET FUNKTIOT, MAA7 Tarkastellaan aluksi sini-funktiota ja lasketaan sin :n arvoja, kun saa arvoja 0:sta 0π :ään
LisätiedotKotitehtävät 1-6: Vastauksia
/V Integraalimuunnokset Metropolia/. Koivumäki Kotitehtävät -6: Vastauksia. Merkitse kompleksitasoon näiden kompleksilukujen sijainti: a = 3 j b = 3 35 (3 kulmassa 35 ) jπ / c = d = 3 e j 9.448 e cos(
LisätiedotLuento 4 Fourier muunnos
Luento 4 Luento 4 Fourier muunnos 4. F muunnos F muunnos Oppenheim 4. 4. Energiaspektri (spektritiheys) Rayleigh'n energia teoreema, energiaspektri Kaistanleveys Boden diagrammi 4.3 F muunnoksen ominaisuudet,
LisätiedotDiskreetti Fourier-muunnos ja sen hyödyntäminen signaalien spektrien muodostamisessa. Pentti Romppainen
Diskreetti Fourier-muunnos ja sen hyödyntäminen signaalien spektrien muodostamisessa Pentti Romppainen Kajaanin ammattikorkeakoulu Oy Kajaani University of Applied Sciences Diskreetti Fourier-muunnos ja
LisätiedotSpektri- ja signaalianalysaattorit
Spektri- ja signaalianalysaattorit Pyyhkäisevät spektrianalysaattorit Suora pyyhkäisevä Superheterodyne Reaaliaika-analysaattorit Suora analoginen analysaattori FFT-spektrianalysaattori DFT FFT Analysaattoreiden
Lisätiedotspektri taajuus f c f c W f c f c + W
Kaistanpäästösignaalit Monet digitaaliset tiedonsiirtosignaalit ovat keskittyneet jonkin tietyn kantoaaltotaajuuden f c ympäristöön siten, että signaali omaa merkittäviä taajuuskomponetteja vain kaistalla
LisätiedotÄärettömät raja-arvot
Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen
LisätiedotA B = 100, A = B = 0. D = 1.2. Ce (1.2 D. C (t D) 0, t < 0. t D. )} = Ae πjf D F{Π( t D )} = ADe πjf D sinc(df)
ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät Syksy 5 Tehtävä 3. a) Suoran tapauksessa ratkaistaan kaksi tuntematonta termiä, A ja B, joten tarvitaan kaksi pistettä, jotka ovat pisteet t = ja t =.. Saadaan yhtälöpari
LisätiedotELEC-A7200 Signaalit ja järjestelmät
ELEC-A7200 Signaalit ja järjestelmät Professori Riku Jäntti ELEC-A7200 Signaalit ja järjestelmät Mitä kurssilla käsitellään? signaalien ja järjestelmien peruskäsitteitä signaali- ja järjestelmäanalyysin
LisätiedotSignaalimallit: sisältö
Signaalimallit: sisältö Motivaationa häiriöiden kuvaaminen ja rekonstruointi Signaalien kuvaaminen aikatasossa, determinisitinen vs. stokastinen Signaalien kuvaaminen taajuustasossa Fourier-muunnos Deterministisen
Lisätiedot6.2.3 Spektrikertymäfunktio
ja prosessin (I + θl + + θl q )ε t spektritiheysfunktio on Lemman 6. ja Esimerkin 6.4 nojalla σ π 1 + θ 1e iω + + θ q e iqω. Koska viivepolynomien avulla määritellyt prosessit yhtyvät, niin myös niiden
LisätiedotPakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi
Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Tällä luennolla tavoitteena Mikä on pakkovoiman aiheuttama vaikutus vaimennettuun harmoniseen värähtelijään? Mikä on resonanssi? Kertaus: energian
LisätiedotSignaaliavaruuden kantoja äärellisessä ajassa a
ELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät Luento 3: Kompleksiarvoiset signaalit, taajuus, kantoaaltomodulaatio Olav Tirkkonen, Jari Lietzen Aalto, Tietoliikenne- ja tietoverkkotekniikan laitos Signaaliavaruuden
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
Lisätiedot4. Fourier-analyysin sovelletuksia. Funktion (signaalin) f(t) näytteistäminen tapahtuu kertomalla funktio näytteenottosignaalilla
4.1 Näytteenottolause 4. Fourier-analyysin sovelletuksia Näyttenottosignaali (t) = k= δ(t kt). T on näytteenottoväli, ja ω T = 1 T on näyttenottotaajuus. Funktion (signaalin) f(t) näytteistäminen tapahtuu
LisätiedotPerustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.
Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa
Lisätiedot2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu
2. Fourier-sarjoista Fourier-analyysi: Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu Matemaattisen analyysin täkein työväline "Jokainen funktio" voidaan esittää harmonisten värähtelyjen, so.
Lisätiedotz muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin
z muunnos ja sen soveltaminen LTI järjestelmien analysointiin muunnoksella (eng. transform) on vastaava asema diskreettiaikaisten signaalien ja LTI järjestelmien analyysissä kuin Laplace muunnoksella jatkuvaaikaisten
LisätiedotSinin muotoinen signaali
Sinin muotoinen signaali Pekka Rantala.. Sini syntyy tasaisesta pyörimisestä Sini-signaali syntyy vakio-nopeudella pyörivän osoittimen y-suuntaisesta projektiosta. y u û α positiivinen pyörimissuunta x
LisätiedotF {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:
BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()
LisätiedotSpektrianalyysi, motivaatio
Digitaalinen Signaalinkäsittely 5 Luento 7-3.5.6 Jarkko.Vuori@evtek.fi Spektrianalyysi, motivaatio Ihmiskeholla on luontaisesti hidas reagointikoneisto Musiikkia kuunnellessamme emme erota äänenpaineen
LisätiedotOrganization of (Simultaneous) Spectral Components
Organization of (Simultaneous) Spectral Components ihmiskuulo yrittää ryhmitellä ja yhdistää samasta fyysisestä lähteestä tulevat akustiset komponentit yhdistelyä tapahtuu sekä eri- että samanaikaisille
LisätiedotTL5231, Signaaliteoria (S2004) Matlab-harjoituksia
1. a) Muodosta Matlab-ohjelmistossa kosinisignaali x(t) = Acos(2πft+θ), jonka amplitudi on 1V, taajuus hertseinä sama kuin ikäsi vuosina (esim. 2 v = 2 Hz) ja vaihekulma +π/2. Piirrä signaali ja tarkista
LisätiedotFourier-sarjat ja -muunnos
24. marraskuuta 2016 Jaksolliset funktiot, trigonometriset sarjat, parilliset ja p Jaksolliset funktiot Funktio f : R R on jaksollinen, jos on olemassa p > 0 siten, että f (x + p) = f (x) kaikilla x R
LisätiedotKompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa
Kompleksiluvut signaalin taajuusjakauman arvioinnissa Vierailuluento IMA-kurssilla Heikki Huttunen Lehtori, TkT Signaalinkäsittely, TTY heikki.huttunen@tut.fi Department of Signal Processing Fourier-muunnos
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotLuku 4 - Kuvien taajuusanalyysi
Luku 4 - Kuvien taajuusanalyysi Matti Eskelinen 8.2.2018 Kuvien taajuusanalyysi Tässä luvussa tutustumme taajuustasoon ja opimme analysoimaan kuvia ja muitakin signaaleja Fourier-muunnoksen avulla. Aiheina
Lisätiedota) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SG-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti 24.4.2006 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle
LisätiedotOhjelmistoradio tehtävät 4. P1: Ekvalisointi ja demodulaatio. OFDM-symbolien generoiminen
Ohjelmistoradio tehtävät 4 P: Ekvalisointi ja demodulaatio Tässä tehtävässä dekoodata OFDM data joka on sijotetty synknonontisignaalin lälkeen. Synkronointisignaali on sama kuin edellisessä laskutehtävässä.
LisätiedotLuento 4. Fourier-muunnos
Lueno 4 Erikoissignaalien Fourier-muunnokse Näyeenoo 4..6 Fourier-muunnos Fourier-muunnos Kääneismuunnos Diricle n edo Fourier muunuvalle energiasignaalille I: Signaali on iseisesi inegroiuva v ( d< II:
LisätiedotKapeakaistainen signaali
Tiedonsiirrossa sellaiset signaalit ovat tyypillisiä, joilla informaatio jakautuu kapealle taajuusalueelle jonkun keskitaajuuden ympäristöön. Tällaisia signaaleja kutustaan kapeakaistaisiksi signaaleiksi
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe
SGN-00 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe 9.3.009 Sivuilla - on. Älä vastaa siihen, jos et ollut ensimmäisessä välikokeessa. Tentin kysymykset ovat sivuilla 3-4. Vastaa vain jompaan kumpaan kokeeseen,
Lisätiedot0. Kertausta. Luvut, lukujoukot (tavalliset) Osajoukot: Yhtälöt ja niiden ratkaisu: N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut
0. Kertausta Luvut, lukujoukot (tavalliset) N, luonnolliset luvut (1,2,3,... ) Z, kokonaisluvut Rationaaliluvut n/m, missä n,m Z Reaaliluvut R muodostavat jatkumon fysiikan lukujoukko Kompleksiluvut C:z
LisätiedotSignaalien digitaalinen käsittely
Signaalien digitaalinen käsittely Antti Kosonen Syksy 25 LUT Energia Sähkötekniikka Alkulause Luentomoniste pohjautuu kirjaan Digital Signal Processing: Principles, Algorithms, and Applications, Proakis
LisätiedotLuento 14: Periodinen liike, osa 2. Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi F t F r
Luento 14: Periodinen liike, osa 2 Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi θ F µ F t F r m g 1 / 20 Luennon sisältö Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi 2 / 20 Vaimennettu värähtely
LisätiedotELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät
ELEC-C7230 Tietoliikenteen siirtomenetelmät Laskuharjoitus 8 - ratkaisut 1. Tehtävässä on taustalla ajatus kantoaaltomodulaatiosta, jossa on I- ja Q-haarat, ja joka voidaan kuvata kompleksiarvoisena kantataajuussignaalina.
LisätiedotEpäyhtälöt 1/7 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Epäyhtälöt 1/7 Sisältö Epäyhtälö Epäyhtälöllä tarkoitetaan ehtoa, missä kahdesta lausekkeesta toinen on suurempi tai mahdollisesti yhtä suuri kuin toinen: f(x) < g(x), f(x) g(x).merkit voidaan luonnollisesti
LisätiedotJoukot. Georg Cantor ( )
Joukot Matematiikassa on pyrkimys määritellä monimutkaiset asiat täsmällisesti yksinkertaisempien asioiden avulla. Tarvitaan jokin lähtökohta, muutama yleisesti hyväksytty ja ymmärretty käsite, joista
LisätiedotTrigonometriset funktiot 1/7 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot
Trigonometriset funktiot 1/7 Sisältö Trigonometriset funktiot suorakulmaisessa kolmiossa a c b Olkoon suorakulmaisen kolmion terävä kulma, a tämän vastainen kateetti, b viereinen kateetti ja c kolmion
LisätiedotVapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen)
Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x = 0. Vapaan hiukkasen energia on sen liike-energia eli E=p /m. Koska hiukkasella on määrätty energia,
LisätiedotKaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.
6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon
LisätiedotKompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57
Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai
. (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään
LisätiedotSMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA
SMG-2100: SÄHKÖTEKNIIKKA Vaihtosähkön teho kompleksinen teho S pätöteho P loisteho Q näennäisteho S Käydään läpi sinimuotoisiin sähkösuureisiin liittyviä tehotermejä. Määritellään kompleksinen teho, jonka
LisätiedotLaskuharjoitus 2 ( ): Tehtävien vastauksia
TT12S1E Tietoliikenteen perusteet Metropolia/A. Koivumäki Laskuharjoitus 2 (11.9.2013): Tehtävien vastauksia 1. Eräässä kuvitteellisessa radioverkossa yhdessä radiokanavassa voi olla menossa samanaikaisesti
LisätiedotDigitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu
Digitaalinen signaalinkäsittely Desibeliasteikko, suotimen suunnittelu Teemu Saarelainen, teemu.saarelainen@kyamk.fi Lähteet: Ifeachor, Jervis, Digital Signal Processing: A Practical Approach H.Huttunen,
LisätiedotVAIHEKOHERENTIT BINÄÄRISET KANTOAALTOMODULAATIOT JA NIIDEN VIRHETODENNÄKÖISYYDET
1 VAIHEKOHERENTIT BINÄÄRISET KANTOAALTOMODULAATIOT JA NIIDEN VIRHETODENNÄKÖISYYDET Millaiset aaltomuodot s 1 (t) ja s (t) valitaan erilaisten kantoaatomodulaatioiden toteuttamiseksi? SYMBOLIAALTOMUODOT
Lisätiedot= 2 L L. f (x)dx. coshx dx = 1 L. sinhx nπ. sin. sin L + 2 L. a n. L 2 + n 2 cos. tehdään approksimoinnissa virhe, jota voidaan arvioida integraalin
BMA7 - Integraalimuunnokset Harjoitus 9. Määritä -jaksollisen funktion f x = coshx, < x < Fourier-sarja. Funktion on parillinen, joten b n = kun n =,,3,... Parillisuudesta johtuen kertoimet a ja a n saadaan
LisätiedotKompleksianalyysi, viikko 6
Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että
Lisätiedotb) Määritä/Laske (ei tarvitse tehdä määritelmän kautta). (2p)
Matematiikan TESTI, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT
LisätiedotSinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.
Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn
LisätiedotSäätötekniikan ja signaalinkäsittelyn työkurssi
Säätötekniikan ja signaalinkäsittelyn työkurssi Työ D102: Sinimuotoisen signaalin suodattaminen 0.4 op. Julius Luukko Lappeenrannan teknillinen yliopisto Sähkötekniikan osasto/säätötekniikan laboratorio
LisätiedotScanned by CamScanner
Scanned by CamScanner ELEC-C414 Kenttäteoria ESIMERKKIRATKAISUT 2. välikoe: 13.12.216 4. (a) Ominaisimpedanssi (merkitään Z ) on siirtojohdon ominaisuus. Se on siis eri asia kuin tasoaaltojen yhteydessä
LisätiedotTrigonometriset funktiot
Peruskäsitteet Y-peilaus X-peilaus Pistepeilaus Muistikulmat Muistikolmio 1 Muistikolmio 2 Jaksollisuus Esimerkki 5.A Esimerkki 5.B1 Esimerkki 5.B2 Esimerkki 5C.1 Esimerkki 5C.2 (1/2) (2/2) Muunnelmia
LisätiedotFourier-analyysi, I/19-20, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7
MS-C14, Fourier-analyysi, I/19- Fourier-analyysi, I/19-, Mallivastaukset, Laskuharjoitus 7 Harjoitustehtävä 7.1. Hetkellä t R olkoon s(t) 1 + cos(4πt) + sin(6πt). Laske tämän 1-periodisen signaalin s Fourier-kertoimet
LisätiedotFysiikan matematiikka P
Fysiikan matematiikka 763101P Luennoija: Kari Rummukainen, Fysikaalisten tieteiden laitos Tavoite: tarjota opiskelijalle nopeasti fysikaalisten tieteiden tarvitsemia matematiikan perustietoja ja taitoja.
LisätiedotLUKU 3 ANALOGISET KANTOAALTO- JA PULSSIMODULAATIOMENETELMÄT
LUKU 3 ANALOGISET KANTOAALTO- JA PULSSIMODULAATIOMENETELMÄT 1 (7) Luku 3 Analogiset perusmodulaatiomenetelmät Modulaatiomenetelmien jaottelu Lineaariset modulaatiot Kaksisivukaistamodulaatio (DSB) Amplitudimodulaatio
LisätiedotTietoliikennesignaalit
ieoliikennesignaali 1 ieoliikenne inormaaion siiroa sähköisiä signaaleja käyäen. Signaali vaiheleva jännie ms., jonka vaiheluun on sisällyey inormaaioa. Signaalin ominaisuuksia voi ukia a aikaasossa ime
LisätiedotNämä ovat siis minimivaatimukset, enemmänkin saa ja suositellaan
Mitä pitäisi vähintään osata Tässäkäydään läpi asiat jotka olisi hyvä osata Nämä ovat siis minimivaatimukset, enemmänkin saa ja suositellaan osattavan 333 Kurssin sisältö Todennäköisyyden, satunnaismuuttujien
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 6: Alkeisfunktioista Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 28.9.2016 Pekka Alestalo,
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
Lisätiedot1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7
Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.
LisätiedotLuento 5. tietoverkkotekniikan laitos
Luento 5 Luento 5 Jaksolliset signaalit epälineaarisissa muistittomissa järjestelmissä 5.1 Muistittomat epälineaariset komponentit Pruju Taylor-sarjakehitelmä ja konvoluutio taajuustasossa Särö Keskinäismodulaatio
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 12. Kurssikerta Petrus Mikkola 5.12.2016 Tämän kerran asiat Sini-ja kosifunktio Yksikköympyrä Tangentti- ja kotangenttifunktio Trigonometristen funktioiden ominaisuuksia
LisätiedotLaskuharjoitus 4 ( ): Tehtävien vastauksia
TT12S1E Tietoliikenteen perusteet Metropolia/A. Koivumäki Laskuharjoitus 4 (2.10.2013): Tehtävien vastauksia 1. Tutkitaan signaalista näytteenotolla muodostettua PAM (Pulse Amplitude Modulation) -signaalia.
LisätiedotBM30A0240, Fysiikka L osa 4
BM30A0240, Fysiikka L osa 4 Luennot: Heikki Pitkänen 1 Oppikirja: Young & Freedman: University Physics Luku 14 - Periodic motion Luku 15 - Mechanical waves Luku 16 - Sound and hearing Muuta - Diffraktio,
Lisätiedot1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17
1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti
SG-00 Signaalinkäsittelyn menetelmät, Tentti..005 Kirjoita nimesi ja opiskelijanumerosi jokaiseen paperiin. Vastauspaperit tullaan irrottamaan toisistaan. Jos tila ei riitä, jatka kääntöpuolelle ja sen
LisätiedotLuento 9. tietoverkkotekniikan laitos
Luento 9 Luento 9 Jaksolliset signaalit epälineaarisissa muistittomissa järjestelmissä 9.1 Muistittomat epälineaariset komponentit Pruju Taylor-sarjakehitelmä ja konvoluutio taajuustasossa Särö Keskinäismodulaatio
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 01 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 5. Eksponenttifunktio ja sini- ja kosinifunktiot Kertausta. (1 Reaaliselle eksponenttifunktiolle e x : R R + pätee e x x k = kaikilla x R. k! (
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotT L 9 0 8 Z S I G N A A L I T E O R I A O S A I V: E N E R G I A - J A T E H O T I H E Y S
L 9 8 Z S I G N L I E O R I O S I V: E N E R G I - J E H O I H E Y S 4 Spektrin eneria- ja tehotiheys 57 4. Spektrin eneriatiheys 57 4.. Parsevalin teoreema 57 4.. Spektrin eneriatiheyden ominaisuuksia
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 7 Harjoitus 3: ratkaisut Tehtävä Tarkastellaan äärettömän syvässä laatikossa (väli [, L) olevaa hiukkasta. Kirjoita energiatiloja E n vastaavat aaltofunktiot muodossa ψ n (x,
LisätiedotS SÄHKÖTEKNIIKKA JA ELEKTRONIIKKA
S-55.1100 SÄHKÖTKNIIKKA A KTONIIKKA Tentti 0.1.006: tehtävät 1,3,4,6,8 1. välikoe: tehtävät 1,,3,4,5. välikoe: tehtävät 6,7,8,9,10 Saat vastata vain neljään tehtävään/koe; ne sinun pitää itse valita! Kimmo
LisätiedotSGN-1200 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe
SGN-100 Signaalinkäsittelyn menetelmät Välikoe 6.4.010 Sivuilla 1- on. Älä vastaa siihen, jos et ollut ensimmäisessä välikokeessa. Tentin kysymykset ovat sivuilla 3-4. Vastaa vain jompaan kumpaan kokeeseen,
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2016) Henrik Wallén / versio 17. marraskuuta 2016 Tasoaallot, osa 2 (Ulaby 7.3, 7.5, 7.6) Tasoaallon polarisaatio Virranahtoilmiö Tehotiheys ja Poyntingin vektori 2 (18)
LisätiedotDSP:n kertausta. 1 Spektri, DFT, DTFT ja aika-taajuusresoluutio
DSP:n kertausta Kerrataan/käydään läpi: ffl Spektri, DFT, DTFT ja FFT ffl signaalin jaksollisuuden ja spektrin harmonisuuden yhteys ffl aika-taajuusresoluutio Spektri, DFT, DTFT ja aika-taajuusresoluutio
LisätiedotLuento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r
Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic
LisätiedotDigitaalinen Signaalinkäsittely T0125 Luento 4-7.04.2006
Digitaalinen Signaalinkäsittely T5 Luento 4-7.4.6 Jarkko.Vuori@evtek.fi Z-taso Z-taso on paljon käytetty graafinen esitystapa jonka avulla voidaan tarkastella signaalien taajuussisältöjä sekä järjestelmien
LisätiedotT140103 Sähkömittaustekniikka
T140103 Sähkömittaustekniikka Pekka Rantala Kevät 2015 (9.3.2015) Vaadittavat suoritukset Välikokeiden tai tentin hyväksytty suorittaminen Harjoituksissa/labrassa läsnäolo (100 %) Harjoitusten/labrojen
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt. osa 2 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 1 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
Lisätiedote ax, kun x > 0 f(x) = 0, kun x < 0, 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 e (a iω)x dx = a+iω = 1 a 2 +ω 2. e ax, x > 0 e ax, x < 0,
Harjoitus 5 1. Olkoot a > 0. Laske vaimenevan pulssin e ax, kun x > 0 fx) = 0, kun x < 0, ja voimistuvan pulssin gx) = konvoluution g f Fourier-muunnos. 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 apa 1: Konvoluution
LisätiedotELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015)
ELEC C4140 Kenttäteoria (syksy 2015) Henrik Wallén Luentoviiko 9 / versio 9. marraskuuta 2015 Tasoaallot, osa 2 (Ulaby 7.3, 7.5, 7.6) Tasoaallon polarisaatio Virranahtoilmiö Tehotiheys ja Poyntingin vektori
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 13. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 13 () Numeeriset menetelmät / 42
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 13 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 13 () Numeeriset menetelmät 8.5.2013 1 / 42 Luennon 13 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Moniaskelmenetelmien
Lisätiedot805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 5 (2016)
805324A (805679S) Aikasarja-analyysi Harjoitus 5 (2016) Tavoitteet (teoria): Ymmärtää kausivaihtelun käsite ja sen yhteys otoshetkiin. Oppia käsittelemään periodogrammia.. Tavoitteet (R): Periodogrammin,
LisätiedotMS-C1420 Fourier-analyysi osa I
MS-C142 Fourier-analyysi osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 29. tammikuuta 214 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 1 / 3 1 Johdanto 2 Fourier-integraali Fourier-muunnos
Lisätiedot