Luento 4. Fourier-muunnos

Transkriptio

1 Lueno 4 Erikoissignaalien Fourier-muunnokse Näyeenoo 4..6 Fourier-muunnos Fourier-muunnos Kääneismuunnos Diricle n edo Fourier muunuvalle energiasignaalille I: Signaali on iseisesi inegroiuva v ( d< II: Signaalin maksimi- ja minimiarvo ova äärellisiä jokaisella äärellisellä aikavälillä ( a, b sup { } ( (, ( i, s i i s i a i i b + + < < + i III: Signaalin epäjakuvuuskoia on rajallinen määrä lim äärellisessä määrässä ε s ( + ε v ( ε piseiä välillä (-, 4..6

2 Fourier-muunnos On olemassa joukko signaaleia, joka eivä äyä Diricle n eoja, mua niille voidaan kuienkin esiää Fourier-muunnos sien, eä muunnoksen yleise ominaisuude ova voimassa. Esim. Impulssiunkio Tasavira Askel- ja signmum-unkio Sini-signaali Näiä signaaleja kusuaan yleiseyiksi signaaleiksi. Yleisey signaali ova eosignaaleja Impulssiunkio/Diracin dela-unkio Ääreömän kapea pulssi, jonka pina-ala on. + δ( d= δ( d= Impulssiunkio δ( voidaan joaa raja-arvona pulssisa, jonka piuus on ε ja korkeus /ε, kun ε. Suorakaidepulssin apauksessa: δ = Π ε ε ( limε ε Π ( x x = muuoin 4..6 ε ε 4

3 Impulssiunkio 9 8 Suorakaidepulssi 9 8 Gaussin pulssi T= T=.5 T= Ampliudi 5 4 Ampliudi Aika - - Aika Impulssiunkio Signaalin kerominen impulssiunkiolla Näyeenoo ( s( δ( = s δ( s( δ ( d = s( Signaalin konvoluuio impulssiunkion kanssa (impulssivase s( δ( = s( τ δ( τ d = s(

4 Impulssiunkion Fourier muunnos Impulssiunkion Fourier-muunnos x( X( F{ δ ( } = Raja-arvona pulssin Fourier-muunnkosesa: F Π = sinc ε ε ( ε F AΠ = ATsinc( T T limε F Π = limε sinc( ε ε ε sin ( π ε π cos( π ε = limε = imε = π ε π l Hôpial Raja-arvoja käyäen suoraan F-muunnoksen määrielmäsä: s( δ( = s( δ( i i F{ ( } ( e π π δ = δ d = e δ ( d = + = 4..6 δ( d= δ( d= 7 = Signaalin energia on jakaanunu asan kaikille aajuuksille Impulssiunkion kääneismuunnos Impulssiunkion kääneismuunnos F { δ ( } = x( X( Todisus F e d e d i { ( } ( π i π δ δ δ ( DC-komponenin (vakion Fourier-muunnos F { A} = Aδ ( Taajuussiirros i F δ ( = e π = = = = { } Todisus iπ iπ iπ F { δ ( } = δ ( e d = e δ ( d = e = = 4

5 Sini-signaalin Fourier-muunnos Sinimuooinen signaali Eulerin kaavalla sinimuooinen signaali voidaan kirjoiaa kaden osoiimen avulla, joia aajuusasossa vasaa aajuussiirros. i i sin ( = ( e e cos i i i ( = ( e + e iπ { δ ( } = F e Spekri: A Y( = e + + e iφ iφ ( δ ( δ ( A Y( Jaksollisen signaalin Fourier-muunnos Jaksollinen signaali voidaan esiää Fourier-sarjan avulla π k v ( = vk exp i k = T Sovelleaan aajuussiirroksen Fourier-muunnosa iπ π k F e = δ F{ v( } = vkf exp i = vkδ k k= T k= T Jaksollisen signaalin Fourier-muunnos saa nollasa poikkeavia arvoja ainoasaan armonisilla aajuuksilla. Inegraali spekriieyden yli anaa signaalin keskimääräisen eon ( * ( = k = v k= V V d v P { } (

6 Epäjakuva-ampliudise signaali Askelunkio u( < u ( = δτ ( dτ= Epäjakuvuuskodan derivaaa voidaan lausua impulssiunkion avulla d u ( = δ ( d u( u ( 4..6 Epäjakuva-ampliudise signaali Epäjakuvuuskoa ajanekellä d x ( = ξ'( + x x d ξ '( + ( ( δ ( on signaalin jakuvan ermin derivaaa, joka äyää Diricle n edo x( + x( - x( Signaalin Fourier muunnos-saadaan inegroinikeinon avulla { (} F x + ( ( ( ( τ F... s( d... d n S( n τ τ τ = ( iπ n kpl x( = ξ '( τ + x x δ τ dτ + iπ { ξ '( } + ( ( ( F x x e = iπ

7 Epäjakuva-ampliudise signaali Mona epäjakuvuuskoaa d x ( = ξ'( + Δ x ( k δ d + ( ( Δ x( = x x k k k k ( k { (} F x { ξ } F '( + Δx( k e k = iπ iπ k Esimerkki Pulssi > T x ( = AΠ = T A T d x ( = A δ τ + T A δ τ T d A x( x ( iπ T iπ T ( π T e e sin F{ x( } = A = AT = ATsinc( T iπ π T Signmum-unkio < x( = sgn( = = > Rakaisaan derivaaa Signum-unkio x( - dx(/d d d x ( = sgn( d d + = x( x( δ ( = ( δ( = δ( Derivaaan Fourier-muunnos unneaan, joen x(:n Fourier-muunnos saadaan inegroinikeinolla d F{ x( } = F x( X( iπ d = F{ δ ( } = iπ iπ

8 Signum-unkio Tarkiseaan ulos kääneismuunamalla se i π ( π ( π cos sin F = e d = d + i d iπ iπ iπ iπ cos( π sin ( π = i d + d π π cos( π v ( = π Funkio on parion, joen (pina-ala inegraali sen yli = v( =v( sinc ( ' d ' sin ( π F = d sinc( d iπ = π = sinc ( ' d ' < = sgn( sinc ( ' d ' = sgn( ' = d = d sinc( d = Muuujan vaio Yksikköaskelunkio Askelunkio voidaan esiää asavirakomponenin ja signum-unkion avulla sgn( u ( = ( + sgn( = > Fourier-muunnos F { u (} = F + F sgn( = δ ( + jπ - u( - U(

9 Näyeenoo Tarkasellaan jakuvaa signaalia g( vain ieyinä ajanekinä k, k T g( { gk (, k } Nyquisin näyeenooeoreema: Tarkasellaan kaisarajoieua signaalia (, jonka kaisanleveys on B. Jos näyeenoo aajuus s = B, niin ( voidaan lausua näyeiseyn signaalin avulla g( k avulla sin ( π s ( k g( = g( k = g( ksinc( s ( k k= π ( k k= s Näyeenoo Alkuperäinen signaali g( iπ G( ge ( d = Näyeisyssignaali s( = k s ( = muuoin Näyeisey signaali g s (=g(s( Fourier-muunnos g( s( gs ( iπ iπ ( = g(( s e d = g( δ ( k e d k = = k = ge ( iπ k

10 Näyeenoo Näyeisyssignaali on periodinen, joen se voidaan lausua Fourier-sarjana π k S( s ( = sk exp i k = / π k sk = s(exp i d = / Ny näyeisey signaali voidaan kirjoiaa muooon π k i gs ( = g( s( = g( e k = Fourier-muunnos π k k i i π i k π ( = g( e e d g( e d G = k= = k= k= Poissonin summakaava iπ k k 4..6 g( e = G 9 k= k= Näyeenoo Alkuperäisen signaalin spekri G( Näyeiseyn signaalin spekri k ( = G k = < B B ( B ( B B Jos, niin alkuperäinen signaali voidaan palauaa näyeiseysä: B ( B G( = muuoin 4..6

11 Näyeenoo Jos, niin Nyquisin aajua korkeamma aajuude laskosuva < B alemmille eikä alkuperäisä signaalia voida enään palauaa. ( Nyquisin aajuus N = s = 4..6 Näyeenoo Näyeisyssignaali s( = k s ( = muuoin Näyeiseävä signaali g( = cos( π s G( = + + ( δ ( s δ ( s Näyeisey signaali gs( = cos( π s s( Kerolasku aikaasossa => Kovoluuio aajuusasossa s S( s G( ( s < 4..6

12 Näyeenoo Näyeisyssignaali s( = k s ( = muuoin Näyeiseävä signaali g( = cos( π s G( = + + ( δ ( s δ ( s Näyeisey signaali gs( = cos( π s s( Kerolasku aikaasossa => Kovoluuio aajuusasossa s S( G( s ( s > Näyeenoo Aliasoini ilmiö: Yli Nyquisin aajuuden oleva signaali, näyää näyeisyksen jälkeen alemman aajuuden signaalila s =4 Hz, N = Hz = Hz =3 Hz N N