Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!

Transkriptio

1 Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat asiat. n Lasket kynällä ja paperilla, mutta Mafynetti opettaa ja neuvoo videoiden ja ratkaisujen avulla. n Mafynetti huolehtii kertauksesta, joten et unohda oppimiasi asioita. n Mafynetti on nyt kokonaan ilmainen! Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti

2 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA..0 MATEMATIIKAN KOE LYHYT OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. V.. a) a) Ratkaise yhtälö 7 x + =. a + b 5 7 b) b) Laske lausekkeen arvo, kun a = ja ja b =.. a b c) c) Ratkaise yhtälöpari x y = x + y = Kuvissa 6 on oheisessa taulukossa mainittujen funktioiden y = ff( ( x )) kuvaajat. Kopioi taulukko vastauspaperiisi ja ja merkitse siihen, mikä kuvaaja esittää annettua funktiota. ff( ( x )) x x x x x x Kuva Kuva y x Kuva y x Kuva y Kuva 4 y x x Kuva 5 y x Kuva 6 y x

3 . a) Ratkaise yhtälö b) Ratkaise yhtälö x + x =. x = x 4. a) Funktion f ( x) = x + b nollakohta on. Määritä vakion b arvo. b) Missä pisteessä a-kohdan funktion kuvaaja leikkaa y-akselin? c) Kuinka suuren terävän kulman a-kohdan funktion kuvaaja muodostaa x-akselin kanssa? Anna vastaus asteen kymmenesosan tarkkuudella. 5. Tarkastellaan funktiota f ( x) = ( x + )( x 4). a) Laske funktion f ( x ) nollakohdat. b) Määritä derivaatta f ( x ). c) Laske derivaatan nollakohdat. 6. Biologi haluaa arvioida joen leveyttä, jotta hän voi asettaa kalojen liikkumista mittaavia laitteita jokeen. Hän katsoo joen rannalla olevasta pisteestä A kohtisuoraan vastarannalla olevaa pistettä C. Pisteestä A hän kävelee 0 metriä alavirtaan pisteeseen B, josta katsottuna vastarannan piste C näkyy 50 asteen kulmassa alla olevan kuvan mukaisesti. Laske joen leveys AC metrin tarkkuudella. C 50 o A B 7. Henkilö lähettää sähköpostin kahdelle ystävälleen. Kumpikin näistä lähettää saman viestin 0 minuutin kuluttua edelleen kahdelle uudelle henkilölle, jotka toimivat samoin. Tilanne toistuu kunkin saajan kohdalla aina samalla tavalla, eikä kukaan saa kyseistä sähköpostia toista kertaa. Kuinka kauan kestää, että henkilöä on saanut sähköpostin? Anna vastaus 0 minuutin tarkkuudella.

4 8. Naisten hiusten leikkaus maksaa nyt 45 euroa. Kuinka paljon se maksaa kymmenen vuoden 8. Naisten hiusten leikkaus maksaa nyt 45 euroa. Kuinka paljon se maksaa kymmenen vuoden 8. kuluttua, Naisten hiusten jos hintaa leikkaus korotetaan maksaa vuoden nyt 45 välein euroa.,5 Kuinka %? paljon se maksaa kymmenen vuoden kuluttua, jos hintaa korotetaan vuoden välein,5 %? kuluttua, jos hintaa korotetaan vuoden välein,5 %? 9. Farao Djoser (hallitsi eaa.) suunnitteli porraspyramidia, jossa on päällekkäin Farao Djoser (hallitsi eaa.) suunnitteli porraspyramidia, jossa on päällekkäin suorakulmaista Farao Djoser (hallitsi neliöpohjaista särmiötä eaa.) suunnitteli niin, että kaikilla porraspyramidia, on sama korkeus jossa on ja päällekkäin jokaisen pohjasärmä on 0 % neliöpohjaista lyhyempi kuin särmiötä alla olevan niin, että pohjasärmä. kaikilla on Alimmaisen sama korkeus särmiön ja jokaisen tilavuus pohja- on särmä on 0 lyhyempi kuin alla olevan pohjasärmä. Alimmaisen särmiön tilavuus on 00 suorakulmaista neliöpohjaista särmiötä niin, että kaikilla on sama korkeus ja jokaisen pohja- suorakulmaista särmä on m 0 % lyhyempi kuin alla olevan pohjasärmä. Alimmaisen särmiön tilavuus on m. Määritä tällaisen porraspyramidin tilavuus kolmen merkitsevän numeron tarkkuu- Määritä tällaisen porraspyramidin tilavuus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudelladella.. Määritä tällaisen porraspyramidin tilavuus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. < Porraspyramidi Luettu < < Luettu Luettu Luettu Maanjäristyksen voimakkuus M lasketaan kaavalla 0. Maanjäristyksen voimakkuus lasketaan kaavalla Maanjäristyksen voimakkuus M lasketaan kaavalla, 44M = log E 5, 4,, 44 log 5, 4,,, 44M = log E 5, 4, jossa E on järistyksessä vapautuva energia. jossa on järistyksessä vapautuva energia. jossa a) Sendain E on lähellä järistyksessä vuonna vapautuva 0 sattuneen energia. järistyksen voimakkuus oli 9,0. Laske järistyksessä a) Sendain lähellä vuonna 0 sattuneen järistyksen voimakkuus oli 9,0. Laske järistyksessä a) Sendain vapautunut lähellä energia vuonna kahden 0 merkitsevän sattuneen järistyksen numeron tarkkuudella. voimakkuus oli 9,0. Laske järistyksessä vapautunut energia kahden merkitsevän numeron tarkkuudella. b) Kobessa vapautunut vuonna energia 995 kahden sattuneen merkitsevän järistyksen numeron voimakkuus tarkkuudella. oli 6,8. Kuinka moninkertainen oli b) Kobessa vuonna 995 sattuneen järistyksen voimakkuus oli 6,8. Kuinka moninkertainen oli b) Kobessa Sendain järistyksessä vuonna 995 vapautunut sattuneen järistyksen energia Koben voimakkuus järistykseen oli 6,8. verrattuna? Kuinka moninkertainen oli Sendain järistyksessä vapautunut energia Koben järistykseen verrattuna? Sendain järistyksessä vapautunut energia Koben järistykseen verrattuna?.. Levitoimiseen tarvittavassa taikajuomassa on oltava vähintään 0 hyppysellistä jauhettua le-. Levitoimiseen tarvittavassa taikajuomassa on oltava vähintään 0 hyppysellistä jauhettua lepakon siipeä ja vähintään 0 hyppysellistä hämähäkin seittiä. Taikajuomapuodissa on kahta. Levitoimiseen pakon siipeä ja tarvittavassa vähintään 0 taikajuomassa hyppysellistä on hämähäkin oltava vähintään seittiä. Taikajuomapuodissa 0 hyppysellistä jauhettua on kahta lepakon valmissekoitetta siipeä ja vähintään Ascensus ja 0 Sursum. hyppysellistä Pikarillinen hämähäkin Ascensusta seittiä. maksaa Taikajuomapuodissa kaksi kultarahaa, on ja kahta siinä valmissekoitetta Ascensus ja Sursum. Pikarillinen Ascensusta maksaa kaksi kultarahaa, ja siinä valmissekoitetta on kolme hyppysellistä Ascensus lepakon ja Sursum. siipeä Pikarillinen ja kaksi hyppysellistä Ascensusta hämähäkin maksaa kaksi seittiä. kultarahaa, Pikarillinen ja siinä Sur- on kolme hyppysellistä lepakon siipeä ja kaksi hyppysellistä hämähäkin seittiä. Pikarillinen Sursumia maksaa kolme kultarahaa. Siinä puolestaan on neljä hyppysellistä lepakon siipeä ja yksi sumia on kolme maksaa hyppysellistä kolme kultarahaa. lepakon siipeä Siinä ja puolestaan kaksi hyppysellistä on neljä hyppysellistä hämähäkin seittiä. lepakon Pikarillinen siipeä ja Sursumia maksaa hämähäkin kolme kultarahaa. seittiä. Kuinka Siinä puolestaan paljon kumpaakin on neljä hyppysellistä sekoitetta kannattaa lepakon levitoijakoke- siipeä yksi hyppysellinen hämähäkin seittiä. Kuinka paljon kumpaakin sekoitetta kannattaa levitoijakoke- yksi hyppysellinen laan hyppysellinen ostaa, jotta hämähäkin hän saisi taikajuoman seittiä. Kuinka mahdollisimman paljon kumpaakin edullisesti? sekoitetta kannattaa levitoijakokelaan ostaa, jotta hän saisi taikajuoman mahdollisimman edullisesti? laan ostaa, jotta hän saisi taikajuoman mahdollisimman edullisesti?

5 4. Leonardo Pisano (70 50), kutsumanimeltään Fibonacci, määritteli noin vuonna 0 lukujonon ( f n) kaavoilla a) Määritä luvut f, f4,, f 0. f = f =, f = f + f, n =,, n+ n+ b) Kreikkalaiset kutsuivat lukua ( ) ϕ = + 5,6804 kultaiseksi leikkaukseksi. Sen avulla saadaan Fibonaccin luvuille kaava n ( ( ) ),,, 5 ϕ n = ϕ n fn n = Näytä, että kaava on oikea, kun n = ja n =. c) Näytä, että yhtälön x x = 0 juuret ovat ϕ ja. ϕ. Simeoni osti Saapasnahkatornin 000 eurolla ja teetti siihen myöhemmin euron peruskorjauksen. Yksitoista vuotta myöhemmin hän myi sen Juhanille eurolla. Voitosta on maksettava 0 % pääomatuloveroa. Verottaja tulkitsee voitoksi summan, joka saadaan, kun myyntihinnasta vähennetään ostohinta ja peruskorjauskulut. Toisaalta Simeoni voi myös halutessaan käyttää ns. hankintameno-olettamaa. Tällöin myyntihinnasta vähennetään 0 %, jos on omistanut tornin alle 0 vuotta, ja 40 %, jos on omistanut yli 0 vuotta. Mitään muita vähennyksiä ei saa tehdä. Jäljelle jääneestä summasta maksetaan 0 % pääomatuloveroa. a) Paljonko Simeonille jää myyntihinnasta verotuksen jälkeen, kun hän valitsee edullisemman vaihtoehdon? b) Mikä olisi sellainen myyntihinta, että Simeoni maksaisi kummassakin verotusvaihtoehdossa yhtä suuren veron? 4. Vuorokauden keskilämpötila maaliskuussa on eräällä paikkakunnalla normaalijakautunut niin, että odotusarvo on 4,0 C ja 90 % vuorokautisista keskilämpötiloista on,0 C 6,0 C. Laske keskilämpötilan keskihajonta. 5. a) Määritä yhtälön sin (x + 4 ) = ratkaisut välillä x [0,90 ]. b) Määritä a-kohdan yhtälön kaikki ratkaisut.

6 Lyhyt matematiikka, kevät 0 Mallivastaukset,..0 Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja diplomi-insinööri Antti Suominen. Teemu Kekkonen on opettanut lukiossa viiden vuoden ajan pitkää ja lyhyttä matematiikkaa sekä fysiikkaa. Antti on toiminut neljä vuotta tuntiopettajana Teknillisessä korkeakoulussa ja sen jälkeen lukiossa. Antti ja Teemu ovat perustaneet MAFYvalmennuksen ja opettavat sen kaikilla kursseilla ympäri vuoden. Nämä mallivastaukset ovat Antti Suominen Oy:n omaisuutta. MAFY-valmennus on Helsingissä toimiva, matematiikan ja fysiikan valmennuskursseihin erikoistunut yritys. Palveluitamme ovat TKK-pääsykoekurssit arkkitehtiosastojen pääsykoekurssit yo-kokeisiin valmentavat kurssit yksityisopetus Julkaisemme internet-sivuillamme kaiken palautteen, jonka asiakkaat antavat kursseistamme. Näin varmistamme, että palveluistamme kiinnostuneilla ihmisillä on mahdollisuus saada tarkka ja rehellinen kuva siitä, mitä meiltä voi odottaa. Tämä asiakirja on tarkoitettu yksityishenkilöille opiskelukäyttöön. Kopion tästä asiakirjasta voi ladata MAFY-valmennuksen internet-sivuilta Käyttö kaikissa kaupallisissa tarkoituksissa on kielletty. Lukion matematiikan opettajana voit käyttää tätä tehtäväpakettia oppimateriaalina lukiokursseilla. MAFY-valmennuksen yhteystiedot: internet: s-posti: info@mafyvalmennus.fi puhelin: (09) TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri

7 . a) 7x + = 7x = 8 : 7 x = 4 b) a = 5, b = 7 a + b a b = ) 5 ) 7 = = = 6 = 6 = 7 c) { x y = x + y = 8 () x + 0 = 9 : x = Sijoitetaan x = yhtälöön (). + y = 8 y = 5 Vastaus: x =, y = 5 TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri

8 . f(x) x x x x x x kuva TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri

9 . a) 7x + x = 6 6 ( ) 7x + 6 ( ) x = ( 7x + ) ( x ) = 4x + 9x + = 5x = 0 : 5 x = b) TAPA I: 7 x = 9 x ( ) x = ( ) x (x ) = x x 6 = x (saman kantaluvun potenssi) x 6 = x x = 6 : x = TAPA II: 7 x = 9 x lg( ) lg 7 x = lg 9 x (x ) lg 7 = x lg 9 (x 4) lg 7 = x lg 9 x lg 7 4 lg 7 = x lg 9 x lg 7 x lg 9 = 4 lg 7 x( lg 7 lg 9) = 4 lg 7 : ( lg 7 lg 9) 4 lg 7 x = lg 7 lg 9 x = TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri

10 4. a) f(x) = x + b Nollakohta on, joten f() = 0 + b = 0 + b = 0 b = b) Kuvaaja leikkaa y-akselin kohdassa x = 0. Leikkauskohta y-akselilla on b, eli y =. Vastaus: Pisteessä (0, ). c) Funktion kuvaaja y = f(x), eli y = x on suora, jonka kulmakerroin on k =. Suoran suuntakulma α on terävä kulma x-akselin ja suoran välillä. Suuntakulmalle α pätee tan α = k tan α = α = 56, , Vastaus: Kulma on 56,. TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 4

11 5. f(x) = (x + )(x 4) a) f(x) = 0 (x + )(x 4) = 0 (tulon nollasääntö) x + = 0 tai x 4 = 0 x = tai x = 4 x = ± 4 x = ± b) f(x) = (x + )(x 4) f(x) = x 4x + x f(x) = x + x 4x Derivoidaan funktio. c) Lasketaan derivaatan nollakohdat. f (x) = x + 6x 4 f (x) = 0 x + 6x 4 = 0 x = 6 ± 6 4 ( 4) x = 6 ± 84 6 x = tai x = x = 0, tai x =, x 0,5 tai x,5 Vastaus: Derivaatan nollakohdat ovat x =,5 tai x = 0,5. TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 5

12 6. Kuvioon muodostuu suorakulmainen kolmio, jossa kateetit ovat sivut AC = l ja AB = 0 m. tan 50 = l 0 0 l = tan 50 0 l = 5, (m) Vastaus: Joen leveys on 6 m. TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 6

13 7. Merkitään kahta ensimmäistä sähköpostin saajaa a 0 :lla ja n:ssä vaiheessa olevien sähköpostin saajien määrää a n :llä. a 0 = = a = a = = a = a = =. a n = n+ Eri vaiheissa sähköpostin saajien yhteenlaskettu määrä muodostuu geometrisesta summasta n+, jossa a =, q = ja N = n +. Muodostetaan summan lauseke. S N = a ( q N ) q S n = ( n+ ) S n = ( n+ ) S n = ( n+ ). Lasketaan, millä n:llä summan arvo saavuttaa S n = 0000 ( n+ ) = 0000 : ( ) n+ = 0000 n+ = 000 n+ = 000 lg () lg n+ = lg 000 ( ) (n + ) lg = lg 000 : lg lg 000 n = lg n =,87... TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 7

14 0000 ihmistä saavutetaan siis, kun n =. Lasketaan arvoa n = vastaava aika minuuteissa. t = 0 min = 0 min Vastaus: Aikaa kuluu 0 minuuttia. TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 8

15 8. Alkuhinta on K 0 = 45 e. Vuotuinen kasvu on,5 prosenttia. Hinta kasvaa saman prosenttiosuuden verran vuosittain, joten kasvu on eksponentiaalista. Hinta on n:n vuoden kuluttua Lasketaan hinta 0 vuoden kuluttua. K n = q n K 0, missä q = + p 00. ( K 0 = +,5 ) = 57, ,60 (e) Vastaus: Hiustenleikkaus maksaa 57,60 e. TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 9

16 9. Alimman särmiön tilavuus on V = 0000 m. Seuraavan särmiön tilavuus on V. V = x h V = 0,9x 0,9x h = 0,8x h = 0,8V Päällekkäisten särmiöiden tilavuuksien suhde on q = V = 0,8V = 0,8 V V V = 0,8V = 0,8 V jne. Pyramidin kerroksien tilavuudet muodostavat geometrisen summan Tässä n = 00 ja V = S n = V + 0,8V + 0,8 V + + 0,8 n V } {{ } Geometrinen summa, jossa a = V, q = 0,8 ja N = n S N = a ( q N ) q S n = V ( 0,8 n ) 0,8 S 00 = 0000( 0,800 ) 0,8 = 56, (m ) Vastaus: Pyramidin tilavuus on 5600 m. TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 0

17 0. Järistyksen voimakkuus M saadaan yhtälöstä a) M = 9,0 Ratkaistaan E yhtälöstä ().,44M = log 0 E 5,4. (),44 9,0 = log 0 E 5,4,96 + 5,4 = log 0 E log 0 E = 8, 0 ( ) 0 log 0 E = 0 8, E =, ,6 0 8 (J) Vastaus: Energia oli,6 0 8 J. b) M = 6,8 Ratkaistaan E yhtälöstä (). Lasketaan suhde,44 6,8 = log 0 E 5,4 log 0 E = 5,0 0 ( ) 0 log 0 E = 0 5,0 E E =, = 08, E E 0 5,0 E = 47,... E E 500 E Vastaus: Sendain järistyksessä vapautui 500-kertainen energia Kobeen verrattuna. TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri

18 . Merkitään Ascensus-pikarien määrää x:llä ja Sursum-pikarien määrää y:llä. Taikajuomassa on 0 hyppysellistä lepakonsiipiä. Eri juomista saadaan yhteensä x + 4y lepakonsiipiä. Alaraja määrille on x + 4y 0. Taikajuomassa on 0 hyppysellistä hämähäkinseittiä. Eri juomista saadaan yhteensä x + y hämähäkinseittiä. Alaraja määrille on x + y 0. Lisäksi molempia juomia on vähintään 0, eli x 0 ja y 0. Juoma tulee maksamaan yhteensä x + y euroa. Etsitään hinnalle pienin arvo lineaarisella optimoinnilla. Etsitään rajasuorat kuvion piirtämistä varten. x + 4y 0 4y x + 0 : 4 y 4 x + 5 Rajasuora on y = 4 x + 5. x + y 0 y x + 0 Rajasuora on y = x + 0. x 0 Rajasuora on y-akseli. TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri

19 4 Rajasuora on x-akseli. y 0 Hinnan pienin arvo näin rajatussa alueessa löytyy suorien leikkauspisteistä A, B tai C. Määritetään pisteet. A: A = (0, 0) B: Ratkaistaan yhtälöpari y = 4 x + 5 () y = x + 0 () Sijoitetaan () yhtälöön (). x + 0 = 4 x + 5 x + 4 x = x = 5 ( ) 4 5 x = 4 TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri

20 Sijoitetaan x = 4 yhtälöön (), saadaan y = =. C: Saadaan piste B = (4, ). y = 0 Lasketaan hinnat x + y eri pisteissä. 0 = 4 x x = 5 4 x = 0 ( ) 0 C =, 0 A: = 0 (kultarahaa) B: 4 + = 4 (kultarahaa) C: = (kultarahaa) pienin määrä Vastaus: Kannattaa ostaa 0 pikarillista Ascensusta eikä lainkaan Sursumia. TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 4

21 . f n+ = f n+ + f n, f = f =, n =,,... a) f = f + f = + = f 4 = + = f 5 = + = 5 f 6 = 5 + = 8 f 7 = = f 8 = + 8 = f 9 = + = 4 f 0 = 4 + = 55 TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 5

22 b) Kultaisen leikkauksen avulla saadaan f = { [ 5 ( + [ 5)] ( + ] } 5) = ( + 5) + ) 5 + ) = = = = 5 f = 5 { [ ( + 5)] [ ( + ] } 5) = ( ) 5 4 ( ) ( ) 4 = = ( + 5) + ) 5 + ) = = =. Kaava on siis oikea, kun n = ja n =. c) Sijoitetaan juuriehdotukset ϕ ja ϕ yhtälöön x x = 0 () TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 6

23 ϕ ϕ = 0 [ ( + ] 5) ( + 5) = 0 4 ( ) ( + 5) = = 0 0 = 0 Siis x = ϕ toteuttaa yhtälön (). ( ϕ) ( ) = 0 ϕ ϕ + ϕ = 0 [ ( + 5) ] + ( + 5) = 0 ( ) + ( + 5) = = 0 + 5) ) + 5 = = = 0 5 = 0 0 = 0 Siis myös x = ϕ toteuttaa yhtälön (). TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 7

24 . a) Verottaja tulkitsee voitoksi 4000 e 000 e 4000 e = 6000 e. Veroa tästä menisi 0 % eli 0, 6000 e = 7800 e. Näin ollen verotuksen jälkeen myyntihinnasta jäisi 4000 e 7800 e = 400 e. Hankintameno-olettamalla yli 0 vuoden pitoajalla veroa menisi 0, 0, e = 7560 e. Verotuksen jälkeen myyntisumma olisi 4000 e 7560 e = 4440 e. Vaihtoehto on siis edullisempi. Vastaus: Edullisemmalla tavalla myyntihinnasta jää b) Olkoon myyntihinta nyt h. Maksettu veron määrä on tavalla 0, (h ) = 0,h 4800 ja hankintameno-olettamalla 0, 0,6h = 0,8h. Nämä ovat yhtä suuret, kun 0,h 4800 = 0,8h 0,h = 4800 : 0, h = (e). Vastaus: Myyntihinta olisi TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 8

25 4. x = 4,0, x =,0 ja x = 6,0 Arvot x ja x ovat yhtä etäällä keskiarvosta. Tällöin Φ(z) = 0,95 z =,6449 Ratkaistaan kysytty keskihajonta muuttujan arvon normittamiskaavasta. Vastaus: Keskihajonta on,. z = x x s s zs = x x : z s = x x z 6,0 4,0 s =,6449 s =,58... s, ( ) TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 9

26 5. a) sin(x + 4 ) = x + 4 = 60 + n 60 tai x + 4 = n 60 x = 56 + n 60 : x = 6 + n 60 : x = 8 + n 80 x = 58 + n 80 Välillä x [0, 90 ] ratkaisut ovat x = 8 tai x = 58 b) x = 8 + n 80 tai x = 58 + n 80, n Z TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 0