Jos γ on tylppä, niin. c 2 = h 2 + (b + s) 2 = a 2 s 2 + (b + s) 2 = a 2 + b 2 + 2bs

Transkriptio

1 12 Vaasan liopiston julkaisuja, opetusmonisteita Lause Kosinilause: c 2 = a 2 + b 2 2ab cos γ. Perustelu: a c h γ u b Tapaus: Terävä γ b u = a cos γ c h a s γ b Tapaus: Tlppä γ s = a cos γ Yllä olevien kuvien merkinnöin: Jos γ on terävä, niin c 2 = h 2 + u 2 = a 2 (b u) 2 + u 2 = a 2 b 2 + 2bu = a 2 + b 2 2b(b u) = a 2 + b 2 2ab cos γ Jos γ on tlppä, niin c 2 = h 2 + (b + s) 2 = a 2 s 2 + (b + s) 2 = a 2 + b 2 + 2bs = a 2 + b 2 2ab cos γ a1-vektorit 1.3 Vektorit Opiskelija on jo koulussa käsitellt tason ja avaruuden koordinaatistoja, mutta koulussa asia leensä ksinkertaistetaan äärimmilleen niin, että snt mielikuva siitä, että on olemassa vain ksi koordinaatisto Tavallinen tason (, )-koordinaatisto Koordinaatisto asetetaan siten, että -akseli on vaakasuora, asteikko kasvaa oikealle, ja - akseli on pstsuora, asteikko kasvaa löspäin. Akselit ovat siis kohtisuorassa. Akselit leikkaavat asteikkojen nollakohdissa. akselien leikkauspistettä sanomme origoksi. Jos tason pisteen P kautta piirrett pstsuora leikka -akselin kohdassa P, ja pisteen P kautta piirrett vaakasuora leikka -akselin korkeudella P niin sanomme, että piste on (la1vektorit.te) 1.3. Vektorit

2 Vaasan liopiston julkaisuja, opetusmonisteita 13 P P = ( P, P ) P Kuva 1.12: Pisteen koordinaatit tasossa. kohdassa P korkeudella P ja merkitsemme P = ( P, P ). Janaa, joka hdistää pisteet P ja Q merkitsemme kirjainparilla, jonka päällä on viiva, P Q. Kun janalle annetaan suunta (P :stä Q:hun), saamme suuntajanan P Q. Tarkasti tulkittuna suuntajalla on pituus, suunta ja paikka. Vektorilla on pituus ja suunta. Kun piirrämme vektorin, niin piirrämme suuntajanan, jolla on sama pituus ja suunta kuin vektorilla. Sanomme, että mikä tahansa suuntajana, jolla on sama pituus ja suunta kuin vektorilla, edustaa vektoria. On tapana sopia nimet koordinaattiakselien suuntaisille ksikkövektoreille: vektori pituus suunta i 1 -akselin suunta 1 -akselin suunta Suuntajanan pituus ja suunta on helppo esittää ksikkövektoreiden i ja avulla: a oikealle ja b lös = a i + b 3 i + 2 i i i i i + i + i + + = 3 i + 2 Kuva 1.13: Kolme oikealle ja kaksi lös. Kun tiedämme suuntajanan päätepisteiden koordinaatit, niin suuntajanan pituus ja suunta saadaan samalla tavalla P Q = ( Q P ) i + ( Q P ) Pisteen P = ( P, P ) paikkavektoria r P edustaa suuntajana origosta O pisteeseen P, eli r P = OP = P i + P. (la1vektorit.te) 1.3. Vektorit

3 14 Vaasan liopiston julkaisuja, opetusmonisteita Q P P Q i P Q P Q = ( Q P ) i + ( Q P ) Kuva 1.14: Suuntajanan pituus ja suunta. Kahden vektorin, a ja b, summa a+ b konstruoidaan piirtäen siten, että ensin piirretään jokin vektoria a edustava suuntajana P Q, sitten piirretään pisteestä Q alkava vektorin b edustaja QR. Nt suuntajana P R edustaa summavektoria a + b. P Q i P R = P Q + QR R b b a a b i a i i a + b = (a + b ) i + (a + b ) Lause Tason vektorin a = a pituus a voidaan laskea lausekkeesta a = a 2 + a 2. Perustelu: Kun piirrämme vektorille a origosta alkavan edustajan, snt luonnollisella tavalla suorakulmainen kolmio, jonka hpotenuusan pituus on sama kuin vektorin pituus ja kateettien pituudet ovat a ja a. Väite seuraa nt Pthagoran lauseesta. osgammataso Lause Kaksi tasovektoria a = a ja b = b i + b ja niiden välinen kulma γ toteuttavat htälön cos γ = a b + a b a. b Perustelu: Piirretään vektoreille origosta alkavat edustajat. Olkoon edustajien loppupisteitä hdistävän janan pituus c. Kosinilauseen mukaan: b c c 2 = a 2 + b 2 2ab cos γ b a (a b ) 2 + (a b ) 2 = a 2 + a 2 + b 2 + b 2 2ab cos γ γ a 2a b 2a b = 2 a b cos γ (la1vektorit.te) 1.3. Vektorit

4 Vaasan liopiston julkaisuja, opetusmonisteita 15 Lause (a) Jos tasovektoria a = a kierretään origon mpäri positiiviseen kiertosuuntaan kulman α verran, niin kierrett vektori on a rot = (cos(α) a sin(α) a ) i + (sin(α) a + cos(α) a ). (b) Jos tasovektoria a = a kierretään origon mpäri positiiviseen kiertosuuntaan kulman π/2 verran, niin kierrett vektori on a rot = a i + a. Perustelu: (a) Olkoon vektorin a pituus r ja vektorin ja -akselin välinen kulma ϕ, jolloin a = r cos ϕ ja a = r sin ϕ. Nt kierrett vektori on a rot r α ϕ r a a rot = r cos(α + ϕ) i + r sin(α + ϕ) = r(cos α cos ϕ sin α sin ϕ) i +r(sin α cos ϕ + cos α sin ϕ) = (cos α a sin α a ) i + (sin α a + cos α a ) (b) Seuraa suoraan a-kohdasta, kun α = π/ Konkreettisen tason (, )-koordinaatisto Jatkossa monen esimerkin ratkaisu alkaa sillä, että asetetaan koordinaatisto, jossa laskut ja analsit tehdään. Koordinaatisto siis valitaan tehtävään sopivalla tavalla. Edellisessä kappaleessa koordinaattiakselien suunnat olivat oikealle ja lös. Tällä valinnalla saatiin aikaan se, että kun ensimmäisen koordinaattiakselin suuntaista vektoria käännetään positiiviseen kiertosuuntaan (vastapäivään) kulman π/2 verran, niin käännett vektori on toisen koordinaattiakselin suuntainen. Kun varustamme tason suorakulmaisella koordinaatistolla, valitsemme neljä ominaisuutta 1. Origo. Piste, jossa koordinaattiakselit leikkaavat. 2. -akseli. 3. -akseli, joka on kohtisuorassa -akselia vastaan ja saadaan -akselista kiertämällä kulman π/2 verran positiiviseen kiertosuuntaan. 4. Akselien asteikko. Akseleilla tulee olla samat asteikot. Asteikkojen nollakohdat ovat origossa. Edellä kohta 3 sisältää aidon valinnan, sillä suunnistus riippuu siitä, miltä puolelta katsomme tasoa. Jos avaruusaseman kaksi astronauttia ovat korjaamassa aurinkopaneelia, ja ovat eri puolilla paneelia, niin he ovat perustellusti eri mieltä suunnistuksesta. Suunnistus riippuu siitä, miten valitsemme tason lä- ja ala-puolen. Lisää esimerkki (la1vektorit.te) 1.3. Vektorit

5 16 Vaasan liopiston julkaisuja, opetusmonisteita Tavallinen avaruuden (,, z)-koordinaatisto Aloitetaan koordinaatiston konstruointi siten, että katsoja on kkssä ja origo on katsojan edessä. -akseli on vaakasuora katsojaan päin, -akseli on vaakasuora oikealle (kohtisuorassa -akselia vastaan), ja z-akseli osoittaa löspäin (kohtisuorassa sekä -akselia että -akselia vastaan). Tämän jälkeen katsoja nousee seisomaan ja ottaa askelen oikealle, ja piirtää kuvan näkemästään. Se, että katsoja muutti hieman asentoaan, saa -akselinkin näkmään kuvassa hvin. z z z P P P P P Kuva 1.15: (,, z)-koordinaatisto. Samoin kuin edellä määritellään koordinaattiakselien suuntaiset ksikkövektorit vektori pituus suunta i 1 -akselin suunta 1 -akselin suunta k 1 z-akselin suunta Olkoon P avaruuden mikä tahansa piste. Piirretään pisteen P kautta pstsuora (vektorin k suuntainen suora), joka leikkaa (, )-tason pisteessä P = ( P, P, 0). Piste P on pisteen P kohtisuora projektio (, )-tasoon. z-koordinaatti kertoo, miten korkealla P on (, )-tasosta. z P on plus-merkkinen, jos P on (, )-tason läpuolella, ja miinus-merkkinen, jos P on (, )-tason alapuolella. Nt on selvää, että OP z P k = OP OP zp k = P i + P OP = P i + P + z P k (la1vektorit.te) 1.3. Vektorit

6 Vaasan liopiston julkaisuja, opetusmonisteita 17 z i i i OP = 3 i k k k k k k P = (3, 4, 5) z P Q P Q = P O + OQ = r Q r P Kun piirrämme pisteestä P vaakasuoran janan z-akselille, niin janan akselin puoleinen päätepiste P z = (0, 0, z P ) on pisteen P projektio z-akselille. Edellä sanoimme (, )-tasoa vaakasuoraksi ja z-akselia pstsuoraksi. Tämä helpottaa kuvion näkemistä, mutta ei ole mitenkään välttämätöntä. Akselit ovat täsin tasa-arvoiset. Samalla tavalla kuin edellä piste projisoitiin (, )-tasoon ja z-akselille, piste voidaan mös projisoida (, z)-tasoon ja -akselille, tai (z, )-tasoon ja -akselille. Edellä konstruoitu koordinaatisto on esimerkki positiivisesti suunnistetusta koordinaatistosta. Suunnistuksen positiivisuuden voi testata ns. oikean käden säännöllä : Aseta oikean käden peukalo, etusomi ja keskisormi likimain kohtisuoraan toisiinsa nähden. Jos nt pstt kääntämään kätesi niin, että peukalo on -akselin suuntainen, etusormi on -akselin suuntainen, ja keskisormi on z-akselin suuntainen, niin koordinaatisto on positiivisesti suunnistettu. Jos koordinaatisto on positiivisesti suunnistettu, niin kahden koordinaattiakselin määräämän tason suunnistus saadaan mös oikean käden avulla: Olkoon (,, z)-koordinaatisto positiivisesti suunnistettu. Jos asetat oikean käden sormet peukutus-asentoon ja asetat peukalon z-akselin suuntaiseksi, niin muut sormet nättävät (, )-tason positiivisen kiertosuunnan. Jos asetat peukalon -akselin suuntaiseksi, niin muut sormet nättävät (, z)-tason positiivisen kiertosuunnan. Jos asetat peukalon -akselin suuntaiseksi, niin muut sormet nättävät (z, )-tason positiivisen kiertosuunnan. Lause (1) Vektorin a = a + a pituus saadaan lausekkeesta a = a 2 + a 2 + a 2 z. (2) Olkoon P = ( P, P, z P ) ja Q = ( Q, Q, z Q ) kaksi pistettä. Pisteiden P ja Q etäiss, eli janan P Q pituus, eli suuntajanan P Q pituus saadaan lausekkeesta P Q = ( Q P ) 2 + ( Q P ) 2 + (z Q z P ) 2. (la1vektorit.te) 1.3. Vektorit

7 18 Vaasan liopiston julkaisuja, opetusmonisteita Perustelu: (1) z a = OP = a + a z k P = (a, a, a z ) P a z k a i a P = (a, a, 0) O P Vektori OP on vaakasuora ja vektori P P on pstsuora. Ne ovat siis kohtisuorassa. Kun kopioimme kolmion ΔOP P kuvatasoon, snt suorakulmainen kolmio, jolle Pthagoran lauseen nojalla on voimassa OP 2 = OP 2 + P P 2 (2) Seuraa kohdasta (1). a 2 = (a 2 + a 2 ) + a 2 z. Lause Kaksi avaruusvektoria a = a + a z k ja b = b i + b + b z k ja niiden välinen kulma γ toteuttavat htälön ammaavaruus cos γ = a b + a b + a z b z a. b Perustelu: Piirretään vektoreille origosta alkavat edustajat. Olkoon edustajien loppupisteitä hdistävän janan pituus c. Kosinilauseen mukaan: c 2 = a 2 + b 2 2ab cos γ (a b ) 2 + (a b ) 2 + (a z b z ) 2 = a 2 + a 2 + a 2 z + b 2 + b 2 + b 2 z 2ab cos γ 2a b 2a b 2a z b z = 2 a b cos γ Avaruusvektorin kiertäminen leisesti käsitellään möhemmin, kun olemme ensin saaneet sopivia tökaluja kättöön. Jos voimme valita hden koordinaattiakselin kiertoakselin suuntaiseksi, niin tehtävä helpottuu ja osaamme kuvata kierron helposti Lause (a) Jos avaruusvektoria a = a + a z k kierretään z-akselin mpäri positiiviseen kiertosuuntaan kulman α verran, niin kierrett vektori on a rot = (cos(α) a sin(α) a ) i + (sin(α) a + cos(α) a ) + a z k. (b) Jos tasovektoria a = a + a z k kierretään z-akselin mpäri positiiviseen kiertosuuntaan kulman π/2 verran, niin kierrett vektori on a rot = a i + a + a z k. (la1vektorit.te) 1.3. Vektorit

8 Vaasan liopiston julkaisuja, opetusmonisteita Konkreettisen avaruuden (,, z)-koordinaatisto Fsiikan laskuissa usein suunnat vaakasuora ja pstsuora ovat luonnollisia ja ongelmattomia. Aina näin ei kuitenkaan ole ja joskus laskut helpottuvat, kun akselien suunnat valitaan tilanteeseen sopivasti. jatkossa kuitenkin odotamme aina, että valitut akselit ovat keskenään kohtisuorassa ja muodostavat positiivisesti sunnistetun koordinaatiston. Kun varustamme tilan suorakulmaisella koordinaatistolla, valitsemme taas neljä ominaisuutta 1. Origo. Piste, jossa koordinaattiakselit leikkaavat. 2. -akseli. 3. -akseli, joka on kohtisuorassa -akselia vastaan. z-akseli määrät nt siitä, että se on kohtisuorassa sekä - akselia että akselia vastaan, ja kaikki akselit hdessä muodostavat positiivisesti suunnistetun koordinaatiston. (Kun siis - ja -akselit on valittu, niin z-akseli määrät niistä, eikä sen suhteen enää ole valinnan mahdollisuuksia). 4. Akselien asteikko. Akseleilla tulee olla samat asteikot. Asteikkojen nollakohdat ovat origossa. Edellä kohta 3 sisältää enemmän vaihtoehtoja kuin tason tapauksessa. Lisää esimerkki ec:la1-pisteristi 1.4 Piste- ja ristitulo Tässä kappaleessa määrittelemme kaksi vektoreille määriteltä tuloa; pistetulo ja ristitulo. Määritelmät ja erilaiset tulojen ominaisuudet saattavat tuntua, sekavalta kokonaisuudelta. Koko tämän kappaleen ajan pidä kirkkaana mielessä se ero, että kahden vektorin pistetulon arvo on luku, ja kahden vektorin ristitulon arvo on vektori. E:DC1 Esimerkki Olkoon a = 2 i k, ja b = i k. Silloin a b = 4, (1.10) a b = 17 i 10 + k. (1.11) Pian opimme laskemaan pistetulon ja ristitulon. Sitten voit palata tähän esimerkkiin ja tarkistaa laskut. Nt on tärkeintä mmärtää, että tulot antavat täsin eri tppiset tulokset. (la1pisteristi.te) 1.4. Piste- ja ristitulo

9 20 Vaasan liopiston julkaisuja, opetusmonisteita s OB z b B O B A A s OA s OB B B γ O b r A A s OA Kuva 1.16: Kahden avaruusvektorin välinen kulma. lafig:vecangle Viimeistään tässä vaiheessa tulee määritellä, mitä tarkoitamme kahden avaruusvektorin välisellä kulmalla. Olkoon a ja b kaksi avaruusvektoria. Piirrämme vektoreita edustavat origosta alkavat suuntajanat a = OA ja b = OB. Piirrämme vielä origosta alkavan ja pisteen A kautta kulkevan puolisuoran s OA ja origosta alkavan ja pisteen B kautta kulkevan puolisuoran s OB. Puolisuorat leikkaavat r-säteisen origo-keskisen pallon pisteissä A ja B. Leikkaamme kuvion tasolla, joka kulkee pisteiden O, A, ja B kautta. Kuvassa lafig:vecangle 1.16 on piirrett sntvä leikkauskuvio. Merkitään b:llä pisteitä A ja B hdistävän lhemmän kaaren pituutta. Leikkauskuvaan sntvä kulma γ = A OB = AOB = b r (rad) on vektoreiden välinen kulma. Konstruktiosta seuraa, että 0 γ π. Jos γ = 0, niin vektorit ovat samansuuntaiset. Jos γ = π, niin vektorit ovat vastakkaissuuntaiset. Monessa sovellustilanteessa vektorin avulla ilmaistaan suoran suunta. Siksi on tapana sanoa, että jos pisteiden O ja A kautta piirrett suora, ja pisteiden O ja B kautta piirrett suora ovat hdensuuntaiset, niin mös vektorit ovat hdensuuntaiset. Tämä tarkoittaa sitä, että vektorit ovat hdensuuntaiset, jos ne ovat saman- tai vastakkaissuuntaiset. Kätämme jatkossa seuraavia merkintöjä: a b, a b, a b, a b, jos vektorit ovat samansuuntaiset, jos vektorit ovat vastakkaissuuntaiset, jos vektorit ovat hdensuuntaiset, jos vektorit ovat kohtisuorassa. Määritelmä Olkoon a ja b kaksi tason (tai avaruuden) vektoria ja olkoon γ = ( a, b) niiden välinen kulma. Vektoreiden a ja b pistetulo a b on reaaliluku a b = a b cos γ. Kaksi vektoria ovat siis kohtisuorassa, jos niiden välinen kulma on π/2 (90 ) tai ainakin toinen vektoreista on nollavektori. Pistetulon arvo voidaan laskea koordinaattien perusteelle seuraavasti: (la1pisteristi.te) 1.4. Piste- ja ristitulo

10 Vaasan liopiston julkaisuja, opetusmonisteita 21 Lause (1) Olkoon a = a ja b = b i + b kaksi tasovektoria. Silloin a b = a b + a b. (2) Olkoon a = a + a z k ja b = b i + b + b z k kaksi avaruusvektoria. Silloin a b = a b + a b + a z b z. Perustelu: (1) Suora seuraus määritelmästä ja lauseesta Th:CosGammaTaso (sivu 14) Th:CosGammaTaso ja lauseesta Th:CosGammaAvaruus (sivu 18). Th:CosGammaAvaruus Octavessa on pistetulon laskemiseen funktio dot(vec1,vec2). Periaate on se, että ensin esitellään vektorit, ja sitten lasketaan vektoreilla. Esimerkin E:DC1 pistetulo lasketaan Octavella seuraavalla tavalla: octave:1> a= [2; 3; -4]; octave:2> b = [1; 2; 3]; octave:3> ptulo = dot(a,b) ptulo = -4 Pistetulo on siis helppo laskea koordinaattien avulla, vaikka emme tietäisikään vektoreiden välistä kulmaa. Kaksi pistetulon ominaisuutta tulee esiin varsin usein: 1. Kaksi vektoria, a ja b ovat kohtisuorassa jos ja vain, jos niiden pistetulo on nolla. a b a b = Vektorin pituuden neliö on sen pistetulo itsensä kanssa. a 2 = a a. Määritelmä Olkoon a ja b kaksi avaruuden vektoria ja olkoon γ niiden välinen kulma. Vektoreiden a ja b ristitulo a b on vektori, jonka pituus on a b = a b sin γ, ja suunta määrät seuraavasta kolmesta ehdosta 1. vektorit a ja a b ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, 2. vektorit b ja a b ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, DCintro_def1 3. vektorit a, b ja a b (tässä järjestksessä!) muodostavat positiivisesti suunnistetun ssteemin. 4 4 Ehdot 1 3 merkitsevät sitä, että ristitulovektori on kohtisuorassa a:n ja b:n tasoa vastaan ja osoittaa tämän tason läpuolelle. (la1pisteristi.te) 1.4. Piste- ja ristitulo

11 22 Vaasan liopiston julkaisuja, opetusmonisteita Määritelmässä siis viitataan vektoreiden pituuksiin ja niiden väliseen kulmaan. Jos voimme valita koordinaatiston sopivasti, niin ristitulo voidaan rakentaa kuin lankkuaita. Aina ei ole järkevää kättää montaa koordinaatistoa samassa laskussa, ja seuraava konstruktio jääkin siksi erikoisuudeksi, jota vähän kätetään. Sen avulla on kuitenkin helppo osoittaa että ristitulo noudattaa osittelulakia, mikä edelleen avaa meille kaavat, joilla ristitulon lasku voidaan tehdä vektoreiden koordinaattien avulla helposti. Lause Olkoon a ja b kaksi avaruuden vektoria ja olkoon γ = ( a, b) niiden välinen kulma. Asetetaan koordinaatisto siten, että z-akseli on vektorin a suuntainen. - ja -akselit voidaan valita vapaasti, kuitenkin siten että sntvä koordinaatisto on suorakulmainen ja positiivisesti suunnistettu. Olkoon vektoreiden esitkset tässä koordinaatistossa a = a k, b = b i + b + b z k = OP. Ristitulo a b voidaan nt konstruoida kolmella askelella seuraavasti: 1. Projisoidaan P koordinaatiston (, )-tasoon. Projektiopiste on P = (b, b, 0) ja suuntajanan OP pituus on b sin γ. 2. Kierretään suuntajanaa OP kulman π/2 verran positiiviseen kiertosuuntaan (, )- tasossa. Kierrett suuntajana on OP, rot = b i + b. Th:Cross1 3. Ristitulovektori saadaan nt kertomalla edellä saatu vektori vektorin a pituudella: a b = a OP, rot = b a i + b a. Perustelu: Pisteet O, P ja P muodostavat a:n ja b:n määräämässä tasossa suorakulmaisen kolmion, jonka hpotenuusan pituus on b. Vaakasuora kateetti on pituudeltaan OP = b sin γ. Kierrett vektori on htä pitkä. Lopullisen ristitulovektorin pituus on a b sin γ, kuten pitääkin. Se, että kolmannen askeleen lopussa saatu ristitulovektori on kohtisuorassa vektoreita a ja b vastaan on konstruktion mukaan selvä. Riittävän hvällä avaruudellisella hahmotuskvllä varustettu lukija voi todistaa tämän. Onneksi voimme tarkistaa kohtisuoruuden mös ksinkertaisella laskulla ( a b) a = ( b a i + b a + 0 k) ( 0 i a k) = 0 (1.12) a b a ( a b) b = ( b a i + b a + 0 k) (b i + b + b z k) = 0 (1.13) a b b Kolmikon a, b, ja a b positiivinen suunnistus nähdään seuraavasti: aseta peukalo, etusormi ja keskisormi hdensuuntaisina vektorin a suuntaisesti. Pidä peukalo a:n suuntaisena, mutta (la1pisteristi.te) 1.4. Piste- ja ristitulo

12 Vaasan liopiston julkaisuja, opetusmonisteita 23 käännä etu- ja keskisormi b:n suuntaiseksi. Pidä peukalo ja etusormi paikallaan, mutta jatka keskisormen kääntämistä samaan suuntaan, kunnes se on -tasossa kohtisuorassa peukaloa vastaan. Lopuksi käännä keskisormea π/2 positiiviseen kiertosuuntaan -tasossa. Nt peukalo on a:n suuntainen, etusormi on b:n suuntainen ja keskisormi on ristitulon a b suuntainen. Edellisen lauseen konstruktiota emme tässä opetusmonisteessa sovella kätännössä kuin kerran. Se tapahtuu seuraavan lauseen todistuksessa. Lause Olkoon a, b ja c kolme avaruusvektoria ja olkoon r reaaliluku. Silloin (1) b a = a b, (2) (r a) b = a (r b) = r( a b) (3) a ( b + c) = a b + a c (4) ( a + b) c = a c + b c Th:Cross2 Perustelu: (1) Määritelmän mukaan on selvää, että a b = b a. Kun haemme ristitulovektorille a b suunnan oikean käden säännöllä, asetamme peukalon vektorin a suuntaiseksi ja etusormen vektorin b suuntaiseksi. Nt keskisormi osoittaa ristitulon suunnan. Kun teemme saman ristitulon b a osalta, niin peukalo ja etusormi vaihtavat paikkoja, jolloin keskisormi käänt osoittamaan päinvastaiseen suuntaan kuin edellä. (2) Seuraa suoraan määritelmästä. (3) Tarkastellaan vektoreita kättäen suorakulmaista koordinaatistoa, jonka z-akseli on avektorin suuntainen. Silloin ristitulot voidaan määrittää kuten lauseessa Th:Cross1 Nt a ( b + c) = (b + c ) a i + (b + c ) a = ( b a i + b a ) + ( c a i + c a ) = a b + a c (4) Periaatteessa voisimme tehdä kuten kohdassa (3), mutta helpommalla pääsemme, kun vetoamme kohtiin (1) ja (3) seuraavalla tavalla ( a + b) c ( (1) = c ( a + ) (3) ( b) = c a + c ) b (1) = a c + b c ladcintro_lause1 Lause Vektoreiden a = a + a z k ja b = b i + b + b z k ristitulo on a b = (a b z a z b ) i + (a z b a b z ) + (a b a b ) k. Perustelu: (la1pisteristi.te) 1.4. Piste- ja ristitulo

13 24 Vaasan liopiston julkaisuja, opetusmonisteita Määritelmästä seuraa, että i i = = k k = 0 ja i = k k = i k i = i = k k = i i k = Nämä ja osittelulait (lauseen Th:Cross kohdat (3) ja (4)) antavat seuraavan tuloksen a b = (a + a z k) (b i + b + b z k) = a b i i + a b i + a b z i k +a b b + a b z k = +a b k a b z +a z b k i + a z b k + a z b z k k a b k + a b z i +a z b a z b i = (a b z a z b ) i + (a z b a b z ) + (a b a b ) k. Esimerkki Laskemme tarkistuksen vuoksi esimerkin E:DC1 ristitulon ensin käsin, sitten Octavella. a = 2 i k, ja b = i k. a b = (a b z a z b ) i + (a z b a b z ) + (a b a b ) k = (3 3 ( 4) 2) i + (( 4) 1 2 3) + ( ) k = 17 i 10 + k Octavella octave:2> a = [2; 3; -4]; octave:3> b = [1; 2; 3]; octave:4> rtulo = cross(a,b) rtulo = Edellä todetun perusteella voimme tehdä seuraavan hteenvedon hdensuuntaisuuden tutkimisesta pistetulon ja ristitulon avulla: (la1pisteristi.te) 1.4. Piste- ja ristitulo

14 Vaasan liopiston julkaisuja, opetusmonisteita 25 Lause Olkoon a ja b kaksi vektoria ja γ niiden välinen kulma. Silloin (γ = 0) samansuuntaisuus: a b a b = a b, (γ = π) vastakkaissuuntaisuus: a b a b = a b, (γ = 0, tai γ = π) hdensuuntaisuus: a b a b = 0, (γ = π 2 ) kohtisuoruus: a b a b = 0, (γ < π 2 ) terävä kulma: a b > 0, (γ > π 2 ) tlppä kulma: a b < 0. ec:la1-projektiot 1.5 Skalaari- ja vektoriprojektiot Edellä esimerkissä Ea:Vec1?? voima jaettiin vaakasuoraan ja sitä vastaan kohtisuorassa olevaan pstsuoraan komponenttiin. Jatkossa vaakasuoran sijassa on jokin muu suunta. Edellisessä kappaleessa esitellt pistetulo ja ristitulo antavat tökalut tähän komponenttien erotteluun. Ssec:VecProj Vektorin projektio vektorin suuntaan Tasovektoreiden tapauksessa tämän kappaleen asiat ovat helpommin piirrettävissä, joten aloitamme siitä. Kuvaan 1.17 Fig:VecOComp1 on piirrett kaksi tasovektoria a = P Q ja b. Piirretään pisteen P kautta vektorin b suuntainen apusuora, ja piirretään pisteen Q kautta apusuora, joka on kohtisuorassa ensin piirrettä apusuoraa vastaan. Toinen apusuora on mös kohtisuorassa vektoria b vastaan. Lisätt apusuorat leikkaavat toisensa kohtisuorasti pisteessä R. Merkitään P R = a b RQ = a b vektorin b suuntainen a:n komponentti, ja vektoria b vastaan kohtisuora a:n komponentti. Nt a = a b + a b, ja vektori a on siis jaettu kahteen osaan, joista ensimmäinen on b:n suuntainen ja toinen on b:tä vastaan kohtisuora. Avaruusvektoreiden tapauksessa edellinen konstruktio vaatii huolellisuutta toisen apusuoran valinnassa. Emme tee konstruktiosta avaruusversiota, vaan määrittelemme komponentit helpolla ja leisellä tavalla: Määritelmä Olkoon a ja b kaksi tasovektoria, tai kaksi avaruusvektoria. Jos a = a b + a b, missä a b on vektorin b suuntainen ja a b on kohtisuorassa vektoria b vastaan, niin sanomme, että a b on vektorin b suuntainen vektorin a komponentti, (la1projektiot.te) 1.5. Skalaari- ja vektoriprojektiot

15 26 Vaasan liopiston julkaisuja, opetusmonisteita b b Q Q a a a b R P P a b Kuva 1.17: Vektorin a komponentit: b:n suuntainen komponentti a b, ja b:tä vastaan kohtisuora komponentti a b Fig:VecOComp1 a b on vektoria b vastaan kohtisuora vektorin a komponentti, Sanomme mös, että a b on vektorin a vektoriprojektio vektorin b suuntaan. Vektorin a skalaariprojektio vektorin b suuntaan, on { + a a b = b, kun a b b a b, kun a b b. Vektoriprojektio on siis vektori ja skalaari projektio on luku. Projektioille on olemassa helpot kaavat pistetulon avulla. Lause Olkoon b 0 vektorin b suuntainen ksikkövektori (eli b 0 = 1 b), ja olkoon γ b vektoreiden a ja b välinen kulma. Silloin a b = a cos γ b 0 = ( a b) b0 = b ( a b) ( a b) b = b 2 ( b b) b, a b = a cos γ = a b 0 = ( a b) b = ( a b) b b. Perustelu: On selvää, että lauseen kaavasta saatu komponentti a b on vektorin b suuntainen. On vielä osoitettava, että ( a a b ) b. Tämä on suora läpilasku: ( a b) ( a a b ) b = ( a ( ( a b) b) b = ( a b b b) ( b b) = 0. b b) Jos b on ksikkövektori (jonka pituus on siis ksi), niin vektoriprojektion ja skalaariprojektion kaavat saavat hvin ksinkertaiset muodot (la1projektiot.te) 1.5. Skalaari- ja vektoriprojektiot

16 Vaasan liopiston julkaisuja, opetusmonisteita 27 Th:VecProj1 Lause Jos e on ksikkövektori, niin a e = ( a e) e, a e = a e Perustelu: HT Lauseen Th:VecProj1 kaavat ovat päteviä vain, jos e on ksikkövektori. Jos laskija kättää usein kseisiä kaavoja, niin on inhimillistä alkaa ajatella, että näinhän tämä aina lasketaan. (Muista: Lauseen Th:VecProj1 kaavat eivät ole tosia, jos e 1.) Ssec:FMomPl Voiman momentti pisteen suhteen tasossa Esimerkki Tarkastellaan kuvan 1.18 fig:vmp01 mukaista tilannetta, jossa tanko, jonka pituus on L = 50 cm on ripustettu läpäästään siten, että se pääsee kiertmään ripustuspisteensä mpäri. Tankoon vaikuttaa paino G = 20 N alaspäin, jonka vaikutuspiste on tangon keskipiste 25.0 cm ripustuspisteestä. Lisäksi tankoon vaikuttaa tukivoima T ripustuspisteeseen, ja kaksi vaakasuoraa voimaa: F 1 = 12.0 N vasemmalle (vaikutuspiste r 1 = 10.0 cm ripustuspisteestä) ja F 2 = 6.0 N oikealle (vaikutuspiste r 1 = 30.0 cm ripustuspisteestä). Ensimmäinen voima prkii kiertämään tankoa negatiiviseen kiertosuuntaan (mötäpäivään), ja toinen voima prkii kiertämään tankoa positiiviseen kiertosuuntaan (vastapäivään). Kuvaan ei ole piirrett ripustuspisteeseen vaikuttavaa tukivoimaa, eikä massakeskipisteeseen vaikuttavaa painoa ne otetaan mukaan seuraavassa esimerkissä. Kumpaan suuntaan tanko alkaa kiertä? F 1 r 1 r 2 F 2 + Kuva 1.18: Kilpailevat momentit. fig:vmp01 Ratkaisevia ovat nt voimien momentit (momentti = voima kertaa varsi). Momentit ovat M 1 = r 1 F 1 = 0.100m 12.0 N = 1.20 Nm M 2 = +r 2 F 2 = m 6.0 N = Nm Momenttien merkit määrätvät siitä, mihin kiertosuuntaan momentti prkii kiertämään kappaletta. Tämä vaatii laskijalta harkintaa. Kokonaismomentti on M 1 + M 2 = Nm, joten tanko alkaa kiertä positiiviseen suuntaan. (la1projektiot.te) 1.5. Skalaari- ja vektoriprojektiot

17 28 Vaasan liopiston julkaisuja, opetusmonisteita Merkit saadaan kätevästi ilman erillistä harkintaakin. Upotetaan taso avaruuden, -tasoon, ja korvataan varret vektoreilla kiertopisteestä voiman vaikutuspisteeseen. Momentti lasketaan kaavalla M = r F. Nt M 1 = r 1 F 1 = m ( 12.0 N i) = 1.20 Nm k M 2 = r 2 F 2 = m 6.0 N i = 1.80 Nm k Esimerkki Jatketaan edellisen esimerkin tarkastelua. Tanko kiert kulman α verran. Tukivoimalla ei edelleenkään ole momenttia, koska sen varsi on nolla, mutta painolla on nt momentti M G = L sin αg. 2 (Ks. kuva 1.19) fig:vmp02 Millä kulman α arvolla kokonaismomentti on nolla? T F 1 r 1 α r G r 2 F 2 r 1 = m cos α, r 2 = m cos α, r G = m sin α, r T = 0. G Kuva 1.19: Momenttien tasapaino. fig:vmp02 Tasapainon momenttiehto on nt r 1 F 1 + r 2 F 2 r G G = m cos α 12.0 N m cos α 6.0 N m sin α 20.0 N = Nm cos α 5.00 Nm sin α = 0 tan α = α = (rad) = Edellä voimat olivat vaaka- tai pstsuoria, mikä aina helpottaa laskemista. Entä jos minkään ei tarvitse olla pstä tai vaakaa? Tarkastellaan seuraavaksi kuvan fig:vmp mukaista tilannetta. Kuvan merkinnöillä on seuraavat tulkinnat: r = vektori kiertopisteestä voiman vaikutuspisteeseen (varsivektori), r = kiertopisteen etäiss voiman vaikutussuorasta, F = voimavektori, F = voiman vartta vastaan kohtisuora komponentti, α = poikkeama kohtisuoruudesta. (la1projektiot.te) 1.5. Skalaari- ja vektoriprojektiot

18 Vaasan liopiston julkaisuja, opetusmonisteita 29 F F α r α r Kuva 1.20: Voiman momentti tasossa. fig:vmp03 Lause Kuvan fig:vmp merkinnöillä voiman momentti on M = (±)r F = (±)r F, ja M = r F = M k. Perustelu: Tutkimme nt vain kuvan fig:vmp tilanteen. (Tädellinen perustelu vaatisi tutkimaan mös kuviot, joissa momentti on negatiivinen ja α < 0 ) (1) M = (±)r F on momentin perusmääritelmän mukainen lauseke. (Huomaa, että voiman varren suuntaisella komponentilla ei ole momenttia.) (2) (3) M = (±)r F = (±)r F cos α = (±)(r cos α) F = (±)r F. r F = r F sin(π/2 α) = r F cos α = M. Merkkien oikeellisuus nähdään oikean käden säännöllä. On stä korostaa, että edellisen lauseen kaavat koskevat tilannetta, jossa kaikki vektorit ovat samassa tasossa. Kse on siis taso-ongelman käsittelstä. Eritisesti pörivien koneiden htedessä kappaleen pöriminen tapahtuu akselin eikä pisteen mpäri. Tämä tuo laskutehtävään hden uuden vektorin (akselin suunta). Voiman momenttia akselin suhteen käsitellään möhemmin luvussa?? Ssec:FMomSpace (sivu??). Ssec:FMomSpace (la1projektiot.te) 1.5. Skalaari- ja vektoriprojektiot