b) Ei ole. Todistus samaan tyyliin kuin edellinen. Olkoon C > 0 ja valitaan x = 2C sekä y = 0. Tällöin pätee f(x) f(y)

Transkriptio

1 Maemaiikan ja ilasoieeen osaso/hy Differeniaaliyhälö II Laskuharjoius 1 malli Kevä 19 Tehävä 1. Ovako seuraava funkio Lipschiz-jakuvia reaaliakselilla: a) f(x) = x 1/3, b) f(x) = x, c) f(x) = x? a) Ei ole. Olkoon C > 1 ja valiaan x = 1/C 3 sekä y =. Ny päee f(x) f(y) = x 1/3 y 1/3 = 1 C = C 1 C 3 > C x y. Siis C > 1 sien, eä f(x) f(y) > C x y. Tällöin f ei ole Lipschizjakuva reaaliakselilla. b) Ei ole. Todisus samaan yyliin kuin edellinen. Olkoon C > ja valiaan x = C sekä y =. Tällöin päee f(x) f(y) = x y = C = C C = C x y > C x y. Siis C > sien, eä f(x) f(y) > C x y. Tällöin f ei ole Lipschizjakuva reaaliakselilla. c) Kyllä on. Olkoon x, y R. Kolmioepäyhälön vasemman puolen avulla saadaan suoraan f(x) f(y) = x y x y. Siis funkio f on Lipschiz-jakuva vakiolla 1. Huomauus. Kaikki eäisyysfunkio ova Lipschiz-jakuvia vakiolla 1. Tehävä. Ovako edellisen ehävän funkio a) ja b) Lipschiz-jakuvia välillä [ 1, 1]. Funkio f : [ 1, 1] R, f(x) = x 1/3 ei ole Lipschiz-jakuva samoin argumenein kuin ehävän 1 kohdassa a eli rajoiamalla C > 1 valisemalla x = 1/C 3 [ 1, 1] sekä y = [ 1, 1]. Funkio f : [ 1, 1] R, f(x) = x on Lipschiz-jakuva. Olkoon x, y [ 1, 1] ja x > y (apaus x < y vasaavasi ja apaus x = y on riviaali). Differeniaalilaskennan väliarvolauseen mukaan z [y, x] [ 1, 1], jolle f (z) = z = f(x) f(y) x y f(x) f(y) = z(x y). 1

2 Oamalla puoliain iseisarvo saadaan lauseke muooon f(x) f(y) = z x y sup z x y = C x y. z [ 1,1] Lipschiz-vakioksi kelpaa siis luku C = sup z [ 1,1] z =. Siis x, y [ 1, 1] päee f(x) f(y) x y. Huomauus. Kaikki derivoiuva funkio, joiden derivaaa on rajoieu, ova Lipschiz-jakuvia. Tämä seuraa lähes suoraan differeniaalilaskennan väliarvolauseesa. Tehävä 3. Olkoo a pise reaaliakselilla, C R, L > vakioia sekä f jakuva, joukossa R määriely reaaliarvoinen funkio, jolle päee f() C + L f(s)ds kaikilla a. Osoia, eä funkiolle f päee kaikilla a esimaai Havaiaan aluksi, eä f(a) C + L f() Ce a. a f(s)ds = C. Funkio f on jakuva ja näin ollen inegroiuva, joen voidaan määriellä funkio G : R R kaavalla F () = f(s)ds. Tällöin analyysin peruslauseen nojalla F () = f(). Oleuksen epäyhälön peruseella saadaan F () f() C L f(s)ds = C LF () < a. Tää saaua lausekea voidaan muokaa. Inegraalin ominaisuuksia ja analyysin peruslausea sovelamalla saadaan epäyhälökeju

3 F () C LF () F () + LF () C e L > e L F () + Le L F () Ce L d ( ) e L F () Ce L Inegroini yli välin [, a] d a d ( ) e Ls F (s) ds Ce Ls ds ds e La F (a) e L F () C L ela + C L el F (a) = e L F () C L ela + C L el e L < F () C L el(a ) C L a. Alkuoleuksen peruseella f() C + LF () C + Ce L(a ) C = Ce L(a ) a, mikä on haluu esimaai. Tehävä. Tarkasellaan alkuarvoehävää y (x) = x + x + y(x) ( ), y() = 1. Osoia, eä molemma funkio y(x) = x ja y(x) = { x x < 1 x, x ova alkuarvoehävän rakaisuja. Olkoon ehävän väiämä rakaisu y 1 (x) ja y (x). Tarkaseaan näiden derivaoiuvuus. Funkio y 1 on polynomifunkiona derivoiuva joukossa R. Funkion y pala ova polynomifunkioina derivoiuvia joukossa R/{}. Funkioiden derivaaa ova { y 1(x) = x ja x y (x) =, x < 1, x >. Erousosamäärän raja-arvo piseessä x = funkiolle y ova y ( + h) y () lim h + h h h + h 3 h +( 1) = 1

4 ja y ( + h) y () lim h h h h h h ( 1 h ) = 1, h joen määrielmän mukaan funkio y on derivoiuva piseessä x = ja y () = 1. Selväsi nähdään, eä molemmille funkioille päee y 1 () = y () = 1, joen ne oeuava alkuehdon. Tukiaan aluksi funkioa y 1. Laskemalla differeniaaliyhälön oikea puoli nähdään, eä x + x + y 1 (x) ( ) = 1 ( x + x x ) = x = y 1(x) eli y 1 oeuaa differeniaaliyhälön kaikilla x R. Tukiaan sien funkioa y. Olkoon aluksi x <. Tällöin differeniaaliyhälön oikea puoli on x + x + y (x) ( ) = 1 ( x + x x ) = x = y (x), x <. Olkoon sien x. Tällöin oikea puoli on x + x + y (x) ( ) = 1 ( x + x x + ) = 1 ( ) x + (x ) = 1 ) x + x ( = 1 ( x + x ) = 1 = y (x), x. Siis funkio y oeuaa differeniaaliyhälön kaikilla x R. Voidaan siis pääellä, eä molemma funkio y 1 ja y ova alkuarvoehävän rakaisuja. Tehävä 5. Miksi edellinen ehävä ei ole risiriidassa OY-lauseen kanssa? Tehävän rakaisu vaikuaisiva olevan piseen x = ympärisössä määrielyä oisisaan eroavaa rakaisua. Kuienkin merkisemällä y = 1 ( x + x + y ) = f(x, y), havaiaan, eä funkio f(x, y) on hyvin määriely ainoasaan silloin, kun x + y eli y x /. Joukko D = {(x, y) R : y x } on ason R suljeu osajoukko ja alkupise (, 1) kuuluu ämän joukon reunalle. Näin

5 ollen yksikäsieisyyslausea ei ällä alkuarvolla voida sovelaa, joen se ei ole risiriidassa ehävän kanssa. Tehävä 6. Rakaise alkuarvoehävä y = y, y() = 1 käyäen Picardin ieraaioa, eli laske funkio (ässä odisuksen noaaio) y n (x) = y + sekä raja-arvo lim n y n (x). x f(, y n 1 ())d, n = 1,,... Differeniaaliyhälö on y = y = f(x, y). Tehdään Picardin ieraaioa. y (x) = 1, y 1 (x) = 1 + y (x) = 1 + y 3 (x) = 1 +. y n (x) = 1 + 1d = 1 + x, (1 + )d = 1 + x + 1 x, ( )d = 1 + x + 1 x x3, y n 1 ()d = 1 + x + 1! x n! xn = n k= x n n!. Picardin ieraaion peruseella differeniaaliyhälön rakaisu on siis y(x) n y n (x) n n k= x n n! = ex. 5