Potenssiyhtälö ja yleinen juuri

Transkriptio

1 Potenssiyhtälö ja yleinen juuri 253. Tutki sijoittamalla, mitkä luvuista ovat yhtälön ratkaisuja. a) x 2 = 1 b) x 3 = 8 x = 2 x = 1 x = 1 x = 2 x 2 = 1 x = 1 ja x = 1, koska 1 2 = 1 ja ( 1) 2 = 1 x 3 = 8 x = 2, koska 2 3 = Päättele funktion f(x) = x 3 kuvaajasta yhtälön x 3 = 4 ratkaisu. Anna vastaus yhden desimaalin tarkkuudella. x 1,6 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 1

2 255. Ratkaise yhtälöt. a) x 2 = 0 b) x 2 = 4 a) x 2 = 0 x = 0, koska 0 2 = 0 b) x 2 = 4 x = 2 ja x = 2, koska 2 2 = 4 ja ( 2) 2 = Määritä luvun 100 a) neliöjuuri b) neliö. a) b) = Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 2

3 257. Ratkaise yhtälöt. a) x 2 = 36 b) x 2 = 81 c) x 2 = 9 a) x 2 = 36 x = 6 ja x = 6, koska 6 2 = 36 ja ( 6) 2 = 36 b) x 2 = 81 x = 9 ja x = 9, koska 9 2 = 81 ja ( 9) 2 = 81 c) x 2 = 9 Ei ratkaisua 258. Määritä. a) b) 4 16 c) 5 1 a) 5 b) 2 c) 1 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 3

4 259. Päättele funktion g(x) = x 4 kuvaajasta yhtälöiden ratkaisut. Anna vastaukset yhden desimaalin tarkkuudella. a) x 4 = 6 b) x 4 = 3 a) x 1,6 tai x 1,6 b) Ei ratkaisua Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 4

5 260. Ratkaise yhtälöt. a) x 3 = b) x 4 = 16 c) x 5 = 243 a) x b) x c) x Ratkaise yhtälöt kahden desimaalin tarkkuudella. a) 4x 6 = 300 b) 2x = 0 c) x 14 = 6 a) 4x 6 = 300 : 4 x 6 = 75 x = 6 75 = 2,053 2,05 b) 2x = x 9 = 250 : 2 x 9 = 125 x = = 1,709 1,71 c) x 14 = 6 Yhtälöllä ei ole ratkaisua, koska minkään luvun parillinen potenssi ei ole arvoltaan negatiivinen. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 5

6 262. Pankkitilille talletetaan 200. Kolmen vuoden kuluttua talletuksen arvo on 209,14. Mikä on tilin vuotuinen korkoprosentti? x = 209,14 : 200 x 3 = 1, x 3 1,0457 1,0150 Eli vuotuinen korko oli 1,5 prosenttia. Vastaus: Tilin vuotuinen korko on 1,5 % Suomen kasvihuonekaasupäästöt vuonna 2010 vastasivat yhteensä 74,6 miljoonaa hiilidioksiditonnia. Vuoteen 2014 mennessä ne olivat laskeneet yhteensä 19,4 %. a) Laske kasvihuonekaasupäästöjen määrä vuonna b) Kuinka monella prosentilla päästöjen määrä oli vähentynyt keskimäärin vuotta kohti? Anna vastaus prosentin kymmenesosan tarkkuudella. a) ,806 = ,1 miljoonaa tonnia b) x = x ,9475 eli n. 5,3 % Vastaus: a) Kasvihuonekaasujen päästöt olivat 60,1 miljoonaa tonnia. b) Päästöt ovat vähentyneet 5,3 % Lääkeaineen puoliintumisaika on 2 tuntia. Kuinka monta prosenttia lääkeaineesta hajoaa elimistössä yhdessä tunnissa? x 2 = 0,5 2 x 2 0,5 0,707 eli n. 29 % Vastaus: Lääkeaineesta hajoaa 29 %. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 6

7 265. Tampereen asukasluku oli vuoden 2011 alussa ja vuoden 2015 alussa a) Laske, kuinka monella prosentilla asukasluku on kasvanut keskimäärin vuodessa. b) Laske arvio Tampereen asukasluvulle vuonna 2025, jos asukasmäärän kasvun oletetaan jatkuvan suhteellisesti samansuuruisena. a) x = x ,01128 eli n. 1,1 prosentilla b) 1, = Vastaus: a) Asukasluku on kasvanut vuodessa keskimäärin 1,1 %. b) Asukasluku on noin Ratkaise yhtälöt. a) x 4 b) 3 x 10 a) x 4 ( ) 2 x = 16 b) 3 x 10 ( ) 3 x = Määritä logaritmin kantaluku k, kun a) logk512 = 3 b) logk4 096 = 6. a) k 3 = k b) k 6 = k Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 7

8 268. Piirrä laskentaohjelmalla funktioiden x 2, x 3, x 4 ja x 5 kuvaajat. a) Jaa kuvaajat kahteen eri ryhmään. b) Kumpaan ryhmään funktion x 89 kuvaaja kuuluu? a) Parittomilla muuttujan x potensseilla kuvaajat ovat keskenään samantyyppiset, samoin parillisilla keskenään. b) Parittomiin 269. Ratkaise yhtälöt. a) x 2 = 100 b) x 3 = 64 c) x 4 = 1 a) x 2 = 100 x = 10 ja x = 10, koska 10 2 = 100 ja ( 10) 2 = 100 b) x 3 = 64 3 x c) x 4 = 1 x = 1 ja x = 1, koska 1 4 = 1 ja ( 1) 4 = Määritä. a) 121 b) luvun kuutiojuuri c) luvun 2 3 kuutio. a) b) c) Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 8

9 271. Päättele funktion f(x) = x 5 kuvaajasta yhtälöiden ratkaisut. Anna vastaukset yhden desimaalin tarkkuudella. a) x 5 = 7 b) x 5 = 4 a) x 1,5 b) x 1,3 Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 9

10 272. Ratkaise yhtälöt kahden desimaalin tarkkuudella. a) x 7 = 65 b) x 8 = 90 c) x 12 = 0,5 a) x , ,82 b) x , ,76 c) Ei ratkaisua, koska minkään luvun parillinen potenssi ei ole negatiivinen Ratkaise yhtälöt neljän numeron tarkkuudella. a) x 3 = b) 8 x = 3 c) 5x 6 9 = 0 3 a) x , ,42 b) x = log83 = 0, ,5283 c) x 6 = x 9 6 1, , Emmin kuukausipalkka on Hänen tavoitteenaan on nostaa kuukausipalkka euroon viidessä vuodessa. Kuinka monen prosentin palkankorotus Emmin pitäisi vuosittain saada, jotta tavoite toteutuisi? x = , x eli n. 3,3 % vuosittainen palkankorotus. Vastaus: Emmi tarvitsee 3,3 %:n vuosittaisen palkankorotuksen. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 10

11 275. Suomalaisten keskimääräinen alkoholinkulutus on 11,2 litraa vuodessa. Kuinka monella prosentilla kulutuksen pitäisi vuodessa vähentyä, jotta kymmenessä vuodessa kulutus vähentyisi yhteensä 20 %? x 10 = 0,8 10 x 10 0,8 0,9779 eli n. 2,2 prosentilla vuodessa Vastaus: Kulutuksen pitäisi vähentyä 2,2 % vuodessa Ydinvoimalaonnettomuuksissa vapautuvan radioaktiivisen cesium 137-isotoopin puoliintumisaika on 30 vuotta. Kuinka monta prosenttia isotoopista hajoaa yhden vuoden aikana? x 30 = 0,5 30 x 30 0,5 0,9771eli n. 2,3 prosenttia Vastaus: Isotoopista hajoaa 2,3 % yhden vuoden aikana Ratkaise yhtälöt. a) x 30 b) x 4 a) x = 30 2 = b) x Suomen väkiluku vuoden 2010 alussa oli ja vuoden 2015 alussa Minä vuonna Suomen väkiluku ylittää 6 miljoonaa, jos väestönkasvu jatkuu suhteellisesti samansuuruisena? Lasketaan vuotuinen kasvu x: x = x , Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 11

12 Ratkaistaan seuraavaksi aika y, joka kuluu vuodesta 2015 siihen, että väkiluku on 6 miljoonaa. 1, y = : , y = 1, y = log 1, , = 20,728 Väkiluku ylittää vuoden 2035 aikana. Vastaus: Väkiluku ylittää 6 miljoonaa vuoden 2035 aikana Määritä a) luku x, kun log2x = 8 b) logaritmin kantaluku k, kun logk2 401 = 4. a) x = 2 8 = 256 b) k 4 = k Pankkitilille talletettiin 400. Kuuden vuoden kuluttua talletuksen arvo oli 420,59. Mikä oli tilin vuotuinen korkoprosentti, kun korosta pidätettiin 30 prosentin lähdevero? Ratkaistaan talletuksen vuotuinen kasvuprosentti. x = 420,59 420,59 x 6 1, Talletus on kasvanut 0,84 % vuodessa. Lähdeverollinen vuotuinen korkoprosentti oli 0,84 % : 0,7 = 1,2 % Vastaus: Korkoprosentti oli 1,2. Lukion yhteinen matematiikka Opettajan aineisto t 12