9. Epäoleelliset integraalit; integraalin derivointi parametrin suhteen. (x + y)e x y dxdy. e (ax+by)2 da. xy 2 r 4 da; r = x 2 + y 2. b) A.

Transkriptio

1 9. Epäoleellise inegraali; inegraalin derivoini paramerin suheen 9.. Epäoleellise aso- ja avaruusinegraali 27. Olkoon = {(x, y) x, y }. Osoia hajaanuminen ai laske arvo epäoleelliselle asoinegraalille (x + y)e x y dxdy Olkoon a >, b >, = {(x,y) x, y }. Laske epäoleellinen inegraali e (ax+by)2 da sijoiuksella u = ax + by, v = y/x Tuki, onko seuraava epäoleellinen inegraali olemassa: dxdy, = {(x,y) x, y }. x y Ei Olkoon = {(x,y) x 2 + y 2 }. Laske arvo ai osoia hajaanuminen asoinegraaleille 275. a) ln r da, Millä kokonaislukuarvoilla p avaruusinegraali b) B xy 2 r 4 da; r = x 2 + y 2. x r p dv suppenee, kun B on yksikköpallo {(x,y,z) x 2 + y 2 + z 2 }? Tässä on r = x 2 + y 2 + z 2. p < e x2 y2 dxdy, c) Laske epäoleellise inegraali a) e x2 dx, b) R R 2 R 3 e x2 y2 z2 dxdydz. m-treeni versio 2., 4.9.2; TKK, maemaiikan laios

2 277. Laske arvo ai osoia hajaanuminen asoinegraalille R 2 dxdy + x 2 + y Laske arvo ai osoia hajaanuminen avaruusinegraalille R 3 dxdydz ( + x 2 + y 2 + z 2 ) Olkoon f : R 2 R koko asossa jakuva ja rajoieu funkio. Olkoon olemassa vakio a, c ja α > 2 sien, eä r > a = f (x,y) c r α, missä r = x 2 + y 2. Osoia, eä epäoleellinen inegraali R 2 f suppenee. 28. Olkoon funkio f : R 2 R jakuva ja rajoieu miallisessa joukossa paisi piseessä (x,y ). Olkoon edelleen olemassa vakio c ja α < 2 sien, eä f (x,y) c [(x x ) 2 + (y y ) 2 ] α/2 muualla paisi piseessä (x,y ). Osoia, eä epäoleellinen inegraali f suppenee Inegraalin derivoini paramerin suheen 28. Muodosa seuraava derivaaa laskemaa inegraalia ensin: a) d dx x d, b) d dx 2x sin d, c) d dx Tarkisa ulos inegroimalla ensin ja sen jälkeen derivoimalla, mikäli mahdollisa. e x 2 ln d. m-treeni versio 2., 4.9.2; TKK, maemaiikan laios

3 282. Muodosa d ln( +x)d dx a) derivoimalla inegraalimerkin alla, b) inegroimalla ensin Olkoon f (x) = sinx cosx 2 d, x R. Laske f (x) välillä [, π 2 ]. Esiä funkiolle f yksinkeraisempi lauseke ällä välillä laskemaa eo. inegraalia. Onko funkio koko reaaliakselilla jaksollinen? Piirrä funkion kuvaaja. f (x) = cosx cosx + sinx sinx; f (x) = x π 4, x π 2, f (x) = π 4 2 sin2x, π 2 x π, f (x) = 5π 4 x, π x 3π 2, f (x) = 2 sin2x π 4, 3π 2 x 2π, jakeaan 2π-jaksoisesi Funkio f määriellään aseamalla Laske f (). / f () = sinx dx, >. x 285. Olkoon x >. Laske inegraali f (x) = x d ja derivoi saau yhälö puoliain muuujan x suheen n keraa Millä muuujan arvolla funkio saa suurimman arvonsa? 2 f () = e x2 dx 287. Yhälö y x e d + sin d = määrielee funkion y(x). Lausu implisiiisä derivoinia käyäen inegraaleja laskemaa y (x) muuujien x ja y avulla. m-treeni versio 2., 4.9.2; TKK, maemaiikan laios

4 288. Laske f (x), kun x /x a) f (x) = e x2 d, b) f (x) = x cos(x 2 )d (x > ) Olkoon 2 F(s) = s 2 dx, s >. + x2 Laske inegraali. Toea, eä inegraalimerkin alla derivoimisen edellyykse ova voimassa ja laske derivaaa F (s) sekä inegraalimerkin alla derivoimalla eä suoraan laskemasasi lausekkeesa. Mien ulosa voidaan käyää inegraalin 2 ( + x 2 ) 2 dx laskemiseen? 29. Funkion F(s) = f (s,)d, missä f (s,) = s 3 e s2, derivaaaa F () ei voida laskea derivoimalla inegraalimerkin alla. Toea, eä asiaa koskevan lauseen oleukse eivä ole voimassa: ei ole olemassa sellaisa funkioa g(), eä f s (s,) g() s [,] ja g()d <. 29. Määriä funkion F(s) = e s d, s >, kaikkien keralukujen derivaaa derivoimalla inegraalimerkin alla. Miksi derivoini on salliua? Johda derivaaojen avulla ulos n e d = n!, n N. F (n) (s) = ( ) n n e s d, s > Gammafunkio määriellään inegraalilla Γ(x) = x e d, x >. m-treeni versio 2., 4.9.2; TKK, maemaiikan laios

5 Miä edellinen ehävä keroo gammafunkion arvoisa, kun argumenina on luonnollinen luku? Piirrä gammafunkion kuvaaja. Tarkasele ällöin myös negaiivisia muuujan arvoja; funkio määriellään näillä arvoilla muulla avoin kuin em. inegraalilla. Γ(n + ) = n!. m-treeni versio 2., 4.9.2; TKK, maemaiikan laios