Kompleksiluvut Kompleksitaso

Transkriptio

1 . Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen ns. tulon nollasääntö: z z = 0 = z = 0 z = Saata kompleksiluvut a) ( + i)( i) 5 i, b) + i muotoon x + iy. Laske lukujen moduuli ja argumentti. 84. Olkoon u = cos0.5 + isin0.5 ja z 0 = + i. Laske kompleksiluvut w k = u k z 0, k =,,,..., ja piirrä pisteiden sijainti kompleksitasossa. Miten pisteet muuttuvat, jos valitaan u = 0.9(cos i sin 0.5)? Millainen vaikutus luvun u potensseilla kertomisella on? 85. Todista, että kaikilla z,z C pätee ( + z )( + z ) + z z. 86. Olkoon Re z = Im z = a. Millä arvoilla a pätee z i < z? Piirrä kuvio. a <. 87. Tutki, mitkä kompleksitason pisteet toteuttavat seuraavat ehdot: Piirrä kuviot. a) z + z + i = 4, b) z + z i =, c) z + i = z i, d) arg z z i = π 4, e) arg z z = π 4. m-treeni versio.0, ; TKK, matematiikan laitos

2 a) Ellipsi 5x + 5y xy 6x + 6y 48 = 0; b) hyperbelin toinen haara y = 4x + 8x + 4, x > ; c) ympyrä x + y 0y + = 0; d) ympyränkaari x + y x y + = 0, x + y > ; e) ympyränkaari x + y x + y = 0, y > Piirrä se kompleksitason alue, jossa a) { < z i < π 4 < argz < π, b) { z + z i < 0 < arg(z + + i) < π 4. a) Alueessa on kaksi osaa; edellisen reuna muodostuu janasta AB, kaaresta BC ja janasta CA, jälkimmäisen kaaresta CD, janasta DE, kaaresta EF ja janasta FC; pisteet ovat A = 0, B = ( + i), C = i, D = + (+i), E = ( +)(+i), F = ( +)i; b) puolet ellipsin sisäosasta: x +y +xy 4x 4y < 0, y < x. 89. Määritä sup{argz z 4i, argz [0,π[}. Onko kyseessä myös maksimi? π. 90. Etsi kahden desimaalin tarkkuudella sups ja infs, kun Tässä argz valitaan väliltä [0,π[. Piirrä kuvio. 9. S = {argz z + 5i < }. Minkä käyrän piirtää a) z, kun z piirtää käyrän arg(z i) = π 4 ; b) z z+z+ z+, kun z piirtää ympyrän z = ; c) z + + i, kun z piirtää käyrän z + i =? Piirrä kuviot. Merkitään u = Re f (z), v = Im f (z). a) Paraabelin kaari v = (u ), u < ; b) ellipsi (u ) + 9v = 9; c) ympyrä (u ) + (v ) =. 9. Millä kompleksitason käyrällä z i on puhtaasti imaginaarinen? z + i Ympyrällä z =, z i... Kompleksilukujen potenssit ja juuret 9. Laske seuraavien kompleksilukujen moduuli ja argumentti saattamatta lukuja muotoon x + iy: a) ( + i) 6, b) ( i )( i), c) i ( + i). m-treeni versio.0, ; TKK, matematiikan laitos

3 a) 8, π ; b) 4, 5π 6 ; c), 7π. 94. Kehitä de Moivren kaavan avulla a) sin 5ϕ polynomiksi, jonka muuttujana on sin ϕ, b) tan ϕ rationaalilausekkeeksi muuttujasta tanϕ. a) 5sinϕ 0sin ϕ + 6sin 5 ϕ; 95. b) tanϕ tan ϕ tan ϕ. Lausu a) cos 4 ϕ funktioiden cosϕ ja cos4ϕ avulla, b) sin 5 ϕ funktioiden sinϕ, sinϕ ja sin5ϕ avulla. a) 8 ( + 4cosϕ + cos4ϕ); b) 6 (0sinϕ 5sinϕ + sin5ϕ). 96. Laske (cost + isint) 5 a) de Moivren kaavan avulla, b) binomikaavan avulla. Minkälaiset trigonometrian kaavat tästä saadaan? 97. Laske geometrinen summa n k=0 (cost + isint) k. Millaiset trigonometrisia funktioita koskevat kaavat saadaan tuloksen reaali- ja imaginaariosasta? Piirrä summafunktion reaaliosan ja imaginaariosan kuvaajat tapauksissa n = 5,5, Määritä seuraavien juurien kaikki arvot: a) 4 4, b) 6 64, c) i, d) + 4i, e) 7 + 4i. a) + i, + i, i, i; b) + i, i, + i, i, i, i; c) ( + i), [( ) + ( )i], [( ) + ( )i]; d) ±( + i); e) ±( + 4i). 99. Määritä viiden desimaalin tarkkuudella kaikki ne kompleksiluvut, joiden viides potenssi =. Piirrä kuvio lukujen sijainnista kompleksitasossa. 00. Juuren 6 + i likiarvo on i. Piirrä kuva, jossa juuren kaikki arvot on sijoitettu kompleksitasoon (laskematta juurten likiarvoja). m-treeni versio.0, ; TKK, matematiikan laitos

4 0. Olkoon z = ( + i ). Tutki, millä kokonaisluvuilla n pätee z n = z. 0. Olkoon ω = cos π + isin π. Laske a) (aω + bω )(aω + bω), b) (a + b + c)(a + bω + cω )(a + bω + cω). a) a + b ab; 0. b) a + b + c abc. Olkoon f (t) = cost + isint reaalimuuttujan t kompleksiarvoinen funktio ja g(z) = Im z kompleksimuuttujan z reaaliarvoinen funktio. Piirrä reaalimuuttujan reaaliarvoisen funktion g f kuvaaja. Valitse riittävän pitkä tarkasteluväli. Vertaa kuvaajaa tapaukseen g(z) = Im z. Miksi kuvaaja näyttää sellaiselta kuin näyttää? 04. Laske numeerisesti jollakin tietokoneohjelmalla ( ) π. Yritä selittää saamasi tulos. Mikä mahtaa olla tarkka arvo? 05. Laske numeerisesti jollakin tietokoneohjelmalla i i. Yritä selittää saamasi tulos... Polynomeista 06. Ratkaise seuraavat yhtälöt käyttäen toisen asteen yhtälön ratkaisukaavoja; saata juuret muotoon x + iy. a) z + iz i = 0, b) z 4iz 4 + i = 0, c) z ( + 5i)z + ( 4 + 7i) = 0, d) z 4 z + 4 = 0, e) z 4 + ( i )z i = 0. a) ( )i, ( + )i; b) + ( + )i, 4 i, ±( i ; e) ± ( + i), ±( + i). + ( )i; c)?; d) ±( Määritä α C siten, että z = + i on yhtälön z = α + i juuri. Esitä muut juuret napakoordinaattimuodossa. α = i; muut juuret (cos π 08. π + isin ), (cos 9π 9π + isin ). Ratkaise toisen asteen yhtälön ratkaisukaavoilla yhtälö z ( i)z + (5 i) = 0. m-treeni versio.0, ; TKK, matematiikan laitos

5 09. Jaa polynomit a) x 4, b) x 4 +, c) x 6 + korkeintaan toista astetta oleviin reaalikertoimisiin tekijöihin. a) (x+)(x )(x +); b) (x x+)(x + x+); c) (x +)(x + x+)(x x+). m-treeni versio.0, ; TKK, matematiikan laitos