ẍ(t) q(t)x(t) = f(t) 0 1 z(t) +.

Transkriptio

1 Diffrniaaliyhälö II, harjoius 3, 8 228, rakaisu JL, kuusi sivua a On muunnava linaarinn oisn kraluvun diffrniaaliyhälö ẍ qx f yhäpiäväksi nsimmäisn kraluvun linaarisksi kahdn skalaariyhälön sysmiksi Rak Suunaa varn määrillään z x ja z 2 ẋ skä z z z 2 T, jolloin saadaan ż ẋ z 2 ja ż 2 ẍ qx + f qz + f li { ż z 2 ż 2 qz + f ż z + q f Suunaa varn määrillään x z, jolloin saadaan ẍ z ż 2 qz + f qx + f li ẍ qx f b Vasaavasi yhälöll x 4 + ẍ + 2 ẋ x 4 2 ẋ ẍ + asaan z x, z 2 ẋ, z 3 ẍ, z 4 x ja z z z 2 z 3 z 4 T, jolloin saadaan ż z 2 ż 2 z 3 ż 3 z 4 ż 4 2 z 2 z 3 + ż z Määriään oisn kraluvun homognisn linaarisn diffrniaaliyhälön ẍ + 2 an 2 x ylinn rakaisu välillä, joilla 2π + nπ kaikilla n Z Osoiaan nsin, ä x cos 2 ouaa yhälön Is asiassa, koska ẋ 2 cos sin ja ẍ 2sin 2 cos 2, niin ẍ + 2 an 2 x 2sin 2 cos sin2 cos 2 cos 2 2sin 2 cos 2 + 2cos 2 sin 2 Tunnusa rakaisusa x lähin siään sin vakion varioinnilla li kraluvun alnamislla äsä rakaisusa linaarissi riippumaon oinn rakaisu Esiään siis kahdsi drivoiuva funkio f, joka i ol vakio ja jolla x 2 fx f cos 2 ouaa yhälön Ny ẋ 2 f cos 2 2f cos sin ja ẍ 2 f cos 2 4f cos sin + 2fsin 2 cos 2, jolloin yhälö ouuu, jos ja vain jos f cos 2 4f cos sin, sillä f:n krroin on ẍ + 2 an 2 x, li jos ja vain jos f 4 f an v 4v an funkioll v f Tämä on nsimmäisn kraluvun homogninn linaarinn diffrniaaliyhälö v:ll; sn ylinn rakaisu on v A 4 an d A 4 ln cos A cos 4 A R Valiaan A, sillä rakaisu v i ny klpaa Sijoius s an anaa ds d cos 2 ja cos 2 + an2 + s 2, jolloin saadaan d cos 4 d cos 2 cos 2 + s 2 ds s + 3 s3 an + 3 an3

2 Tän x 2 f cos 2 an + 3 an3 cos 2 sin cos + 3 an2 on siy oinn rakaisu Siis x, x 2 on yhälön prusjärjslmä Vaihohoissi voidaan käyää osiaisingroinia, jolloin kaavaa sin 2 cos 2 käyän saadaan f v d an cos 2 2 d cos 4 cos 2 cos 4 d + 2 cos 2 d an cos 2 d cos 2 an cos 2 2f + 2 an Rakaismalla ämä f:ll saau avallinn yhälö ul an 2 sin an cos 3 d cos 2 2 f 3 an cos an 3 + an2 an + 3 an3 sin 2 cos 4 d Lunovrsion 928 sivujn 49 5 valmis kaava jossa ny ẋ:n kroimll on p anaa saman: Vaadiu yhälön ylinn rakaisu on än τ ps ds x 2 x x τ 2 dτ cos 2 d cos 4 x C cos 2 + C 2 sin cos + 3 an2 C, C 2 R 3 On osoiava, ä x ouaa yhälön ẍ + pẋ + qx jos ja vain jos krroinn summall on + p + q Tämä suraa siiä, ä jos x, niin ẍ ẋ Tämän huomion nojalla on rakaisava yhälö ẍ ẋ + x Välillä, jolla, yhälöllä on yhäpiävä normaalimuoo * ẍ ẋ + x, jonka krroinfunkioidn summall on / + / / kaikilla Tidään siis, ä yhälöllä * on rakaisu x Käyään vakion varioinia li siään i-vakioinn kahdsi drivoiuva funkio f, jolla x f on yhälön * oinn rakaisu Ny ẋ f + f ja ẍ f + 2f + f Sijoius yhälöön osoiaa, ä s ouuu, jos ja vain jos f + 2f f f + 2 f f 2 A xp d A xp d A xpln A A Valiaan A, jolloin osiaisingroini anaa f d + d Näin saadaan haluu rakaisu x f Vaihohoissi voidaan käyää polynomiyriä kun x n vakiolla n Z ai x a + b vakioin a, b R Yhälön * ylinn rakaisu kummallakin välisä ], [ ja ], [ on siis x C + C 2 C, C 2 R 2

3 Osoiaan, ä x C + C 2 kaikilla R C, C 2 R on alkupräisn yhälön ylinn rakaisu koko R:ssä Slväsi kaikilla C, C 2 ämä funkio ouaa yhälön R:ssä Käänän, jos x on rakaisu R:ssä, niin on olmassa vakio C, C 2, C, C 2 R, joilla x C + C 2 on rakaisu välillä ], [ ja ällöin jakuvuudn vuoksi myös välillä ], ] ja x C + C 2 on rakaisu välillä ], [ ja silloin myös välillä [, [ Tällöin C + C 2 x ẋ C + C 2 ja C ẍ C Siis C C ja C 2 C 2 Tän pä x C + C 2 kaikilla R kroimin C C C ja C 2 C 2 C 2 4 On siävä sysmin ẋ Ax prusmariisi suraavan kahdn ri vakiomariisin apauksssa 2 3 a A Ny A:n karakrisinn yhälö on da ri 2 r 3 r r2 2r 3 r 3r +, jonka juur ova risuur raaliluvu r 3 ja r Nämä ova siis A:n ominaisarvo, ja niihin liiyvisä A:n ominaisvkorisa voidaan valia R 2 ξ :ll kana Esiään ominaisvkori ξ R ξ 2 {} 2 r 3: 3 ξ Aξ 3ξ A 3Iξ 3 ξ 2 3 ξ a jollain a R {} Valiaan a Tällöin sysmill saadaan rakaisu x r : A + Iξ ξ ξ + ξ 2 ξ a Valiaan a Tällöin sysmill saadaan rakaisu x 2 Sysmillä on siis prusmariisi X, jonka sarakvkori ova x ja x 2 : { ξ + 3ξ 2 ξ 3ξ 2 ξ 3ξ X colx, x 2 b A Ny A:n karakrisinn yhälö on r da ri r r r r r rr2, 3 a R {} jonka juur ova kolm risuura raalilukua r ja r ± Nämä ova siis A:n ominaisarvo, ja niihin liiyvisä A:n ominaisvkorisa voidaan valia R 3 :ll kana Esiään ominaisvkori ξ ξ ξ 2 ξ 3 T R 3 {} ja vasaava rakaisu x r ξ: Tapauksssa r on Aξ ξ 2 ξ 3 ξ ξ 3 ξ 2 ξ 3 ξ 2 ξ a a R {}, ja valismalla a saadaan sysmill rakaisu x 3

4 Tapauksssa r on A Iξ ξ ξ + ξ 2 ξ 3 ξ 2 + ξ 3 ξ 2 ξ 3 ξ 2 ξ 3 ja ξ ξ a a R {}, ja valismalla a saadaan sysmill rakaisu x 2 Tapauksssa r on A + Iξ ξ + ξ 2 ξ 3 ξ ξ 2 + ξ 3 ξ 2 + ξ 3 ξ 2 ξ 3 ja ξ 2ξ 3 ξ a 2 a R {}, ja valismalla a saadaan sysmill rakaisu x 3 2 Sysmillä on siis prusmariisi X, jonka sarakvkori ova x, x 2 ja x 3 : X colx, x 2, x Olkoo A ja f cos On nsin määriävä homognisn sysmin ẋ Ax ilansiiromariisi Siihn arviaan sysmin prusmariisi Mrkiään x u v T, jolloin { { u u u ẋ Ax v u cos + v C C R v v C cos * Tässä * d/d v C cos v C sin +C 2 C 2 R v C sin +C 2 Sysmin ylinn rakaisu on siis C x C sin + C 2 C + C sin 2, jon sysmillä on prusmariisi X sin Tän sysmillä on ilansiiromariisi sin Φ, s XXs s s, kun, s R sin sin s sin sin s Rakaisaan ny alkuarvohävä ẋ Ax + f, x Rakaisu saadaan muodosa x Xc vakion varioinnilla johdavasa kaavasa x Φ, + Φ, sfs ds 4

5 Tässä ja Φ, sin sin + Φ, sfs s s s s sin sin s s sin s sin s sin s s + s s s s sin s Tän Φ, sfs ds sin + I, I J jossa I s s ds ja J s s sin s ds On laskava nämä ingraali Osiaisingroimalla saadaan I / s s + s ds / s + s + Ingraali J voidaan laska osiaisingroinnin, mua on mukavampi käyää määriävin krroinn mnlmää: ukiaan, onko J a cos + b sin + c cos + d sin + α kaikilla R joillakin a, b, c, d, α R Drivoini anaa vaaimuksn sin J a cos sin + a cos + b sin + cos + b sin + c cos sin + d sin + cos a + b cos + a b sin + a c + d cos + b c d sin, jon hdoksi ul a + b, a b, a c + d ja b c d li a b c 2 Lisäksi ul vaaimus J c + α α 2 Siis ja d J 2 cos + sin + 2 cos 2 Tän alkuarvohävän rakaisu on x sin sin sin sin 2 cos + 2 sin + 2 cos sin cos 2 sin + 2 cos sin Huom Yhälön ẋ Ax prusjärjslmä saadaan vaihohoissi suraavasi Kun R, niin A on alakolmiomariisi lävisäjän kroimin ja, jon A:llä on ominaisarvo ja siihn kuuluva :sä riippumaon ominaisvkori, onhan Tällöin x cos u on yksi, yrin x λ λ, u, v R, u v 2 + v 2 > uoama rakaisu, joka saaiin ylläkin Toinn, u äsä linaarissi riippumaon rakaisu saadaan vakion varioinnilla: Vaadiaan, ä x 2 on v u rakaisu ja ä i ol vakiofunkio Ny v ẋ 2 Ax 2 u + u v v 5 { u u cos v v u cos

6 Voidaan valia u ja v sin, jolloin saadaan x 2 kun yllä, mua diffrniaaliyhälösysmi u, v:ll oli aimpaa sin hlpompi 2 Nimiys ilansiiromariisi sliyy suraavasi Yhälö ẋ Ax kuvaa linaarisa sysmiä, jossa rakaisufunkion x arvo x kuvaa sysmin ilaa hkllä Olkoon X yhälön prusmariisi ja Φ, s XXs ilansiiromariisi Osoiaan, ä x Φ, sxs li ä ilasa hkllä s pääsään ilaan hkllä kromalla ilansiiromariisilla Φ, s Tämä suraa siiä, ä x Φ, x XX x ja xs Φs, x XsX x, jolloin x XXs xs ja siis x XX XXs xs XXs xs Φ, sxs Alkuarvo-onglman ẋ Ax + f, x, rakaisukaava x Φ, + Φ, sfs ds osoiaa avan, jolla sysmin ila x riippuu alkuilasa x ja ulkoissa voimasa f 6