S Signaalit ja järjestelmät 5 op. Luennoitsija Prof. Riku Jäntti S-posti: Puh E219 S.72.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "S Signaalit ja järjestelmät 5 op. Luennoitsija Prof. Riku Jäntti S-posti: Puh E219 S.72."

Transkriptio

1 S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op Luennoisija Prof. Riu Jäni S-posi: riu.jani@.fi Puh E9 S.7. Miä äsiellään? signaalien ja järjeselmien perusäsieiä signaali- ja järjeselmäanalyysin perusmeneelmiä Signaalimuunnose, signaalien aajuusesiys Signaalien suodaaminen lineaarisilla alipääsö- ja aisanpääsösuodaimilla Näyeenoo signaalien moduloini Missä ällaisia ieoja arviaan? eleroniiajärjeselmissä ieoliiennejärjeselmissä signaaliäsielyssä miauseniiassa sääöeniiassa auoaroiusessa radiomääriysessä (paiannus) jne S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio

2 Sisälö ja aiaaulu.. Sisälö, johdano, signaali ja niiden funioesiyse 7.. Fourier-sarja 9.. Fourier-muunnos 4.. Erioissignaalien Fourier-muunnos 6.. Näyeenoo ja Disreei Fourier -muunnos.. Lineaarise järjeselmä 3.. Lineaarise järjeselmäyhdiselmä, sabiilisuus 8.. Lineaarinen suodaus 9.. Epälineaarise järjeselmä (Huom. lueno pideään lasuharjoiusen sijaan lo 8- salissa S) 3.. Saunnaissignaali 5.. Saunnaissignaali lineaarisissa järjeselmissä 7.. Modulaaio S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 3 Suosielu irjallisuus A.B.Carlson: Communicaions sysems. An inroducion o signals and noise in elecrical communicaion. 4h ed. Mc Graw-Hill, 768s. Luvu -9 (ei sisällä DF:ä eiä FF:ä) S.Hayin: Communicaion sysems. 4h ed. Wiley, 8s. L.Balmer: Signals and sysems, an inroducion, nd ediion, Prenice Hall 997, 55s. Luvu -6, 8-9 (ei sisällä modulaaioia) E. C. Ifeachor: Digial Signal Processign A preacical approach, 993, 76s. Luvu ja 4. (vain DF, FF ja disreei onvoluuio) S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 4

3 Lueno Signaali Jauva- ja disreeiaiaise seä -ampliudise signaali Jasollise ja jasooma signaali eho- ja energiasignaali Signaaliavaruus Signaalien sisäulo Signaalien normi, esimääräinen eho ja energia Kanafunio S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 5 Signaali Signaali on ajan, paian ai minä ahansa riippumaoman muuujan muana vaiheleva suure. Kurssilla esiyään Aiasignaaleihin s() aajuussignaaleihin S(f) s().4 S(f) f S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 6 3

4 Signaali Signaali voi olla Reaalinen s () Komplesinen s () = s() + is () I Esim. Q ( π ) ( π ) s () = v()cos f + v ()sin f I c Q c iπ fc iπ fc {( I Q ) } { l } s () = Re v() + iv () e = Re s() e s () = v () + iv () l I Q Evivaleni alipääsösignaali Moduloiu signaali S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 7 Signaali Ysidimensioinen (ysianavainen) s() Monidimensioinen (monianavainen) s() s() n s() = sn () S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 8 4

5 Signaali Jauva-aiainen Signaali on määriely aiina ajanheinä Disreei-aiainen Signaali on määriely vain ieyinä ajanheinä ai ieyille näyeille S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 9 Signaali Jauva-ampliudinen Signaalin ampliudi s() voi saada aiia ampliudiarvoja ei-numeroiuvasa jouosa A s() A A Esim. signaalin ampliudi voi saada minä ahansa arvon reaaliluujen jouosa Disreeiampliudinen Signaalin ampliudiarvo on rajoieu numeroiuvaan jouoon B s () s, s, s,... { } Esim. 8 biin vanisoinnilla voidaan esiää 8 = 56 signaaliasoa. S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 5

6 Signaali JAKUVA-AIKAINEN DISKREEIAIKAINEN I x() II x() JAKUVA- AMPLIUDINEN DISKREEI- AMPLIUDINEN III x() IV x() S.-G. Häggman, S-7. Luenomonisee, 5 S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio Aiarajoiamaon > : s( + ) Signaali Aiarajoieu, pulssisignaali: Signaali saa nollasa poieavia arvoja ainoasaan ieyllä aiavälillä (, ) s() =, < > - / / S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 6

7 Jasollinen (periodinen) Signaali Jasonaia Ampliudi Jasoon (aperiodinen) - / / Ominaisaajuus f =/ S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 3 Signaali Deerminisinen Signaalin ampliudiarvo s() unneaan euäeen aiilla ajan arvoilla Saunnainen (soasinen) Saunnaisen signaalin äyäyymisä ulevaisuudessa ei voida arasi ennusaa. Voidaan vain esiää odennäöisyys sille, eä ampliudi on jollain ampliudivälillä ( ) Pr s( ) s = F( s; ) s() s() % S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 4 7

8 Signaalin eho Jänniesignaalin heelliseho u () i () = u () R R ehon uluus vasusessa P = ui = u R () ()() () Jos uorma sisälää reaiivisia omponeneja, niin vasaava yhälö saadaan näennäiseholle S () = s () Mielivalaiselle signaalille s(): P() s() S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 5 Signaalin energia ja eho Signaalin energia Signaali on energiasignaali, jos Kesimääräinen eho Signaali on ehosignaali, jos S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 6 8

9 Signaali Jasollinen (periodinen) Jasonaia - / / Jasoon (aperiodinen) Ampliudi Ominaisaajuus f =/ S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 7 Pulssisignaali <, s () = muuoin Energia Signaalin energia ja eho E = lim s( ) d = s( ) d < Kesimääräinen eho P = lim s( ) d = lim s( ) d = Pulssisignaali on energiasignaali Pulssisignaali ei ole ehosignaali S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 8 9

10 Aselsignaali, s () = < Energia Signaalin energia ja eho E = lim s( ) d = lim d = Aselsignaali ei ole energiasignaali Kesimääräinen eho P = lim s( ) d lim d d = + = lim = Aselsignaali on ehosignaali S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 9 Signaalin energia ja eho Ysiöpulssi Signaali on ehosignaali Signaali ja 3 ova energiasignaaleia S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio

11 Jasollisen signaalin eho Jasollisen signaalin esimääräinen eho,missä v() on signaali, jolle päee Jasollinen signaali on ehosignaali Kesimääräisen ehon lasemisesi riiää, eä arasellaan yhä jasoa - / / S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio Sinimuooinen signaali Sinimuooinen signaali (esim. vaihojännie) v () = Acos( ω+ φ ) A Ampliudi Vaiheulma radiaaneina (π 8 ) φ Vaihesiirymä ω Ominaisulmaaajuus (rad/s) Ominaisaajuus (Hz) Jasonaia S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio

12 Sinimuooinen signaali.5.5 A v() cos(πω ) φ/ω S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 3 Signaalin eho Sinimuooinen signaali A π P= v() d cos φ d = + cos cos( ) 4 ix ix i x ix ( x) = ( e + e ) = ( e + + e ) = ( + x ) 4π A 4π A P= cos d sin + + φ = + + φ 4π A = + S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 4 ( ) cos x dx = sin( x)

13 Eulerin eoreema Osoiinesiys Osoiin Im Re Osoiin pyörii aajuudella f S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 5 Viivasperi Sinimuooinen signaali voidaan esiää ahden osoiimen summana Im Im Re Re Ampliudisperi Vaihesperi S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 6 3

14 Sisäulo Kahden energiasignaalin välinen sisäulo Komplesionjugaai = signaalien ulon alue S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 7 Sisäulon ominaisuusia Sisäulo ( s() s() ) = ( s() s() ) ( as() s() ) = a( s() s() ) ( s() as() ) = a ( s() s() ) ( s () + s () s () ) = ( s () s () ) + ( s () s () ) S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 8 4

15 Sisäulo Signaalin energia (indusuoiu normi) Orogonaalisuus ja oronormaalisuus Orogonaalisuus Oronormaalisuus s () s () s () s () + - = S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 9 Sisäulo Kahden jasollisen signaalin sisäulo, un molempien signaalien jasonaia on ai on niiden moniera Kesimääräinen eho (indusoiu normi) Orogonaalisuus ja oronormaalisuus Orogonaalisuus Oronormaalisuus S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 3 5

16 Sisäulo arasellaan aha signaalia π v () = Acos π + v() = Acos m m ( ) v () v () = / S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 3 v()/a m=3 Jos sinimuooisen signaalien aajuude f ova monieroja, niin signaalien sisäulo on. Signaali ova esenään orogonaalisia. Oronormaalise signaali iedonsiirrossa Määriellään asi oronormaalia signaalia Pv = ( v() v() ) = Esim Pv = ( v() v() ) = v() = cos( ω) ( v v() = sin( ω () v() ) = ) Oloon I ja I asi informaaiosymbolia (esim. + ai -) Muodoseaan läheeävä signaali s() s () = Iv () + Iv () Kohinaomassa apausessa vasaanoimessa informaaiosymboli saadaan raaisua läheeesä s() äyäen sisäuloa ( s () v() ) = I s () v() = I ( ) S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 3 6

17 Signaaliavaruus Signaaliavaruus on normillinen avaruus, jona normi on sisäulon indusoima Signaaliavaruus muisuaa veoriavaruua, mua veorien sijaan avaruuden elemeni ova signaaleia (funioia) S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 33 Signaaliavaruus Määriellään K lineaarisesi riippumaona anafunioa φ () φ (), =,, K wφ () = jos ja vain jos w =, =,, K Kanafunio viriävä K-dimensioisen signaaliavaruuden, jona elemeni voidaan esiää anafunioiden lineaariombinaaiona K x() = cφ() = S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 34 7

18 Signaaliavaruus Kana on orogonaalinen, jos >, = l ( φ() φl() ) =, l ja oronormaalinen, jos ( φ() φl() ) = = l l S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 35 Signaaliavaruus Approsimoidaan signaalia s() oronormaalin annan {φ ()} avulla s() c () ˆ φ s() Valiaan painoeroime {c_} sien, eä erosignaalin s () = s() sˆ () normin neliö (energia / eho signaaliyypisä riippuen) minimoiuu min { } s ( ) c Normi voidaan lausua sisäulon avulla s () = s() cφ() = s() cφ() s() cφ() = s () s () cφ() cφ() s () + cφ() S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 36 8

19 arasellaan normia Signaaliavaruus = φ = l φ φ l Kana on oronormaali, joen = l ( φ() φl() ) = l ja = φ = sˆ( ) c () c ( ) sˆ( ) c () c c () () S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 37 Signaaliavaruus arasellaan summaa s () cφ() cφ() s () ( () φ ()) ( φ () ()) = c s c s ( () φ ()) ( () φ ()) = c s c s ( s() s() ) = ( s() s() ) ( as() s() ) = a ( s() s() ) ( s() as() ) = a ( s() s() ) ( s() + s() s3() ) = ( s() s3() ) + ( s() s3() ) S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 38 9

20 Signaaliavaruus Erosuureen normi voidaan ny irjoiaa muooon s () = s () cφ () = ( φ ) ( φ ) = s() c s () () c s () () + c c Keroime ova omplesisisa c =c re, +ic im,, joen minimi voidaan raaisa reaali ja omplesi osan suheen derivaaan nollaohdisa d s () = dcre, d s () = dc im, c re, S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 39 Signaaliavaruus Derivaaan nollaoha: s () = s () ( cre, icim, )( s () φ () ) ( cre, + icre, )( s () φ () ) + ( cre, + cim, ) d dc re, d dc re, ( φ ) ( φ ) s () = s () () s () () + c = re, ( φ ) ( φ ) s () = i s() () i s() () + c = im, cre, = ( s() φ () ) + ( s() φ () ) i ci m, = ( s () φ() ) ( s () φ() ) c = c + ic = s() φ () ( ) re, im, ( () φ() ) c = s Kyseessä on aio minimi, osa d dc d s () = >, s () = > dc re, im, z = z + iz z = z reizim zre = z+ z i zim = zz ( ) ( ) S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 4 re im

21 ( ) Signaaliavaruus Kun c = s() φ (), virheen normisi ulee = K K φ = ( φ ) + = = s () s() c () s() c s() () c s () s() c = äsä voidaan johaa Besselin epäyhälö = = + s () s() c s() c s() s() c S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 4 Signaaliavaruus Energiasignaali E = s() s sˆ E = s ˆ( ) = c s = s E E c Jos E s = Parsevalin eoreema E s = c ehosignaali P = s() s sˆ P = sˆ( ) = c s = s P E c Jos P s = Parsevalin eoreema Ps = c S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 4

22 Fourierin esponeisarja Jasollinen signaali s() s()=s(+ ) Oronormaali ana π φ () = exp i =...,,,,,,... = ( () φ() ) = () () ()exp φ = π c s s d s d ähän palaaan seuraavalla luennolla Kannan muodosaa erisuuniin ja eri aajuusilla pyörivä osoiime Im f = Re S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 43 Walsh-funio Pulssisignaali aiavälillä (,) K-dimensioinen orogonaali ana φ () = W () W () = muuoin Sovellusia: - anavoinioodaus CDMAjärjeselmässä - uvion unnisus ja uvanäsiely - p W n+ p() = Wn + + ( ) Wn 4 4 Esim. K=4 =: n=,p= =: n=,p= =3: n=,p= =4: n=,p= W () W () W () - W () 3 S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 44

23 Muia oronormaaleia anafunioia Laguerren funio L (), [, ), =,,, φ() = exp L() exp( ) d L () = ( exp ( ) )! d ( + ) L ( ) = (+ ) L ( ) L ( ) + Hermien funio H (), (, ), =,,, exp φ() = H() n! π d H () = exp exp d H () = H () H () ( ) ( ) ( ( )) + Legendren funio P (), [-,] φ() = + P() d P () = ( )! d ( + ) P ( ) = (+ ) P ( ) P ( ) + sebysevin funio C (), [-,], =,,, ( ) π φ () = ( ) = π C() = C() C (), C () =, C () = 4 C ( ) = 4 C ( ),,... S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 45 S.-G. Häggman, S-7. Luenomonisee, 5 Hermien polynomeihin perusuva anafunio Legendren polynomeihin perusuva anafunio.5 n=4 n= n= n= n= n=5 -.5 n= n= šebyshevin polynomeihin perusuva anafunio.5. n=3 n=4 n= n= n= n=4 n= n=5 n= Laguerren polynomeihin perusuva anafunio n=.5 n= n=4 -. n=5 n= n=3 n=5 -.5S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK -.5 ieoliiennelaboraorio

24 Gram-Schmid proseduuri Muodoseaan orogonaali ana K:sa lineaarisesi riippumaomasa signaalisa { g () } g() φ () = g() c = g () φ (), l =,,.. ( ) l l φ() = g() clφl(), =,3,... K l= φ () φ () = φ () Normalisoidaan muodoseun signaalin energia /eho φ = g ( g ) φ φ Se osa signaalisa g (), joa voidaan seliää lineaariombinaaiona anafunioisa φ l (), l=,,..,- φ g g ( g φ) φ S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 47 Gram-Schmid proseduuri arasellaan signaaleia {g ()} g () g () g () g4( ) g () = g () + g () E = g () = g () d E = E =, E = E = 3 S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 48 4

25 Gram-Schmid proseduuri Oronormaali anafunio (signaali) φ () φ () φ () 3 Signaalijouo {g ()} sisälsi vain olme lineaarisesi riippumaona signaalia, joen anafunioiain on vain olme S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 49 Gram-Schmid proseduuri Signaalien esiäminen annan avulla g () = φ () g () = φ () g () = φ () + φ () 3 3 g () = φ () + φ () 4 3 Veori esiys φ φ φ 3 g =, g =, g3 =, g4 = g g 3 g3 4 g3 E =, E = =, E = = 3, E = = 3 S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op KK ieoliiennelaboraorio 5 5

S Signaalit ja järjestelmät 5 op. Pääassistentti Seppo Saastamoinen. S-posti: Puh E307B S.72.

S Signaalit ja järjestelmät 5 op. Pääassistentti Seppo Saastamoinen. S-posti: Puh E307B S.72. S-7. Signaali ja järjeselmä 5 op Luennoisija Prof. Riu Jäni S-posi: riu.jani@.fi Puh. 9 45 353 E9 Pääassiseni Seppo Saasamoinen S-posi: seppo.saasamoinen@.fi Puh. 45 547 E37B S.7. Miä äsiellään? signaalien

Lisätiedot

ELEC-A7200 Signaalit ja järjestelmät 5 op

ELEC-A7200 Signaalit ja järjestelmät 5 op ELEC-A7 Signaali ja järjeselmä 5 op Luennoisija Prof. Riu Jäni Pääassiseni Seppo Saasamoinen S-posi: riu.jani@aalo.fi Puh. 5 597 8588 E9 Vasaanoo ma lo 9- S-posi: seppo.saasamoinen@aalo.fi Puh. 5 365 376

Lisätiedot

ELEC-A7200 Signaalit ja järjestelmät 5 op

ELEC-A7200 Signaalit ja järjestelmät 5 op Luennoisija Prof. Riku Jäni Pääassiseni Seppo Saasamoinen S-posi: riku.jani@aalo.fi Puh. 5 597 8588 E9 Vasaanoo ma klo 9- S-posi: seppo.saasamoinen@aalo.fi Puh. 5 365 376 hps://noppa.aalo.fi/noppa/kurssi/elec-a7/eusivu

Lisätiedot

Luento 11. Stationaariset prosessit

Luento 11. Stationaariset prosessit Lueno Soasisen prosessin ehosperi Signaalin suodaus Kaisarajoieu anava 5..6 Saionaarise prosessi Auoorrelaaio φ * * (, ) ( ), { } { } jos prosessi on saionaarinen auoorrelaaio ei riipu ajasa vaan ainoasaan

Lisätiedot

Luento 11. Stationaariset prosessit

Luento 11. Stationaariset prosessit Lueno Soasisen prosessin ehosperi Saunnaissignaalin suodaus 5..7 Saionaarise prosessi Auoorrelaaio φ * * (, ) ( ) ( ) ( ) ( ), { } { } jos prosessi on saionaarinen auoorrelaaio ei riipu ajasa vaan ainoasaan

Lisätiedot

Luento 4. Fourier-muunnos

Luento 4. Fourier-muunnos Lueno 4 Erikoissignaalien Fourier-muunnokse Näyeenoo 4..6 Fourier-muunnos Fourier-muunnos Kääneismuunnos Diricle n edo Fourier muunuvalle energiasignaalille I: Signaali on iseisesi inegroiuva v ( d< II:

Lisätiedot

S Signaalit ja järjestelmät Tentti

S Signaalit ja järjestelmät Tentti S-7. Signaali ja järjeselmä eni..6 Vasaa ehävään, ehävisä 7 oeaan huomioon neljä parhaien suorieua ehävää.. Vasaa lyhyesi seuraaviin osaehäviin, käyä arviaessa kuvaa. a) Mikä kaksi ehoa kanaunkioiden φ

Lisätiedot

Luento 2. S Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikenne Laboratorio 1. Jean Baptiste Joseph Fourier ( )

Luento 2. S Signaalit ja järjestelmät 5 op TKK Tietoliikenne Laboratorio 1. Jean Baptiste Joseph Fourier ( ) Luento Jasollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspetri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliienne Laboratorio Jean Baptiste Joseph Fourier (768-83) Ransalainen matemaatio ja fyysio. Esitti Fourier-sarjat

Lisätiedot

järjestelmät Luento 4

järjestelmät Luento 4 DEE- Lineaarise järjeselmä Lueno 4 Lineaarise järjeselmä Riso Mionen 3.7.4 Lueno 3 - Recap Lineaarisen differenssiyhälöiden raaiseminen Impulssivaseen äsie Impulssivase ja onvoluuiosumma Lineaarise järjeselmä

Lisätiedot

Luento 9. Epälineaarisuus

Luento 9. Epälineaarisuus Lueno 9 Epälineaarisuus 8..6 Epälineaarisuus Tarkasellaan passiivisa epälineaarisa komponenia u() y() f( ) Taylor-sarjakehielmä 3 y f( x) + f '( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) +...! 3! 4!

Lisätiedot

Luento 11. tietoverkkotekniikan laitos

Luento 11. tietoverkkotekniikan laitos Lueno Lueno Sokasise signaali ja prosessi II. Sokasise prosessi Pruju Saionaarisuus, ergodisuus Auo ja risikorrelaaio ehospekri.3 Kohinan suodaaminen Sokasinen raja arvo ja derivaaa Winer Khinchin eoreema.3

Lisätiedot

( ) 5 t. ( ) 20 dt ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) / ( ) du ( t ) dt

( ) 5 t. ( ) 20 dt ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) ( ) ( + ) / ( ) du ( t ) dt SMG-500 Verolasennan numeerise meneelmä Ehdouse harjoiusen 4 raaisuisi Haeaan ensin ehävän analyyinen raaisu: dx 0 0 0 0 dx 00e = 0 = 00e 00 x = e + = 5e + alueho: x(0 = 0 0 x 0 = 5e + = 0 = 5 0 0 0 5

Lisätiedot

( ) ( ) 2. Esitä oheisen RC-ylipäästösuotimesta, RC-alipäästösuotimesta ja erotuspiiristä koostuvan lineaarisen järjestelmän:

( ) ( ) 2. Esitä oheisen RC-ylipäästösuotimesta, RC-alipäästösuotimesta ja erotuspiiristä koostuvan lineaarisen järjestelmän: ELEC-A700 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS 3 Sivu /8. arkasellaan oheisa järjeselmää bg x Yksikköviive + zbg z bg z d a) Määriä järjeselmän siirofunkio H Y = X b) Määriä järjeselmän

Lisätiedot

( ) ( ) x t. 2. Esitä kuvassa annetun signaalin x(t) yhtälö aikaalueessa. Laske signaalin Fourier-muunnos ja hahmottele amplitudispektri.

( ) ( ) x t. 2. Esitä kuvassa annetun signaalin x(t) yhtälö aikaalueessa. Laske signaalin Fourier-muunnos ja hahmottele amplitudispektri. ELEC-A7 Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse LASKUHARJOIUS Sivu 1/11 1. Johda anneun pulssin Fourier-muunnos ja hahmoele ampliudispekri. Käyä esim. derivoinieoreemaa, ja älä unohda 1. derivaaan epäjakuvuuskohia!

Lisätiedot

Tietoliikennesignaalit

Tietoliikennesignaalit ieoliikennesignaali 1 ieoliikenne inormaaion siiroa sähköisiä signaaleja käyäen. Signaali vaiheleva jännie ms., jonka vaiheluun on sisällyey inormaaioa. Signaalin ominaisuuksia voi ukia a aikaasossa ime

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 18: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, transienttikuormituksia 8/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 8: Yhen vapausaseen paovärähely, ransieniuormiusia JOHDANTO c m x () Kuva. Syseemi. Transieniuormiusella aroieaan uormiusheräeä, joa aiheuaa syseemiin lyhyaiaisen liieilan.

Lisätiedot

Systeemimallit: sisältö

Systeemimallit: sisältö Syseemimalli: sisälö Malliyypi ja muuuja Inpu-oupu -uvaus ja ilayhälömalli, ila Linearisoini Jauva-aiaisen lineaarisen järjeselmän siirofunio, sabiilisuus Laplace-muunnos Disreeiaiaisen lineaarisen järjeselmän

Lisätiedot

Luento 2. Järjestelmät aika-alueessa Konvoluutio-integraali. tietoverkkotekniikan laitos

Luento 2. Järjestelmät aika-alueessa Konvoluutio-integraali. tietoverkkotekniikan laitos Lueno 2 Järjeselmä aika-alueessa Konvoluuio-inegraali Lueno 2 Lueno 2 Järjeselmä aika alueessa; Konvoluuio inegraali 2.1 Järjeselmien perusominaisuude Oppenheim 1.5. 1.6 Muisillise ja muisioma järjeselmä

Lisätiedot

Johda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.

Johda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi. / Raaisu Aihee: Avaisaa: Momeiemäfuio Sauaismuuujie muuose ja iide jaauma Kovergessiäsiee ja raja-arvolausee Biomijaauma, Espoeijaauma, Geomerie jaauma, Jaaumaovergessi, Jauva asaie jaauma, Kolmiojaauma,

Lisätiedot

Luento 9. Epälineaarisuus

Luento 9. Epälineaarisuus Lueno 9 Epälineaarisuus 9..7 Epälineaarisuus Tarkasellaan passiivisa epälineaarisa komponenia u() y() f( ) Taylor-sarjakehielmä 3 y f( x) + f '( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) + f ''( x) ( x x) +...! 3! 4!

Lisätiedot

Luento 2. Jaksolliset signaalit

Luento 2. Jaksolliset signaalit Luento Jaksollisten signaalien Fourier-sarjat Viivaspektri S-.7. Signaalit ja järjestelmät 5 op KK ietoliikennelaboratorio Jaksollinen (periodinen) Jaksolliset signaalit Jaksonaika - / / Perusjakso Amplitudi

Lisätiedot

SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 2. Tietoliikennetekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa 3

SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 2. Tietoliikennetekniikka I A Kari Kärkkäinen Osa 3 SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 2 Tieoliikenneekniikka I 521359A Kari Kärkkäinen Osa 3 Konvoluuio ja kerolasku ajassa ja aajuudessa Kanaaajuussignaali baseband sanomasignaali sellaisenaan ilman modulaaioa Kaisanpääsösignaali

Lisätiedot

W dt dt t J.

W dt dt t J. DEE-11 Piirianalyysi Harjoius 1 / viikko 3.1 RC-auon akku (8.4 V, 17 mah) on ladau äyeen. Kuinka suuri osa akun energiasa kuluu ensimmäisen 5 min aikana, kun oleeaan mooorin kuluavan vakiovirran 5 A? Oleeaan

Lisätiedot

KYNNYSILMIÖ JA SILTÄ VÄLTTYMINEN KYNNYKSEN SIIRTOA (LAAJENNUSTA) HYVÄKSI KÄYTTÄEN

KYNNYSILMIÖ JA SILTÄ VÄLTTYMINEN KYNNYKSEN SIIRTOA (LAAJENNUSTA) HYVÄKSI KÄYTTÄEN YYSILMIÖ J SILÄ VÄLYMIE YYSE SIIRO LJEUS HYVÄSI ÄYÄE ieoliikenneekniikka I 559 ari ärkkäinen Osa 5 4 MILLOI? Milloin ja missä kynnysilmiö esiinyy? un vasaanoimen ulon SR siis esi-ilmaisusuodaimen lähdössä

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 4, ratkaisuehdotukset

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 4, ratkaisuehdotukset D-00 ineaarise järjeselmä Harjoius 4, rakaisuehdoukse nnen kuin mennään ämän harjoiuksen aihepiireihin, käydään läpi yksi huomionarvoinen juu. Piirianalyysin juuri suorianee opiskelija saaava ihmeellä,

Lisätiedot

b) Ei ole. Todistus samaan tyyliin kuin edellinen. Olkoon C > 0 ja valitaan x = 2C sekä y = 0. Tällöin pätee f(x) f(y)

b) Ei ole. Todistus samaan tyyliin kuin edellinen. Olkoon C > 0 ja valitaan x = 2C sekä y = 0. Tällöin pätee f(x) f(y) Maemaiikan ja ilasoieeen osaso/hy Differeniaaliyhälö II Laskuharjoius 1 malli Kevä 19 Tehävä 1. Ovako seuraava funkio Lipschiz-jakuvia reaaliakselilla: a) f(x) = x 1/3, b) f(x) = x, c) f(x) = x? a) Ei

Lisätiedot

Systeemimallit: sisältö

Systeemimallit: sisältö Syseemimalli: sisälö Malliyypi ja muuuja Inpu-oupu -kuvaus ja ilayhälömalli, ila Linearisoini Jakuva-aikaisen lineaarisen järjeselmän siirofunkio, sabiilisuus Laplace-muunnos Diskreeiaikaisen lineaarisen

Lisätiedot

a) Ortogonaalinen, koska kantafunktioiden energia 1

a) Ortogonaalinen, koska kantafunktioiden energia 1 S-7.060 Signaali ja järjeselmä Teni 14.5.001 1. Vasaa lyhyesi seuraaviin saehäviin, käyä arviaessa kuvaa. a) Mikä minaisuuksisa rgnaalinen ja rnrmaalinen kuvaa paremmin Furier-sarjaa ja miksi? b) Esiä

Lisätiedot

5. Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä

5. Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä 1 MAT-145 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen eknillinen yliopiso Riso Silvennoinen Kevä 21 5. Vakiokeroiminen lineaarinen normaaliryhmä Todeaan ensin ilman odisuksia (ulos on syvällinen) rakaisujen olemassaoloa

Lisätiedot

Huomaa, että aika tulee ilmoittaa SI-yksikössä, eli sekunteina (1 h = 3600 s).

Huomaa, että aika tulee ilmoittaa SI-yksikössä, eli sekunteina (1 h = 3600 s). DEE- Piirianalyysi Ykkösharkan ehävien rakaisuehdoukse. askeaan ensin, kuinka paljon äyeen ladaussa akussa on energiaa. Tämä saadaan laskeua ehäväpaperissa anneujen akun ieojen 8.4 V ja 7 mah avulla. 8.4

Lisätiedot

Juuri 13 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. K1. A: III, B: I, C: II ja IV.

Juuri 13 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Kertaus. K1. A: III, B: I, C: II ja IV. Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 Keraus K. A: III, B: I, C: II ja IV Kuvaaja: I II III IV Juuri Tehävie rakaisu Kusausosakeyhiö Oava päiviey 9.8.8 K. a) lim ( ) Nimiäjä ( ) o aia

Lisätiedot

S Signaalit ja järjestelmät (5 op) Prof. Sven-Gustav Häggman

S Signaalit ja järjestelmät (5 op) Prof. Sven-Gustav Häggman S-7.1110 Signaali ja järjeselmä (5 op) Prof. Sven-Gusav Häggman S-7.1110 Signaali ja järjeselmä (5 op) Sven-Gusav Häggman Sisällyslueelo sivu 1 Johdano 7 Signaali ja signaalien esiäminen 13.1 Signaalien

Lisätiedot

x v1 y v2, missä x ja y ovat kokonaislukuja.

x v1 y v2, missä x ja y ovat kokonaislukuja. Digiaalinen videonkäsiel Harjoius, vasaukse ehäviin 4-0 Tehävä 4. Emämariisi a: V A 0 V B 0 Hila saadaan kanavekorien (=emämariisin sarakkee) avulla. Kunkin piseen paikka hilassa on kokonaisluvulla kerroujen

Lisätiedot

Tasaantumisilmiöt eli transientit

Tasaantumisilmiöt eli transientit uku 12 Tasaanumisilmiö eli ransieni 12.1 Kelan kykeminen asajännieeseen Kappaleessa 11.2 kykeiin reaalinen kela asajännieeseen ja ukiiin energian varasoiumisa kelan magneeikenään. Tilanne on esiey uudelleen

Lisätiedot

12. ARKISIA SOVELLUKSIA

12. ARKISIA SOVELLUKSIA MAA. Arkiia ovellukia. ARKISIA SOVELLUKSIA Oleeaan, eä kappale liikkuu ykiuloeia raaa, eimerkiki -akelia pikin. Kappaleen nopeuden vekoriluonne riiää oaa vauhdin eumerkin avulla huomioon, ja on ehkä arkoiukenmukaiina

Lisätiedot

Diskreetillä puolella impulssi oli yksinkertainen lukujono:

Diskreetillä puolella impulssi oli yksinkertainen lukujono: DEE-00 ineaarise järjeselmä Harjoius 5, rakaisuehdoukse [johdano impulssivaseeseen] Jakuva-aikaisen järjeselmän impulssivase on vasaavanlainen järjeselmäyökalu kuin diskreeillä puolellakin: impulssivase

Lisätiedot

6.4 Variaatiolaskennan oletusten rajoitukset. 6.5 Eulerin yhtälön ratkaisuiden erikoistapauksia

6.4 Variaatiolaskennan oletusten rajoitukset. 6.5 Eulerin yhtälön ratkaisuiden erikoistapauksia 6.4 Variaaiolaskennan oleusen rajoiukse Sivu ss. 27 31 läheien Kirk, ss. 13 143] ja KS, Ch. 5] pohjala Lähökoha oli: jos J:llä on eksremaali (), niin J:n variaaio δj( (), δ()) ():ä pikin on nolla. 1. Välämäön

Lisätiedot

ẍ(t) q(t)x(t) = f(t) 0 1 z(t) +.

ẍ(t) q(t)x(t) = f(t) 0 1 z(t) +. Diffrniaaliyhälö II, harjoius 3, 8 228, rakaisu JL, kuusi sivua a On muunnava linaarinn oisn kraluvun diffrniaaliyhälö ẍ qx f yhäpiäväksi nsimmäisn kraluvun linaarisksi kahdn skalaariyhälön sysmiksi Rak

Lisätiedot

Silloin voidaan suoraan kirjoittaa spektrin yhtälö käyttämällä hyväksi suorakulmaisen pulssin Fouriermuunnosta sekä viiveen vaikutusta: ( ) (

Silloin voidaan suoraan kirjoittaa spektrin yhtälö käyttämällä hyväksi suorakulmaisen pulssin Fouriermuunnosta sekä viiveen vaikutusta: ( ) ( TT/TV Inegraalimuunnokse Fourier-muunnos, ehäviä : Vasauksia Meropolia/. Koivumäki v(. Määriä oheisen signaalin Fourier-muunnos. Vinkki: Superposiio, viive. Voidaan sovelaa superposiioperiaaea, koska signaalin

Lisätiedot

9. Epäoleelliset integraalit; integraalin derivointi parametrin suhteen. (x + y)e x y dxdy. e (ax+by)2 da. xy 2 r 4 da; r = x 2 + y 2. b) A.

9. Epäoleelliset integraalit; integraalin derivointi parametrin suhteen. (x + y)e x y dxdy. e (ax+by)2 da. xy 2 r 4 da; r = x 2 + y 2. b) A. 9. Epäoleellise inegraali; inegraalin derivoini paramerin suheen 9.. Epäoleellise aso- ja avaruusinegraali 27. Olkoon = {(x, y) x, y }. Osoia hajaanuminen ai laske arvo epäoleelliselle asoinegraalille

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 12 Stokastisista prosesseista

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 12 Stokastisista prosesseista Rahoiusriski ja johdannaise Mai Esola lueno Sokasisisa prosesseisa . Markov ominaisuus Markov -prosessi on sokasinen prosessi, missä ainoasaan muuujan viimeinen havaino on relevani muuujan seuraavaa arvoa

Lisätiedot

z z 0 (m 1)! g(m 1) (z0) k=0 Siksi kun funktioon f(z) sovelletaan Cauchyn integraalilausetta, on voimassa: sin(z 2 dz = (z i) n+1 k=0

z z 0 (m 1)! g(m 1) (z0) k=0 Siksi kun funktioon f(z) sovelletaan Cauchyn integraalilausetta, on voimassa: sin(z 2 dz = (z i) n+1 k=0 TKK, Matematiian laitos v.pfaler/pursiainen Mat-.33 Matematiian perusurssi KP3-i sysy 2007 Lasuharjoitus 4 viio 40 Tehtäväsarja A viittaa aluviion ja L loppuviion tehtäviin. Valmistauu esittämään nämä

Lisätiedot

JLP:n käyttämättömät mahdollisuudet. Juha Lappi

JLP:n käyttämättömät mahdollisuudet. Juha Lappi JLP:n äyämäömä mahdollisuude Juha Lappi LP ehävä p z = a x + b z 0 Max or Min (.) 0 0 = = subjec o he following consrains: c a x + b z C, =,, q p q K r (.2) = = m n i ij K (.3) i= j= ij x xw= 0, =,, p

Lisätiedot

Luento 3. Fourier-sarja

Luento 3. Fourier-sarja Fourier muuos Rayleigh eoreema Spekriiheys Lueo 3 4..6 Fourier-sarja Fourier-sarja avulla pysyii esiämää jaksollie sigaali, joka jaksoaika o. Fourier-sarja Fourier-kompoei Eäpä aperiodise sigaali, joilla

Lisätiedot

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008 Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t

Lisätiedot

S Piirianalyysi 2 1. Välikoe

S Piirianalyysi 2 1. Välikoe S-55.0 Piirianalyyi. Välioe.3.0 ae ehävä eri paperille uin ehävä 3 5. Muia irjoiaa joaieen paperiin elväi nimi, opielijanumero, urin nimi ja oodi. Tehävä laeaan oreaoulun oepaperille. Muia papereia ei

Lisätiedot

Taustaa KOMPLEKSILUVUT, VÄRÄHTELIJÄT JA RADIOSIGNAALIT. Jukka Talvitie, Toni Levanen & Mikko Valkama TTY / Tietoliikennetekniikka

Taustaa KOMPLEKSILUVUT, VÄRÄHTELIJÄT JA RADIOSIGNAALIT. Jukka Talvitie, Toni Levanen & Mikko Valkama TTY / Tietoliikennetekniikka IMA- Exurso: Kompleksluvu ja radosgnaal / KOMPLEKSILUVUT, VÄRÄHTELIJÄT JA RADIOSIGNAALIT Tausaa IMA- Exurso: Kompleksluvu ja radosgnaal / Kakk langaon vesnä ja radoeolkenne (makapuhelme, WLAN, ylesrado

Lisätiedot

TKK Tietoliikennelaboratorio Seppo Saastamoinen Sivu 1/5 Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta

TKK Tietoliikennelaboratorio Seppo Saastamoinen Sivu 1/5 Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta KK ieoliikennelaboraorio 7.2.27 Seppo Saasamoinen Sivu /5 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Konvoluuion avulla saadaan laskeua aika-alueessa järjeselmän lähösignaali, kun ulosignaali ja järjeselmän

Lisätiedot

Täydennetään teoriaa seuraavilla tuloksilla tapauksista, joissa moninkertaisen ominaisarvon geometrinen kertaluku on yksi:

Täydennetään teoriaa seuraavilla tuloksilla tapauksista, joissa moninkertaisen ominaisarvon geometrinen kertaluku on yksi: 77 Aemmn oleen, eä mars A on dagonalsouva. Tällanen on lanne äsmälleen sllon, un joasen omnasarvon geomernen eraluu on sama un algebrallnen. Täydenneään eoraa seuraavlla uloslla apaussa, jossa monnerasen

Lisätiedot

Luento 3. Fourier-sarja

Luento 3. Fourier-sarja Fourier-muuos Rayleigh eoreema Spekriiheys Lueo 3 4..7 Fourier-sarja Fourier-sarja avulla pysyii esiämää jaksollie sigaali, joka jaksoaika o. Fourier-sarja Fourier-kompoei Eäpä aperiodise sigaali, joilla

Lisätiedot

SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1

SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1 SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA 1 1 (26) Fourier-muunnos ja jatkuva spektri Spektri taajuuden funktiona on kompleksiarvoinen funktio, jonka esittäminen graafisesti edellyttää 3D-kuvaajan piirtämisen. Yleensä

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 6

Kompleksianalyysi, viikko 6 Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että

Lisätiedot

Mittaustekniikan perusteet, piirianalyysin kertausta

Mittaustekniikan perusteet, piirianalyysin kertausta Miausekniikan perusee, piirianalyysin kerausa. Ohmin laki: =, ai = Z ( = ännie, = resisanssi, Z = impedanssi, = vira). Kompleksiluvu Kompleksilukua arviaan elekroniikassa analysoiaessa piireä, oka sisälävä

Lisätiedot

Sopimuksenteon dynamiikka: johdanto ja haitallinen valikoituminen

Sopimuksenteon dynamiikka: johdanto ja haitallinen valikoituminen Soimukseneon dynamiikka: johdano ja haiallinen valikoiuminen Ma-2.442 Oimoinioin seminaari Elise Kolola 8.4.2008 S yseemianalyysin Laboraorio Esielmä 4 Elise Kolola Oimoinioin seminaari - Kevä 2008 Esiyksen

Lisätiedot

Pienimmän neliösumman menetelmä

Pienimmän neliösumman menetelmä Pienimmän neliösumman menetelmä Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Funktion sovitus Datapisteet (x 1,...,x n ) Annettu data y i = f(x i )+η i, missä f(x) on tuntematon funktio ja η i mittaukseen

Lisätiedot

SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA OSA 1

SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA OSA 1 1 SIGNAALITEORIAN KERTAUSTA OSA 1 Millainen on signaalin spektri ja miten se lasketaan? SIGNAALIEN JA SPEKTRIN PERUSKÄSITTEITÄ 2 Spektri taajuuden funktiona on kompleksiarvoinen funktio, jonka graafinen

Lisätiedot

Osittaisdifferentiaaliyhtälöt

Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,

Lisätiedot

2. Taloudessa käytettyjä yksinkertaisia ennustemalleja. ja tarkasteltavaa muuttujan arvoa hetkellä t kirjaimella y t

2. Taloudessa käytettyjä yksinkertaisia ennustemalleja. ja tarkasteltavaa muuttujan arvoa hetkellä t kirjaimella y t Tilasollinen ennusaminen Seppo Pynnönen Tilasoieeen professori, Meneelmäieeiden laios, Vaasan yliopiso. Tausaa Tulevaisuuden ennusaminen on ehkä yksi luoneenomaisimpia piireiä ihmiselle. On ilmeisesi aina

Lisätiedot

Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta Sivu 1/5

Konvoluution laskeminen vaihe vaiheelta Sivu 1/5 S-72. Signaali ja järjeselmä Laskuharjoiukse, syksy 28 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Sivu /5 Konvoluuion laskeminen vaihe vaiheela Konvoluuion avulla saadaan laskeua aika-alueessa järjeselmän lähösignaali,

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 3, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 3, harjoitustenpitäjille tarkoitetut ratkaisuehdotukset DEE- ineaarise järjeselmä Harjoius 3, harjoiusenpiäjille arkoieu rakaisuehdoukse Ennen kuin mennään ämän harjoiuksen aihepiireihin, käydään läpi yksi huomionarvoinen juu Piirianalyysin juuri suorianee

Lisätiedot

2. Systeemi- ja signaalimallit

2. Systeemi- ja signaalimallit 2. Syseemi- ja signaalimalli Malliyyppejä: maemaainen malli: muuujien välise suhee kuvau maemaaisesi yhälöin lohkokaaviomalli: syseemin oiminojen looginen jako lohkoihin, joiden välisiä vuorovaikuuksia

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.4 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vasausen piireiden, sisälöjen ja piseiysen luonnehdina ei sido ylioppilasukinolauakunnan arvoselua. Lopullisessa arvoselussa

Lisätiedot

KANTOAALTOMODULOIDUN KAISTANPÄÄSTÖSIGNAALIN (BANDPASS) JA KANTATAAJUISEN (BASEBAND) SIGNAALIN AMPLITUDISPEKTRIT

KANTOAALTOMODULOIDUN KAISTANPÄÄSTÖSIGNAALIN (BANDPASS) JA KANTATAAJUISEN (BASEBAND) SIGNAALIN AMPLITUDISPEKTRIT KANOAALOMODULOIDUN KAISANPÄÄSÖSINAALIN BANDPASS JA KANAAAJUISEN BASEBAND SINAALIN AMPLIUDISPEKRI 536A ieoliienneeniia II Osa 5 Kari Käräinen Sysy 05 EHOIHEYSSPEKRI & KAISANLEVEYS Edellä arasellu modulaaio

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 14: Yhden vapausasteen vaimeneva pakkovärähtely, harmoninen kuormitusheräte

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 14: Yhden vapausasteen vaimeneva pakkovärähtely, harmoninen kuormitusheräte 4/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 4: Yhden vaausaseen vaieneva akkvärähely, harninen kuriusheräe LIIKEYHTÄLÖN JOHTO JA RATKAISU Kuvassa n esiey visksisi vaienneun yhden vaausaseen harnisen akkvärähelijän erusalli.

Lisätiedot

Tilausohjatun tuotannon karkeasuunnittelu. Tilausohjatun tuotannon karkeasuunnittelu

Tilausohjatun tuotannon karkeasuunnittelu. Tilausohjatun tuotannon karkeasuunnittelu Tilausohjaun uoannon areasuunnielu Tilausohjaussa uoannossa sarjojen muodosaminen ei yleensä ole relevani ongelma, osa uoevaihelu on suura, mä juuri onin peruse MTO-uoannolle Tuoe- ja valmisusraenee ova

Lisätiedot

a. Varsinainen prosessi on tuttua tilaesitysmuotoa:

a. Varsinainen prosessi on tuttua tilaesitysmuotoa: ELEC-C Sääöeniia 7. lauharjoiu Vaaue. r - K u K C y a. Varinainen proei on uua ilaeiymuooa: A Bu y C Kuvaa nähdään, eä ilamallin iäänmenona on u r K. Salaaria ei voi vähenää mariiia, joen un on n -veori,

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen

Lisätiedot

Derivoimalla ensimmäinen komponentti, sijoittamalla jälkimmäisen derivaatta siihen ja eliminoimalla x. saadaan

Derivoimalla ensimmäinen komponentti, sijoittamalla jälkimmäisen derivaatta siihen ja eliminoimalla x. saadaan 87 5. Eliminoinimeneely Tarkaellaan -kokoia vakiokeroimia yeemiä + x a a x a x + a x b() x = = = +. a a x a x a x b () (3) b() x + Derivoimalla enimmäinen komponeni, ijoiamalla jälkimmäien derivaaa iihen

Lisätiedot

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 13 Black-Scholes malli optioiden hinnoille

Rahoitusriskit ja johdannaiset Matti Estola. luento 13 Black-Scholes malli optioiden hinnoille Rahoiusriski ja johannaise Mai Esola lueno 3 Black-choles malli opioien hinnoille . Ion lemma Japanilainen maemaaikko Kiyoshi Iō oisi seuraavana esieävän lemman vuonna 95 arikkelissaan: On sochasic ifferenial

Lisätiedot

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17

1. Viikko. K. Tuominen MApu II 1/17 17 1. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Kompleksiluvut, kompleksitaso, polaariesitys, 2. Kompleksilukujen peruslaskutoimitukset, 3. Eulerin ja De Moivren kaavat, 4. Potenssi ja juuret, kompleksinen

Lisätiedot

12. Luento. Modulaatio

12. Luento. Modulaatio Analoginen modulaaio Digiaalinen modulaaio. Lueno..7 Modulaaio Modulaaiossa siirreään moduloivan signaalin spekri kanoaallon aajuusalueelle, joko sien eä spekrin muoo säilyy lineaarisessa modulaaiossa,

Lisätiedot

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 17: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, impulssikuormitus ja Duhamelin integraali

VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 17: Yhden vapausasteen pakkovärähtely, impulssikuormitus ja Duhamelin integraali 7/ VÄRÄHTELYMEKANIIKKA SESSIO 7: Yhn vapausasn paovärähly, impulssiuormius ja Duhamlin ingraali IMPULSSIKUORMITUS Maanisn sysmiin ohisuva jasoon hrä on usin ajasa riippuva lyhyaiainn uormius. Ysinraisin

Lisätiedot

2 Taylor-polynomit ja -sarjat

2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.

Lisätiedot

YKSISIVUKAISTAMODULAATIO (SSB)

YKSISIVUKAISTAMODULAATIO (SSB) YKSISIVUKAISTAODULAATIO SSB ien kaisaa voi sääsää verrauna DSB- a A-modulaaioihin? ikä on Hilber-munnin? 5357A Tieoliikenneekniikka I Osa 9 Kari Kärkkäinen Kevä 05 YKSISIVUKAISTAODULAATION IDEA DSB & A-inormaaio

Lisätiedot

MAT-02450 Fourier n menetelmät. Merja Laaksonen, TTY 2014

MAT-02450 Fourier n menetelmät. Merja Laaksonen, TTY 2014 MAT-45 Fourier n meneelmä Merja Laaksonen, TTY 4..4 Sisälö Johano 3. Peruskäsieiä................................... 4.. Parillinen ja parion funkio....................... 7.. Heavisien funkio............................

Lisätiedot

Ilmavirransäädin. Mitat

Ilmavirransäädin. Mitat Ilmairransäädin Mia (MF, MP, ON, MOD, KNX) Ød nom (MF-D, MP-D, ON-D, MOD-D, KNX-D) Tuoekuaus on ilmairasäädin pyöreälle kanaalle. Se koosuu sääöpellisä ja miaaasa oimilaieesa ja siä oidaan ohjaa huonesääimen

Lisätiedot

12. Luento. Modulaatio

12. Luento. Modulaatio Analoginen modulaaio Digiaalinen modulaaio. Lueno 5..6 Modulaaio Modulaaiossa siirreään moduloivan signaalin spekri moduloidun signaalin aajuusalueelle, joko sien eä spekrin muoo säilyy lineaarisessa modulaaiossa,

Lisätiedot

>LTI-järjestelmä. >vaihespektri. >ryhmäviive

>LTI-järjestelmä. >vaihespektri. >ryhmäviive TL53, Signaalioria (J. Laiinn) 9..4 TTESN, TTESN5X, TTESN5Z Väliko, rakaisu Täydnnä ohisn kuvaan > - ai < -mrkiy kohda. Miä arkoiaan idonsiirokanavan kvalisoinnilla? Esiä lausk kvalisaaorin siirofunkioll,

Lisätiedot

Kompleksiluvut Kompleksitaso

Kompleksiluvut Kompleksitaso . Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen

Lisätiedot

7. Luento. Luento 7 Modulaatio Oppenheim luku 8 soveltuvin Koherentti ja epäkoherentti analoginen modulaatio

7. Luento. Luento 7 Modulaatio Oppenheim luku 8 soveltuvin Koherentti ja epäkoherentti analoginen modulaatio 7. Lueno Lueno 7 Modulaaio Oppenheim luku 8 soveluvin Kohereni ja epäkohereni analoginen modulaaio osin Digiaalinen modulaaio Konsillaio (Lueno & ) Modulaaio Modulaaiossa siirreään moduloivan signaalin

Lisätiedot

1 Excel-sovelluksen ohje

1 Excel-sovelluksen ohje 1 (11) 1 Excel-sovelluksen ohje Seuraavassa kuvaaan jakeluverkonhalijan kohuullisen konrolloiavien operaiivisen kusannusen (SKOPEX 1 ) arvioimiseen arkoieun Excel-sovelluksen oimina, mukaan lukien sovelluksen

Lisätiedot

LUKU 7 KOHINAN VAIKUTUS ANALOGISTEN MODULAATIOIDEN SUORITUSKYKYYN A Tietoliikennetekniikka I Osa 24 Kari Kärkkäinen Kevät 2015

LUKU 7 KOHINAN VAIKUTUS ANALOGISTEN MODULAATIOIDEN SUORITUSKYKYYN A Tietoliikennetekniikka I Osa 24 Kari Kärkkäinen Kevät 2015 1 LUKU 7 KOHINAN VAIKUUS ANALOGISEN MODULAAIOIDEN SUORIUSKYKYYN 51357A ieoliikeeekiikka I Osa 4 Kari Kärkkäie Kevä 15 LUKU 7 KOHINA ANALOGISISSA MODULAAIOISSA Johdao aalyysieeelii Sigaali-kohiasuhee ääriäie

Lisätiedot

Luento 4 Jaksollisten signaalien Fourier-sarjaesitys 4.1 Fourier-sarja 4.2 Viivaspektri, tehospektri

Luento 4 Jaksollisten signaalien Fourier-sarjaesitys 4.1 Fourier-sarja 4.2 Viivaspektri, tehospektri Luento 4 Luento 4 Jaksollisten signaalien Fourier-sarjaesitys 9 Oppenheim 3.3, 3.4 4.1 Fourier-sarja Kompleksi F-sarja F-sinisarja Sinc-funktio 4. Viivaspektri, tehospektri Viivaspektri Parsevalin teoreema

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys

Lisätiedot

Ratkaisu. Virittäviä puita on kahdeksan erilaista, kun solmut pidetään nimettyinä. Esitetään aluksi verkko kaaviona:

Ratkaisu. Virittäviä puita on kahdeksan erilaista, kun solmut pidetään nimettyinä. Esitetään aluksi verkko kaaviona: Diskreei maemaiikka, sks 00 Harjoius 0, rakaisuisa. Esi viriävä puu suunaamaomalle verkolle G = (X, E, Ψ), kun X := {,,, }, E := { {, }, {, }, {, }, {, }, {, }}, ja Ψ on ieninen kuvaus. Rakaisu. Viriäviä

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 215 1 / 2 Moninkertaisten

Lisätiedot

Flow shop, työnvaiheketju, joustava linja, läpivirtauspaja. Kahden koneen flow shop Johnsonin algoritmi

Flow shop, työnvaiheketju, joustava linja, läpivirtauspaja. Kahden koneen flow shop Johnsonin algoritmi Flow shop önvaheeju jousava lnja läpvrauspaja Flow shopssa önvaheden järjess on sama alla uoella Kosa vahea vo edelää jono vova ö olla vaheleva ja ö vova ohaa osensa äl ö evä oha osaan puhuaan permuaaoaaaulusa

Lisätiedot

f x dx y dy t dt f x y t dx dy dt O , (4b) . (4c) f f x = ja x (4d)

f x dx y dy t dt f x y t dx dy dt O , (4b) . (4c) f f x = ja x (4d) Tehävä 1. Oleeaan, eä on käössä jakuva kuva, jossa (,, ) keroo harmaasävn arvon paikassa (, ) ajanhekenä. Dnaaminen kuva voidaan esiää Talor sarjana: d d d d d d O ( +, +, + ) = (,, ) + + + + ( ). (4a)

Lisätiedot

2. Suoraviivainen liike

2. Suoraviivainen liike . Suoraviivainen liike . Siirymä, keskinopeus ja keskivauhi Aika: unnus, yksikkö: sekuni s Suoraviivaisessa liikkeessä kappaleen asema (paikka) ilmoieaan suoralla olevan piseen paikkakoordinaain (unnus

Lisätiedot

KULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN ILMAISU DISKRIMINAATTORILLA

KULMAMODULOITUJEN SIGNAALIEN ILMAISU DISKRIMINAATTORILLA 1 KULMMOULOITUJEN SIGNLIEN ILMISU ISKRIMINTTORILL Millaisia keinoja on PM & FM -ilmaisuun? 51357 Tieoliikenneekniikka I Osa 17 Kai Käkkäinen Kevä 015 ISKRIMINTTORIN TOIMINTKÄYRÄ J -YHTÄLÖ FM-signaalin

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 10: Moninkertaisten integraalien sovelluksia MS-A22 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Moninkertaisten integraalien sovelluksia Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 217 Antti Rasila (Aalto-yliopisto)

Lisätiedot

Luento 7 Järjestelmien ylläpito

Luento 7 Järjestelmien ylläpito Luno 7 Järjslmin ylläpio Ahi Salo Tknillinn korkakoulu PL, 5 TKK Järjslmin ylläpidosa Priaallisia vaihohoja Uusiminn rplacmn Ennalahkäisvä huolo mainnanc Korjaaminn rpair ❶ Uusiminn Vioiun komponni korvaaan

Lisätiedot

Signaalimallit: sisältö

Signaalimallit: sisältö Signaalimallit: sisältö Motivaationa häiriöiden kuvaaminen ja rekonstruointi Signaalien kuvaaminen aikatasossa, determinisitinen vs. stokastinen Signaalien kuvaaminen taajuustasossa Fourier-muunnos Deterministisen

Lisätiedot

11. Jatkuva-aikainen optiohinnoittelu

11. Jatkuva-aikainen optiohinnoittelu . Jauva-aiainen opiohinnoielu Sijoiusoheien hinojen ehiymisä voiaan arasella myös jauva-aiaisina prosesseina Iô-prosessi erisuuruise perioiohaise hinnanmuuose mahollisia voiaan oisinaan raaisa analyyisesi.

Lisätiedot

A B = 100, A = B = 0. D = 1.2. Ce (1.2 D. C (t D) 0, t < 0. t D. )} = Ae πjf D F{Π( t D )} = ADe πjf D sinc(df)

A B = 100, A = B = 0. D = 1.2. Ce (1.2 D. C (t D) 0, t < 0. t D. )} = Ae πjf D F{Π( t D )} = ADe πjf D sinc(df) ELEC-A7 Signaalit ja järjestelmät Syksy 5 Tehtävä 3. a) Suoran tapauksessa ratkaistaan kaksi tuntematonta termiä, A ja B, joten tarvitaan kaksi pistettä, jotka ovat pisteet t = ja t =.. Saadaan yhtälöpari

Lisätiedot

Tehtävä I. Vaihtoehtotehtävät.

Tehtävä I. Vaihtoehtotehtävät. Kem-9.7 Prosessiauomaaion perusee Teni 5.9.5 TÄMÄ PAPERI TÄYTYY EHDOTTOMASTI PALAUTTAA TENTIN MUKANA NIMI: (OS: ) OPINTOKIRJA: VIERAILULUENNOT KUUNNELTU: VALV. LASK: Tehävä I. Vaihoehoehävä. Oikea vasaus

Lisätiedot

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1) Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )

Lisätiedot

Älä tee mitään merkintöjä kaavakokoelmaan!

Älä tee mitään merkintöjä kaavakokoelmaan! AS-74. Alogie ääö vkokoelm v. Plu ei jälkee! Trk kokoelm ivumäärä! Älä ee miää merkiöjä kvkokoelm! Dymie mllie perukompoei. Sähköie kompoei Vu (reii) u() Ri() el (iduki) u() L di() d odeori i() C du()

Lisätiedot

YKSISIVUKAISTAMODULAATIO (SSB)

YKSISIVUKAISTAMODULAATIO (SSB) YKSISIVUKISTODULTIO SSB Tieoliikenneekniikka I 5359 Kari Kärkkäinen Osa 6 0 Yksisivukaisamodulaaion idea DSB:ssa inormaaio on redundanisesi kaheen keraan, s. LSB & USB. Toisen kaisan läheys riiää, olloin

Lisätiedot

Työ 2: 1) Sähkönkulutuksen ennustaminen SARIMAX-mallin avulla 2) Sähkön hankinnan optimointi

Työ 2: 1) Sähkönkulutuksen ennustaminen SARIMAX-mallin avulla 2) Sähkön hankinnan optimointi Ma-2.3132 Syseemianalyysilaboraorio I Työ 2: 1) Sähkönkuluuksen ennusaminen SARIMAX-mallin avulla 2) Sähkön hankinnan opimoini 1 yö 2 Aikasarjamalli erään yriyksen sähkönkuluukselle SARIMAX-malli: kausivaihelu,

Lisätiedot