Todennäköisyyslaskenta IIa, syyslokakuu 2019 / Hytönen 2. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset

Transkriptio

1 Todennäköisyyslaskenta IIa, syyslokakuu 019 / Hytönen. laskuharjoitus, ratkaisuehdotukset 1. Kurssilla on 0 opiskelijaa, näiden joukossa Jutta, Jyrki, Ilkka ja Alex. Opettaja aikoo valita umpimähkään opiskelijan ryhmän erityistä tehtävää varten. a Jyrki toivoo, että sekä hänet että Jutta valittaisiin tähän ryhmään. Millä todennäköisyydellä Jyrkin toive toteutuu? b Jyrki ei ollut paikalla, kun opettaja valitsi ryhmän, mutta hän kuulee, että sekä hänet että Jutta on valittu. Jyrki ei tiedä valinnasta mitään muuta, mutta toivoo, että kumpaakaan Ilkasta tai Alexista ei ole valittu. Laske tämän (ehdollinen todennäköisyys. Ratkaisu. Koska kurssilla on 0 opiskelijaa joista valitaan opiskelijan ryhmät, otetaan perusjoukoksi Ω kaikki mahdolliset neljän hengen ryhmät otannalla ilman takaisinpanoa ja järjestyksellä ei ole väliä. Siis erilaisia ryhmiä on yhteensä ( 0 #Ω =. a Olkoon A tapahtuma että Jyrki ja Jutta valitaan samaan ryhmään. Ryhmän neljästä hengestä kaksi tulee olla Jyrki ja Jutta, ja lopuista 38 oppilaasta valitaan ketkä tahansa kaksi. Eli 0 hengen ryhmä jakautuu kahteen osaan: Jyrkin ja Jutan ryhmä sekä loppujen 38 oppilaan ryhmä. Ensimmäisestä ryhmästä on valittava ja jälkimmäisestä. Ryhmissä valintajärjestyksellä ei ole väliä! Tapahtuman A todennäköisyydeksi saadaan siis ( ( 38 P(A = ( = = Huom! Leena neuvoi Ratkomossa tämän tehtävän VÄÄRIN!!! Laskemalla 1/0 1/39 38/38 37/37 on todennäköisyys tapahtumalle Jyrki valitaan ensimmäisenä, Jutta toisena, x 1 kolmantena ja x neljäntenä ryhmään! Tehtävän perusteella ei ole väliä missä järjestyksessä Jyrki ja Jutta tulevat ryhmään valituiksi, riittää, että he tulevat valituiksi. Oikea tulos saadaan, jos huomioidaan, että erilaisia valintajärjestyksiä, joilla Jyrki ja Jutta tulevat 1

2 valituiksi neljän ryhmään on 3 = 1 kappaletta. Perustelu: Ehdollistetaan tarkastelu Jyrkin valinnan suhteen eli Jyrki voi tulla valituksi eri ajankohtana ja täten Jutta voi tulla valituksi 3 eri ajankohtana. Tällöin saadaan todennäköisyydeksi 1 1/0 1/39 38/38 37/37 = 1 = Ratkaisujen lopussa on tarkasteltu vielä tätä tehtävää laajemmin! b Olkoon B tapahtuma että kumpaakaa Ilkkaa tai Alexia ei valita ryhmään. Halutaan laskea siis ehdollinen todennäköisyys P(B A. Koska tiedetään että Jutta ja Jyrki on jo valittu, valitaan lopuista kurssin 38 oppilaasta ryhmään vielä kaksi oppilasta. Tämä voidaan tehdä ( 38 eri tavalla. Tapoja valita kaksi oppilasta lisää ryhmään siten että kumpikaan ei ole Ilkka tai Alex on ( 36. Ehdolliseksi todennäköisyydeksi saadaan siis ( ( 36 P(B A = ( = Tarkastellaan kolikonheittoa, jota toistetaan yhä uudelleen, ja määritellään tapahtumat A n := {n:llä ensimmäisellä heitolla tulee ainakin yksi klaava}, B i := {ensimmäinen klaava tulee i:nnellä heitolla}, missä i, n = 1,,... Laske ehdolliset todennäköisyydet P(B i A n. (Vihje: Bayes. Ratkaisu. Olkoon perusjoukko Ω = {ω : ω = (ω 1, ω, ω 3,..., ω i {0, 1}} missä siis Ω on kolikonheittojen muodostamat jonot ja ajatellaan että arvo 1 vastaa klaavaa. Oletetaan myös että heitetty kolikko on reilu ja heitot ovat riippumattomia. Palautetaan mieleen Bayesin kaava, jota hyödynnetään todennäköisyyksien P(B i A n laskemiseen. Bayesin kaavan mukaan P(B i A n = P(B ip(a n B i. P(A n Bayesin kaavan hyödyntämistä varten meidän tulee siis tietää todennäköisyydet P(A n, P(B i ja P(A n B i.

3 Aloitetaan tapahtumasta A n. Huomataan että tapahtuman A n komplementti A c n on tapahtuma että kaikki n heittoa ovat kruunia. Saadaan siis P(A n = 1 P(A c n = 1 P(ω : ω 1,..., ω n = 1 = = 1 1. n Lasketaan seuraavaksi tapahtuman B i todennäköisyys. Tapahtuma että ensimmäinen klaava tulee heitolla i on sama kuin ensimmäiset i 1 heittoa ovat kruunuja ja vasta i:nnes heitto on klaava. Koska kolikko oletettiin reiluksi eli P(kruuna = 1/ ja P(klaava = 1/ sekä heitot ovat riippumattomaksi, tapahtuman B i todennäköisyydeksi saadaan P(B i = 1 i 1 1 = 1 i. Viimeisempänä tutkitaan tapahtumien {A n B i } todennäköisyyttä. Ajatellaan että heittojen määrä n on jokin kiinteä ennalta valittu luku mutta muuttujan i arvoa varioidaan. Saamme kaksi erilaista tapausta: 1. Oletetaan ensin että i n. Tällöin tiedämme että i:llä on tullut klaava ja koska i n niin n ensimmäisen heiton joukossa on ainakin yksi klaava. Siis {A n B i } on varma tapahtuma eli P(A n B i = 1.. Oletetaan sitten että i > n. Tällöin {A n B i } on mahdoton tapahtuma, sillä jos tiedämme että ensimmäinen klaava saadaan vasta i:llä heitolla ja i > n, ei ensimmäisen n heiton joukossa voi olla ainuttakaan klaavaa. Siis P(A n B i = 0. Tällöin tapahtuman {B i A n } todennäköisyys saadaan laskettua Bayesin kaavalla eri tapauksissa seuraavasti: 1. Tapaus i n Tällöin P(B i A n = P(B ip(a n B i P(A n = P(B i 1 P(A n = i 1 n.. Tapaus i > n. Yllä olevien päätelmien pohjalta saamme P(B i A n = P(B ip(a n B i P(A n 3 = P(B i 0 P(A n = 0.

4 Yhdistämällä tulokset saadaan lopulta että P(B i A n = { i kun i n 1 n 0 kun i > n. 3. Lauseen 1. kohta (a on todistettu monisteessa. Todista saman lauseen kohta (b a jäljittelemällä kohdan (a todistusta sopivin muutoksin. b käyttämämällä hyväksi kohdan (a tulosta ja siirtymällä komplementteihin. (Jos tapahtumat B 1 B B 3... ovat kohdan (b mukaiset, niin tapahtumat B1 c B c B3 c ovat kohdan (a mukaiset... Ratkaisu. Todetaan vielä lauseen 1. kohta (b joka todistetaan tehtävässä kahdella eri tavalla. Olkoon jono tapahtumia B 1, B, B 3,... laskevia eli B 1 B B Tällöin pätee P( B i = lim P(B i n a Olkoon B 1, B, B 3,... tapahtumia siten, että B 1 B B Merkitään ensiksi B := B i ja A i := B 1 \ B i. Nyt pätee A 1 A A 3... ja A i (1 = (B 1 \ B i = B 1 \ B i = B 1 \ B. Tehdään sitten pari huomiota. B 1 voidaan ilmaista kahdella tapaa erillisenä yhdisteenä. B 1 = B (B 1 \ B ja B 1 = B i (B 1 \ B i = B i A i. Näistä seuraa, että todennäköisyydet voidaan laskea äärellisen additiivisuuden nojalla seuraavasti: P(B 1 = P(B + P(B 1 \ B ja P(B 1 = P(B i + P(A i,

5 joista saadaan yhtälöitä järjestelemällä: P(B ( = P(B 1 P(B 1 \ B ja P(B i (3 = P(B 1 P(A i. Nyt voimmekin vain yhdistää yllä olevat tiedot ja hyödyntää jo materiaalissa todistettua lauseen 1. (a-kohtaa. P( B i = P(B ( = P(B 1 P(B 1 \ B (1 = P(B 1 P( A i 1.(a = P(B 1 lim i P(A i Nyt olemmekin saaneet mitä halusimme. (3 = P(B 1 lim i (P(B 1 P(B i = P(B 1 P(B 1 + lim i P(B i = lim i P(B i. b Pitkästi: Koska tapahtumat B i muodostavat laskevan jonon, niin tällöin komplementit B c i muodostavat kasvavan jonon B c 1 B c.... Muodostetaan uusi jono erillisiä tapahtumia A i, siten että A 1 = B1 c, A = B c \ B1 c, A 3 = B3 c \ (B1 c B c ja asettamalla yleisesti i:nnen jäsenen A i = Bi c \ ( i 1 j=1 Bc j. Huomataan, että Tällöin saadaan Bi c = A i. (1 lim P(B n = 1 lim P(B c n n n = 1 lim n = 1 n P(A i P(A i = 1 P( A i = 1 P( B i = 1 P(( B i c = P( B i, 5

6 missä laskussa hyödynnytetään yhtäsuuruutta (??, tietoa että tapahtumat A i ovat erillisiä, todennäköisyysmitan täysadditiivisuutta ja De Morganin lakeja. Lyhyemmin: Lauseen 1. (a kohtaa voidaan hyödyntään myös suoremmin. Jos B i ovat lauseen mukaisia laskevia tapahtumia, niin tällöin kuten edellisessä kohdassa Bi c muodostavat jonon kasvavia tapahtumia, joiden yhdisteeseen Bi c voimme soveltaa lauseen 1. (a kohtaa. Tällöin P( B i = 1 P(( B i c = 1 P( Bi c = 1 lim i P(B c i = lim n P(B i. Olkoon λ > 0 kiinteä parametri. Olkoon X satunnaismuuttuja, jonka kertymäfunktio on { 0, kun x 0, F (x = 1 e λx, kun x > 0. (Tämä on ns. eksponenttijakauma. Olkoot x, y > 0. Osoita laskemalla, että P(X > x + y X > x = P(X > y. (Eksponenttijakauma on melko hyvä malli monenlaisille satunnaisille odotusajoille. Todistettava tulos on erittäin tärkeä eksponenttijakauman ns. muistittomuusominaisuus. Jos tiedetään, että on jo jouduttu odottamaan aika x, todennäköisyys että joudutaan odottamaan vielä aika y lisää, on sama, kuin todennäköisyys, että alunperin jouduttiin odottamaan aika y. Tämä on jossain määrin masentavaa esim. bussipysäkillä. Ratkaisu. Aloitetaan ensiksi tutkimalla tapahtumaa P(X > x yleisellä tasolla. Huomataan että tapahtumat {X x} ja {X > x} ovat erilliset, joten todennäköisyyden additiivisuuden nojalla P(Ω = P({X x} {X > x} = P({X x} + P({X > x}. 6

7 Tästä saadaan termejä siirtämällä P(X > x = P(Ω P(X x = 1 F (x. Tällöin satunnaismuuttujan X noudattaessa exponenttijakaumaa parametrilla λ > 0, saamme P(X > x = 1 (1 e λx = e λx. Olkoon nyt x, y > 0. Tällöin ehdollisen todennäköisyyden määritelmän mukaan P({X > x + y} {X > x} P(x > x + y X > x = P(X > x P(X > x + y = P(X > x = e λ(x+y e λx = e λx e λy e λx = e λy = P(X > y. Edeltävässä laskussa hyödynnettiin tietoa x, y > 0 seuraavasti: Jos sekä x että y ovat positiivisia, niin {X > x + y} {X > x}, eli {X > x + y} {X > x} = {X > x + y}. 5. Palataan edellisten harjoitusten kysymykseen Kostista ja keittiöremontista. Olkoon Ω todennäköisyysavaruus, jonka alkeistapahtumat ω Ω ovat tarjousten mahdolliset saapumisjärjestykset näitä voidaan kuvata esim. lukujen 1,, 3, järjestetyillä jonoilla. Siis eräitä alkeistapahtumia ovat esim. (1,, 3, ja (3,,, 1. Määritellään satunnaismuuttujat X, Y : Ω {0, 1,, 3, } seuraavasti { i {1,, 3, }, jos Kosti valitsee i:nneksi halvimman tarjouksen, X(ω = 0, jos Kosti ei valitse mitään tarjousta, { i {1,, 3, }, jos Kosti valitsee i:ntenä saapuneen tarjouksen, Y (ω = 0, jos Kosti ei valitse mitään tarjousta. Määritä satunnaismuuttujat X ja Y (esim. taulukoimalla niiden arvot eri alkeistapahtumissa; yritä kuitenkin mahdollisuuksien mukaan tunnistaa säännönmukaisuutta, jotta et joudu kirjoittamaan auki koko taulukkoa sekin on silti sallittua. 7

8 Ratkaisu. Olkoon nyt Ω kaikkien mahdollisten hintojen järjestyksien joukko eli Ω = {ω : ω = (ω 1, ω, ω 3, ω, ω i {1,, 3, } missä ω 1 ω ω 3 ω }. Huomataan että perusjoukon Ω alkioiden määrä on neljän mittaisten jonojen määrä valittaessa ilman takaisinpanoa eli #Ω =! =. Tämän avulla voimme tarkistaa että vastauksemme on oikein, sillä pitäisi saada #{X(ω = k} =. k {0,1,,3,} Tutkitaan ensin satunnaismuuttujan X arvoja käymällä lävitse eri tapaukset. X(ω = 0: Tällöin Kosti ei valitse mitään tarjousta jolloin ensimmäinen tarjous on halvin. Siis kaikki tarjoukset ovat muotoa (1, ω, ω 3, ω, missä ω, ω 3, ω 3 {, 3, } voidaan valita otannalla ilman takaisinpanoa. Siis #{X(ω = 0} = 6. X(ω = 1: Kosti valitsee tarjouksista halvimman. Tällöin joko toinen, kolmas tai neljäs tarjous on halvin. Luetellaan kaikki eri vaihtoehdot.. Jonot ovat muotoa (, 1, ω 3, ω, (3, 1, ω 3, ω, (, 1, ω 3, ω joissa vastaavasti ω 3, ω {3, }, ω 3, ω {, } ja ω 3, ω {, 3}. Tämän muotoisia jonoja saadaan siis otannalla ilman takaisinpanoa kuusi kappaletta. 3. Mahdollisia jonoja missä kolmas on halvin on (, 3, 1,, (,, 1,, (3,, 1,.. Mahdollisia jonoja missä neljäs on halvin ovat (, 3,, 1 ja (,, 3, 1. Jonoja missä Kosti valitsee halvimman on yhteensä 11, #{X(ω = 1} = 11. X(ω = : Toiseksi halvimman tarjouksen on oltava. tai 3., sillä parhaan tarjouksen on oltava toiseksi halvemman jälkeen. Jonot muotoa (3,, ω 3, ω ja (,, ω 3, ω, missä vastaavasti ω 3, ω {1, } ja ω 3, ω {1, 3} valitaan ilman takaisinpanoa. Lisäksi jono (3,,, 1 käy joten #{X(ω = } = 5. X(ω = 3: Jonoja missä Kosti valitsee kolmanneksi halvimman on (, 3, 1, ja (, 3,, 1, eli #{X(ω = 3} =. X(ω = : Ei ole mahdollista että valitsisi Kosti neljänneksi halvinta eli siis kalleinta tarjousta. Siis {X(ω = } = joten #{X(ω = } = 0. Tutkitaan seuraavaksi satunnaismuuttujan Y arvoja. 8

9 Y (ω = 0: Kosti ei jälleen hyväksy mitään tarjousta, tilanne on sama kuin äsken. Siis {Y (ω = 0} = {X(ω = 0}. Y (ω = 1: Kosti valitsee ensimmäisenä tulleen tarjouksen. Kuten huomattiin viime viikon tehtävässä 6, tämä ei ole mahdollista eli {Y (ω = 1} =. Y (ω = : Kosti valitsee toiseksi tulleen tarjouksen. Tässä on muutamia eri vaihtoehtoja läpikäytävänä. 1. Toiseksi tullut tarjous on halvin. Tälläisiä jonoja ovat (, 1, 3,, (, 1,, 3, (3, 1,,, (3, 1,,, (, 1,, 3, (, 1, 3,.. Toiseksi tullut tarjous on. halvin. Tälläisiä jonoja ovat (3,, 1,, (3,,, 1, (,, 1, 3, (,, 3, Toiseksi tullut tarjous on 3. halvin. Tälläisiä jonoja ovat (, 3,, 1, (, 3, 1,. Saadaan siis että #{Y (ω = } = 1. Y (ω = 3: Kosti valitsee kolmantena tulleen tarjouksen. Tämä tarjoittaa että ensimmäisenä tullut tarjous on toiseksi paras kolmen ensimmäisen joukossa ja kolmas tarjous on paras. Tälläisiä jonoja ovat (, 3, 1,, (,, 1, 3, (3,,, 1, (3,, 1,. Siis #{Y (ω = 3} =. Y (ω = : Neljäs tarjous on paras ja ensimmäisenä tullut tarjous on toiseksi paras. Tälläisiä jonoja on (, 3,, 1 ja (,, 3, 1. #{Y (ω = } =. 6. Määritä edellisen tehtävän satunnaismuuttujien X ja Y pistetodennäköisyysfunktiot. Ratkaisu. Satunnaismuuttujat X ja Y ovat diskreettejä satunnaismuuttujia sillä molempien arvojoukko {0, 1,, 3, } on äärellinen. Määritelmän mukaan satunnaismuuttujan X on pistetodennäköisyysfunktio on funktio f X : R R, jolle f X (k = P(X = k. Äskeisen tehtävän nojalla satunnaismuuttujan X pistetodennäköisyysfunktio on f X (0 = 6 = 1, f X(1 = 11, f X( = 5, f X(3 = = 1 1 ja f X( = 0. 9

10 Samoin satunnaismuuttujan Y pistetodennäköisyysfunktio on f Y (0 = 6 = 1, f Y (1 = 0, f Y ( = 1 = 1, f Y (3 = = 1 6 ja f Y ( = = 1 1. Molemmat sekä f X ja f Y todella ovat pistetodennököisyysfunktioita, sillä kummallekin f X (x 0 ja f Y (y 0 kaikilla x, y {0, 1,, 3, } ja voidaan tarkistaa että f X (x = 1 ja f Y (y = 1. x {0,1,,3,} y {0,1,,3,} 10

11 Tehtävän 1 lisätarkasteluja eli kuinka tarkistan ratkaisuni? Oletetaan samoin kuten 1. tehtävän a-kohdan ratkaisussa todettiin eli perusjoukoksi valitaan 0 opiskelijan joukosta valittavat opiskelijan ryhmät. Seuraavat kolme tapahtumaa muodostavat tämän perusjoukon osituksen eli ne ovat erillisiä ja niiden yhdiste muodostaa koko perusjoukon: A 0 = "Jyrki ei tule valituksi, Jutta ei tule valituksi", A 1 = "Joko Jyrki tai Jutta tulee valituksi", A ="Jyrki ja Jutta tulevat valituksi". Huom! A 1 :ssä vain yksi kahdesta tulee valituksi. Tällöin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summan on oltava 1. Eli 0 hengen ryhmä jakautuu kahteen osaan: Jyrkin ja Jutan ryhmä sekä loppujen 38 oppilaan ryhmä. Ensimmäisestä ryhmästä on valittava k = 0, 1, riippuen tapahtumasta A k ja jälkimmäisestä k. Tällöin ja saadaan P(A 0 = P(A = ( ( 38 ( 0 P(A k = ( ( 38 0 ( 0 0 = ( ( 38 k k (. 0 = , P(A 1 = ( ( 38 1 ( 1 0 = ja Laskut on oikein, koska =

12 Vastaavalla tavalla voidaan tarkastella b- kohdan tapausta. Nyt voidaan ajatella perusjoukon osien muodostuvan tapauksessa, jossa Jutta ja Jyrki on jo valittu ryhmään. Lopuista kurssin 38 oppilaasta kaksi eri ryhmään muodostuu Ilkan ja Alexin ryhmästä ja toinen lopuista 36:sta oppilaasta. ( Perusjoukon muodostaa kahden oppilaan ryhmät 38 oppilaasta eli alkioita siinä on 38 kappaletta. (Huom! Ehdollinen todennäköisyys voidaan aina tulkita niin, että tarkastellaan uutta, ehdon muodostamaa perusjoukkoa. Tapahtuma B k = "Ilkan ja Alexin ryhmästä valitaan k henkilöä ryhmään", k = 0, 1,, muodostaa perusjoukon osituksen ja ( ( 36 P(B k A = k k ( 38. Saadaan P(B 0 A = ja P(B A = ( ( 36 ( 38 ( ( 36 0 ( 0 = , P(B 1 A = = 106. ( ( 36 1 ( 1 38 = Laskut on oikein, koska = 106. Lisätehtävä: Millaisia ehdollisia jakaumia syntyy, kun ehdollistavan joukon A tilalle valitaan A 0 tai A 1? 1