Eksponenttiyhtälö ja logaritmi

Transkriptio

1 Eksponenttiyhtälö ja logaritmi 225. Valitse yhtälölle oikea ratkaisu. a) 3 = 9 b) 7 = 7 c) 2 = 16 = 1 = 2 = 3 = 4 a) = 2 b) = 1 c) = Päättele yhtälön ratkaisu. a) 10 = 100 b) 10 = c) 10 = 1 a) = 2, koska 10 2 = 100 b) = 6, koska 10 6 = c) = 0, koska 10 0 = Ratkaise yhtälö 2 = 5 funktion f() = 2 kuvaajan avulla. Anna vastaus yhden desimaalin tarkkuudella. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 1

2 Funktio saa arvon 5, kun 2, Tutki kokeilemalla, onko luku = 1,86 yhtälön likimääräinen ratkaisu. a) 5 = 9 b) 5 = 20 b) 6 = 28 a) 5 1,86 = 19,95 eli ei ole b) 5 1,86 = 19,95 20 eli on c) 6 1,86 = 28, eli on Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 2

3 229. Ratkaise yhtälöt. a) 4 = 16 b) 7 = 1 c) 10 = 0,1 d) = 4 a) 4 = b) 7 = c) 10 = 0, d) = Ratkaise yhtälöt funktion f() = 3 kuvaajan avulla. Anna vastaukset yhden desimaalin tarkkuudella. a) 3 = 5 b) 3 = 2 c) 3 = 1 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 3

4 a) 3 = 5 1,5 b) 3 = 2 0,6 c) 3 = 1 Kuvaaja on kaikilla :n arvoilla akselin yläpuolella. Yhtälöllä ei ole ratkaisua Määritä. a) log39 b) log c) log55 a) log39 on yhtälön 3 = 9 ratkaisu. Koska 3 2 = 9, log39 = 2. b) log on yhtälön 10 = ratkaisu. Koska 10 4 = , log = 4. c) log55 on yhtälön 5 = 5 ratkaisu. Koska 5 1 = 5, log55 = Ratkaise yhtälöt kahden desimaalin tarkkuudella. a) 9 = 40 b) 2 = 85 c) 0,7 = 0,05 a) = log940 = 1,678 1,68 b) = log285 = 6,409 6,41 c) = log0,70,05 = 8,399 8, Ratkaise yhtälöt kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. a) 6 = 2 b) 5 4 = 50 c) 3 7 = 45 a) = log62 = 0,3868 0,387 b) = log410 = 1,660 1,66 c) = log3(45:7) = 1,693 1,69 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 4

5 234. Suomen väkiluku oli vuoden 2015 alussa 5,47 miljoonaa ja väestönkasvu 0,38 % vuodessa. Väestönkasvun oletetaan jatkuvan samanlaisena. a) Laske arvio Suomen väkiluvulle vuonna b) Muodosta funktio f(), joka antaa arvion Suomen väkiluvulle, kun vuoden 2015 alusta on kulunut vuotta. c) Minä vuonna Suomen väkiluku ylittää arvion mukaan 6 miljoonaa? a) 1, ,47 milj = 5,574 milj 5,57 milj b) f() = 1, c) Lasketaan kuinka monta vuotta kestää, että väkiluku on kasvanut 6 miljoonaan: 1, = ,0038 = : = log1,0038( : ) = 24,383 eli 6 miljoonaa saavutetaan vuonna = 2039 Vastaus: a) Suomen väkiluku on noin 5,57 miljoonaa. b) f() = 1, c) Väkiluku ylittää 6 miljoonaa vuonna Yrityksen vuotuinen liikevaihto oli 1,85 miljoonaa euroa. Huonon taloudellisen tilanteen takia liikevaihto pieneni 10 % vuodessa. a) Laske yrityksen liikevaihto kolmen vuoden kuluttua. b) Muodosta funktio f(), joka ilmaisee yrityksen liikevaihdon euroina vuoden kuluttua, kun liikevaihdon lasku jatkuu samansuuruisena. c) Kuinka monessa vuodessa yrityksen liikevaihto on pudonnut alle miljoonan euron? a) 0, = ,35 miljoonaa b) f() = 0, Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 5

6 c) 0, = ,9 = : = log0,9( : ) = 5,838 eli kuudessa vuodessa Vastaus: a) Liikevaihto on 1,35 miljoonaa. b) f() = 0, c) Liikevaihto on pudonnut alle miljoonan kuudessa vuodessa Laurin palkkaa korotetaan joka vuosi 2 %. Kuinka monen vuoden kuluttua Laurin palkka on 50 % suurempi kuin ennen korotuksia? 1,02 = 1,5 = log1,021,5 = 20,475 eli 21 vuoden kuluttua Vastaus: Palkka on 50 % suurempi 21 vuoden kuluttua Ratkaise yhtälöt. a) 5 1 = 25 b) 2 2 = 32 a) 5 1 = = = 1 : ( 1) = 1 b) = = = 1 : ( 4) = Minkä luvun a) 6-kantainen logaritmi on 3 b) 4-kantainen logaritmi on 1? a) 6 3 = 216 b) 4 1 = 1 4 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 6

7 239. Sievennä. a) log44 15 log b) 5 c) 13 log 7 a) = log = 4 15 samankantaisuus = 15 b) log52 on yhtälön 5 log5 2 = 2 ratkaisu, joten 5 = 2 log 7 1 log 7 log c) Piirrä laskentaohjelmalla funktioiden kuvaajat samaan koordinaatistoon. a) f() = 2 ja g() = log2 b) f() = 3 ja g() = log3 c) f() = 0,4 ja g() = log0,4 Minkä säännönmukaisuuden havaitset kuvaajissa? Kuvaajat ovat toistensa peilikuvia suoran y = suhteen Ratkaise yhtälöt. a) 10 = b) 7 = 7 c) = 1 a) 10 = b) 7 = c) = Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 7

8 242. Ratkaise yhtälöt funktion f() = 0,6 kuvaajan avulla. Anna vastaukset yhden desimaalin tarkkuudella. a) 0,6 = 3 b) 0,6 = 1 c) 0,6 = 0,5 a) 2,2 b) Kuvaaja on kaikilla :n arvoilla -akselin yläpuolella. Yhtälöllä ei ole ratkaisua. c) 1, Määritä. a) log28 b) log416 c) log100,1 a) log28 on yhtälön 2 = 8 ratkaisu. Koska 2 3 = 8, log28 = 3. b) log416 on yhtälön 4 = 16 ratkaisu. Koska 4 2 = 16, log416 = 2. c) log100,1 on yhtälön 10 = 0,1 ratkaisu. Koska 10 1 = 0,1, log100,1 = 1. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 8

9 244. Määritä a) luvun 64 kaksikantainen logaritmi b) luvun 1 9 kolmikantainen logaritmi. a) log264 on yhtälön 2 = 64 ratkaisu. Koska 2 6 = 64, log264 = 6. 1 b) log3 on yhtälön ratkaisu. Koska 3 9, 1 log Ratkaise yhtälöt kolmen desimaalin tarkkuudella. a) 2 = 14 b) 10 = 150 c) 0,95 = 0,4 a) log214 = 3,8073 3,807 b) log150 = 2,1760 2,176 c) log0,950,4 = 17, , Ratkaise yhtälöt kahden merkitsevän numeron tarkkuudella. a) 3 6 = 24 b) 8 5 = 1 c) 0,7 180 = 90 a) 3 6 = 24 : 3 6 = 8 = log68 = 1,16 1,2 b) 8 5 = 1 : 8 5 = 1 : 8 = log5(1 : 8) = 1,29 1,3 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 9

10 c) 0,7 180 = 90 : 180 0,7 = 0,5 = log0,70,5 = 1,94 1, Intiassa arvioitiin olevan tiikereitä noin vuonna Suojelutoimenpiteiden ansiosta tiikerikanta on sen jälkeen kasvanut 7 % vuodessa. a) Kuinka paljon tiikereitä oli Intiassa vuonna 2014? b) Minä vuonna tiikerien määrä Intiassa ylittää 5 000,jos kasvu jatkuu samanlaisena? a) 1, = b) 1, = 5000 log1,07(5 000 : 1 700) = 15,94 eli 16 vuoden päästä, mikä tarkoittaa vuotta = Vastaus: a) Tiikereitä oli b) Määrä ylittää vuonna Pienen kunnan asukasluku on 1 090, ja se on viime vuosina pienentynyt 1,4 % vuodessa. Asukasluvun pienenemisen oletetaan jatkuvan samanlaisena. a) Arvioi kunnan asukasluku viiden vuoden kuluttua. b) Kuinka monen vuoden kuluttua kunnan asukasluku alittaa arvion mukaan 800 asukasta? a) 0, = 1015, b) 0, = 800 log0,986(800 : 1 090) = 21,93 eli 22 vuoden kuluttua Vastaus: a) Asukasluku on b) Asukasluku alittaa vuoden kuluttua Paperitehtaassa asetetaan tavoitteeksi vähentää päästöjä 3 % vuodessa. Kuinka monen vuoden kuluttua päästöt ovat vähentyneet 30 %, jos tavoite toteutuu? 0,97 = 0,7 log0,970,7 = 11,709 eli 12 vuoden kuluttua Vastaus: Tavoite toteutuu 12 vuoden kuluttua. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 10

11 250. Ratkaise yhtälö. a) = 36 b) = 8 a) = 6 2 samankantaisuus 4 1 = = 3 : 4 = 3 4 b) = 2 3 samankantaisuus + 3 = = 3 : ( 2) = Ratkaise yhtälö. a) log3 = 4 b) log5 = 3 a) = 3 4 = 81 b) = = Sievennä lauseke. a) 2 9 log4 3 log 2 b) 4 c) 10 2lg6 a) = log22 9 logaritmin perussääntö 2 = 2 9 samankantaisuus = 9 b) log43 on yhtälön 4 log4 3 = 3 ratkaisu, joten sijoittamalla se :n paikalle saadaan 4 3 2lg 6 lg c) 2 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 11