Kynä-paperi -harjoitukset. Taina Lehtinen Taina I Lehtinen Helsingin yliopisto

Transkriptio

1 Kynä-paperi -harjoitukset Taina Lehtinen 43

2 Loput ratkaisut harjoitustehtäviin 44

3 Stressitestin = 40 s = 8 Kalle = 34 pistettä Ville = 5 pistettä Z Kalle Z Ville Kalle sijoittuu pistemäärällään 34 vajaan keskihajonnan mitan (-0.75) päähän keskiarvon alapuolelle Kalle on keskimääräistä vähemmän stressaantunut Ville sijoittuu pistemäärällään (1.5) keskiarvon yläpuolelle Ville on keskimääräistä stressaantuneempi 45

4 Testin z-pisteet ilmaisevat tarkasteltavien arvojen (Kallen ja Villen pisteet) etäisyyden keskiarvosta kun mittayksikkönä keskihajonta z Kalle = z Ville = vähemmän stressiä enemmän stressiä Kalle Ville Helsingin 46 yliopisto

5 Pisteen alapuolella oleva alue Kaksi keskihajonnan mittaa keskiarvon yläpuolella oleva piste.5 % 100 % -.5 % = 97.5 % (muitakin tapoja ratkaista)

6 merkintätapa muuttujalle, joka on normaalijakautunut Paino ~ N(59, 3) Väli [53 kg, 6 kg]? 95% 68% 81.5% Välille [53 kg, 6 kg] sijoittuu tapauksista 81.5 %. 95% 68%

7 Ratkaise seuraavat tehtävät luennolla jaetun kertymäfunktioarvotaulukon avulla: Olkoon Z ~ N(0,1). Laske a. P(Z 0.8) = b. P(Z 0.8) = = c. P(-1.96 Z +1.96) = =

8 Olkoon Z ~ N(0,1). Laske z, kun d. P(Z z) = 0.43 Etsitään taulukosta -arvo = Lähinnä olevan -arvon (0.486) z = e. P(Z z) = = Etsitään taulukosta -arvo = Lähinnä olevan -arvon (0.5714) z = f. P(-z Z z) = = 0.05/ = 0.05 Etsitään taulukosta -arvo = ja arvon (0.050) z = arvon ( = 0.975) z =

9 Olkoon X ~ N(117, 3). Laske g. P(X 13) eli mikä tn. että muuttuja saa arvon 13 z Etsitään taulukosta (0.6) = h. P(X 110) ensin: mikä tn. että muuttuja saa arvon z ( ) Tehtävässä kysytään yläpuolella () olevaa aluetta (tn.) joten =

10 Olkoon X ~ N(117, 3). Laske i. P(100 X 140) eli väliin jäävä alue (tn.) z (1) z ( 0.74) 0.96 Kysytään väliin jäävää aluetta (tn.) eli =

11 Reaktionopeutta koskeva tutkimus: =460 ms s=80 a. Kuinka suuri osa vastaajista on saanut tuloksen 540 tai enemmän? 15.9 % b. Kuinka suuri osa vastaajista on saanut tuloksen 440 tai vähemmän? 40.1 % c. Kuinka suuren osan tulos sijoittuu arvojen 390 ja 550 välille? 67.9 %

12 d. Mikä on alimman 10%:n tulosraja? e. Minkä arvon yläpuolelle sijoittuu 30% vastaajista?

13 Tentistä on mahdollista saada 0.0, 1.0,, 10.0 pistettä. Kesäopetuksen ryhmän tentin pisteiden keskiarvo oli 6.7 ja keskihajonta 1.. (Tulokset noudattivat normaalijakaumaa.) Montako % kesäopetuksen ryhmän opiskelijoista sai 6 pistettä? (Pisteet tulkitaan 6:ksi pisteeksi)

14 Lasketaan arvoille 5.5 ja 6.4 z -pisteet ja katsotaan niihin liittyvät kertymäfunktioarvot z Mikä on z -pisteen arvo? (Kuinka monta % pinta-alasta [tai todennäköisyydestä, tn.] sijoittuu z -pisteen -0.5 alapuolelle?) (-0.5) =

15 z Mikä on z -pisteen arvo? (Kuinka monta % pinta-alasta [tn.] sijoittuu z -pisteen alapuolelle?) (-0.1) = Saatujen z-pisteiden -arvojen erotus = 0.46 Tentin osallistujista 4.3% sai 6 pistettä

16 Haluttuun oppilaitokseen haki 91 opiskelijaa Oppilaitokseen hakijoiden älykkyysosamäärä normaalisti jakautunut ÄO ~ N(115, 8) Opintojen suorittaminen edellyttää vähintään ÄO 110 eli ÄO 110 Kuinka monella 91 hakijasta todennäköisesti olisi mahdollisuus älykkyytensä puolesta selviytyä opinnoista? 58

17 Lasketaan (vaaditun ÄO:n) arvolle 110 z-pistemäärä ja katsotaan siihen liittyvä todennäköisyys/pinta-ala (= kertymäfunktioarvo ) Ensin z-piste: 110 z Mikä on z-pisteen arvo? (eli Kuinka monta % pinta-alasta [tn.] sijoittuu z-pisteen alapuolelle?) (-0.63) =

18 Edellyttää vähintään 110 eli mikä on todennäköisyys sijoittua yli z-pisteen -0.63? z-pisteen yläpuolella oleva pinta-ala [tn.]? = (tn. sijoittua yli 110 pisteen on 73.57%) Kuinka paljon on 73.57% 91:stä? Riittävä ÄO olisi * hakijalla

19 Tilastollisen päättelyn kurssin tenttiin osallistui 106 kt-opiskelijaa Tulokset olivat normaalijakautuneet keskiarvolla 66 pistettä, hajonnalla 5 pistettä Kuinka moni tenttiin osallistuneista opiskelijoista sai pistemäärän, joka sijoittuu välille [60, 70]? 61

20 Lasketaan välin [60, 70] tenttipisteille z-pisteet zalaraja 1. z yläraja Mikä on z-pisteen -1. -arvo? (eli Kuinka monta % pinta-alasta [tn.] sijoittuu z-pisteen -1. alapuolelle?) (-1.) = Mikä on z-pisteen 0.8 -arvo? (eli Kuinka monta % pinta-alasta [tn.] sijoittuu z-pisteen 0.8 alapuolelle?) (0.8) =

21 Mikä on tn. sijoittua z-pisteiden -1. ja 0.8 väliin? Eli z-pisteiden -1. ja 0.8 välille jäävä pinta-ala? = eli ~ 67 % Kuinka paljon on 67% 106:sta? 67%/100 * 106 Pistemäärän välille [60, 70] saavia olisi * 106 eli 71 opiskelijaa 63

22 Kaksi otosta (länsisuomalaiset miehet N = 8; itäsuomalaiset miehet N = ), testimuuttuja pituus keskiarvomuuttuja länsisuomalaiset = 176., s = 13.9 itäsuomalaiset = 174.3, s = 13.7 H 0 : Länsi- ja itäsuomalaiset miehet ovat yhtä pitkiä H 1 : Länsisuomalaiset miehet ovat pidempiä kuin itäsuomalaiset miehet Testaa 1 %:n merkitsevyystasolla 64

23 t x 1 s1 n 1 x s n t t = df = (n 1 + n 1) = = 48 Katsotaan taulukosta (K-K: jatkokurssin liitteen Taulukko 3) df-riviltä 40 (on lähin) suunnatun testin eli yksisuuntaisen testin (koska H 1 olettaa länsi-suomalaisten olevan pidempiä) 1 %:n kriittinen arvo =.43 65

24 %.43 Saatu t-testisuure (0.483) ei sijoitu 1 %:n kriittiselle alueelle (hylkäämisalueelle), joten H 0 :aa ei voida hylätä. Tulkinta: Aineiston perusteella ei voida osoittaa, että länsisuomalaiset miehet olisivat keskimäärin pidempiä kuin itäsuomalaiset miehet. Nollahypoteesi jää voimaan. 66

25 9-luokkalaisten kiinnostus tietotekniikkaan Otos N = 500 Tiedetään frekvenssit (havaitut arvot) H 0 : Kiinnostus tietotekniikkaan on riippumaton sukupuolesta H 1 : Kiinnostus tietotekniikkaan riippuu sukupuolesta (erilaista tytöillä ja pojilla) Testaa 1 %:n merkitsevyystasolla 67

26 Ensin lasketaan kuhunkin taulukon solukkoon odotettu arvo (e ij ) reunafrekvenssien avulla e ij f i e n j 80* * Kiinnostunut Ei kiinnostunut Yhteensä Tytöt fij 160 eij 168 fij 10 eij Pojat fij 140 eij 13 fij 80 eij 88 0 Yht

27 Kun tiedetään kunkin solukon sekä havaitut arvot (f ij ) että odotetut arvot (e ij ), voidaan laskea -testisuurre k l ( e ij f ij ) e i1 j1 ij ( ) 168 (11 10) 11 (13 140) 13 (88 80)

28 =.164 df = (rivien lkm 1) * (sarakkeiden lkm 1) = ( 1) * ( 1) = 1 Katsotaan taulukosta (K-K: jatkokurssin liitteen Taulukko 5) df-riviltä=1 1%:n kriittinen arvo = 6.6 Saatu -testisuure (.164) ei sijoitu 1 %:n kriittiselle alueelle (raja-arvo 6.6), joten H 0 :aa ei voida hylätä. Tulkinta: Aineiston perusteella ei voida osoittaa, että tyttöjen ja poikien kiinnostus tietotekniikkaan on erilasta. Nollahypoteesi jää voimaan. 70

29 1 % kriittinen alue (hylkäämisalue)

30 Helsingin 7 yliopisto