Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
|
|
- Joel Palo
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat asiat. n Lasket kynällä ja paperilla, mutta Mafynetti opettaa ja neuvoo videoiden ja ratkaisujen avulla. n Mafynetti huolehtii kertauksesta, joten et unohda oppimiasi asioita. n Mafynetti on nyt kokonaan ilmainen! Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti
2 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA..0 MATEMATIIKAN KOE LYHYT OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. V.. a) a) Ratkaise yhtälö 7 x + =. a + b 5 7 b) b) Laske lausekkeen arvo, kun a = ja ja b =.. a b c) c) Ratkaise yhtälöpari x y = x + y = Kuvissa 6 on oheisessa taulukossa mainittujen funktioiden y = ff( ( x )) kuvaajat. Kopioi taulukko vastauspaperiisi ja ja merkitse siihen, mikä kuvaaja esittää annettua funktiota. ff( ( x )) x x x x x x Kuva Kuva y x Kuva y x Kuva y Kuva 4 y x x Kuva 5 y x Kuva 6 y x
3 . a) Ratkaise yhtälö b) Ratkaise yhtälö x + x =. x = x 4. a) Funktion f ( x) = x + b nollakohta on. Määritä vakion b arvo. b) Missä pisteessä a-kohdan funktion kuvaaja leikkaa y-akselin? c) Kuinka suuren terävän kulman a-kohdan funktion kuvaaja muodostaa x-akselin kanssa? Anna vastaus asteen kymmenesosan tarkkuudella. 5. Tarkastellaan funktiota f ( x) = ( x + )( x 4). a) Laske funktion f ( x ) nollakohdat. b) Määritä derivaatta f ( x ). c) Laske derivaatan nollakohdat. 6. Biologi haluaa arvioida joen leveyttä, jotta hän voi asettaa kalojen liikkumista mittaavia laitteita jokeen. Hän katsoo joen rannalla olevasta pisteestä A kohtisuoraan vastarannalla olevaa pistettä C. Pisteestä A hän kävelee 0 metriä alavirtaan pisteeseen B, josta katsottuna vastarannan piste C näkyy 50 asteen kulmassa alla olevan kuvan mukaisesti. Laske joen leveys AC metrin tarkkuudella. C 50 o A B 7. Henkilö lähettää sähköpostin kahdelle ystävälleen. Kumpikin näistä lähettää saman viestin 0 minuutin kuluttua edelleen kahdelle uudelle henkilölle, jotka toimivat samoin. Tilanne toistuu kunkin saajan kohdalla aina samalla tavalla, eikä kukaan saa kyseistä sähköpostia toista kertaa. Kuinka kauan kestää, että henkilöä on saanut sähköpostin? Anna vastaus 0 minuutin tarkkuudella.
4 8. Naisten hiusten leikkaus maksaa nyt 45 euroa. Kuinka paljon se maksaa kymmenen vuoden 8. Naisten hiusten leikkaus maksaa nyt 45 euroa. Kuinka paljon se maksaa kymmenen vuoden 8. kuluttua, Naisten hiusten jos hintaa leikkaus korotetaan maksaa vuoden nyt 45 välein euroa.,5 Kuinka %? paljon se maksaa kymmenen vuoden kuluttua, jos hintaa korotetaan vuoden välein,5 %? kuluttua, jos hintaa korotetaan vuoden välein,5 %? 9. Farao Djoser (hallitsi eaa.) suunnitteli porraspyramidia, jossa on päällekkäin Farao Djoser (hallitsi eaa.) suunnitteli porraspyramidia, jossa on päällekkäin suorakulmaista Farao Djoser (hallitsi neliöpohjaista särmiötä eaa.) suunnitteli niin, että kaikilla porraspyramidia, on sama korkeus jossa on ja päällekkäin jokaisen pohjasärmä on 0 % neliöpohjaista lyhyempi kuin särmiötä alla olevan niin, että pohjasärmä. kaikilla on Alimmaisen sama korkeus särmiön ja jokaisen tilavuus pohja- on särmä on 0 lyhyempi kuin alla olevan pohjasärmä. Alimmaisen särmiön tilavuus on 00 suorakulmaista neliöpohjaista särmiötä niin, että kaikilla on sama korkeus ja jokaisen pohja- suorakulmaista särmä on m 0 % lyhyempi kuin alla olevan pohjasärmä. Alimmaisen särmiön tilavuus on m. Määritä tällaisen porraspyramidin tilavuus kolmen merkitsevän numeron tarkkuu- Määritä tällaisen porraspyramidin tilavuus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudelladella.. Määritä tällaisen porraspyramidin tilavuus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella. < Porraspyramidi Luettu < < Luettu Luettu Luettu Maanjäristyksen voimakkuus M lasketaan kaavalla 0. Maanjäristyksen voimakkuus lasketaan kaavalla Maanjäristyksen voimakkuus M lasketaan kaavalla, 44M = log E 5, 4,, 44 log 5, 4,,, 44M = log E 5, 4, jossa E on järistyksessä vapautuva energia. jossa on järistyksessä vapautuva energia. jossa a) Sendain E on lähellä järistyksessä vuonna vapautuva 0 sattuneen energia. järistyksen voimakkuus oli 9,0. Laske järistyksessä a) Sendain lähellä vuonna 0 sattuneen järistyksen voimakkuus oli 9,0. Laske järistyksessä a) Sendain vapautunut lähellä energia vuonna kahden 0 merkitsevän sattuneen järistyksen numeron tarkkuudella. voimakkuus oli 9,0. Laske järistyksessä vapautunut energia kahden merkitsevän numeron tarkkuudella. b) Kobessa vapautunut vuonna energia 995 kahden sattuneen merkitsevän järistyksen numeron voimakkuus tarkkuudella. oli 6,8. Kuinka moninkertainen oli b) Kobessa vuonna 995 sattuneen järistyksen voimakkuus oli 6,8. Kuinka moninkertainen oli b) Kobessa Sendain järistyksessä vuonna 995 vapautunut sattuneen järistyksen energia Koben voimakkuus järistykseen oli 6,8. verrattuna? Kuinka moninkertainen oli Sendain järistyksessä vapautunut energia Koben järistykseen verrattuna? Sendain järistyksessä vapautunut energia Koben järistykseen verrattuna?.. Levitoimiseen tarvittavassa taikajuomassa on oltava vähintään 0 hyppysellistä jauhettua le-. Levitoimiseen tarvittavassa taikajuomassa on oltava vähintään 0 hyppysellistä jauhettua lepakon siipeä ja vähintään 0 hyppysellistä hämähäkin seittiä. Taikajuomapuodissa on kahta. Levitoimiseen pakon siipeä ja tarvittavassa vähintään 0 taikajuomassa hyppysellistä on hämähäkin oltava vähintään seittiä. Taikajuomapuodissa 0 hyppysellistä jauhettua on kahta lepakon valmissekoitetta siipeä ja vähintään Ascensus ja 0 Sursum. hyppysellistä Pikarillinen hämähäkin Ascensusta seittiä. maksaa Taikajuomapuodissa kaksi kultarahaa, on ja kahta siinä valmissekoitetta Ascensus ja Sursum. Pikarillinen Ascensusta maksaa kaksi kultarahaa, ja siinä valmissekoitetta on kolme hyppysellistä Ascensus lepakon ja Sursum. siipeä Pikarillinen ja kaksi hyppysellistä Ascensusta hämähäkin maksaa kaksi seittiä. kultarahaa, Pikarillinen ja siinä Sur- on kolme hyppysellistä lepakon siipeä ja kaksi hyppysellistä hämähäkin seittiä. Pikarillinen Sursumia maksaa kolme kultarahaa. Siinä puolestaan on neljä hyppysellistä lepakon siipeä ja yksi sumia on kolme maksaa hyppysellistä kolme kultarahaa. lepakon siipeä Siinä ja puolestaan kaksi hyppysellistä on neljä hyppysellistä hämähäkin seittiä. lepakon Pikarillinen siipeä ja Sursumia maksaa hämähäkin kolme kultarahaa. seittiä. Kuinka Siinä puolestaan paljon kumpaakin on neljä hyppysellistä sekoitetta kannattaa lepakon levitoijakoke- siipeä yksi hyppysellinen hämähäkin seittiä. Kuinka paljon kumpaakin sekoitetta kannattaa levitoijakoke- yksi hyppysellinen laan hyppysellinen ostaa, jotta hämähäkin hän saisi taikajuoman seittiä. Kuinka mahdollisimman paljon kumpaakin edullisesti? sekoitetta kannattaa levitoijakokelaan ostaa, jotta hän saisi taikajuoman mahdollisimman edullisesti? laan ostaa, jotta hän saisi taikajuoman mahdollisimman edullisesti?
5 4. Leonardo Pisano (70 50), kutsumanimeltään Fibonacci, määritteli noin vuonna 0 lukujonon ( f n) kaavoilla a) Määritä luvut f, f4,, f 0. f = f =, f = f + f, n =,, n+ n+ b) Kreikkalaiset kutsuivat lukua ( ) ϕ = + 5,6804 kultaiseksi leikkaukseksi. Sen avulla saadaan Fibonaccin luvuille kaava n ( ( ) ),,, 5 ϕ n = ϕ n fn n = Näytä, että kaava on oikea, kun n = ja n =. c) Näytä, että yhtälön x x = 0 juuret ovat ϕ ja. ϕ. Simeoni osti Saapasnahkatornin 000 eurolla ja teetti siihen myöhemmin euron peruskorjauksen. Yksitoista vuotta myöhemmin hän myi sen Juhanille eurolla. Voitosta on maksettava 0 % pääomatuloveroa. Verottaja tulkitsee voitoksi summan, joka saadaan, kun myyntihinnasta vähennetään ostohinta ja peruskorjauskulut. Toisaalta Simeoni voi myös halutessaan käyttää ns. hankintameno-olettamaa. Tällöin myyntihinnasta vähennetään 0 %, jos on omistanut tornin alle 0 vuotta, ja 40 %, jos on omistanut yli 0 vuotta. Mitään muita vähennyksiä ei saa tehdä. Jäljelle jääneestä summasta maksetaan 0 % pääomatuloveroa. a) Paljonko Simeonille jää myyntihinnasta verotuksen jälkeen, kun hän valitsee edullisemman vaihtoehdon? b) Mikä olisi sellainen myyntihinta, että Simeoni maksaisi kummassakin verotusvaihtoehdossa yhtä suuren veron? 4. Vuorokauden keskilämpötila maaliskuussa on eräällä paikkakunnalla normaalijakautunut niin, että odotusarvo on 4,0 C ja 90 % vuorokautisista keskilämpötiloista on,0 C 6,0 C. Laske keskilämpötilan keskihajonta. 5. a) Määritä yhtälön sin (x + 4 ) = ratkaisut välillä x [0,90 ]. b) Määritä a-kohdan yhtälön kaikki ratkaisut.
6 Lyhyt matematiikka, kevät 0 Mallivastaukset,..0 Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja diplomi-insinööri Antti Suominen. Teemu Kekkonen on opettanut lukiossa viiden vuoden ajan pitkää ja lyhyttä matematiikkaa sekä fysiikkaa. Antti on toiminut neljä vuotta tuntiopettajana Teknillisessä korkeakoulussa ja sen jälkeen lukiossa. Antti ja Teemu ovat perustaneet MAFYvalmennuksen ja opettavat sen kaikilla kursseilla ympäri vuoden. Nämä mallivastaukset ovat Antti Suominen Oy:n omaisuutta. MAFY-valmennus on Helsingissä toimiva, matematiikan ja fysiikan valmennuskursseihin erikoistunut yritys. Palveluitamme ovat TKK-pääsykoekurssit arkkitehtiosastojen pääsykoekurssit yo-kokeisiin valmentavat kurssit yksityisopetus Julkaisemme internet-sivuillamme kaiken palautteen, jonka asiakkaat antavat kursseistamme. Näin varmistamme, että palveluistamme kiinnostuneilla ihmisillä on mahdollisuus saada tarkka ja rehellinen kuva siitä, mitä meiltä voi odottaa. Tämä asiakirja on tarkoitettu yksityishenkilöille opiskelukäyttöön. Kopion tästä asiakirjasta voi ladata MAFY-valmennuksen internet-sivuilta Käyttö kaikissa kaupallisissa tarkoituksissa on kielletty. Lukion matematiikan opettajana voit käyttää tätä tehtäväpakettia oppimateriaalina lukiokursseilla. MAFY-valmennuksen yhteystiedot: internet: s-posti: info@mafyvalmennus.fi puhelin: (09) TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri
7 . a) 7x + = 7x = 8 : 7 x = 4 b) a = 5, b = 7 a + b a b = ) 5 ) 7 = = = 6 = 6 = 7 c) { x y = x + y = 8 () x + 0 = 9 : x = Sijoitetaan x = yhtälöön (). + y = 8 y = 5 Vastaus: x =, y = 5 TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri
8 . f(x) x x x x x x kuva TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri
9 . a) 7x + x = 6 6 ( ) 7x + 6 ( ) x = ( 7x + ) ( x ) = 4x + 9x + = 5x = 0 : 5 x = b) TAPA I: 7 x = 9 x ( ) x = ( ) x (x ) = x x 6 = x (saman kantaluvun potenssi) x 6 = x x = 6 : x = TAPA II: 7 x = 9 x lg( ) lg 7 x = lg 9 x (x ) lg 7 = x lg 9 (x 4) lg 7 = x lg 9 x lg 7 4 lg 7 = x lg 9 x lg 7 x lg 9 = 4 lg 7 x( lg 7 lg 9) = 4 lg 7 : ( lg 7 lg 9) 4 lg 7 x = lg 7 lg 9 x = TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri
10 4. a) f(x) = x + b Nollakohta on, joten f() = 0 + b = 0 + b = 0 b = b) Kuvaaja leikkaa y-akselin kohdassa x = 0. Leikkauskohta y-akselilla on b, eli y =. Vastaus: Pisteessä (0, ). c) Funktion kuvaaja y = f(x), eli y = x on suora, jonka kulmakerroin on k =. Suoran suuntakulma α on terävä kulma x-akselin ja suoran välillä. Suuntakulmalle α pätee tan α = k tan α = α = 56, , Vastaus: Kulma on 56,. TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 4
11 5. f(x) = (x + )(x 4) a) f(x) = 0 (x + )(x 4) = 0 (tulon nollasääntö) x + = 0 tai x 4 = 0 x = tai x = 4 x = ± 4 x = ± b) f(x) = (x + )(x 4) f(x) = x 4x + x f(x) = x + x 4x Derivoidaan funktio. c) Lasketaan derivaatan nollakohdat. f (x) = x + 6x 4 f (x) = 0 x + 6x 4 = 0 x = 6 ± 6 4 ( 4) x = 6 ± 84 6 x = tai x = x = 0, tai x =, x 0,5 tai x,5 Vastaus: Derivaatan nollakohdat ovat x =,5 tai x = 0,5. TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 5
12 6. Kuvioon muodostuu suorakulmainen kolmio, jossa kateetit ovat sivut AC = l ja AB = 0 m. tan 50 = l 0 0 l = tan 50 0 l = 5, (m) Vastaus: Joen leveys on 6 m. TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 6
13 7. Merkitään kahta ensimmäistä sähköpostin saajaa a 0 :lla ja n:ssä vaiheessa olevien sähköpostin saajien määrää a n :llä. a 0 = = a = a = = a = a = =. a n = n+ Eri vaiheissa sähköpostin saajien yhteenlaskettu määrä muodostuu geometrisesta summasta n+, jossa a =, q = ja N = n +. Muodostetaan summan lauseke. S N = a ( q N ) q S n = ( n+ ) S n = ( n+ ) S n = ( n+ ). Lasketaan, millä n:llä summan arvo saavuttaa S n = 0000 ( n+ ) = 0000 : ( ) n+ = 0000 n+ = 000 n+ = 000 lg () lg n+ = lg 000 ( ) (n + ) lg = lg 000 : lg lg 000 n = lg n =,87... TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 7
14 0000 ihmistä saavutetaan siis, kun n =. Lasketaan arvoa n = vastaava aika minuuteissa. t = 0 min = 0 min Vastaus: Aikaa kuluu 0 minuuttia. TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 8
15 8. Alkuhinta on K 0 = 45 e. Vuotuinen kasvu on,5 prosenttia. Hinta kasvaa saman prosenttiosuuden verran vuosittain, joten kasvu on eksponentiaalista. Hinta on n:n vuoden kuluttua Lasketaan hinta 0 vuoden kuluttua. K n = q n K 0, missä q = + p 00. ( K 0 = +,5 ) = 57, ,60 (e) Vastaus: Hiustenleikkaus maksaa 57,60 e. TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 9
16 9. Alimman särmiön tilavuus on V = 0000 m. Seuraavan särmiön tilavuus on V. V = x h V = 0,9x 0,9x h = 0,8x h = 0,8V Päällekkäisten särmiöiden tilavuuksien suhde on q = V = 0,8V = 0,8 V V V = 0,8V = 0,8 V jne. Pyramidin kerroksien tilavuudet muodostavat geometrisen summan Tässä n = 00 ja V = S n = V + 0,8V + 0,8 V + + 0,8 n V } {{ } Geometrinen summa, jossa a = V, q = 0,8 ja N = n S N = a ( q N ) q S n = V ( 0,8 n ) 0,8 S 00 = 0000( 0,800 ) 0,8 = 56, (m ) Vastaus: Pyramidin tilavuus on 5600 m. TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 0
17 0. Järistyksen voimakkuus M saadaan yhtälöstä a) M = 9,0 Ratkaistaan E yhtälöstä ().,44M = log 0 E 5,4. (),44 9,0 = log 0 E 5,4,96 + 5,4 = log 0 E log 0 E = 8, 0 ( ) 0 log 0 E = 0 8, E =, ,6 0 8 (J) Vastaus: Energia oli,6 0 8 J. b) M = 6,8 Ratkaistaan E yhtälöstä (). Lasketaan suhde,44 6,8 = log 0 E 5,4 log 0 E = 5,0 0 ( ) 0 log 0 E = 0 5,0 E E =, = 08, E E 0 5,0 E = 47,... E E 500 E Vastaus: Sendain järistyksessä vapautui 500-kertainen energia Kobeen verrattuna. TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri
18 . Merkitään Ascensus-pikarien määrää x:llä ja Sursum-pikarien määrää y:llä. Taikajuomassa on 0 hyppysellistä lepakonsiipiä. Eri juomista saadaan yhteensä x + 4y lepakonsiipiä. Alaraja määrille on x + 4y 0. Taikajuomassa on 0 hyppysellistä hämähäkinseittiä. Eri juomista saadaan yhteensä x + y hämähäkinseittiä. Alaraja määrille on x + y 0. Lisäksi molempia juomia on vähintään 0, eli x 0 ja y 0. Juoma tulee maksamaan yhteensä x + y euroa. Etsitään hinnalle pienin arvo lineaarisella optimoinnilla. Etsitään rajasuorat kuvion piirtämistä varten. x + 4y 0 4y x + 0 : 4 y 4 x + 5 Rajasuora on y = 4 x + 5. x + y 0 y x + 0 Rajasuora on y = x + 0. x 0 Rajasuora on y-akseli. TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri
19 4 Rajasuora on x-akseli. y 0 Hinnan pienin arvo näin rajatussa alueessa löytyy suorien leikkauspisteistä A, B tai C. Määritetään pisteet. A: A = (0, 0) B: Ratkaistaan yhtälöpari y = 4 x + 5 () y = x + 0 () Sijoitetaan () yhtälöön (). x + 0 = 4 x + 5 x + 4 x = x = 5 ( ) 4 5 x = 4 TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri
20 Sijoitetaan x = 4 yhtälöön (), saadaan y = =. C: Saadaan piste B = (4, ). y = 0 Lasketaan hinnat x + y eri pisteissä. 0 = 4 x x = 5 4 x = 0 ( ) 0 C =, 0 A: = 0 (kultarahaa) B: 4 + = 4 (kultarahaa) C: = (kultarahaa) pienin määrä Vastaus: Kannattaa ostaa 0 pikarillista Ascensusta eikä lainkaan Sursumia. TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 4
21 . f n+ = f n+ + f n, f = f =, n =,,... a) f = f + f = + = f 4 = + = f 5 = + = 5 f 6 = 5 + = 8 f 7 = = f 8 = + 8 = f 9 = + = 4 f 0 = 4 + = 55 TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 5
22 b) Kultaisen leikkauksen avulla saadaan f = { [ 5 ( + [ 5)] ( + ] } 5) = ( + 5) + ) 5 + ) = = = = 5 f = 5 { [ ( + 5)] [ ( + ] } 5) = ( ) 5 4 ( ) ( ) 4 = = ( + 5) + ) 5 + ) = = =. Kaava on siis oikea, kun n = ja n =. c) Sijoitetaan juuriehdotukset ϕ ja ϕ yhtälöön x x = 0 () TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 6
23 ϕ ϕ = 0 [ ( + ] 5) ( + 5) = 0 4 ( ) ( + 5) = = 0 0 = 0 Siis x = ϕ toteuttaa yhtälön (). ( ϕ) ( ) = 0 ϕ ϕ + ϕ = 0 [ ( + 5) ] + ( + 5) = 0 ( ) + ( + 5) = = 0 + 5) ) + 5 = = = 0 5 = 0 0 = 0 Siis myös x = ϕ toteuttaa yhtälön (). TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 7
24 . a) Verottaja tulkitsee voitoksi 4000 e 000 e 4000 e = 6000 e. Veroa tästä menisi 0 % eli 0, 6000 e = 7800 e. Näin ollen verotuksen jälkeen myyntihinnasta jäisi 4000 e 7800 e = 400 e. Hankintameno-olettamalla yli 0 vuoden pitoajalla veroa menisi 0, 0, e = 7560 e. Verotuksen jälkeen myyntisumma olisi 4000 e 7560 e = 4440 e. Vaihtoehto on siis edullisempi. Vastaus: Edullisemmalla tavalla myyntihinnasta jää b) Olkoon myyntihinta nyt h. Maksettu veron määrä on tavalla 0, (h ) = 0,h 4800 ja hankintameno-olettamalla 0, 0,6h = 0,8h. Nämä ovat yhtä suuret, kun 0,h 4800 = 0,8h 0,h = 4800 : 0, h = (e). Vastaus: Myyntihinta olisi TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 8
25 4. x = 4,0, x =,0 ja x = 6,0 Arvot x ja x ovat yhtä etäällä keskiarvosta. Tällöin Φ(z) = 0,95 z =,6449 Ratkaistaan kysytty keskihajonta muuttujan arvon normittamiskaavasta. Vastaus: Keskihajonta on,. z = x x s s zs = x x : z s = x x z 6,0 4,0 s =,6449 s =,58... s, ( ) TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 9
26 5. a) sin(x + 4 ) = x + 4 = 60 + n 60 tai x + 4 = n 60 x = 56 + n 60 : x = 6 + n 60 : x = 8 + n 80 x = 58 + n 80 Välillä x [0, 90 ] ratkaisut ovat x = 8 tai x = 58 b) x = 8 + n 80 tai x = 58 + n 80, n Z TKK-pääsykoekurssit yo-valmennuskurssit arkkitehtuuri 0
Lataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
LisätiedotClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna
ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys
LisätiedotLääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit
Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Lyhyt matematiikka, syksy 015 Mallivastaukset, 3.9.015 Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja
LisätiedotCasion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna
Casion fx-cg20 ylioppilaskirjoituksissa apuna Grafiikkalaskin on oivallinen apuväline ongelmien ratkaisun tukena. Sen avulla voi piirtää kuvaajat, ratkaista yhtälöt ja yhtälöryhmät, suorittaa funktioanalyysin
Lisätiedot10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen?
YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 3.3.0 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
LisätiedotA-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
LisätiedotLääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit
Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Pitkä matematiikka, kevät 016 Mallivastaukset, 3.3.016 Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja
Lisätiedot5-8 täysmittaista harjoituspääsykoetta oikeassa koesalissa.
Tiesitkö tätä? MAFY:n lääkiskurssi,5-kertaistaa mahdollisuutesi päästä sisään yhdellä yrityksellä. Poikkeuksellisen kovista tuloksista johtuen lääkikset alkavatkin täyttyä MAFY:n kurssilaisista. Lääkiskurssi
LisätiedotMb03 Koe 21.5.2015 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu 1/4
Mb03 Koe 2..20 Kuopion Lyseon lukio (KK) sivu /4 Kokeessa on kaksi osaa. Osa A ratkaistaan tehtäväpaperille ja osa B ratkaistaan konseptipaperille. Osa A: saat käyttää taulukkokirjaa mutta et laskinta.
LisätiedotPyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin
Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
Lisätiedotc) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
LisätiedotLääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit
Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Pitkä matematiikka, syksy 05 Mallivastaukset, 3.9.05 Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja diplomi-insinööri
LisätiedotA-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden
Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ.9.013 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan
LisätiedotKoontitehtäviä luvuista 1 9
11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkitään f(x) =x 3 x. Laske a) f( 2), b) f (3) ja c) YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 26.3.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
Lisätiedotderivaatta pisteessä (YOS11) a) Näytä, että a n+1 > a n, kun n = 1, 2, 3,.
Matematiikka, MAA9. a) Ratkaise yhtälö tan (YOS) Kulma on välillä [, 6]. Ratkaise asteen tarkkuudella seuraavat yhtälöt: b) sin c) cos (YOs). Kulmalle [9,6 ] on voimassa sin = 8 7. Määritä cos ja tan..
Lisätiedotx 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua
Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö
LisätiedotA Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7
1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
LisätiedotMAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
LisätiedotRATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.
RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 24.9.2019 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
Lisätiedot2. a- ja b-kohdat selviä, kunhan kutakuinkin tarkka, niin a-kohta 1 p b-kohta 1 p
LYHYT MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 2.2.2018 RATKAISUT 1. a) 3,50 b) 56 c) 43300 km d) 15 e) 21.08 f) 23.9. kukin oikea vastaus a-kohdassa pelkkä 3,50 ilman yksikköä kelpuutetaan, samoin c-kohdassa pelkkä
Lisätiedot2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot
2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9
LisätiedotMAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.
KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen
Lisätiedot1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.
ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Mite opit parhaite? Valmistaudu pitkä- tai lyhye matematiika kirjoituksii ilmaiseksi Mafyetti-ohjelmalla! Harjoittelu tehdää aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa tarvittavat
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A
LisätiedotAnna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
Lisätiedot3 Eksponentiaalinen malli
Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,
LisätiedotSuora kulkee pisteen (1, 5) kautta leikkaamatta suoraa 2y - x + 1 = 0. Mikä on suoran yhtälö? Piirrä kuvio. (s97)(y = ½x + 9/2))
KURSSI MB6: MATEMAATTISIA MALLEJA II Kahden muuttujan yhtälö (suora) Suora kulkee pisteen (1, 5) kautta leikkaamatta suoraa 2y - x + 1 = 0. Mikä on suoran yhtälö? Piirrä kuvio. (s97)(y = ½x + 9/2)) Missä
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.3.06 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotRatkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
LisätiedotTehtävien ratkaisut
Tehtävien 1948 1957 ratkaisut 1948 Kun juna matkaa AB kulkiessaan pysähtyy väliasemilla, kuluu matkaan 10 % enemmän aikaa kuin jos se kulkisi pysähtymättä. Kuinka monta % olisi nopeutta lisättävä, jotta
Lisätiedotyleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p
MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y
Lisätiedot4. Kertausosa. 1. a) 12
. Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle
LisätiedotLisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x
MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa
Lisätiedot3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
YLIOPPILSTUTKINTO- LUTKUNT..7 MTEMTIIKN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ -osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän alla olevaan ruudukkoon.
Lisätiedotx = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi
Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
Lisätiedota) Sievennä lauseke 1+x , kun x 0jax 1. b) Aseta luvut 2, 5 suuruusjärjestykseen ja perustele vastauksesi. 3 3 ja
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 1.10.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
LisätiedotPotenssi eli potenssiin korotus on laskutoimitus, jossa luku kerrotaan itsellään useita kertoja. Esimerkiksi 5 4 = Yleisesti.
x 3 = x x x Potenssi eli potenssiin korotus on laskutoimitus, jossa luku kerrotaan itsellään useita kertoja. Esimerkiksi 4 = Yleisesti a n = a a a n kappaletta a n eksponentti kuvaa tuloa, jossa a kerrotaan
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka 4.2.2014 1 / 3
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
Lisätiedot3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
Lisätiedot5-8 täysmittaista harjoituspääsykoetta oikeassa koesalissa.
Tiesitkö tätä? MAFY:n lääkiskurssi 2,5-kertaistaa mahdollisuutesi päästä sisään yhdellä yrityksellä. Poikkeuksellisen kovista tuloksista johtuen lääkikset alkavatkin täyttyä MAFY:n kurssilaisista. Lääkiskurssi
LisätiedotMATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA
EB-TUTKINTO 2008 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 5. kesäkuuta 2008 (aamupäivä) KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Europpa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin,
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
LisätiedotYlioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e x a m e n s n ä m n d e n
Ylioppilastutkintolautakunta S t u d e n t e a m e n s n ä m n d e n MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitsten luonnehdinta
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on
LisätiedotJuuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77
Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)
Lisätiedot5-8 täysmittaista harjoituspääsykoetta oikeassa koesalissa.
Tiesitkö tätä? MAFY:n lääkiskurssi,5-kertaistaa mahdollisuutesi päästä sisään yhdellä yrityksellä. Poikkeuksellisen kovista tuloksista johtuen lääkikset alkavatkin täyttyä MAFY:n kurssilaisista. Lääkiskurssi
LisätiedotTestaa taitosi 1. 2. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on
Testaa taitosi. Laske lausekkeen 60 cos80 sin arvo. Päättele sinin ja kosinin arvot yksikköympyrästä. y x. Piirrä yksikköympyrään kaksi erisuurta kulmaa, joiden a) sini on 0,75 b) kosini on y y. x x. Määritä
LisätiedotLyhyt, kevät 2016 Osa A
Lyhyt, kevät 206 Osa A. Muodostettu yhtälö, 2x 2 + x = 5x 2 Kaikki termit samalla puolla, 2x 2 4x + 2 = 0 Vastaus x = x:n derivaatta on x 2 :n derivaatta on 2x f (x) = 4x + derivoitu väärää funktiota,
LisätiedotMATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA
EB-TUTKINTO 2010 MATEMATIIKKA 5 VIIKKOTUNTIA PÄIVÄMÄÄRÄ: 4. kesäkuuta 2010 KOKEEN KESTO: 4 tuntia (240 minuuttia) SALLITUT APUVÄLINEET: Eurooppa-koulun antama taulukkovihkonen Funktiolaskin, joka ei saa
LisätiedotKERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +
LisätiedotTiesitkö tätä? Lääkiskurssi. DI-pääsykoekurssi.
Tiesitkö tätä? MAFY:n lääkiskurssi 2,5-kertaistaa mahdollisuutesi päästä sisään yhdellä yrityksellä. Poikkeuksellisen kovista tuloksista johtuen lääkikset alkavatkin täyttyä MAFY:n kurssilaisista. Lääkiskurssi
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat
Lisätiedot1. a) Laske lukujen 1, 1 ja keskiarvo. arvo. b) Laske lausekkeen. c) Laske integraalin ( x xdx ) arvo. MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 13..015 MATEMATIIKAN MALLIKOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ..07 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Tutkintoaineen sensorikokous on hyväksynyt seuraavat hyvän vastauksen piirteet. Hyvästä suorituksesta näkyy, miten vastaukseen on päädytty.
LisätiedotMAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!
A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
Lisätiedot1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio
Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f
LisätiedotMAB 9 kertaus MAB 1. Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi
MAB 9 kertaus MAB 1 Murtolukujen laskutoimitukset: Yhteen- ja vähennyslaskuissa luvut lavennettava samannimisiksi Kertolaskussa osoittajat ja nimittäjät kerrotaan keskenään Jakolasku lasketaan kertomalla
LisätiedotKaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan!
MAA4 koe 1.4.2016 Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Lue tehtävänannot huolellisesti. Tee pisteytysruudukko B-osion konseptin yläreunaan! Jussi Tyni A-osio: Ilman laskinta. Laske kaikki
LisätiedotMaatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset
Maatalous-metsätieteellisen tiedekunnan valintakoe 18.5.2015 Ympäristö-ja luonnonvaraekonomia Matematiikan kysymysten oikeat vastaukset 7. a) Matti ja Maija lähtevät kävelemään samasta pisteestä vastakkaisiin
LisätiedotB. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?
Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,
LisätiedotVastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
Lisätiedot2 arvo muuttujan arvolla
Mb Mallikoe Määritä funktion f ( ) arvo muuttujan arvolla a) b) c) k 6 a) Määritä suorien y 0 ja y leikkauspiste b) Määritä suoran yhtälö, kun se kulkee pisteen (, ) kautta ja on yhdensuuntainen suoran
Lisätiedot1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
Lisätiedot3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?
Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.
Lisätiedot1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot
Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan
Lisätiedotmäärittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit. Piirrä kuvio.
Yo-tehtäviä Mb06 kurssista Sarja 1 k09/12. Mikä on suurin arvo, jonka lauseke x + y saa epäyhtälöiden x 0, y 0, 2x + 3y 24, 5x + 3y 30 määrittelemässä alueessa? Laske alueen kärkipisteiden koordinaatit.
LisätiedotSekä A- että B-osasta tulee saada vähintään 7 pistettä. Mikäli A-osan pistemäärä on vähemmän kuin 7 pistettä, B-osa jätetään arvostelematta.
KOE Sekä A- että B-osasta tulee saada vähintään 7 pistettä. Mikäli A-osan pistemäärä on vähemmän kuin 7 pistettä, B-osa jätetään arvostelematta. B-OSA, ht. 0p. Ksmksen maksimipistemäärä on 7 pistettä.
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotTiesitkö tätä? Lääkiskurssi. DI-pääsykoekurssi.
Tiesitkö tätä? MAFY:n lääkiskurssi,6-kertaistaa mahdollisuutesi päästä sisään yhdellä yrityksellä. Poikkeuksellisen kovista tuloksista johtuen lääkikset alkavatkin täyttyä MAFY:n kurssilaisista. Lääkiskurssi
Lisätiedot