Kertausosa. Kertausosa. 3. Merkitään. Vastaus: 2. a) b) 600 g. 4. a)
|
|
|
- Tommi Nurminen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Kertusos Kertusos ). ) : j ) 0 :( ) c) :( ). Merkitää merirosvorht (kg) sukltrffelit (kg) ) 7, 0 hit: /kg hit: 7 /kg ) 00 g 0,kg 7 0,,0,,0, 0, (kg) :. ) Vstus: ) 7, 0 ( ) ) 00 g. )
2 Kertusos ) ) 0 ijoitet htälöö. ( ) 0 Vstus: ), ), 0 ijoitet htälöö epätosi Yhtälöprill ei ole rtkisu. Vstus: ) Kikki suor pisteet. ) Ei rtkisu. ). ) ( ) 0 0 tosi Yhtälöprill ääretö määrä rtkisuj. Kirjoitet htälöt rtkistuss muodoss. j : ( ) : Leikkuspisteitä o siis ääretö määrä, mutt iide o toteutettv suor htälö. ) ( )
3 Kertusos : c) ) ( 0 : Vstus: ), ) c), 0 7. ) ( ) ( ) 0 : ) ( ) ( ), 7 0,, , 0, 0, epätosi ei rtkisu Vstus: ) 0, ) ei rtkisu 0
4 Kertusos. Merkitää kpl pkkuste lkm. kpl pkkuste lkm. 0. Merkitää Pek tutiplkk ( ) Jri tutiplkk ( ) 70 0 ( ) ( 0) Vstus: Khde kpplee pkkuksi 0 kpl Kuude kpplee pkkuksi 0 kpl Ku, ii :9 9. Merkitää hdessä tksiss mtkustvie lkm. hdessä ussiss mtkustvie lkm. (keskimääri) Vstus: Pek tutiplkk, Jri tutiplkk. Merkitää lukuj kirjimill j ( 0) : Vstus: Bussiss spui keskimääri mtkustj. Tksiss spui keskimääri mtkustj. ijoitet htälöö. ( ) ( ) 7 : Ku 7, ii ( 7). Vstus: Luvut ovt -7 j.
5 Kertusos. Merkitää,-prosettie liuos (l) 0,0-prosettie liuos (l) Liuokse määrä uol määrä,-pros. 0,0-pros. Koko liuos, 0,0 0,0 0,0, d htälöt:, 0,0 0,0 0,0,, 0,0 0,0 0, 0,0 0,0 0, 0,0 0,0 0, 0, 0, Ku 0,, ii 0,, 0,9 0, ( 0,0) 0, 0, 0,0... Vstus:,-prosettist liuost 0, l 0-prosettist liuost 0,9 l. ) z z 0 z Muodostet kksi htälöpri j elimioid iistä sm tutemto. () z z z 0 () z 0 z z 0 z 0 0 z d uusi htälöpri: z 0 z z 0 z 9z z Ku z, ii 0 0 Ku z j, ii :( 0)
6 Kertusos ) z z 0 I II III. ) t r s ( s t ) ( s,t, s ( s t ) ( r ) ) Rtkist htälöstä I tutemto j sijoitet se muihi htälöihi. z z z d htälöpri: z 0( z ) z 0z 0 z 0z z 0 0z z z Ku z, ii 9 Ku z j :( ) :( ), ii 0 z. t r s s t s t s s t r r s t s r 0s t ijoitet s khtee muuhu htälöö. r t r t r 0 t r t d htälöpri: r t r t ( ) r 9t r t 7t t Ku t, ii r r 0 r r : Vstus: ),, z ) 0,, z
7 Kertusos ) 7( c ) 9( c ) c ( ) 7c 7 9 9c c 0 7 7c 9 9c 0 0 c Muodostet kksi htälöpri j elimioid iistä sm tutemto. () 7 7c 9 9c 0 c 9 9c 0 c () 7 7c 0 c c 0 c 9c 7 d uusi htälöpri: c 9c 7 c 7c c c 0, ( ) Ku c 0,, ii 9 ( 0,) 7 9, 7,, : Ku c 0, j,, ii 7 (,) 7 ( 0,) 0,, Vstus: ) r, s, t ),;, c 0,. Preli c (, ) (, ) :( ) ( ) ( ) c ( ) ( ) c (, ) c d htälörhmä: c c c Muodostet kksi htälöpri j elimioid iistä sm tutemto c. () c c c c 0 ( )
8 Kertusos () c c ( ) z,z c c d htälöpri: 0 ( ) 0 Ku, ii ( ) 9 : Ku j, ii c c c z,z z z z z Ku z, ii, Ku, ii ( ) Vstus: ll kpl, Ae kpl j irkk kpl. 7. ) Vstus:. Merkitää ll ptukt (kpl) Ae ptukt (kpl) z irk ptukt (kpl) ) < d htälöt: z,z ijoitet khtee muuhu htälöö.
9 Kertusos c). ) : < < > ) ) :( 9. uort: 0, j : 0. ) 0 ) 0 0 : : 0
10 Kertusos c) < 9 < > 0 < 9 < > < 9 < > : :. ) uuri ti piei rvo löt trksteltv moikulmio kärkipisteissä.. kärkipiste (0, 0). kärkipiste suor -kseli leikkiskoht, (0, ). kärkipiste suor j leikkuspiste: : 0, 0,, d piste (0,;,).. Merkitää ruisvoileipie lkm. vehävoileipie lkm. Ruis Vehä Yhteesä m Kikkuviipleet Juustoviipleet 0 d epähtälöt: : 0 : 0 0, 0, 0 0. kärkipiste suor ollkoht 0 :( ), d piste (,; 0). Kärkipiste Lusekkee rvo (0, 0) piei (0, ) 0 (0,;,) 0,,, suuri (,; 0), 0, ) uuri j piei rvo etsitää tutkimll suorie c joukko. Kikki tälliset suort ovt hdesuutisi origo kutt kulkev suor 0 kss ( ). 7
11 Kertusos Piei vkiotermi c rvo ättäisi olev suorll, jok sivu tsoluett pisteessä A. uuri j leikkuspiste: 7 7, :( ) Lsket muodostuee moikulmio kärkipisteet. A: ijoitet htälöö. iis A (, ).. Ku,, ii,,. A,;, iis ( ) Luseke s tällöi rvo,,,. Kikki tämä suor läpuolell olevt kulkevt tsoluee poikki. Vkiotermi voi siis suuretu rjtt eli suurit rvo ei ole. Vstus: ) uuri rvo,, piei rvo 0 ) uurit rvo ei ole, piei rvo, B: ijoitet htälöö. iis B (, ). C: 7 iis C (, 7). :( ) Kärkipiste Lusekkee, rvo (, ), 7, suuri (, ), 9, 9 (, 7),7, piei
12 Kertusos. Iso kori Piei kori Yhteesä m Kuult Pullot 70 Voitto,0,0 Optimoitv luseke: Voitto,0,0 ( ) Rjoittvt ehdot (tulukost): Rtkist epähtälörhmä. Piirretää suort koorditistoo. Lsket suotuis tsoluee kärkipisteet, sillä optimirvo sd josski kärkipisteessä. A (0, 0) B (0, 0) uor 0 -kseli leikkuskoht. C: uorie 0 j 70 leikkuspiste Ku 0, ii iis C (0, 0). D,0 uor 70 ollkoht. Lsket optimoitv lusekkee rvo kärkipisteissä. Kärkipiste,0, 0 (0, 0),0 0,0 0 0 (0, 0),0 0,0 0 7 (0, 0),0 0,0 0 77,0,0,0 0 7 suuri Nollkohdt: : :( ) uuri voitto, ku 0 j 0. Vstus: Isoj korej 0 kpl j pieiä korej 0 kpl. 9
13 Kertusos. Huom! Kirj. pioksess o virhe tehtäväoss. Yksikköhitoje tulisi oll: Rehu A 0,0 j Rehu B 0,0. Merkitää rehu A rehu B Tulukost sd optimoitv luseke j rjoitusehdot. Optimoitv luseke: kustukset 0,0 0,0 ( ) Rjoittvt ehdot: ,, 0, Rtkist epähtälörhmä. Piirretää suort koorditistoo. Kosk suotuis lue ei ole rjoitettu, optimirvo etsitää tutkimll suorie 0,0 0, 0 c joukko. Kikki tälliset suort ovt hdesuutisi origo kutt kulkev suor 0,0 0,0 0 kss. Piirretää siis suor 0,. Lsket suorie 0, j, leikkuspiste A: 0,,, 7 :, Ku, ii 0,. iis A (, ). Vstus: ksikköä rehu A ksikköä rehu B. Merkitää slkku (lkm.) iltlukku (lkm.) Rk-ie (kg) Töik (h) Hit ( ) lkku,0 0 Lukku 0, 0 Yhteesä m 00 0 Nollkohdt:, 0,,7 0, 0 0, 7 :(,) :( 0,) Tulukost sd: Optimoitv luseke mtitulo 0 0 Rjoitusehdot: 0 0,0 0,
14 Kertusos Rtkist epähtälörhmä. Piirretää suort. Lsket optimoitv lusekkee rvo kärkipisteissä. Kärkipiste 0 0 (0, 0) (0, 0) (0, 0) (0, 0) suuri uuri mtitulo, ku 0 j 0. Vstus: lkkuj 0 kpl j iltlukkuj 0 kpl. Nollkohdt: :( ) :( ) Lsket suotuis luee kärkipisteet, sillä optimirvo sd josski kärkipisteessä. A (0, 0) B (0, 0) uor 0 -kseli leikkuskoht. C: uorie 0 j 00 leikkuspiste : 7. ) ). ) ± 9 ( ) ± ± ti joist ei kä, kosk > 0. iis eli. jäse o. Ku 0, ii iis C (0, 0). D (0, 0) uor 00 ollkoht.
15 Kertusos ) 0 ± ( ) ± 0,9... ti,0... Kosk ei ole positiivie kokoisluku, ii luku ei kuulu jooo. Vstus: ) o ) ei ole 9. ),,, eurv jäse sd lisäämällä edellisee luku. M ),,, eurv jäse sd esimerkiksi lisäämällä ti vähetämällä luvust luku. ( ) ( ) ( ) M ( ) c),,, 9 eurv jäse sd jkmll edellie luvull eli kertomll luvull. M Vstus: ) ) c) ( ) 0. ) M 0 ( ) 0 d ) Yleie jäse edellise kohd muk o c) viikko päivää 7 (sivu) Vstus: ) 0,,,, ) c) 7 sivu
16 Kertusos., -, -7, -, ) Aritmeettie joo d 7 ( ) Yleie jäse d ( ) ( ) ( ) ) 79. 7,, 7,,... Aritmeettie joo 7 d 7 7 ) Tutkit, milloi ( ) ( ) ( d 7 ) , :( ) Kosk ei ole positiivie kokoisluku, ii 7 ei ole jooss. ) Tutkit, milloi ( ) ( ) :( ). Aritmeettie lukujoo d 7 Yleie jäse ) ( ) ( ) d ) Yleie jäse, ku 7 j d 7 : 7 ( ) ) Aritmeettie joo,90m (etäiss rt 0 m) 0 (,90 0,) m,0 m,90 0,,70 m,90 0,,0 m M,90 0, (m) etäiss rt metriä ) 0 m päässä rst eli etsitää 0. jäsetä jooss.,90 0 0, 0,9 (m) 0 Vstus: ),90 0, ) 0,9 m Kosk o positiivie kokoisluku, ii 7 o jooss. Vstus: ) ei ole ) o
17 Kertusos. ) Kerrokset muodostvt ritmeettise joo: (m),, (m), (m), (m) M ( ),,,, 7, (m) ) Lsket, milloi 90, (m)., 7, 90,, :, Vstus: ), 7, (m) ). kerros Lsket, motko luku summss o. 7 0 ( ) ( ) ( d 7 ) ,, 7, 9, Aritmeettie joo d 7 9 :( ) > 000 Lsket esi, milloi ) Aritmeettie summ 9 d 9 Lsket, motko luku summss o. 7 ( ) ( ) d : 9 7 ) ( ) ( 7) Aritmeettie summ 0 d Yleie jäse ( ) ( ) ( ) d ± ± 00,7... ti,7... joist,7... ei kä, kosk > 0. : ( 000)
18 Kertusos Jos, ii 90 9 < Jos, ii 9 0 > Vstus: vähitää jäsetä., d M ( ) (leie jäse) teri lukee. päivää: 9 (sivu) 9 Vstus: 9 sivu 9. ) (m) ) Viimeise sekui ik v k : m s,0 km 0, km h h v k Tutkittv sekui ik v k : v 0 m s 0,0 km h k Vstus: ) 0 m ) v 09 km k h c) v km k 0 h 0 km h 0. 0, d 0 ritmeettie joo ) Yleie jäse d 0 ( ) ( ) ( 0) ) km h (m) M ( ) (m) Vstus: ) ) 900 ktsoj. sekui ik kulkem mtk: (m) Kokoismtk: 0 (m).,, 7, 7, Geometrie joo 7, q ) Yleie jäse q ( ) 7 ) ( ) ( ) 7 Vstus: ) ( ) ) 7
19 Kertusos. Geometrie joo 000, 00, 0, , q Yleie jäse q ) Tutkit, oko, ,, 000 ( ) lg lg( 7,9 0 ) 0 lg( 7,9 0 ), 7 lg :000 ) Tutkit, oko 0, ( ) lg lg(,7 0 ) 0 0,000, (,7 0 ) lg lg 0,9...,9... :000 0 :lg 0 Kosk ei ole positiivie kokoisluku, ii luku 0,00 ei ole jooss.. Geometrie joo q 0,, 7 Yleie jäse 0, 7 7 0, 0, :0, q. 0 mi kuluttu 0 mi kuluttu 0 mi kuluttu M ( ) 0mikuluttu Lsket, milloi ( ) lg lg07 lg07 lg 9 : :lg (kteeri) Tällöi ik o kuluut 0 mi 0 0 mi 00 mi ( h 0 ( ) mi) Vstus: 00 mi kuluttu ( h 0 mi) Vstus: ) o, 7. jäse ) ei ole
20 Kertusos Geometrie joo, kosk väheemistä, %. Mtkustji o siis i jäljellä 9, % edellisvuodelt. v. kuluttu: , 9 v. kuluttu:. vuode kuluttu , 9 M , 9 ) 0 vuode kuluttu ,9 77,... 0 ) < 00 Lsket esi, milloi ,9 00 :0900 0,9 09 lg 0,9 lg :lg 0,9 09 lg 09 lg 0,9, Jos, ii ,9 7,9... > 00. ) Geometrie summ:, q Lsket esi, motko luku summss o. Yleie jäse: q ( ) lg lg lg9 lg : :lg ) 0, 0,... 0, Geometrie summ:, q 0,, 0, 7, ,7 0, 0 Jos, ii ,9 7,... < 00 Vstus: ) 7700 mtkustj ) vuode kuluttu 7
21 Kertusos Geometrise summ leie jäse, q, q Lsket esi, milloi , 99, 00, lg lg 00, lg 00, lg,97... Jos, ii 0 < Jos 9, ii 9 0 : 9 > :lg Jott 999, ii summss pitää oll luku ( ). Tällöi 7. Vstus:. Geometrie joo: q Määritetää esi luku. ( ) : q 0 Vstus:, 0 9. ;,;,;,9; Geometrie joo:,, q,, > Lsket esi, milloi 000., 000,, 0,,,, lg, lg lg lg, : 9,... ( 0,) ( ) Jos 9, ii 9, 9 97,9... < 000, Jos 0, ii 0, 0 0,0... > 000, Vstus: vähitää 0 jäsetä
22 Kertusos 0. l 0,9 l 0,9 l M 0,9 l Geometrie joo: l q 0,9 (päivää) Khde viiko ik i poimi hteesä 0,9 l,... l l 0,9. v. 0,00 ( ) v.,00,00 0,00 ( ) v.,0 0,00,00,00 0, 00 M v.,0 7 0,00...,00, 00 Rh o tilillä (ilm viimeistä tlletust):, 0,00, q,0 7,0,00,00,0 7,... ( ) Vstus: 7, 0 7, 0,0,0m 7,,0 0,0,0 m 7, ( 0,0) 0,0,0 0 (,0 ) m 9,70 9,70 m,0 0 (,0 ) m 0, m 0,00 ( ) Vstus: 0,00. Aluss timi 00 viiko kuluttu 0,000 0 viiko kuluttu 0,0 00 0,00 0 M 0 viiko kuluttu 0 9 0,0 00 0, kpl( ) 0, q 0,0 0 0,0 0, ,0 0, Vstus: 00 tit 0. Merkitää tlletettv summ kirjimell m. Aluss m ( ) v.,0m m v.,0 m, 0m m M 0 0 v.,0 m..., 0m (viimeise koro lisäkse jälkee),0m, q,0, 0. ) 7,,,, ) , 0, 0 ( ),,... ( ) 9
23 Kertusos. ),,,., Geometrie joo: q Alttie säätö: q Rekursiivie säätö: eurv jäse sd jkmll edellie luvull.,,,... ) 0,,,, Aritmeettie joo: d 0 Alttie säätö: d 0 ( ) ( ) 0 ( ) Rekursiivie säätö: eurv jäse sd vähetämällä edellisestä luku. 0,,,... Fiocci,, , 0,00 ( ) :, 0,00, 7,9 ( ) ( 0,00 ) :, ( 0,00 ), ( 0,00 7,9) 7,... :, 0,00 ( ),99... :, ( 0,00 ) 0,... :, ( 0,00 ) 97, ,9 7 :, ( 0,00 ) 7 0,7... :, ( 0,00 ) ,0... 0
24 Kertusos 9 :, ( 0,00 ) 9 00,... 0 :, ( 0,00 ) ,... Peurkt vkiituu. 00 ksilöö.. Hrjoituskoe. ) : : Muodostet htälöpri: 7 : Ku 7, ii iis leikkuspiste (7, ) ) Muodostet htälöpri: 0 0 ( ) Ku, ii 0 0 Vstus: ) (7, ) ),. Joo 0, 7,,, Aritmeettie joo 0, d Alttie säätö: d 0 ( ) ( ) 0 ( ) :( ) Rekursiivie säätö: eurv jäse sd vähetämällä edellisestä luku. 0,,,...
25 Kertusos. Preli htälö c ijoitet etut pisteet htälöö: c c c 0 : 0) (, : ), ( ) ( ) ( : ), ( d htälörhmä: 0 9 c c c Muodostet kksi htälöpri j elimioid iistä sm tutemto c. () ) ( c c c c () 0 9 ) ( c c 0 9 c c d htälöpri: ) ( Ku, ii : 9 ) ( 7 c c c Preli o Vstus:. ),, 7, Aritmeettie joo 7 d Yleie jäse ( ) ( ) d Lsket, milloi. 0 : 0 iis 0 )...,,, Geometrie joo q
26 Kertusos Yleie jäse q. 0. termi:,7,. esimmäise termi summ:,, Vstus: ). jäse ), j,.. päivä (mi). päivä,0 (mi). päivä,0 (mi) M. päivä,0 (mi) ) Joo. jäse:,0 mi,0,7...mi mi mi ) Kutoiluu kätetää ik 0 päivä ik: 0,0 0,0 097, mi (h) Lsket muodostuee moikulmio kärkipisteet, sillä optimirvot lötvät kärkipisteistä. A: uorie j leikkuspiste. iis A (, ) B: uorie j leikkuspiste. iis B (, ) C: uorie j leikkuspiste ,7 :( ) 0, iis C (,7; 0,) Vstus: ) mi ) h
27 Kertusos Kärkipiste Lusekkee rvo (, ) ( ) (, ) piei (,7; 0,) 7 0, suuri Vstus: uuri rvo 0, pisteessä (,7; 0,), piei rvo pisteessä (, ) 7. Rull ulkosäde,0 cm sisäsäde, cm,0 cm, cm Rullss olev pperi hteispksuus,0 cm, cm,7 cm 7, mm 7, Rullss o 7 kerrost. 0, isimmä pperikerrokse pituus: π, cm,7... cm Uloimm kerrokse pituus: π,0 cm 7,99... cm Pperikerrokse säde o i sm verr (0, mm) suurempi kui edellise säde, jote kerrokse pituus o i sm verr ( 0,π mm) suurempi kui edellise kerrokse pituus. Pituudet muodostvt siis ritmeettise joo. Pperi kokoispituus:,7... 7, cm 979,... cm 9700 cm (97m). Hrjoituskoe. ),,, ) Aritmeettie joo, d c) Geometrie joo, q.. viikko 00. viikko, viikko,0 0,. viikko,,0 9, 0. viikko,9,0 0,. viikko,, 0,0 (hekilöä) Vstus: 97 m
28 Kertusos Tuluko perusteell sd joo rekursiivisess muodoss, 0 00,,,... Vstus:, 00,,,... viiko kuluttu hekilöä sir. Jos, ii 09 < Jos, ii 90 > Trvit siis soittokierrost.. Liis hlö Vstus: ) 0 hekilöä ) vähitää soittokierrost X X X X X X hlö. soittokierros hlö. soittokierros Huomt, että kuulijoide määrä kksikertistuu i seurvll soittokerrll. Muodostet geometrie joo., q Yleie jäse q ) 0. kierroksell ) > 00 Lsket esi, milloi 00 ( ) lg lg lg lg,9... ( ) : ( ) :lg. Li 7000 ( ) Korko, % vuode korko:, %, % vuode kuluttu: Li: ( ) 700 ( ) Korko: 0, ( ) vuode kuluttu: Li: ( ) 000 ( ) Korko: 0,0 700 ( ),7 ( ) vuodess li lheetää Li tkisimksu siis kestää 7000 (vuott) 9000 Korot muodostvt joo:. 0, , ( ) 0, ,0 00 0, ( ) 0, ,0 00 Korot muodostvt ritmeettise, joss 0, j d 0,0 00 7,.
29 Kertusos Korkoje mksu o kert. Viimeie koro osuus o 0,0 00 7, Korko mkset hteesä: 7, 009 Vstus: 009, tkisimksu kestää v. Ku 0, ii,0 0 0,0 0,0 Ku, ii z 7 Vstus: 0 mukki :0,0. Merkitää mukit (kpl) jff (kpl) z kiveäisvesi (kpl) Hit Pullot Hit Mukki,0,0 Jff,0,70 Vesi z,00 z,0 Tulot,00 7,0 d htälöt:,0,0,00z,00 z 7,0,70,0z,0 z 7 z 7 ijoitet z 7 muihi htälöihi:,0,0,00( 7 ),00,0,70,0( 7 ),0,0,0 7,00,00,0,70 9,,0,0,0 0,0,0 0,0 0,0 0 ( ),0 0,0,0 0,0. Merkitää lk A (m) lk B (m) Lk A (m) Lk B (m) ht. mi (g) Vill 0 0 Keiokuitu Hit ( ) 0 0 Optimoitv luseke: Rjoittvt ehdot: , kulut 0 0 Piirretää suotuis lue. Lsket suorie ollkohdt:, 0, 0,7 :( )
30 Kertusos 0 :. Hrjoituskoe. ),,, :,... Kosk ei ole positiivie kokoisluku, ii 7 ei kuulu jooo. ) ( ),,,... Optimoitv lusekkee piei rvo etsitää tutkimll suorie c joukko. Kikki tälliset suort ovt hdesuutisi suor kss eli. Piei rvo sd kuv muk pisteessä A: uorie j, leikkuspiste., 0,9 : 0, Ku 0,, ii 0,, 0,. ( ) 7 7 Kosk o positiivie kokoisluku, ii 7 kuuluu jooo. : c),,,... 7 :( ) Ei rtkisu, sillä o i positiivie. Luku 7 ei siis kuulu jooo. Vstus: ) ei kuulu ) kuuluu c) ei kuulu iis A (0,; 0,) Kulut ovt tällöi 0 0, 0 0,, ( ) Vstus: Lk A 0, m j lk B 0, m 7
31 Kertusos. Kupuki A Kupuki B d 07 q, 0 Aritmeettie joo Geometrie joo Yleie termi d 7000 ( ) ( ) ( 07) Yleie termi q 7000,0,0 z 0 0,0,0 0,0z 0, 0,0z 0,0 0,0z 0, 0 00 Veijo osuus,0,0 00 z 00 0,0 0,0 0,0 ) vuode kuluttu. Kupuki A Kupuki B 7000,0 7000,0 70, ) 70, %,0...% % 7000 Vstus: ) A: 00 B: 00 ) %. Merkitää Ahdi osuus ( ) Risto osuus ( ) z Veijo osuus ( ) Vstus: pekkiriviä 9 d Aritmeettie joo (pekit) ) ( 0 ) d (pekkiä) ) Lsket, milloi ( ) ( ) 9 d z 0,0 0,0z ijoitet, 0 khtee muuhu htälöö.,0 z 0,0 0,0z ( ) :
32 Kertusos ± ( 0) ±,79... ti,79... joist,79... ei kä, kosk > 0. Pikkumero 0 sijitsee siis. rivillä. Lsket esi, motko pikk o esimmäisellä rivillä Yli jää siis 0 00 (pikk) iis pikkumero 0 o. rivillä. pikk vsemmlt lukie. Vstus: ) 00 pekkiä ). rivillä,. pikk vsemmlt. Huom! Kirj. pioksess o virhe tehtäväoss. Vlmistuksee kätettävä kokoisik o 7 h (ei 0 h). 0 0 Piirretää suort j etsitää suotuis lue. uorie ollkohdt (piirtämistä vrte): : : Merkitää tuolit (kpl) pödät (kpl) Vlmistus (h) Mlus (h) Hit ( ) Pötä 9, 0 Tuoli 00 Yhteesä m 7 90 Optimoitv luseke tulot 00 0 Rjoittvt ehdot: 0 0 9, 7 90 Lsket muodostuee moikulmio kärkipisteet, sillä optimirvo löt kärkipisteistä. A (0, 0) B: uor -kseli leikkuskoht. B (0, ) 9
33 Kertusos C: uorie j leikkuspiste. 0 Ku 0, ii 0 0 iis C (0, 0) : D: uor ollkoht. D (, 0) Lsket tuloje 00 0 rvot kärkipisteissä. Kärkipisteet 0 0 (0, 0) (0, ) (0, 0) (, 0) suuri.. vuotispäivä 00 ( ). vuotispäivä, ( ). vuotispäivä,0 00, M. vuotispäivä, ,0 00 (viimeistä tlletust ei tehdä) Geometrie summ 7,,000, q,0 7,0,0 00,0,..., ( ) Vstus:, q Geometrie summ q, 7 uurimmt tulot sd pisteessä (0, 0) eli pötiä vlmistet 0 kpl j tuolej 0 kpl. >,7 0 Vstus: 0 kpl pötiä, 0 kpl tuolej Lsket esi, milloi,7 0.,7 0,7 0 0, 0 lg lg,0 0,0 0 lg (,0 0 ) (,0 0 ) lg 9,7... ( ) ( ) lg 0
34 Kertusos Jos 9, ii 9, ,7 0 Jos 0, ii 0, >,7 0 O siis lskettv vähitää 0 termiä, jott summ littää,7 0. Vstus: vähitää 0 termiä <
Kertaustehtävien ratkaisut
Rtkisuist Nämä Trigoometriset fuktiot j lukujoot kurssi kertustehtävie j -srjoje rtkisut perustuvt oppikirj tietoihi j meetelmii. Kustki tehtävästä o yleesä vi yksi rtkisu, mikä ei kuitek trkoit sitä,
2.3.1. Aritmeettinen jono
.3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo
Kertausosa. Kertausosa. Verrattuna lähtöarvoon kurssi oli laskenut. Kalliimman tukkuhinta 1,2 480 = 576 Kalliimman myyntihinta 1,3
Kertusos. ) Edullisemm hit 480, = 64 Klliimm tukkuhit, 480 = 576 Klliimm myytihit, 576 = 748,80 b) 748,80 64 = 0,666... = 6,66% 7% 748,80. Liittymä puhelimell mks khde vuode ik 4 8,50 = 684. Liittymä ilm
lim + 3 = lim = lim (1p.) (3p.) b) Lausekkeen täytyy supistua (x-2):lla, joten osoittajan nollakohta on 2.
Mtemtiikk III 0600 Kurssi / Differetili- j itegrlilske jtkokurssi Tee 7 tehtävää ) Määritä lim ( ) ) + b) Määritä vkio site, että luseke ( ) + + ( )( ) ( + + ) + + + + + lim + lim lim (p) o jtkuv myös
6 Kertausosa. 6 Kertausosa
Kertusos Kertusos. ) b). ) b). ) ( ( ) : ) ( : ) b) { : [ ( ) ]} { :[ - ]} { : } -{ - } -{} c) ( ) : - ( ) ( ) ( ) ( 9) 9 9 Kertusos. ) ( ) b) ( ). ) ) ) b) / / c) : 7 7. ) ) ) b) Kertusos c) : 7 ( 9)
( ) Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 321 Päivitetty 19.2.2006. Saadaan yhtälö. 801 Paraabeli on niiden pisteiden ( x,
Pyrmidi Anlyyttinen geometri tehtävien rtkisut sivu Päivitetty 9..6 8 Prbeli on niiden pisteiden (, y) joukko, jotk ovt yhtä kukn johtosuorst j polttopisteestä. Pisteen (, y ) etäisyys suorst y = on d
Geometrinen lukujono. Ratkaisu. a2 = 50 4 = 200 a3 = = 800 a4 = = 3 200
Geometrie lukujoo 7. Geometrise lukujoo esimmäie jäse o = 0 j peräkkäiste jäsete suhde =. Määritä lukujoo kolme seurv jäsetä. = 0 = 00 = 0 = 800 = 0 = 00 8. Geometrie lukujoo lk seurvsti: ), 0, 0, b) 000,
TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Jonon neljä ensimmäistä jäsentä saadaan sijoittamalla n= 1, n= 2, n= 3 ja n = 4 lausekkeeseen
TEHTÄVIEN RATKAIUT Luku 5. 0. ) Joo eljä esimmäistä jäsetä sd sijoittmll,, j lusekkeesee +. + + 5 + + 7 + 6+ 9 + 8 + b) ijoitet,, j lusekkeesee + ( ). + ( ) + ( ) + + ( ) + ( ) + Vstus: ) 5, 7, 9, b),,,
Syksyn 2015 Pitkän matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 0 Pitkän mtemtiikn YO-kokeen TI-Nspire CAS -rtkisut Tekijät: Olli Krkkulinen Rtkisut on ldittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmll kättäen Muistiinpnot -sovellust. Kvt j lskut on kirjoitettu Mth -ruutuihin.
1.1. Laske taskulaskimella seuraavan lausekkeen arvo ja anna tulos kolmen numeron tarkkuudella: tan 60,0 = 2,950... 2,95
9..008 (9). Lskime käyttö.. Lske tskulskimell seurv lusekkee rvo j tulos kolme umero trkkuudell: 4 + 7 t 60,0 + Rtkisu: 4 + 7 =,950...,95 t 60,0 + Huom: Lskimiss o yleesä kolme eri kulmyksikköjärjestelmää:
3 Lukujonot matemaattisena mallina
3 Lukujoot matemaattisea mallia 3. Aritmeettie ja geometrie joo 64. a) Lukujoo o aritmeettie joo, joka yleie jäse o a 3 ( ) 4 34 4 4 b) Lukujoo o geometrie joo, joka yleie jäse o c) Lukujoo o geometrie
Neliömatriisin A determinantti on luku, jota merkitään det(a) tai A. Se lasketaan seuraavasti: determinantti on
4. DETERINANTTI JA KÄÄNTEISATRIISI 6 4. Neliömtriisi determitti Neliömtriisi A determitti o luku, jot merkitää det(a) ti A. Se lsket seurvsti: -mtriisi A determitti o det(a) () -mtriisi A determitti void
ja differenssi jokin d. Merkitään tämän jonon n:n ensimmäisen jäsenen summaa kirjaimella S
3.3. Aritmeettie summ 3.3. Aritmeettie summ Mikä olisi helpoi tp lske 0 esimmäistä luoollist luku yhtee? Olisiko r voim käyttö 0 + + + 3 + + 00 hyvä jtus? Tekiik vull se iki toimii. Fiksumpiki tp kuiteki
1.3 Toispuoleiset ja epäoleelliset raja-arvot
. Toisuoleiset j eäoleelliset rj-rvot Rj-rvo lim f () A olemssolo edellyttää että muuttuj täytyy void lähestyä rvo kummst suust hyväsä. Jos > ii sot että lähestyy rvo oikelt ositiivisest suust. Jos ts
MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT?
MITEN MÄÄRITÄN ASYMPTOOTIT? Asmptootti Asmptootti on suor ti muu kärä, jot funktion kuvj f() rjtt lähest, kun muuttujn rvot lähestvät tiettä luku ti ääretöntä. Rjoitutn luksi niihin tpuksiin, joiss smptootti
3.7. Rekursiivisista lukujonoista
.7 Rekursiivisist lukujooist.7. Rekursiivisist lukujooist Kerrt vielä, että lukujoo void määritellä khdell eri tvll, joko käyttämällä lyyttistä säätöä ti rekursiivist säätöä. Joo määrittelemie rekursiivisesti
Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Välivaiheet perustelevat vastauksesi!
MAA8 Koe 4.4.016 Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin etusivulle pisteytysruudukko! Muist kirjt nimesi j ryhmäsi. Väliviheet perustelevt vstuksesi! A-osio. Ilmn lskint. MAOLi s käyttää. Mksimissn 1h ik. Lske
3 b) Määritä paljonko on cos. Ilmoita tarkka arvo ja perustele vastauksesi! c) Muunna asteiksi 2,5 radiaania. 6p
MAA9 Koe.5.0 Jussi Tyi Tee koseptii pisteytysruudukko! Muista kirjata imesi ja ryhmäsi. Valitse kuusi tehtävää!. a) Ratkaise yhtälö si x. Ilmoita vastaus radiaaeia! b) Määritä paljoko o cos. Ilmoita tarkka
4 Pinta-alasovelluksia
Pint-lsovelluksi. Kuvjn lle jäävä pint-l voidn määrittää, jos kuvj on -kselin yläpuolell. Välillä [, 5] funktion f kuvj on -kselin lpuolell. Peiltn funktion f kuvj -kselin suhteen, jolloin sdn funktion
2.2 Monotoniset jonot
Mtemtiik tito 9, RATKAISUT Mootoiset joot ) Kosk,,,, ii 0 Lukujoo ( ) o siis lhlt rjoitettu Toislt 0 Lukujoo (
Y56 Mikron jatkokurssi kl 2008: HARJOITUSTEHTÄVÄT 2 Mallivastaukset
Y6 Mikron jtkokurssi kl 008: HARJOITUSTEHTÄVÄT Mllivstukset Kuluttjn vlint (Muokttu Burketist 006, 07) Olkoon Mrkon udjettirjoite = 40 Mrkoll on hvin kättätvät referenssit j Mrkon rjusustituutiosuhde on
Paraabelikin on sellainen pistejoukko, joka määritellään urakäsitteen avulla. Paraabelin jokainen piste toteuttaa erään etäisyysehdon.
5. Prbeli Prbelikin on sellinen pistejoukko, jok määritellään urkäsitteen vull. Prbelin jokinen piste toteutt erään etäissehdon. ********************************************** MÄÄRITELMÄ : Prbeli on tson
3.9. Mallintaminen lukujonojen avulla harjoituksia
3.9 Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia 3.9. Mallitamie lukujooje avulla harjoituksia Lukujoo määritelmä harjoituksia 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA
OSA 1: POLYNOMILASKENNAN KERTAUSTA, BINOMIN LASKUSÄÄNTÖJÄ JA YHTÄLÖNRATKAISUA Tekijät: Ari Heimonen, Hellevi Kupil, Ktj Leinonen, Tuomo Tll, Hnn Tuhknen, Pekk Vrniemi Alkupl Tiedekeskus Tietomn torninvrtij
Reaalinen lukualue. Millainen on luku, jossa on päättymätön ja jaksoton desimaalikehitelmä?
Relinen lukulue POLYNOMIFUNKTIOT JA -YHTÄLÖT, MAA Millinen on luku, joss on päättymätön j jksoton desimlikehitelmä? Onko sellisi? Trkstelln Pythgorn luseest stv yksikköneliön lävistäjää, luku + = x x =.
LINSSI- JA PEILITYÖ TEORIAA. I Geometrisen optiikan perusaksioomat
(0) LINSSI- JA PEILITYÖ MOTIVOINTI Tutustutn linsseihin j peileihin geometrisen optiikn mittuksiss Tutkitn vlon käyttäytymistä linsseissä j peileissä Määritetään linssien j peilien polttopisteet Optiset
16-300mm 50 EURON CASHBACK! Ehdot PARAS KOLMESTA MAAILMASTA. www.tamron.fi. F/3.5-6.3 Di II VC PZD Macro
Ehdot 3. Mksu suoritet se m vluutss, mistä objektiivi o ostettu. Mksu suoritet 4 viiko kuluess cshbck-dokumettie spumisest. 4. Objektiivi tulee oll Focus Nordici mhtuom j se tulee oll ostettu virllise
Polynomien laskutoimitukset
Polyomie lskutoimitukset Polyomi o summluseke, joss jokie yhteelskettv (termi) sisältää vi vkio j muuttuj välisiä kertolskuj. Esimerkki 0. Mm., 6 j ovt polyomej. Polyomist, joss o vi yksi termi, käytetää
Tehtävä 1. Jatka loogisesti oheisia jonoja kahdella seuraavaksi tulevalla termillä. Perustele vastauksesi
Tehtävä. Jtk loogisesti oheisi jonoj khdell seurvksi tulevll termillä. Perustele vstuksesi lyhyesti. ), c, e, g, b),,, 7,, Rtkisut: ) i j k - oike perustelu j oiket kirjimet, nnetn p - oike perustelu,
Potenssi a) Kirjoita potenssiksi ja 7 ( 7) ( 7) ( 7). b) Kirjoita kertolaskuksi 9 6 ja ( 11) 3. Laskuja ei tarvitse laskea.
Potessi 9. ) Kirjoit potessiksi j 7 ( 7) ( 7) ( 7). Kirjoit kertolskuksi 9 j ( ). Lskuj ei trvitse lske. ) 5 j ( 7) 9 9 9 9 9 9 j ( ) ( ) 9. Lske. ) 0 7 9 ) 000 9 8 9. Lske. ) ( ) ( ) ) 7 95. Yhdistä prit.,
Laskut kirjoitetaan vasempaan reunaan, vastaukset tulevat oikeaan reunaan.
2. Peruslsket 2.1 Yhtee- j väheyslsku Lske: 23 14 9 MENU. Vlitse Mi Syötä lskuluseke. Pi EXE. Lskut kirjoitet vsemp reu, vstukset tulevt oike reu. 2.2 Näytö tyhjeys Vlitse Edit j pi Cler All. Pi OK. Huom!
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ PISTEYTYSKOKOUS
0 MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 30 PISTEYTYSKOKOUS 0 ) Sijoitetn x 0 Rtkistn = 0/04,0000 b) Jos neliön sivu on s, niin lävistäjä on s Ehto: s 6 s + s = 6, s 6 3 4s 6,70, joten piiri ) Suorn yhtälö
Ristitulo ja skalaarikolmitulo
Ristitulo j sklrikolmitulo Opetussuunnitelmn 00 mukinen kurssi Vektorit (MAA) sisältää vektoreiden lskutoimituksist keskeisenä ineksen yhteenlskun, vähennyslskun, vektorin kertomisen luvull j vektoreiden
10. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA
MAA0 0. Määrätyn integrlin käyttö eräiden pint-lojen lskemisess 0. MÄÄRÄTYN INTEGRAALIN KÄYTTÖ ERÄIDEN PINTA-ALOJEN LASKEMISESSA Edellä on todettu, että f (x)dx nt x-kselin j suorien x =, x = sekä funktion
6 Integraalilaskentaa
6 Integrlilskent 6. Integrlifunktio Funktion f integrlifunktioksi snotn funktiot F, jonk derivtt on f. Siis F (x) = f (x) määrittelyjoukon jokisell muuttujn rvoll x. Merkitään F(x) = f (x) dx. Integrlifunktion
Painopiste. josta edelleen. x i m i. (1) m L A TEX 1 ( ) x 1... x k µ x k+1... x n. m 1 g... m n g. Kuva 1. i=1. i=k+1. i=1
Pinopiste Snomme ts-ineiseksi kpplett, jonk mteriliss ei ole sisäisiä tiheyden vihteluj. Tällisen kppleen pinopisteen sijinti voidn joskus päätellä kppleen muodon perusteell. Esimerkiksi ts-ineisen pllon
5.4 Ellipsi ja hyperbeli (ei kuulu kurssivaatimuksiin, lisätietoa)
5.4 Ellipsi j hypereli (ei kuulu kurssivtimuksiin, lisätieto) Aurinkokuntmme plneett kiertävät Aurinko ellipsin (=litistyneen ympyrän) muotoist rt, jonk toisess polttopisteessä Aurinko on. Smoin Mt kiertävät
Integraalilaskentaa. 1. Mihin integraalilaskentaa tarvitaan? MÄNTÄN LUKIO
Integrlilskent Tämä on lukion oppimterileist hiemn poikkev yksinkertistettu selvitys määrätyn integrlin lskemisest. Kerromme miksi integroidn, mitä integroiminen trkoitt, miten integrli lsketn j miten
Harjoitustehtävien ratkaisuja
3. Mallitamie lukujooje avulla Lukujoo määritelmä harjoituksia Harjoitustehtävie ratkaisuja 3. Laske lukujoo viisi esimmäistä jäsetä, ku a) a 6 ja b) a 6 ja 3 8 c) a ja 3 a) 6,, 8, 4, 30. b) 8,, 6, 0,
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka 5.2.2013
Preliminäärikoe Pitkä Mtemtiikk 5..0 Kokeess s vstt enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä ( * ) merkittyjen tehtävien mksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien mksimipistemäärä on 6.. ) Rtkise yhtälö b)
2.4 Pienimmän neliösumman menetelmä
2.4 Pienimmän neliösummn menetelmä Optimointimenetelmiä trvitn usein kokeellisen dtn nlysoinniss. Mittuksiin liittyy virhettä, joten mittus on toistettv useit kertoj. Oletetn, että mittn suurett c j toistetn
R4 Harjoitustehtävien ratkaisut
. Mitkä seurvist lusekkeist eivät ole polynomej? Miksi eivät? Polynomin termine eksponentti on luonnollinen luku, ne lusekkeet, joiss eksponentti ei ole luonnollinen luku ei ole myöskään polynomi.. x x
2.4. Juurifunktio ja -yhtälöt
.. Juurifuktio j -yhtälöt.. Juurifuktio j -yhtälöt Juurifuktio lähtökoht void pitää potessifuktiot: f (x) x, missä o luoollie luku;,,,, j yhdistety potessifuktio määrittelee puolest yhtälö f (x) [g(x)],,,,,...
4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on
4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.
2.1. Lukujonon käsite, lukujonon suppeneminen ja raja-arvo
.1. Lukuj käsite, suppeemie j rj-rv.1. Lukuj käsite, lukuj suppeemie j rj-rv S lukuj vi yksikertisimmill ymmärtää tdellki j, jh kirjitettu lukuj peräkkäi. Sellisell jll, jk luvut vlittu täysi stuisesti,
Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims
75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva
= a sanoo vain, että jonon ensimmäinen jäsen annetaan. Merkintä a. lasketaan a :stä.
.. Lukujoo Aluksi Mtemtiiklle o erityise tyypillistä se, että käytäö tiltee settm ogelm bstrhoid. Käytäössä tämä trkoitt sitä, että siitä krsit lilluk vrret. Trkstelu kohteeksi jätetää vi si loogie ydi
a) Määritä signaalin x[n] varianssi (keskimääräinen teho) σ x c) Määritä signaalikvantisointikohinasuhde SQNR, kun tiedetään, että
![a) Määritä signaalin x[n] varianssi (keskimääräinen teho) σ x c) Määritä signaalikvantisointikohinasuhde SQNR, kun tiedetään, että](/thumbs/62/47649895.jpg "a) Määritä signaalin x[n] varianssi (keskimääräinen teho) σ x c) Määritä signaalikvantisointikohinasuhde SQNR, kun tiedetään, että")
TL, DSK-lgoritmit S rjoitus. Trkstll kosiisigli [] cosπt s. Määritä sigli [] vrissi kskimääräi to. b Määritä sigli [] jot c Määritä siglikvtisoitikoisud SQNR, ku tidtää, ttä.79. b SQNR log Kvss b o kvtisoij
VEKTORILASKENTA. Timo Mäkelä SISÄLTÖ: 1 VEKTORIN KÄSITE...1
VEKTORILASKENTA Timo Mäkelä SISÄLTÖ: VEKTORIN KÄSITE VEKTOREIDEN ERUSLASKUTOIMITUKSET VEKTOREIDEN YHTEENLASKU VEKTOREIDEN VÄHENNYSLASKU 4 VEKTORIN KERTOMINEN LUVULLA6 4 VEKTORILAUSEKKEIDEN KÄSITTELY7 TASON
Pinta-alan laskeminen
Pint-ln lskeminen Esimerkki Välillä, jtkuvn, einegtiivisen funktion f määrätt integrli nt suorn pint-ln, eli f = A. INTEGRAALILASKENTA, MAA9 A = f Toislt, jos f on välillä,, eipositiivinen, eli f R, niin
Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2008 108,3 2012 116,7. a) Jakamalla 1,07756 7,76 %. c) Jakamalla 0,92802
Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2007 104,1 2009 108,3 108,3 a) Jakamalla 1,040345 104,1 saadaa iflaatioprosetiksi 4,03 %. 104,1 b) Jakamalla 0,96121 saadaa, että raha
Päähakemisto Tehtävien ratkaisut -hakemisto. 203. Vuosi Indeksi 2003 105,1 2007 110,8. a) Jakamalla 110,8 1,05423 saadaan inflaatioprosentiksi noin
Päähakemisto Tehtävie ratkaisut -hakemisto 2 Raha 202. Vuosi Ideksi 2002 104,2 2004 106,2 a) Jakamalla 106,2 1,01919 saadaa iflaatioprosetiksi 1,92 %. 104,2 b) Jakamalla 104,2 0,98116 saadaa, että raha
2 INTEGRAALILASKENTAA 2.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI
37 INTEGRAALILASKENTAA.1 MÄÄRÄTTY INTEGRAALI Trstell ploitti jtuv j rjoitettu (siis ei ääretötä) futiot f ( ) välillä [, ] (s. uv) Jet väli [, ] :ää h-levyisee os h j meritää h, missä 0,1,,..., Joo liittyvä
Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio
Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi
( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.
Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä
1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1
Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +
Matematiikan tukikurssi
Mtemtiikn tukikurssi Kurssikert 5 1 Jtkuvuus Trkstelln funktiot fx) josskin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jtkuv ti epäjtkuv. Jtkuvuuden ymmärtää prhiten trkstelemll epäjtkuv
****************************************************************** MÄÄRITELMÄ 4:
. Murtopotessi MÄÄRITELMÄ : O Olkoo prillie, positiivie kokoisluku. Ei egtiivise luvu :s juuri trkoitt sellist ei-egtiivist luku b, jok :s potessi o. Merkitää b. Kute eliöjuureki tpuksess, luku b täyttää
7.lk matematiikka. Geometria 1
7.lk mtemtiikk 1 Htnpään koulu 7B j 7C Kevät 2017 2 Sisällys 1. Koordintisto... 4 2. Kulmien nimeäminen j luokittelu... 8 3. Kulmien mittminen j piirtäminen... 10 4. Ristikulmt j vieruskulmt... 14 5. Suort,
2.1 Vaillinaiset yhtälöt
.1 Villiniset yhtälöt Yhtälö, jok sievenee muotoon x + bx + c = 0 (*) on yleistä normlimuoto olev toisen steen yhtälö. Tämän rtkiseminen ei olekn enää yhtä meknist kuin normlimuotoisen ensisteen yhtälön
A-Osio. Valitse seuraavista kolmesta tehtävästä kaksi, joihin vastaat. A-osiossa ei saa käyttää laskinta.
MAA Loppukoe 5.. Jussi Tyni Tee pisteytysruudukko konseptin yläreunn! Vstuksiin väliviheet, jotk perustelevt vstuksesi! Lue ohjeet huolellisesti! A-Osio. Vlitse seurvist kolmest tehtävästä kksi, joihin
763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 1 Kevät 2014
763333A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Rtkisut 1 Kevät 014 1. Tehtävä: Lske, kuink mont hilpistettä on yksikkökopiss ) yksinkertisess kuutiollisess, b) tkk:ss j c) pkk:ss. (Ot huomioon, että esimerkiksi yksikkökopin
Seuraava jonon jäsen on saatu edellisestä lisäämällä siihen luku 70 tai kyseessä on luvun 70 kertotaulu.
0 Joot j summt Lukujoo 4. ) 40, 440, 40, 460. Seurv joo jäse o 0 suurempi. b) 6,, 64, 8. Seurv joo jäse o kksikertie edellisee verrttu. 4. ), 4,, Seurv joo jäse o stu edellisestä lisäämällä siihe luku
y 1 = f 1 (t,y 1,,y n ) y 2 = f 2 (t,y 1,,y n ) (1) y n = f n (t,y 1,,y n ) DY-ryhmään liittyvä alkuarvotehtävä muodostuu ryhmästä (1) ja alkuehdoista
9 5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Esimmäis krtluvu diffrtilihtälörhmät Diffrtilihtälörhmiä trvit usiss sovlluksiss. Näistä usimmt void mllit simmäis krtluvu diffrtilihtälörhmi vull. Esimmäis krtluvu diffrtilihtälörhmä
xe y = ye x e y + xe y y = y e x + e x y xe y y y e x = ye x e y y (xe y e x ) = ye x e y y = yex e y xe y e x = x 3 + x 2 16x + 64 = D(x)
BM20A580 Differetiaalilasketa ja sovellukset Harjoitus 3, Syksy 206. Laske seuraavat itegraalit si(4t + )dt (b) x(x 2 + 00) 000 dx (c) x exp(ix )dx 2. Mitä o y, ku (x ) 2 + y 2 = 2 2, etäpä y? Vastaukset
ICS-C2000 Tietojenkäsittelyteoria Kevät 2016
ICS-C2 Tietojenkäsittelyteori Kevät 2 Kierros,. 5. helmikuut Demonstrtiotehtävien rtkisut D: Sievennä seurvi säännöllisiä lusekkeit (so. konstruoi yksinkertisemmt lusekkeet smojen kielten kuvmiseen): ()
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Laskuharjoitus 4 / vko 47, mallivastaukset
Differentili- j integrlilskent (CHEM) Lskuhrjoitus / vko 7, mllivstukset Johdntotehtävä x dx = ln.693, joten rvo ln voidn pproksimoid integroimll numeerisesti funktiot x välillä [,]. Jetn väli [,] khteen
YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA
YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Normaalijäits N N Leikkausjäits Q Q KAKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Lerakee STRE SS CONTOURS OF SE 4.4483 8.8966 4.345 65.793 7.4 48.69 9.38 33.586 373.35 Ma 45.4 At Node 438 Mi.9
Koontitehtäviä luvuista 1 9
11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:
θ 1 θ 2 γ γ = β ( n 2 α + n 2 β = l R α l s γ l s 22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJESTELMÄT 22.1 Linssien kuvausyhtälö
22 LINSSIT JA LINSSIJÄRJSTLMÄT 22. Linssien kuvusyhtälö Trkstelln luksi vlon tittumist pllopinnll (krevuussäde R j krevuuskeskipiste C) kuvn mukisess geometriss. Tässä vlo siis tulee ineest ineeseen 2
T Syksy 2002 Tietojenkäsittelyteorian perusteet Harjoitus 5 Demonstraatiotehtävien ratkaisut. ja kaikki a Σ ovat säännöllisiä lausekkeita.
T-79.8 Syksy 22 Tietojenkäsittelyteorin perusteet Hrjoitus 5 Demonstrtiotehtävien rtkisut Säännölliset lusekkeet määritellään induktiivisesti: j kikki Σ ovt säännöllisiä lusekkeit. Mikäli α j β ovt säännöllisiä
Näytä tai jätä tarkistettavaksi tämän jakson tehtävät viimeistään tiistaina 18.6. ylimääräisessä tapaamisessa.
Jkso 12. Sähkömgneettinen induktio Tässä jksoss käsitellään sähkömgneettist induktiot, jok on tärkeimpiä sioit sähkömgnetismiss. Tätä tphtuu koko jn rkisess ympäristössämme, vikk emme sitä välttämättä
Sinilause ja kosinilause
Siniluse j kosiniluse GEOMETRI M3 Mikäli kolmion korkeus j knt tiedetään, voidn pint-l lske. Esimerkki: Lske kolmion l, kun 38 kulmn viereiset sivut ovt 8, j 6,8. Nyt knt tiedetään, korkeutt ei! 38 8,
R S T R S. Yhdeksäs termi a. Vastaus: Yhdeksäs termi on 99.
9. Aritmeettise lukujoo yleie termi a = a + ( ) d Erotusluku a = a + ( ) d a = 7, a = 7, = 7 = 7 + ( ) d 0d = 90 :0 d = 9 Yhdeksäs termi a 9 = 7 + (9 ) 9 = 99 Vastaus: Yhdeksäs termi o 99. 0. Lukujoo rekursiivie
Testit laatueroasteikollisille muuttujille. Testit laatueroasteikollisille muuttujille. Testit laatueroasteikollisille muuttujille: Esitiedot
TKK (c) Ilkk Melli (24) Johdtus tilstotieteesee TKK (c) Ilkk Melli (24) 2 : Mitä opimme? Trkstelemme tässä luvuss seurvi ltuerosteikolliste muuttujie testejä: Testukse kohtee testeissä o Beroulli-jkum
Asennusopas. Daikin Altherma - Matalan lämpötilan Monoblocin varalämmitin EKMBUHCA3V3 EKMBUHCA9W1. Asennusopas. Suomi
Dikin Altherm - Mtln lämpötiln Monolocin vrlämmitin EKMBUHCAV EKMBUHCA9W Suomi Sisällysluettelo Sisällysluettelo Tietoj sikirjst. Tieto tästä sikirjst... Tietoj pkkuksest. Vrlämmitin..... Vrusteiden poistminen
LUKUVUODEN E-KURSSI
1 TYK AIKUISLUKIO LUKUVUODEN 2016 2017 E-KURSSI Kurssin tunnus ja nimi Kurssin opettaja MAB6 Matemaattisia malleja II Frans Hartikainen frans.hartikainen@tyk.fi MAB6-kurssin työtila on nähtävillä myös
2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automaattimalleista poikkeava tapa kuvata yksinkertaisia kieliä. Olkoot A ja B aakkoston Σ kieliä. Perusoperaatioita:
2.6 SÄÄNNÖLLISET LAUSEKKEET Automttimlleist poikkev tp kuvt yksinkertisi kieliä. Olkoot A j B kkoston Σ kieliä. Perusopertioit: Yhdiste: A B = {x Σ x A ti x B}; Ktentio: AB = {xy Σ x A, y B}; Potenssit:
Kvanttimekaniikan perusteet
Kvttimekiik perusteet Aieltokettä j todeäköisyystieys Scrödigeri ytälö Sirot potetiliskeleest lektroitilt potetilikuopss Hrmoie oskillttori Tiltieys lisää sirotilmiöistä Altofuktio o yleisesti kompleksie
MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI
SAVONIA-AMMATTIKORKEAKOULU Tekniikk Infrrkentmisen j kivnnisln työnjohdon koulutus (ESR) MATEMATIIKAN HARJOITTELUMATERIAALI Hrjoitustehtävien rtkisut Ari Tuomenlehto - 0 - Hrjoitustehtävien rtkisut 1.
601 Olkoon tuntematon kateetti a ja tuntemattomat kulmat α ja β Ratkaistaan kulmat. 8,4 = 12. Ratkaistaan varjon pituus x. 14 x = 44,
Pyrmidi 3 Geometri tehtävien rtkisut sivu 08 60 Olkoon tuntemton kteetti j tuntemttomt kulmt j β Rtkistn kulmt. 8,4 cos 8,4 cos 45,579... 46 β 90 60 4 Rtkistn vrjon pituus 3 44,470... 44 Rtkistn kteetti.
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS
11. MÄÄRÄTTY INTEGRAALI JA TILAVUUS Tilvuus on sen verrn rkielämässä viljelty käsite, että useimmiten sen syvemmin edes miettimättä ymmärretään, mitä juomlsin ti pikkuvuvn kylpymmeen tilvuudell trkoitetn.
Esimerkki 8.1 Määritellään operaattori A = x + d/dx. Laske Af, kun f = asin(bx). Tässä a ja b ovat vakioita.
8. Operttorit, mtriisit j ryhmäteori Mtemttinen operttori määrittelee opertion, jonk mukn sille nnettu funktiot muoktn. Operttorit ovt erityisen tärkeitä kvnttimekniikss, kosk siinä jokist suurett vst
3.3 KIELIOPPIEN JÄSENNYSONGELMA Ratkaistava tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G ja merkkijono x. Onko
3.3 KILIOPPIN JÄSNNYSONGLMA Rtkistv tehtävä: Annettu yhteydetön kielioppi G j merkkijono x. Onko x L(G)? Rtkisumenetelmä = jäsennyslgoritmi. Useit vihtoehtoisi menetelmiä, erityisesti kun G on jotin rjoitettu
EDE Elementtimenetelmän perusteet. Luento vk 1 Syksy Matematiikan ja matriisilaskennan kertausta
mperee tekillie yliopisto hum.8.3 Kostruktiotekiik litos EDE-00 Elemettimeetelmä perusteet. Lueto vk Syksy 03. Mtemtiik j mtriisilske kertust Yleistä Kirjoittele täe joiti kurssi keskeisiä sioit iille,
Sähkömagneettinen induktio
ähkömgneettinen inuktio Kun johinsilmukn läpi menevä mgneettikentän vuo muuttuu, silmukkn inusoituu jännite j silmukss lk kulke sähkövit. Mgneettikentässä liikkuvn johtimeen syntyy myös jännite. Näitä
.) (b) Vertaa p :tä vastaavaa kineettistä energiaa perustilan kokonaisenergiaan. ( ) ( ) = = Ek
S-446, FYSIIKKA IV (Sf) Kevät 5, HSf Rtkisut HSf- Kvnttimekninen hrmoninen värähtelijä on perustillln (mss m) Värähtelyn mplitudi on A () ske p (Värähtelijä sijitsee välillä A ) (b) Vert p :tä vstv kineettistä
RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan
RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa
Tasogeometriassa käsiteltiin kuvioita vain yhdessä tasossa. Avaruusgeometriassa tasoon tulee kolmas ulottuvuus, jolloin saadaan kappaleen tilavuus.
KOLMIULOTTEISI KPPLEIT Tsogeometriss käsiteltiin kuvioit vin ydessä tsoss. vruusgeometriss tsoon tulee kolms ulottuvuus, jolloin sdn kppleen tilvuus. SUORKULMINEN SÄRMIÖ Suorkulmisess särmiössä kikki kulmt
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio
4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako
Laskennan mallit Erilliskoe , ratkaisuja (Jyrki Kivinen)
58226 Lskennn mllit Erilliskoe 4.2.2, rtkisuj (Jyrki Kivinen). [6+6+3+3 pistettä] () Kieli A koostuu niistä kkoston {, } merkkijonoist, joiss esiintyy osjono. Esitä kielelle A sekä deterministinen äärellinen
S , Fysiikka IV (ES) Tentti
S-1436, Fysiikk IV (S) Tetti 81 35 19 1 Vierekkäiste spektriviivje piei hvittu tjuuser Cl F mlekyyli 1 rttispektrissä 1,1 1 Hz Lske tmie välie etäisyys mlekyylissä Rtkisu Kksitmise mlekyyli pyörimiseergi
Matematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa