Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit
|
|
- Aapo Saaristo
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit
2 Lyhyt matematiikka, syksy 015 Mallivastaukset, Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja diplomi-insinööri Antti Suominen. Antti ja Teemu ovat perustaneet MAFY-valmennuksen, jota ennen Teemu opetti 5 vuotta lukiossa ja Antti toimi tuntiopettajana TKK:lla. Nykyään he opettavat MAFY:n kursseilla ympäri vuoden ja Antti vastaa Mafynetti-ohjelman kehityksestä. Muut mallivastaustiimin jäsenet ovat Olli Hirviniemi, Sakke Suomalainen, Viljami Suominen ja Matti Virolainen. Nämä mallivastaukset ovat Antti Suominen Oy:n omaisuutta. MAFY-valmennus on Helsingissä toimiva, valmennuskursseihin sekä matematiikan ja luonnontieteiden opetukseen erikoistunut yritys. Palveluitamme ovat lääketieteellisen valmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-kokeisiin valmentavat kurssit Mafynetti - sähköinen oppimateriaali. Julkaisemme internet-sivuillamme kaiken palautteen, jonka asiakkaat antavat kursseistamme. Näin varmistamme, että palveluistamme kiinnostuneilla ihmisillä on mahdollisuus saada tarkka ja rehellinen kuva siitä, mitä meiltä voi odottaa. Tämä asiakirja on tarkoitettu yksityishenkilöille opiskelukäyttöön. Kopion tästä asiakirjasta voi ladata MAFY-valmennuksen internet-sivuilta www. mafyvalmennus.fi. Käyttö kaikissa kaupallisissa tarkoituksissa on kielletty. Lukion matematiikan opettajana voit käyttää tätä tehtäväpakettia oppimateriaalina lukiokursseilla. MAFY-valmennuksen yhteystiedot: internet: s-posti: info@mafyvalmennus.fi puhelin: (09) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit
3 1. a) Laske luvun -1 vastaluvun ja luvun 5 käänteisluvun keskiarvo. b) Neliön sivun pituus on ja ympyrän halkaisijan pituus on myös. Kuinka monta prosenttia neliön pinta-ala on suurempi kuin ympyrän pinta-ala? c) Ratkaise yhtälö 3x = x+1. a) Luvun -1 vastaluku on 1, ja luvun 5 käänteisluku on 1 5. Kysytty keskiarvo on siis x = Vastaus: Kysytty keskiarvo on 3. 5 = 3 5. b) Neliön sivun pituus a =. Neliön pinta-ala on siis A n = a = = 4. (p) c) Ympyrän halkaisija d =, joten sen säde r = 1. Ympyrän pinta-ala on siis A y = πr = π 1 = π. Lasketaan kysytty prosenttiosuus. A n A y A y = 4 π π = 0, %. Vastaus: Neliön pinta-ala on 7% suurempi kuin ympyrän pinta-ala. (3p) (4p) 3x = x+1 3x = x + 1 x = 3 : x = 3. Vastaus: Yhtälön ratkaisu on x = 3. (5p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 1
4 . Suunnikkaan sisälle piirretään pienempi suunnikas, jonka kärjet ovat alkuperäisen suunnikkaan sivujen keskipisteissä. Laske pienen suunnikkaan pinta-ala käyttämällä kuvioon merkittyjä pituuksia. Jaetaan suuremman suunnikkaan sisään piirretty suunnikas kahteen kolmioon. p Kummankin kolmion kanta on 4 cm ja korkeus 1 cm. Pienemmän suunnikkaan pinta-ala on siten p (4p) A = A 1 + A = A 1 4 cm 1 cm = = 4 cm. Vastaus: Pienen suunnikkaan pinta-ala on 4 cm. p Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit
5 3. Oheisessa kuviossa on erään funktion f(x) kuvaaja. Määritä kuvaajan avulla ne muuttujan x arvot, joille x 4 ja a) f(x) = 1 b) f(x) 0 c) f (x) 0. a) x = 1 tai x = 3. p b) f(x) 0, kun käyrä ei ole x-akselin yläpuolella, eli välillä (3p) 0 x. (4p) c) Kun f (x) 0, funktio on vähenevä. Kuvaajan perusteella funktio on vähenevä, kun (5p) x 1. Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 3
6 4. Nisäkäslajien aivojen kokoa voidaan verrata kehon kokoon EQ-luvulla, joka lasketaan lajin keskimääräisen edustajan massoista kaavalla EQ = kun massat ilmoitetaan kilogrammoina. aivojen massa 0,01 (kehon massa) /3, a) Tyypillisen koiran massa on 10 kg, ja lajin EQ-luku on noin 1,0. Mikä on koiran aivojen massa? b) Erään taulukon mukaan ihmisen EQ-luku on 7,5, ja ihmisaivojen massa on keskimäärin 1,35 kg. Mitä lukuarvoa on tällöin käytetty ihmisen keskimääräiselle massalle? a) m k = 10 kg EQ k = 1,0 m ka EQ k = (0,01 m /3 0,01 m /3 k ) k m ka = EQ k 0,01 m /3 k m ka = 1,0 0,01 10 /3 = 0, ,056 ( kg). Vastaus: Koiran aivojen massa on 0,056 kg. (p) (3p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 4
7 b) EQ i = 7,5 m ia = 1,35 kg m ia EQ i = m /3 0,01 m /3 i i EQ i m /3 i = m ia : EQ i 0,01 m /3 i = m ia (4p) ( ) 3/ 0,01 EQ i (5p) ( m ia m i = 0,01 EQ i ( 1,35 m i = 0,01 7,5 = 58,09... kg 58 ( kg) ) 3/ ) 3/ Vastaus: Ihmisen massalle on käytetty arvoa 58 kg. Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 5
8 5. Alla olevassa kuviossa on silityslauta sivusta katsottuna. Siihen liittyvät mitat on merkitty kuvioon. Laske silityslaudan korkeus lattiasta. α 1 = α (ristikulmat) β 1 = β (samankohtaiset kulmat) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 6
9 Kolmiot ABC ja EDC ovat yhdenmuotoiset (kk). Yhdenmuotoisten kolmioiden vastinpituuksien suhteet ovat samat, joten saadaan verranto Laudan korkeus on h 1 55 = h 1 = 63 h 1 = 8, ( cm). h = h = 8, = 83, ( cm). p (3p) p (5p) Vastaus: Laudan korkeus on 84 cm. Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 7
10 6. Kahden sähköyhtiön A ja B hinnoittelu perustuu kiinteään kuukausittaiseen perusmaksuun, johon lisätään sähkön kulutuksen mukainen lisämaksu. Yhtiöiden tarjoamat hinnat selviävät alla olevasta taulukosta. Yhtiö Perusmaksu e/kk Yksikköhinta snt/kwh A 4,0 6,6 B 3,75 7,99 a) Muodosta lausekkeet a(x) ja b(x) kummankin yhtiön tarjoaman sähkön kokonaishinnalle, kun sähköä kuluu x kwh ja aikavälinä on yksi kuukausi. b) Kuinka suuri täytyisi sähkönkulutuksen olla kuukausittain, jotta kokonaishinnat olisivat samat? c) Kuinka suuri on sähkön kokonaishintojen välinen ero vuoden aikana, jos sähköä kuluu 000 kwh vuodessa? a) a(x) = 0,066x + 4,0 ( e) b(x) = 0,0799x + 3,75 ( e) b) Yhtä suuri kokonaishinta kuukausittain: (p) a(x) = b(x) 0,066x + 4,0 = 0,0799x + 3,75 0,0799x 0,066x = 4,0 3,75 (3p) 0,0137x = 0,7 : 0,0137 x = 19, ,7 ( kwh). Vastaus: Kuukausittaisen sähkönkulutuksen täytyisi olla 19,7 kwh. c) Kokonaishinnat vuoden kulutukselle x ovat (4p) A(x) = 0,066x + 1 4,0 B(x) = 0,0799x + 1 3,75. ja Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 8
11 Lasketaan kokonaishinnat, kun x = 000. A(000) = 0, ,0 = 180,64 ( e) B(000) = 0, ,75 = 04,80 ( e). Erotus on 04,80 180,64 = 4,16 ( e) Vastaus: Kokonaishintojen välinen ero on 4,16 e. (5p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 9
12 7. Kotimaisen meetvurstin rasvapitoisuus on 36 painoprosenttia. Kuinka monta prosenttia rasvaa meetvurstista pitää vähentää, jotta tuotteen uudeksi rasvaprosentiksi tulee 30 painoprosenttia? Rasvaprosentti Meetvurstin massa Rasvaa 36% a 0,36a 30% a x 0,36a x Rasvan poiston jälkeen rasvaa on 30 painoprosenttia, joten Näin ollen rasvaa pitää vähentää prosentteina 0,36a x = 0,30 (a x) a x (p) 0,36a x = 0,30a 0,30x (3p) 0,06a = 0,70x : 0,70 x = 0,06 a. 0,70 (4p) 0,06 x 0,36a = 0,70 a = 0, %. 0,36 a Vastaus: Rasvaa pitää vähentää 4 %. (5p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 10
13 8. Ympyräsektorin pinta-ala A on säteen r ja kaarenpituuden b avulla lausuttuna A = br. Määritä sellaisen ympyräsektorin säde, jonka piirin pituus on 1,00 metriä ja pinta-ala on mahdollisimman suuri. A(r) = br. Sektorin piirin pituus on 1,00 m, joten r + b = 1 b = 1 r. p Etsitään ala- ja yläraja säteen r arvolle. Kun b = 0: Kun sektori on täysi ympyrä: πr + r = 1 0 = 1 r r = 1. (π + )r = 1 : (π + ) r = 1 ( 0,107). π + Sijoitetaan b = 1 r pinta-alan lausekkeeseen. Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 11
14 A(r) = (1 r)r, A(r) = r r Lasketaan A(r):n suurin arvo derivaatan avulla. Ratkaistaan derivaatan nollakohta. 1 π + r 1. (3p) A (r) = 1 (1 4r). A (r) = 0 1 (1 4r) = 0 1 4r = 0 4r = 1 : 4 r = 1 4. Tämä säteen pituus on pienimmän ja suurimman mahdollisen arvon välissä ja A(r):n kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joten suurin pinta-ala saadaan derivaatan nollakohdassa arvolla r = 1 = 0,5 ( m). 4 Vastaus: Kysytty ympyräsektorin säde on 0,5 m. (4p) (5p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 1
15 9. Suorakulmion muotoisen nurmikentän koko on 0,0 m 1,0 m. Sen pinta-ala halutaan kaksinkertaistaa lisäämällä kahdelle sivulle yhtä leveä nurmikaistale oheisen kuvion mukaisesti. Määritä näin saadun nurmikentän pituus ja leveys 0,1 metrin tarkkuudella. Alkuperäisen kentän pinta-ala on A 1 = 0 m 1 m = 40 m. Uuden kentän pinta-ala on (0 + x)(1 + x) = 40 p (3p) x + 1x + x = 480 x + 3x 40 = 0 (4p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 13
16 x = 3 ± ( 40) x = 3 ( + ) 1984 ( täytyy olla x > 0) x = 6,71... ( m) Lasketaan uuden kentän mitat. Leveys on (5p) 0 + x = 0 + 6,71... = 6, ,3 ( m) 1 + x = 1 + 6,71... = 18, ,3 ( m) Vastaus: Kentän mitat ovat 6,3 m 18,3 m. Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 14
17 10. Suora y = 3 3x rajaa positiivisten koordinaattiakseleiden kanssa kolmion. Millä kulmakertoimen k arvolla suora y = kx jakaa tämän kolmion kahteen pinta-alaltaan yhtä suureen osaan? Lasketaan suoran y = 3 3x leikkauspisteet y- ja x-akselin kanssa. Kun x = 0, y = 3, eli leikkauspiste on (0, 3). Kun y = 0, 3 3x = 0 3x = 3 k : 3 x = 1, eli leikkauspiste on (1, 0). Suoran ja koordinaattiakseleiden rajaaman kolmion pinta-ala on A1 = =. Toisen kolmion pinta-ala A on A = 3 h, missä h = x0. (p) Ratkaistaan suorien y = 3 3x ja y = kx, k > 0, leikkauskohta. Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 15
18 { y = 3 3x (1) Sijoitetaan yhtälö (1) yhtälöön (). y = kx () (3p) Kolmion korkeus on täten ja pinta-ala on kx = 3 3x kx + 3x = 3 (k + 3)x = 3 : (k + 3) x = 3 k + 3 h = 3 k + 3 A = 3 3 Tehtävänannon mukaan A = 1 A 1, joten 3 3 k+3 (4p) k+3. (5p) = k + 3 = 1 3 (k + 3) 3 = 1 (k + 3) 6 = k + 3 k = 3. Vastaus: Kysytty kulmakerroin on k = 3. Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 16
19 11. Uusi puhelinmalli tuli markkinoille tammikuun alussa. Mallia myytiin tammikuun aikana 7817 kappaletta ja huhtikuun aikana kappaletta. Esitä arvio puhelinmallin joulukuun myynnille, kun oletetaan, että myynti kasvaa a) lineaarisesti b) eksponentiaalisesti. Myynti tammikuussa oli M(0) = 7817 ja huhtikuussa M(3) = a) Lineaarinen kasvu noudattaa yhtälöä Saadaan yhtälöpari M(x) = kx + b. { k 0 + b = 7817 (1) k 3 + b = 1338 () Yhtälöstä (1) saadaan b = Sijoitetaan tämä yhtälöön (). 3k = k = 541 : 3 k = Myynti joulukuussa (x = 11) on (p) M(11) = k 11 + b = = Vastaus: Arvio myynnille on 7700 kappaletta. Huom! Pyöristys on tehty kolmen merkitsevän numeron tarkkuuteen, koska kyseessä on karkeasta ennustemallista saatu tulos. Luultavasti myös neljän tai viiden merkitsevän numeron tarkkuus hyväksytään täysien pisteiden saamiseksi tehtävästä. (3p) Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 17
20 b) Eksponentiaalinen kasvu noudattaa yhtälöä Nyt M 0 = M(0) = 7817 ja M(x) = q x M 0. (4p) Myynti joulukuussa (x = 11) on M(3) = q 3 M 0 q = 1338 : 7817 q 3 = 1, q = 3 1, q = 1, (5p) M(11) = q 11 M 0 M(11) = 1, = 53939, Vastaus: Arvio myynnille on kappaletta. Huom! Pyöristys on tehty kolmen merkitsevän numeron tarkkuuteen, koska kyseessä on karkeasta ennustemallista saatu tulos. Luultavasti myös neljän tai viiden merkitsevän numeron tarkkuus hyväksytään täysien pisteiden saamiseksi tehtävästä. Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 18
21 1. Suorakulmaisen kolmion ABC kateettien pituudet ovat AB = 3 ja BC = 4. Ympyrän keskipiste sijaitsee pidemmällä kateetilla. Lisäksi ympyrä kulkee pisteen B kautta ja sivuaa kolmion hypotenuusaa. Määritä ympyrän säde. Lasketaan kolmion ABC hypotenuusan pituus. Merkitään AC = c. c = c = ( + ) 5 c = 5. Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 19
22 Kulma α on yhteinen kolmioille ABC ja ODC. Lisäksi molemmissa on suorakulma. Kolmiot ABC ja ODC ovat siten yhdenmuotoiset (kk). Kolmioiden vastinsivut ovat AC ja OC sekä AB ja OD vastaavasti. Täten 4 r = r Kerrotaan ristiin 5 3 3(4 r) = 5r 1 3r = 5r 8r = 1 : 8 (p) p (4p) (5p) r = 3. Vastaus: Ympyrän säde on 3. Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 0
23 13. Hiustenkuivaaja toimii vioittumatta ajan, joka on normaalijakautunut odotusarvona 15, kuukautta ja keskihajontana,5 kuukautta. Kuivaajalla on yhden vuoden takuu. a) Kuinka monta prosenttia kuivaajista joutuu takuukorjaukseen? b) Kuinka monta prosenttia kuivaajista toimii vioittumatta yli 18 kuukautta? Odotusarvo on X = 15,. Keskihajonta on s =,5. a) X = 1 ( kk). Lasketaan muuttujan normitettu arvo. Z = X X s Määritetään todennäköisyys: = 1 15,,5 P (X 1) = P (Z 1,8) = P (Z 1,8) = 1 P (Z 1,8) = 1,8. = 1 Φ(1,8) = 1 0,8997 (p) = 0, % Vastaus: Kuivaajista 10% joutuu takuukorjaukseen. b) X = 18 ( kk). Muuttujan normitettu arvo on Z = Määritetään todennäköisyys: 18 15,,5 P (X 18) = P (Z 1,1) (3p) = 1,1. (4p) = 1 P (Z 1,1) = 1 Φ(1,1) = 1 0,8686 (5p) = 0, % Vastaus: Kuivaajista 13% toimii vioittumatta yli 18 kuukautta. Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 1
24 14. Vuonna 014 pääomatulojen veroprosentti on euroon saakka 30 ja sen yli menevältä osalta veroprosentti on 3. a) Muodosta lauseke f(x) pääomatuloveron suuruudelle, kun pääomatulo x on yli euroa vuodessa. b) Laske veron määrä, kun pääomatuloja on ,3 euroa vuodessa. c) Kun yksityishenkilö saa osinkotuloa pörssiyhtiön osakkeista, niin veronalainen osuus on 85% osinkotuloista. Tästä osuudesta maksetaan pääomatuloveroa yllä mainitun säännön mukaisesti. Kuinka monta prosenttia veroa henkilö maksaa osinkotuloistaan, kun osingon määrä on ,3? a) f(x) = 0, ,3 (x 40000) f(x) = ,3x 1800 f(x) = 0,3x 800 b) Lasketaan veron määrä. (p) f(41 700,3) = 0,3 41,700,3 800 = 1544, (3p) 1544,07 ( e). Vastaus: Veron määrä on 1544,07 e. c) Lasketaan osinkotulojen veronalainen osuus. (4p) x = 0, ,3 e = 35445,1955 e 35445,0 e Veron määrä on 0, ,0 e = 10633,56 e. Lasketaan veroprosentti: (5p) 10633,56 e 41700,3 e = 0, ,5% Vastaus: Veroa maksetaan 5,5%. Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit
25 15. Aino ja Mikko ovat maailmanpyörän kyydissä. Korin korkeus y merenpinnan tasosta mitattuna on ( ) πt y = 17 sin + 55 metriä, 5 kun ajan t yksikkönä on sekunti ja kulma ilmaistaan radiaaneina. a) Laske korin suurin ja pienin korkeus sekä maailmanpyörän halkaisija. b) Kuinka monen sekunnin kuluttua kori saavuttaa ensimmäisen kerran maksimikorkeutensa hetken t = 0 jälkeen? c) Kuinka monen sekunnin kuluttua kori on ensimmäisen kerran hetken t = 0 jälkeen 45 metrin korkeudella merenpinnan tasosta? Voit ratkaista tämän kohdan joko graafisesti kuvaajan avulla, kun 0 t 50 sekuntia, tai laskemalla lausekkeiden avulla. y = 17 sin ( ) πt a) sin(α) saa arvoja väliltä [ 1, 1]. Korkeuden suurin arvo saadaan, kun sin ( ) πt = 1. 5 Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 3
26 Tällöin y 1 = = 7 ( m) Korkeuden pienin arvo saadaan, kun ( ) πt sin = 1. 5 Tällöin y = 17 ( 1) + 55 = 38 ( m) Maailmanpyörän halkaisija on em. korkeuksien erotus. Vastaus: Suurin korkeus on 7 m. Pienin korkeus on 38 m. Halkaisija on 34 m. d = y 1 y = 7 m 38 m = 34 m. (p) b) Ratkaistaan ajan t arvot hetkillä, joilla kori on korkeimmalla. Tällöin ( ) πt sin = 1 5 (3p) πt 5 = π 5 + πn π t = 1,5 + 50n. Vastaus: Kori on ensimmäisen kerran maksimikorkeudessa 1,5 s kuluttua. c) Korkeus on y = 45. Tästä saadaan yhtälö ( ) πt 17 sin + 55 = 45 5 ( ) πt 17 sin = 10 : 17 5 ( ) πt sin = (4p) (5p) πt 5 πt 5 = 0, πn TAI = π ( 0,68...) + πn 5 π 5 π t = 5, n TAI t = 30, n Ensimmäiset positiiviset ajan arvot ovat 5, = 44,996 ja 30, = 30,004. Vastaus: Kori on ensimmäisen kerran 45 m korkeudella 30 s kuluttua. Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit 4
5-8 täysmittaista harjoituspääsykoetta oikeassa koesalissa.
Tiesitkö tätä? MAFY:n lääkiskurssi,5-kertaistaa mahdollisuutesi päästä sisään yhdellä yrityksellä. Poikkeuksellisen kovista tuloksista johtuen lääkikset alkavatkin täyttyä MAFY:n kurssilaisista. Lääkiskurssi
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ ESITYS pisteitykseksi
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 ESITYS pisteitykseksi Yleisohje tarkkuuksista: Ellei tehtävässä vaadittu tiettyä tarkkuutta, kelpaa numeerisissa vastauksissa ohjeen vastauksen lisäksi yksi merkitsevä
LisätiedotSyksyn 2015 Lyhyen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut
Sksn 015 Lhen matematiikan YO-kokeen TI-Nspire CAS -ratkaisut Tekijät: Olli Karkkulainen ja Markku Parkkonen Ratkaisut on laadittu TI-Nspire CAS -tietokoneohjelmalla kättäen Muistiinpanot -sovellusta.
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 23.9.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 3.9.05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
LisätiedotLääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit
Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Pitkä matematiikka, syksy 05 Mallivastaukset, 3.9.05 Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja diplomi-insinööri
LisätiedotLääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit
Lääkisvalmennuskurssit DI-valmennuskurssit yo-valmennuskurssit Pitkä matematiikka, kevät 016 Mallivastaukset, 3.3.016 Mallivastausten laatimisesta ovat vastanneet filosofian maisteri Teemu Kekkonen ja
Lisätiedot10 %. Kuinka monta prosenttia arvo nousi yhteensä näiden muutosten jälkeen?
YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 3.3.0 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä (*) merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011
PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
LisätiedotA-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.
PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
Lisätiedot1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)
Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka
K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π
LisätiedotLataa ilmaiseksi mafyvalmennus.fi/mafynetti. Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla!
Miten opit parhaiten? Valmistaudu pitkän- tai lyhyen matematiikan kirjoituksiin ilmaiseksi Mafynetti-ohjelmalla! n Harjoittelu tehdään aktiivisesti tehtäviä ratkomalla. Tehtävät kattavat kaikki yo-kokeessa
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat
Lisätiedoty=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6
MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+
Lisätiedot2 Pistejoukko koordinaatistossa
Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia
Lisätiedot4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ
Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on
LisätiedotLisätehtäviä. Rationaalifunktio. x 2. a b ab. 6u x x x. kx x
MAA6 Lisätehtäviä Laske lisätehtäviä omaan tahtiisi kurssin aikan Palauta laskemasi tehtävät viimeistään kurssikokeeseen. Tehtävät lasketaan ilman laskint Rationaalifunktio Tehtäviä Hyvitys kurssiarvosanassa
LisätiedotLaudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin
Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,
Lisätiedot4. Kertausosa. 1. a) 12
. Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 18.3.2015 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, LYHYT OPPIMÄÄRÄ 8..05 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotDiplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
Lisätiedotyleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p
MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y
Lisätiedot11 MATEMAATTINEN ANALYYSI
Huippu Kertaus Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 0.7.08 MATEMAATTINEN ANALYYSI ALOITA PERUSTEISTA 444A. a) Funktion arvot ovat positiivisia silloin, kun kuvaaja on x-akselin yläpuolella.
LisätiedotB. 2 E. en tiedä C. 6. 2 ovat luonnollisia lukuja?
Nimi Koulutus Ryhmä Jokaisessa tehtävässä on vain yksi vastausvaihtoehto oikein. Laske tehtävät ilman laskinta.. Missä pisteessä suora y = 3x 6 leikkaa x-akselin? A. 3 D. B. E. en tiedä C. 6. Mitkä luvuista,,,
LisätiedotTEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.
TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:
LisätiedotKertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)
Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A
LisätiedotMAA4 Abittikokeen vastaukset ja perusteluja 1. Määritä kuvassa olevien suorien s ja t yhtälöt. Suoran s yhtälö on = ja suoran t yhtälö on = + 2. Onko väittämä oikein vai väärin? 2.1 Suorat =5 +2 ja =5
LisätiedotA Lausekkeen 1,1 3 arvo on 1,13 3,3 1,331 B Tilavuus 0,5 m 3 on sama kuin 50 l 500 l l C Luvuista 2 3, 6 7
1 Tuotteen hinta nousee ensin 10 % ja laskee sitten 10 %, joten lopullinen hinta on... alkuperäisestä hinnasta. alkuperäisestä hinnasta. YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 23.3.2016 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.
Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan
LisätiedotValitse vain kuusi tehtävää! Tee etusivun yläreunaan pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin tarvittavat välivaiheet esille!
5.4.013 Jussi Tyni 1. Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Kehäkulma ja keskikulma b) Todista, että kolmion kulmien summa on 180 astetta. Selitä päätelmiesi perustelut.. a) Suorakulmaisen kolmion kateetit
Lisätiedot3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö
Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen
Lisätiedotc) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.
MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse
LisätiedotJuuri 3 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty
Kertaus K1. a) Ratkaistaan suorakulmaisen kolmion kateetin pituus x tangentin avulla. tan9 x,5,5 x,5 tan 9 x 2,8... x» 2,8 (cm) Kateetin pituus x on 2,8 cm. b) Ratkaistaan vinokulmaisen kolmion sivun pituus
Lisätiedot5-8 täysmittaista harjoituspääsykoetta oikeassa koesalissa.
Tiesitkö tätä? MAFY:n lääkiskurssi,5-kertaistaa mahdollisuutesi päästä sisään yhdellä yrityksellä. Poikkeuksellisen kovista tuloksista johtuen lääkikset alkavatkin täyttyä MAFY:n kurssilaisista. Lääkiskurssi
LisätiedotMAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!
MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele
LisätiedotTekijä Pitkä matematiikka a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. ja x = 0. x 1= Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0.
Tekijä Pitkä matematiikka 6 9.5.017 K1 a) Ratkaistaan nimittäjien nollakohdat. x 1= 0 x = 1 ja x = 0 Funktion f määrittelyehto on x 1 ja x 0. Funktion f määrittelyjoukko on R \ {0, 1}. b) ( 1) ( 1) f (
Lisätiedotx 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua
Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö
LisätiedotA-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:
MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:
LisätiedotTasogeometria. Tasogeometrian käsitteitä ja osia. olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella.
Tasogeometria Tasogeometrian käsitteitä ja osia Suora on äärettömän pitkä. A ja B ovat suoralla olevia pisteitä. Piste P on suoran ulkopuolella. Jana on geometriassa kahden pisteen välinen suoran osuus.
Lisätiedot1. a. Ratkaise yhtälö 8 x 5 4 x + 2 x+2 = 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on 2 x 1.
ABIKertaus.. a. Ratkaise yhtälö 8 5 4 + + 0 b. Määrää joku toisen asteen epäyhtälö, jonka ratkaisu on. 4. Jaa polynomi 8 0 5 ensimmäisen asteen tekijöihin ja ratkaise tämän avulla 4 epäyhtälö 8 0 5 0.
LisätiedotPreliminäärikoe Pitkä Matematiikka 3.2.2009
Preliminäärikoe Pitkä Matematiikka..9 x x a) Ratkaise yhtälö =. 4 b) Ratkaise epäyhtälö x > x. c) Sievennä lauseke ( a b) (a b)(a+ b).. a) Osakkeen kurssi laski aamupäivällä,4 % ja keskipäivällä 5,6 %.
Lisätiedotx = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi
Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2
LisätiedotMAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:
MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.
LisätiedotAnna jokaisen kohdan vastaus kolmen merkitsevän numeron tarkkuudella muodossa
Preliminäärikoe Tehtävät Pitkä matematiikka / Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään Tähdellä (* merkittyjen tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6 Jos tehtävässä
Lisätiedot3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO
3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n
LisätiedotC. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %
1. Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.
Lisätiedot4 Polynomifunktion kulku
4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion
LisätiedotRATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.
RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)
LisätiedotHelsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.2014 klo 10 13
Helsingin, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 9.6.014 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt: x + a) 3 x + 1 > 0 c) x x + 1 = 1 x 3 4 b) e x + e x 3
LisätiedotDerivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)
Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion
LisätiedotTee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää!
MAA Koe 4.4.011 Jussi Tyni Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse 6 tehtävää! 1 Selitä ja piirrä seuraavat lyhyesti: a) Vieruskulmat b) Tangentti kulmasta Katsottuna.
Lisätiedotkartiopinta kartio. kartion pohja, suora ympyräkartio vino pyramidiksi
5.3 Kartio Kun suora liikkuu avaruudessa niin, että yksi sen piste pysyy paikoillaan ja suoran jokin toinen piste kiertää jossakin tasossa jonkin suljetun käyrän palaten lähtöpaikkaansa, syntyy kaksiosainen
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1958 1967 tehtäviin 1958 Pyörähtäessään korkeusjanansa ympäri tasakylkinen kolmio muodostaa kartion, jonka tilavuus on A, ja pyörähtäessään kylkensä ympäri kappaleen, jonka tilavuus on
LisätiedotJuuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(
LisätiedotKappaleiden tilavuus. Suorakulmainensärmiö.
Kappaleiden tilavuus Suorakulmainensärmiö. Tilavuus (volyymi) V = pohjan ala kertaa korkeus. Tankomaisista kappaleista puhuttaessa nimitetään korkeutta tangon pituudeksi. Pohjan ala A = b x h Korkeus (pituus)
LisätiedotKERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4
KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +
LisätiedotVanhoja koetehtäviä. Analyyttinen geometria 2016
Vanhoja koetehtäviä Analyyttinen geometria 016 1. Määritä luvun a arvo, kun piste (,3) on käyrällä a(3x + a) = (y - 1). Suora L kulkee pisteen (5,1) kautta ja on kohtisuorassa suoraa 6x + 7y - 19 = 0 vastaan.
LisätiedotPRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015
PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)
Lisätiedot1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot
Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan
Lisätiedot2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot
2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ Merkitään f(x) =x 3 x. Laske a) f( 2), b) f (3) ja c) YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA
1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 26.3.2018 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän
LisätiedotGeometrian kertausta. MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio
Geometrian kertausta MAB2 Juhani Kaukoranta Raahen lukio Ristikulmat Ristikulmat ovat yhtä suuret keskenään Vieruskulmien summa 180 Muodostavat yhdessä oikokulman 180-50 =130 50 Samankohtaiset kulmat Kun
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
LisätiedotRatkaisuja, Tehtävät
ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden
LisätiedotMAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!
MAA7 7. Koe Jussi Tyni 1..01 1. Laske raja-arvot: a) 5 x lim x5 x 10 b) x 8x16 lim x x 9 x. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (5). b) Onko funktio f x vastauksesi lyhyesti 1 9 x ( ) x f ( x)
Lisätiedot6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt
6 Kertaus: Lausekkeet ja yhtälöt 6.1 Kurssin keskeiset asiat 1. a) ( x x) 3( x ) ( x x) (3 x 3 ) x x (3x 6) x x 3x 6 x x 6 b) 9( x 1) 5( x ) 9 x ( 9) 1 5 x 5 9x 9 5x 10 4x 1 c) (3x )(4 5 x) 3x 4 3 x (
LisätiedotClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna
ClassPad 330 plus ylioppilaskirjoituksissa apuna Suomessa sallittiin CAS (Computer Algebra System) laskimien käyttö keväästä 2012 alkaen ylioppilaskirjoituksissa. Norjassa ja Ruotsissa vastaava kehitys
LisätiedotHarjoituksia MAA4 - HARJOITUKSIA. 6. Merkitse lukusuoralle ne luvut, jotka toteuttavat epäyhtälön x 2 < ½.
MAA4 - HARJOITUKSIA 1 Esitä lauseke 3 x + x 4 ilman itseisarvomerkkejä Ratkaise yhtälö a ) 5x 9 = 6 b) 6x 9 = 0 c) 7x 9 + 6 = 0 3 Ratkaise yhtälö x 7 3 + 4x = 4 Ratkaise yhtälö 5x + = 3x 4 5 Ratkaise yhtälö
Lisätiedot5 Rationaalifunktion kulku
Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja
LisätiedotTiesitkö tätä? Lääkiskurssi. DI-pääsykoekurssi.
Tiesitkö tätä? MAFY:n lääkiskurssi 2,5-kertaistaa mahdollisuutesi päästä sisään yhdellä yrityksellä. Poikkeuksellisen kovista tuloksista johtuen lääkikset alkavatkin täyttyä MAFY:n kurssilaisista. Lääkiskurssi
LisätiedotRatkaisut vuosien tehtäviin
Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2
LisätiedotKertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,
Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0
LisätiedotKoontitehtäviä luvuista 1 9
11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:
LisätiedotPreliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4
Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / 4 Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa
Lisätiedotx 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)
MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10 13
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 2 x 2 3 2 3 x 1 4, (b) (x + 1)(x 2)
LisätiedotC. Montako prosenttia pinta-ala kasvaa, jos mittakaava suurenee 5%? a) 5 % b) 7 % c) 9 % d) 10 % e) 15 %
1. 4Monivalinta. Ympyrän halkaisija on 6. Ympyrän kehän pituus on a) 6π b) 3π c) 9π B. Pienoismallin pinta-ala on neljäsosa todellisesta pinta-alasta. Mittakaava on a) 1 : 2 b) 1:4 c) 1:8 C. Kolmioiden
LisätiedotMATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ.0.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa
Lisätiedot